ВЕТВЬ 76. СЖАТЫЕ СОСТОЯНИЯ И ПРИНЦИП НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ Дата: 18 октября 2026 года. Публичная математическая запись. ГИПОТЕЗА Может быть, c связан с квантовым пределом флуктуаций: нельзя одновременно сжать обе квадратуры, следовательно, одна из них должна дать глубокий отрицательный провал? Проверяем это в точной операторной модели. СТАТУС Разделены квантовая дисперсия измерений и временная дисперсия среднего сигнала. Предполагаемое определение c только через квантовый шум или неопределённость опровергнуто семействами состояний с одинаковым средним сигналом и разным шумом. Общая задача не решена; новизна не заявляется. 76.1. НОРМИРОВКА И ТОЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Используем X=b+b†, P=-i(b-b†), [X,P]=2i. Для дисперсий в одном состоянии неравенство Робертсона даёт Var X * Var P >= 1. В состоянии D(alpha) S(r)|0>, где r вещественное, D(alpha)=exp(alpha b†-conj(alpha)b), S(r)=exp((r/2)(b²-b†²)), имеем D†bD=b+alpha и S†bS=b cosh r-b†sinh r. Отсюда при t=0: =2 Re alpha,

=2 Im alpha, Var X=exp(-2r), Var P=exp(2r), Cov(X,P)=0. Симметризованная ковариация равна нулю именно для выбранной вещественной оси сжатия. При свободной эволюции с частотой omega: =2 Re(alpha exp(-iomega t)), Var X(t)=exp(-2r)cos²(omega t)+exp(2r)sin²(omega t). Эти формулы выводятся подстановкой преобразований в X,P, использованием вакуумных средних =

=0, Var X=Var P=1 и поворотом X(t)=X cos(omega t)+P sin(omega t). 76.2. ПРЯМЫЕ КОНТРПРИМЕРЫ ПРЕДПОЛАГАЕМОЙ СВЯЗИ Фиксируем alpha=1/2. При r=0, r=log2 и r=log3 средний сигнал во всех трёх случаях равен cos(omega t), и его отрицательный минимум равен1. Однако пары дисперсий при t=0 равны соответственно (1,1), (1/4,4), (1/9,9). Можно менять r произвольно: K среднего сигнала не меняется. В другом направлении фиксируем r=0 и меняем alpha=0,1/2,1. Квантовые дисперсии остаются (1,1), но глубина минимума среднего сигнала равна соответственно0,1,2. Последние варианты меняют амплитуду, поэтому служат проверкой физического вывода, не примерами исходного класса с единичными амплитудами. 76.3. ДВА РАЗНЫХ УСРЕДНЕНИЯ В исходной задаче x равномерно распределён по общему периоду: E_time f_A=0, Var_time f_A=N/2. Это точное следствие ортогональности разных целочисленных косинусов. В произведении N когерентных мод alpha_a=1/2 квантовое среднее оператора sum_a X_a(t) равно f_A(Omega*t), но дисперсия измерения при одном фиксированном времени равна N. Первое усреднение перебирает время детерминированного среднего; второе — результаты измерения одного и того же квантового состояния при фиксированном времени. Если время дополнительно случайно и усредняются сами измерения, закон полной дисперсии даёт N+N/2=3N/2 в этих безразмерных единицах. Число3N/2 тоже не является временной дисперсией f_A. Эта проверка показывает, где именно легко ошибиться, смешав физические модели. 76.4. ОСТАВШИЙСЯ ВОПРОС Принцип неопределённости ограничивает шум, а K относится к среднему сигналу на всей временной орбите. Нужен дополнительный доказанный мост между этими величинами, сохраняющий все амплитуды, фазы и резонансы. Описанные семейства показывают, что одного отношения неопределённостей или параметра сжатия для такого моста недостаточно. ПРОВЕРКА quantum_72_77_checks.py использует рациональный параметр q=exp(r). При mu=(q+1/q)/2, nu=(q-1/q)/2 точно проверяются mu²-nu²=1, (mu-nu)²=1/q², (mu+nu)²=q² и произведение дисперсий1. Экспоненты не вычисляются приближённо. Отдельно проверяются рациональные когерентные моменты и временная дисперсия для255 частотных наборов. ПЕРВИЧНЫЙ УЧЕБНЫЙ ИСТОЧНИК Jeffrey H. Shapiro, MIT6.453, Reading6 (2016), разделы о Bogoliubov преобразовании и измерениях квадратур. В лекции квадратуры X/2,P/2; их нижнее произведение дисперсий1/16 пересчитано здесь в1. Смещения и сжатия выше применены в явно указанном порядке D(alpha)S(r). https://ocw.mit.edu/courses/6-453-quantum-optical-communication-fall-2016/057d19c0c5b197cf5db60222c1efff3c_MIT6_453F16_Lect6_Notes.pdf