85. ДИФФУЗИЯ, ФАЗОВЫЙ ДЖИТТЕР И ВЯЗКОЕ СГЛАЖИВАНИЕ
Дата: 18 октября 2026. Публичная научная запись.

СТАТУС. Доказаны монотонность глубины при тепловом сглаживании и явная
ошибка возвращения к исходному сигналу. Любое фиксированное положительное
сглаживание теряет общую квадратнокоренную нижнюю оценку. Полная задача
с единичными амплитудами остаётся открытой.

ПОСТАНОВКА
f_A(x)=sum_{a in A}cos(ax), K(A)=-min f_A. Для tau>=0 определим

 f_tau(x)=sum_{a in A} exp(-tau a^2) cos(ax),
 K_tau=-min_x f_tau(x), S2=sum a^2.

ГИПОТЕЗА ДЛЯ ПРОВЕРКИ
Можно ли добавить аналог вязкости/теплового размытия, получить более
удобную функцию, доказать глубокий минимум для неё и затем убрать
размытие с гарантированно малой потерей?

85.1. ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ УСРЕДНЕНИЕ
Пусть X — вещественная нормальная случайная величина с нулевым средним
и дисперсией 2tau. Тогда E exp(iaX)=exp(-tau a^2), откуда

 f_tau(x)=E f_A(x+X).

Последняя формула может служить определением периодического теплового
сглаживания. Нормальность даёт положительную плотность полной массы 1;
следовательно, среднее не может быть меньше глобального минимума f_A.
Поэтому K_tau<=K(A). Композиция независимых нормальных сдвигов складывает
дисперсии, а значит для sigma,tau>=0:

 K_{tau+sigma}<=K_tau<=K(A).

При tau<infinity f_tau имеет нулевой средний и положительные ненулевые
коэффициенты, поэтому K_tau>0. При tau->infinity имеем K_tau->0.

85.2. ЯВНАЯ ПОТЕРЯ
Оценка разности коэффициентов даёт

 ||f_A-f_tau||_infinity <= sum(1-exp(-tau a^2)) <= tau S2.

Функционал -min является 1-липшицевым по равномерной норме, поэтому

 0<=K(A)-K_tau<=sum(1-exp(-tau a^2))<=tau S2.        (85.1)

Таким образом, tau<=epsilon/S2 гарантирует ошибку не более epsilon
для произвольного набора частот. Это строгое правило выбора функции
сглаживания; оно не требует ограничения максимальной частоты заранее.
Для каждого конкретного A требуется знать S2.

85.3. СТРОГОЕ ПРЕПЯТСТВИЕ ФИКСИРОВАННОЙ ТЕМПЕРАТУРЕ
Пусть tau>0 фиксировано, A_M={M,M+1}; общий делитель равен 1 и N=2.
Тогда

 K_tau(A_M)<=sum exp(-tau a^2)<=2 exp(-tau M^2)->0.

В то же время K(A_M)>=1+cos(pi/M)->2, как проверено в №84.
Следовательно, K_tau/sqrt(N) может стремиться к нулю даже при N=2,
хотя настоящий минимум остаётся глубоким. Никакая фиксированная tau>0
не даёт положительной общей нижней границы через эту сглаженную функцию.

85.4. ФИЗИЧЕСКОЕ ТОЛКОВАНИЕ
Множитель exp(-tau a^2) описывает подавление быстрого изменения фазы:
высокие гармоники сильнее чувствуют общий случайный сдвиг. Это также
решение уравнения диффузии partial_tau f=partial_x^2 f по координате x.
Здесь tau — параметр размытия в пространстве фаз, не физическая
температура воздуха без дополнительных уравнений и выбора единиц.
Вязкость в конкретной акустической среде может требовать иной модели;
данная запись не приписывает этот закон всем реальным звуковым системам.

Сглаживание изменяет амплитуды с 1 на exp(-tau a^2). Поэтому вывод о
сглаженном сигнале нельзя незаметно подставить вместо исходной задачи.
Механизм полностью классический: он не показывает ни квантование
амплитуд, ни превращение волны в частицу.

85.5. ИТОГ ПРОВЕРКИ
Идея пригодна для стабильных приближённых расчётов: выбирая функцию
tau(A,epsilon)=epsilon/S2, мы получаем известную ошибку. Дополнительная
теорема о нижнем минимуме сглаженного сигнала, достаточно сильная при
таком tau, не найдена. Фиксированный параметр строго исключён.

ВОСПРОИЗВОДИМОСТЬ
wavephysics_84_89_checks.py проверяет точные S2, правила масштабирования
и рациональные условия tau S2=epsilon. Экспоненциальные пределы и
неравенство 1-exp(-u)<=u доказаны аналитически для всех u>=0;
округлённые значения exp не используются как сертификат.

ИСТОЧНИКИ
Необходимые свойства нормального сдвига и усреднения приведены явно.
Это стандартный тепловой полугрупповой метод, переосмысленный для данной
задачи; научная новизна самого метода не заявляется.