81. НЕЧЁТНЫЙ ЦИКЛ КАК НЕСОВМЕСТИМОСТЬ ФАЗОВЫХ ПРЕДПОЧТЕНИЙ

Дата: 18 октября 2026 года. Статус: доказаны препятствия для достижения K=N. Направление результата — ВЕРХНЯЯ оценка K; исходная гипотеза требует нижнюю. Новизна не заявляется.

ПОСТАНОВКА
f_A=sum cos(ax), K=-min f_A, N=|A|. Предположим, что найдена нетривиальная целочисленная связь sum_a k_a a=0 нечётной длины r=sum_a |k_a|. Обозначим k_max=max_a |k_a|. Поскольку a>0 и связь нетривиальна, нечётное r не меньше 3.

ПРОВЕРЯЕМАЯ ИДЕЯ
Каждое слагаемое достигает своей нижней энергии при фазе pi. Но по замкнутому маршруту сумма фаз должна возвращаться к 0 modulo 2pi. Нечётное число фаз pi дало бы pi modulo 2pi — несовместимость. В физическом языке это фрустрация.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ОЦЕНКА
Развернём связь в r направленных шагов s_j in A union -A, сумма которых 0. Положим theta_j=s_j x и z_j=-exp(i theta_j). Тогда product_j z_j=-1, поскольку r нечётно. Телескопирование произведения единичных комплексных чисел и неравенство Коши дают
2=|1-product z_j|<=sum_j |1-z_j|
 =sum_j sqrt(2(1+cos theta_j))
 <=sqrt(2r sum_j(1+cos theta_j)).
Следовательно,
sum_a |k_a|(1+cos(ax))>=2/r.
Каждое 1+cos(ax) неотрицательно, поэтому
k_max*(N+f_A(x))>=2/r,
и
K(A)<=N-2/(r*k_max).

БОЛЕЕ СИЛЬНАЯ ЦИКЛИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА
На абстрактном цикле из r вершин положим v_0=1,
v_j=exp(i(theta_1+...+theta_j)), j=1,...,r-1.
Замкнутость связи даёт v_r=v_0. Тогда |v_j|=1 и
sum_j cos theta_j=Re sum_j conjugate(v_(j-1))*v_j.

Матрица смежности обычного r-цикла имеет собственные числа 2cos(2pi l/r), l=0,...,r-1. Это непосредственно проверяется дискретным преобразованием Фурье. Для нечётного r её наименьшее собственное число равно -2cos(pi/r). Вариационный принцип при ||v||^2=r даёт
sum_j cos theta_j>=-r cos(pi/r).
Значит
sum_a |k_a|(1+cos(ax))>=r[1-cos(pi/r)],
K(A)<=N-r[1-cos(pi/r)]/k_max.

Повторение реальных узлов маршрута не портит доказательство: абстрактный цикл задаёт более широкое множество фазовых состояний, и нижняя оценка остаётся верной на его подмножестве, задаваемом одной переменной x.

ПРИМЕР A={1,2}
Связь 1+1-2=0 имеет r=3 и k_max=2. Первая оценка даёт K<=5/3, более сильная — K<=5/4.
Непосредственное выражение f=2t^2+t-1, -1<=t<=1, даёт точное K=9/8. Значит обе оценки имеют правильное направление и оставляют ненулевой запас; второй подход лучше первого, но не точен даже здесь.

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ КОЭФФИЦИЕНТОВ
r — число переходов в замкнутом конфликтном маршруте. k_max — число повторений самого часто используемого типа перехода; деление на него устраняет повторный счёт одного и того же слагаемого исходного сигнала.
Величина r[1-cos(pi/r)] — минимальная цена нечётного цикла при свободном распределении фаз по его рёбрам. Она имеет чисто геометрическое происхождение и сама по себе не является энергией фонона.

ПОЧЕМУ ЭТО НЕ РЕШАЕТ ОБЩИЙ ВОПРОС
Результат говорит, насколько далеко минимум обязан отступить от предельно отрицательного значения -N. Нам же надо доказать, что он не может отступить слишком далеко — выше -c sqrt(N). Полученная верхняя оценка K не заменяет требуемую нижнюю.
Наивный вывод «больше фрустрации, значит обязательно маленький K» также не доказан: наборы с множеством нечётных связей могут иметь очень глубокие минимумы.

ПРОВЕРКА
branches_78_83_checks.py строит нечётные связи для всех смешанных нормированных чётностей в {1,...,8}, точно проверяет их длину и нулевую сумму. Для треугольного примера неравенства сравниваются как рациональные числа 9/8<5/4<5/3<2. Спектральная формула цикла и общее неравенство доказаны выше, а не выведены из численной диагонализации.