87. НЕЛИНЕЙНЫЙ ДЕТЕКТОР СОВПАДЕНИЙ: ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
Дата: 18 октября 2026. Публичная научная запись.

СТАТУС. Построена корректная нижняя оценка для каждого набора частот;
для сильно разнесённых частот доказано B=N/2. Конкретный предполагаемый
коэффициент 1/2 перед sqrt(N) опровергнут точным малым примером.
Существование меньшего общего положительного коэффициента для этого
детектора здесь не доказано и не опровергнуто. Положительное произведение
Рисса — классический метод; новая общая теорема и приоритет не заявляются.

ПОСТАНОВКА
f_A(x)=sum_{a in A}cos(ax), N=|A|, K=-min f_A; E означает dx/(2pi).
Определим

 P_A(x)=prod_{a in A}(1-cos(ax)),
 Z_A=E P_A, rho_A=P_A/Z_A,
 B_R(A)=-E[f_A rho_A].

Все множители неотрицательны. Их произведение положительно вне конечного
множества нулей, следовательно, Z_A>0. Поэтому rho_A — допустимая
вероятностная плотность и B_R(A)<=K(A) для каждого A.
Если числитель имеет неподходящий знак, всегда можно использовать
max(0,B_R) как нижнюю оценку; общей неотрицательности B_R здесь отдельно
не доказано. На всех перечисленных конечных проверках B_R положительно.

87.1. ФИЗИЧЕСКАЯ ИДЕЯ И РОЛЬ НОРМИРОВКИ
Множитель (1-cos(ax))/2 находится между 0 и 1 и совпадает с нормированной
интенсивностью |1-exp(iax)|^2/4 в идеальном порте разрушительной
интерференции. Произведение может моделировать вес совпадения нескольких
таких фазовых событий. Это нелинейная обработка: она не подменяет
исходную сумму новой линейной волной и не даёт права считать гармоники
независимыми по общему времени x.

Z_A — нормирующая сумма всех весов, аналог статистической суммы.
Она зависит от точных целочисленных связей между частотами. Положить
Z_A=1 без проверки таких связей было бы ошибкой. Параметр B_R извлекается
из всего набора A; общий набор не разбивается на отдельные задачи.

87.2. ТОЧНОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ БЕЗ ИНТЕГРАЛЬНОЙ СЕТКИ
Положим z=exp(ix) и раскроем многочлен Лорана с целыми коэффициентами

 Q_A(z)=prod_{a in A}(2-z^a-z^(-a))=sum_j q_j z^j.

Имеем q_j=q_-j, 2^N P_A=Q_A, а интегрирование оставляет только
нулевой коэффициент. Следовательно,

 Z_A=q_0/2^N,
 B_R(A)=-[sum_{a in A}q_a]/q_0.                   (87.1)

Все необходимые вычисления целочисленные и рациональные. Второе
представление Q_A=|prod(1-z^a)|^2 на окружности даёт независимую
проверку через автокорреляцию коэффициентов обычного многочлена.

87.3. ПРОВЕРЕННЫЙ БЕСКОНЕЧНЫЙ КЛАСС
Для A={1,4,4^2,...,4^(N-1)} каждая сумма sum epsilon_j 4^j с
epsilon_j in {-1,0,1} имеет единственное представление. Действительно,
при разности двух представлений старший ненулевой разряд по модулю
не меньше 4^m, а сумма модулей всех младших разрядов не больше
2(4^m-1)/3<4^m, что невозможно.

В раскрытии prod(1-cos(4^j x)) поэтому нулевой коэффициент равен 1,
а коэффициент при exp(+-i4^j x) равен -1/2. Таким образом,

 Z_A=1, E[cos(4^j x)P_A]=-1/2,
 B_R(A)=N/2, K(A)>=N/2.                           (87.2)

Эта проверка объясняет сильную сторону метода при отсутствии коротких
аддитивных связей. Она не переносится автоматически на произвольные A.

87.4. ТОЧНЫЙ ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ РЕЗУЛЬТАТ
Для A={1,2,3} по (87.1) получаем Z_A=3/4 и B_R=5/6. Поэтому

 (5/6)^2=25/36<3/4=((1/2)sqrt(3))^2.

Следовательно, утверждение B_R(A)>=(1/2)sqrt(N) для всех A ложно.
Это опровергает конкретную константу для детектора, а не любую меньшую
константу и не цель K>=c sqrt(N). Например, для этого A сама K больше
B_R; слабость сертификата не является малым настоящим минимумом.

В более широком конечном поиске обнаружен точный пример
A={1,2,3,4,5,7,9,11,13}, N=9:

 B_R=21/20, B_R/sqrt(N)=7/20=0.35.

Любой коэффициент, строго больший 7/20, также исключён для данной
функции уже этим набором. Равенство или меньший коэффициент из него
не исключаются.

87.5. ОБЪЁМ КОНЕЧНОЙ ПРОВЕРКИ
Проверены все 262143 непустых подмножества {1,...,18}. Минимальное
найденное B_R/sqrt(N) равно ровно 7/20; приведён один достигающий его
набор. Это конечный минимум в указанном диапазоне, не общий минимум.
Для 4095 наборов из {1,...,12} формула дополнительно сравнивается
с независимой автокорреляцией prod(1-z^a).

Отдельно вычислены последовательные частоты N=1,...,30 и разнесённые
частоты N=1,...,7. Код и рациональные результаты по размерам находятся
в wavephysics_84_89_checks.py и wavephysics_84_89_results.json.
Десятичные приближения не участвуют в сравнении: используется B_R^2/N
и точный знак B_R. Все ограниченные поиски отделены от общих доказательств.

87.6. НЕДОСТАЮЩИЙ ШАГ
Для завершения этой стратегии нужна общая оценка суммы коэффициентов
в (87.1), например -sum q_a>=c sqrt(N) q_0. Она должна учитывать
все возможные резонансы, не предполагая независимости отдельных фаз.
Такое неравенство пока не найдено. Конечная положительная выборка
не подтверждает его для неограниченных частот и числа слагаемых.

ИСТОЧНИКИ И ПРЕЕМСТВЕННОСТЬ
Формулы положительного произведения и вычисления коэффициентов полностью
выведены здесь. Метод относится к классическим произведениям Рисса;
обзор существующей литературы не является полным, научная новизна
конкретного семейства сертификатов не установлена. Физическая аналогия
использует только классическое тождество интерференции, без постулирования
неизвестного закона о фотонах, фононах или отрицательной энергии.