82. МНИМОЕ ВРЕМЯ, ЗАМКНУТЫЕ МАРШРУТЫ И ЗНАКИ КВАНТОВЫХ АМПЛИТУД Дата: 18 октября 2026 года. Статус: точное представление прежней Gibbs-функции в решёточной модели и проверенное препятствие для наивного положительного подсчёта. Это развитие ветви 63, а не независимое открытие. ПОСТАНОВКА H=(1/2)sum_{a in A}(T^a+T^(-a)), f_A=sum cos(ax), N=|A|, K=-min f_A. Определим при beta>=0 Z_A(beta)=. Преобразование Фурье из 78 даёт точно Z_A(beta)=integral exp(-beta f_A(x)) dx/(2pi). Это диагональный элемент на бесконечной решётке, не полный след по её бесконечному числу узлов. МАРШРУТНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ Пусть w_r — число упорядоченных последовательностей r шагов из A union -A с суммой 0. Тогда M_r==w_r/2^r=integral f_A^r. Поскольку ||H||<=N, степенной ряд сходится абсолютно: Z_A(beta)=sum_{r>=0}(-beta)^r w_r/(2^r r!). В частности, M_0=1, M_1=0, M_2=N/2. Все w_r неотрицательны, но вклад маршрута нечётной длины в экспоненту с отрицательным знаком перед H отрицателен. ДВУДОЛЬНЫЙ И ОБЩИЙ СЛУЧАЙ В двудольном случае из 80 нечётных замкнутых маршрутов нет. Остаются только положительные чётные слагаемые. В общем случае отбросить отрицательные нечётные слагаемые для получения НИЖНЕЙ оценки Z нельзя: их отбрасывание даёт верхнюю оценку. Точно, Z_A(beta)=integral cosh(beta f_A)-integral sinh(beta f_A) <=integral cosh(beta f_A), поскольку последнее нечётное среднее равно сумме неотрицательных beta^(2j+1)M_(2j+1)/(2j+1)!. ТОЧНЫЙ КОНТРПРИМЕР К НЕПРАВИЛЬНОМУ ОТБРАСЫВАНИЮ При A={1,2} имеем M_2=1 и M_3=3/4. Поэтому Z_A(beta)=1+beta^2/2-beta^3/8+O(beta^4). Разность между чётной суммой integral cosh(beta f_A) и Z_A(beta) не меньше beta^3/8 для каждого beta>0, поскольку все её последующие нечётные коэффициенты также неотрицательны. ПОЧЕМУ ОБЫЧНАЯ ДИФФУЗИЯ НЕ ДАЁТ НУЖНЫЙ ЗНАК Обычное непрерывное случайное блуждание с интенсивностью 1/2 по каждому из 2N направлений имеет генератор H-NI. Его положительный переходный оператор exp[t(H-NI)]=exp(-tN)exp(tH) отвечает экспоненте с ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМ знаком перед H и выделяет верхний край f=N. Нужная функция exp(-beta H) выделяет нижний край. Её внедиагональные элементы при малом beta имеют отрицательные первые члены на разрешённых переходах, поэтому они не являются обычными переходными вероятностями. В двудольном случае преобразование Gamma меняет H на -H и устраняет это различие для диагональных элементов. В общем случае нечётные циклы препятствуют такой смене знака. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ beta И c В формулах выше H и beta безразмерны. Для физического гамильтониана J*H, где J — единица энергии, экспонента имеет вид exp(-beta_phys*J*H). Поэтому beta=beta_phys*J; именно beta_phys имеет размерность обратной энергии. Увеличение beta сильнее выделяет низкие энергии. Функция b_beta(A)=log Z_A(beta)/beta при beta>0 является корректной нижней оценкой K, поскольку Z<=exp(beta K). По Йенсену Z>=1 и b_beta>=0. При beta->infinity она сходится к K: у каждой окрестности минимума f есть положительная мера. Это прежняя Gibbs-функция 63. Новое рассмотрение объясняет, почему подсчёт только положительных возвратов частицы теряет важную информацию о нижнем крае. Оно не устанавливает общего beta(N), дающего b_beta>=c sqrt(N). ПРОВЕРКА branches_78_83_checks.py считает w_r целыми числами до r=8 для проверяемых наборов, подтверждает исчезновение нечётных возвратов в двудольном классе, M3=3/4 для {1,2} и отрицательный кубический коэффициент -1/8. Положительность остальных нечётных моментов следует непосредственно из счётной формулы, без численной оценки экспоненты. ОТКРЫТЫЙ ШАГ Нужен способ контролировать взаимное влияние нечётных и чётных возвратов, который сохраняет общую нижнюю оценку нужного масштаба. Наивная замена квантовых амплитуд положительными вероятностями здесь математически неверна.