88. ФУНКЦИЯ ЗАПОЛНЕНИЯ ФЕРМИ — ДИРАКА КАК ДЕТЕКТОР ПРОВАЛОВ Дата: 18 октября 2026. Публичная научная запись. СТАТУС. Для выбранного семейства функций с нулевым химическим потенциалом доказан строгий предел возможностей: никакой выбор «температуры», даже зависящий от всего набора частот, не обеспечивает общую квадратнокоренную оценку. Это отрицательный результат для конкретного детектора, а не для гипотезы Чоулы или всей квантовой физики. ПОСТАНОВКА f_A(x)=sum_{a in A}cos(ax), K=-min f_A; N=|A|; E означает dx/(2pi). Для beta>=0 положим w_beta(t)=1/(1+exp(beta t)), rho_beta(x)=w_beta(f_A(x))/E w_beta(f_A), B_beta(A)=-E[f_A rho_beta]. Математически rho_beta — неотрицательная плотность массы 1. 88.1. ЧТО ДАЁТ АНАЛОГИЯ ИЗ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ В статистике фермионов среднее заполнение состояния энергии E имеет вид 1/(1+exp(beta(E-mu))); ограничение сверху 1 отражает принцип исключения для одного состояния с фиксированными квантовыми числами. Здесь заимствована только форма функции при mu=0. Значение звукового давления f не объявляется физической энергией фермиона; звуковые колебания не отождествляются с фермионами. beta в нашей модели — регулируемая крутизна функции, а не измеренная температура вещества. Предложение: положительные значения f получают малый вес, отрицательные — больший, но вес каждого события насыщается на уровне 1. Возможно, такое «квантованное заполнение» лучше выделяет отрицательную область. 88.2. КОРРЕКТНОСТЬ ДЛЯ КАЖДОГО A Поскольку rho_beta>=0 и E rho_beta=1, имеем B_beta<=K. Неотрицательность следует из w_beta(t)=(1-tanh(beta t/2))/2, -E[f w_beta(f)]=(1/2)E[f tanh(beta f/2)]>=0, так как E f=0, а t tanh(beta t/2)>=0. Поэтому 0<=B_beta<=K. При beta=0 имеем B_beta=0. При beta->infinity, по ограниченной сходимости и поскольку ненулевой тригонометрический полином имеет множество нулей меры 0, B_beta -> E f_- / mu{f<0}. (88.1) Это средняя глубина отрицательной полуволны, не её максимальная глубина. Монотонность B_beta по beta здесь не утверждается и для доказательства препятствия не требуется. 88.3. ПРЕПЯТСТВИЕ СРАЗУ ДЛЯ ВСЕХ beta Возьмём A_N={1,...,N}, L=2N+1. Геометрическая прогрессия даёт 1+2f_N(x)=sin(Lx/2)/sin(x/2). Для N>=2 на части отрезка x in [pi/2,pi], где sin(Lx/2)<=0, имеем f_N<=-1/2. Длина этой части не меньше pi/4-pi/L>=pi/20. Обоснование: для любого интервала длины ell множество {sin y<=0} занимает длину не менее ell/2-pi/2; подстановка y=Lx/2 даёт оценку. Учитывая отражённый отрезок, получаем mu{f_N<=-1/2}>=1/20. При N=1 она также верна: mu{cos x<=-1/2}=1/3. На указанном множестве w_beta(f_N)>=1/2 для каждого beta>=0, а значит E w_beta(f_N)>=1/40, независимо от beta и N. С другой стороны, 0<=w_beta<=1 и E f_N=0 дают -E[f_N w_beta(f_N)]<=E f_{N,-}=||f_N||_1/2. Элементарная оценка ядра Дирихле |1+2f_N(x)|<=min(L,pi/|x|) на [-pi,pi], с разбиением интеграла при |x|=pi/L, даёт E f_{N,-}<=1/2+(1/4)log L (подробно также №57). В итоге получаем ОБЩУЮ ПО beta оценку 0<=sup_{beta>=0} B_beta(A_N)<=20+10log(2N+1), sup_{beta>=0} B_beta(A_N)/sqrt(N)->0. (88.2) При этом настоящий K(A_N)>=1/2+(2N+1)/(3pi), по подстановке x=3pi/(2N+1). Исчезает качество данного детектора, не настоящий провал. 88.4. ФИЗИЧЕСКИЙ ВЫВОД И НОВОЕ НАПРАВЛЕНИЕ Ограничение заполнения сверху мешает выделять редкие самые глубокие события: множество умеренно отрицательных значений уже имеет заметный суммарный вес и удерживает знаменатель вдали от нуля. Увеличение beta резче отделяет знак, но не продолжает усиливать вес более глубоких провалов, потому что он уже почти равен 1. Это объясняет разницу с экспоненциальным весом Гиббса из №63/66, который не насыщается на отрицательных значениях до нормировки. Здесь не сравниваются физические эффективности приборов: сравниваются точные математические семейства вероятностных весов. Разрешение изменяемого порога mu возвращает возможность концентрировать вес в глубокой отрицательной области. Но выбор порога около неизвестного минимума был бы круговым; подходящий общий закон mu(A,N) не найден. Результат (88.2) относится ровно к семейству mu=0. ПРОВЕРКИ wavephysics_84_89_checks.py проверяет рациональные константы оценки меры и нормировки, предел beta=0 и симметричный случай A={1}: E w_beta(cos x)=1/2 и lim B_beta=2/pi. Для последнего предела используется точный интеграл E(cos x)_-=1/pi; численное интегрирование экспонент не используется как доказательство. Проверены точные алгебраические формы рациональной логистической функции на целочисленных входах. ПЕРВИЧНЫЙ ИСТОЧНИК ФИЗИЧЕСКОЙ ФОРМЫ MIT 8.333 Statistical Mechanics I, Fall 2013, Final Exam Review Solution, задача о симметрии заполнения состояний энергии mu+-delta: https://ocw.mit.edu/courses/8-333-statistical-mechanics-i-statistical-mechanics-of-particles-fall-2013/9e4f82085311e3bee72e9244f449cbe8_MIT8_333F13_ExamRevFinlSol.pdf Физический источник не доказывает наше неравенство (88.2); оно выведено выше непосредственно. Научная новизна и общее решение не заявляются.