79. ЧАСТИЦА В КОНЕЧНОМ ЯЩИКЕ: РАЗМЕР ЯЩИКА КАК ФУНКЦИЯ ТОЧНОСТИ

Дата: 18 октября 2026 года. Статус: строгая сходящаяся нижняя оценка; найдено точное препятствие для фиксированного размера ящика. Общая Чоула не решена.

ПОСТАНОВКА
f_A=sum cos(ax), N=|A|, K=-min f_A. Оператор H=(1/2)sum(T^a+T^(-a)) из ветви 78 имеет нижний край -K.

КОНСТРУКЦИЯ
Оставим только узлы 0,...,L-1 с открытыми границами. Конечная матрица H_L имеет запись 1/2 между i,j, если |i-j| принадлежит A, и 0 иначе. Определим B_L(A)=-lambda_min(H_L).

Из вариационного принципа и вложения ящиков следует
0<=B_L<=B_(L+1)<=K.
Первая оценка следует также из нулевого следа H_L: наименьшее собственное число не положительно. Увеличение ящика расширяет множество допустимых состояний и потому может только уменьшать минимальную энергию.

ЯВНАЯ ОШИБКА ДЛЯ КАЖДОГО L>=1
Возьмём нормированное состояние psi_x(n)=exp(i n x)/sqrt(L) на 0<=n<L. Оно даёт
<psi_x,H_L psi_x>=sum_{a in A}(1-a/L)_+ cos(ax).
Здесь (u)_+=max(u,0). Коэффициент (1-a/L)_+ означает долю переходов длины a, не оборванных краем ящика: таких пар ровно (L-a)_+.

Следовательно, для каждого x
|f_A(x)-<psi_x,H_L psi_x>|<=sum_{a in A}min(a/L,1)=E_L(A).
Подставляя точку минимума f, получаем
lambda_min(H_L)<=-K+E_L,
то есть
0<=K(A)-B_L(A)<=sum_{a in A}min(a/L,1).
В частности, если L>max A, ошибка не больше (sum a)/L. Для каждого фиксированного A получаем B_L->K.

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ФУНКЦИИ
B_L/sqrt(N) — наблюдаемая глубина энергетической зоны при ограниченной области движения частицы. Потеря (sum a)/L имеет граничное происхождение. Длинные переходы чаще перерезаются границей. Это не новая амплитуда исходного сигнала: коэффициенты возникают только у пробного состояния конечной матрицы.

ТОЧНОЕ ПРЕПЯТСТВИЕ
При A={a} и a>=L внутри ящика вообще нет разрешённых переходов: H_L=0 и B_L=0, хотя K({a})=1. Поэтому нельзя выбрать один фиксированный L(N), зависящий только от N, и ждать положительной оценки для всех максимальных частот по этому конкретному способу ограничения в пространстве.

Для одной частоты имеется и полная формула. Узлы распадаются на цепочки по остатку modulo a. Самая длинная цепочка содержит s=ceil(L/a) узлов. Матрица цепочки имеет веса 1/2 на соседних рёбрах и собственные числа cos(j*pi/(s+1)), j=1,...,s. Поэтому
B_L({a})=cos(pi/(ceil(L/a)+1)).
При a>=L это ровно 0; при фиксированном a и L->infinity — 1.

ПРОВЕРКА
branches_78_83_checks.py точным подсчётом пар проверяет коэффициенты (L-a)_+/L для набора ящиков и расстояний, а также нулевые матрицы при a>=L. Рекурсия характеристических полиномов проверяет цепочечную модель без плавающих собственных чисел.
Неравенство для всех L,A и монотонность доказаны вариационно выше.

ОТКРЫТЫЙ ШАГ
Нужен либо размер/форма области, адаптированные к отношениям частот, либо более сильные пробные состояния. Ограничение на max A является ограничением этого конкретного ящика и не опровергает возможность равномерной моментной аппроксимации из ветвей 62 и 83.