ВЕТВЬ 56. КОНЕЧНАЯ ВЕРХНЯЯ ЧАСТОТА, ПРЕДЕЛ И СТРОГИЕ СВИДЕТЕЛЬСТВА
Дата составления: 18 октября 2026 г.

Постановка.
A subset Z_{>0} — множество N различных частот с единичными амплитудами
и нулевыми начальными фазами; f_A=sum cos(ax), K(A)=-min_x f_A(x).
kappa_N=inf_{|A|=N}K(A), c_N=kappa_N/sqrt(N).

Статус: доказаны свойства конечного приближения и учтено прежнее
эффективное сжатие всех наборов. При фиксированном N экстремальная
величина приближается конечной задачей с гарантированной ошибкой.
Это не равномерное по всем N доказательство Чоулы и не известный нам
критерий точной остановки перебора.

56.1. Определение и монотонность

Для целых D>=N>=1 определим

  kappa_{N,D}=min {K(A): A subset {1,...,D}, |A|=N},
  c_{N,D}=kappa_{N,D}/sqrt(N).

Ограничение D>=N нужно для непустоты конечного семейства. При увеличении
D множество кандидатов расширяется, поэтому

  kappa_{N,D+1} <= kappa_{N,D},   kappa_{N,D} >= kappa_N.

Каждый конечный A содержится в {1,...,D} для некоторого D. Следовательно,

  lim_{D->infinity} kappa_{N,D}=kappa_N,
  lim_{D->infinity} c_{N,D}=c_N.

Действительно, предел не меньше kappa_N. Для любого eta>0 существует A
с K(A)<kappa_N+eta; при D>=max(A) конечный минимум также меньше
kappa_N+eta. Это доказывает обратное неравенство для предела.

56.2. Достижение означает конечную стабилизацию для каждого N

В предыдущем внутреннем исследовании доказано, что kappa_N достигается.
Выбрав минимизатор A_*, получим D_*(N)=max(A_*)<infinity и

  kappa_{N,D}=kappa_N для всех D>=D_*(N).

Следовательно, нельзя писать, что при фиксированном N известен только
предел и неизвестно само достижение: в используемом журнале достижение
уже установлено. При этом приведённый там компактностный аргумент не
даёт численного D_*(N), и несколько равных соседних значений конечного
минимума не являются самостоятельным критерием достижения глобального
минимума. Формулы для гарантированной приблизительной остановки есть;
они приведены ниже и не требуют распознавания точного D_*.

Внутренний источник:
  /workspace/scratch/b671bf289294/restored/Chowla_Research_Journal.txt
  раздел 8.2 «Proved existence: the optimal value at each fixed N is
  attained»; подход 30 и его аудит.
Краткое повторение аргумента о достижении включено также в branch_51.

56.3. Явный конечный порог для заданной ошибки

Из предыдущего внутреннего результата 8.3: для N>=1 и 0<epsilon<=1
положим

  M=ceil(4*pi*N/epsilon),
  r=ceil(4*N^2*log(M)/epsilon),
  D(N,epsilon)=(r+1)^N.

Для каждого A размера N существует B того же размера с

  max(B)<=D(N,epsilon),
  |K(A)-K(B)|<=epsilon.

Отсюда непосредственно следует точная двусторонняя оценка

  kappa_{N,D(N,epsilon)}-epsilon <= kappa_N
      <= kappa_{N,D(N,epsilon)}.                        (56.1)

Для правого неравенства достаточно включения конечной области во всю
область. Для левого сожмём произвольный набор A, приближающий инфимум:
kappa_{N,D}<=K(B)<=K(A)+epsilon, и перейдём к инфимуму по A.
Та же формула действует при любом большем D. После нормировки ошибка
равна epsilon/sqrt(N), а не epsilon и не 2epsilon/sqrt(N).

Краткое содержание доказанного механизма сжатия. Положим g=N-f_A>=0
и G=max g=N+K(A). Разбиение N-мерного тора на M^N клеток обеспечивает
меру не меньше M^(-N) у множества, на котором g>=G-epsilon/2.
Поэтому T=(integral g^r)^(1/r) удовлетворяет T<=G<=T+epsilon.
Момент зависит лишь от целочисленных отношений h dot A=0 с ||h||_1<=r.
Система линейных равенств и строгих знаков этих отношений имеет
рациональную вершину; правило Крамера и оценка определителя дают целый
положительный упорядоченный B с max(B)<=(r+1)^N, сохраняющий все эти
отношения. Тогда T_A=T_B и оба G лежат в одном интервале длины epsilon.
Это сохраняет разные частоты, амплитуды 1 и исходные нулевые фазы.

Полное прежнее доказательство проверено по восстановленному журналу:
  /workspace/scratch/b671bf289294/restored/Chowla_Research_Journal.txt
  раздел 8.3 «Proved effective approximation with controlled relation
  order». Результат используется как прежний внутренний, не объявляется
новым следствием самого определения c_{N,D}.

56.4. Направление верхних и нижних свидетельств

Для ОДНОГО набора A:

  значение f_A(x_0)<=-L в одной точке доказывает K(A)>=L;
  неравенство f_A(x)>=-U для ВСЕХ x доказывает K(A)<=U.

Поэтому отрицательная точка доказывает нижнюю границу глубины данного
набора; она не является верхним сертификатом малой экстремальной глубины.

Для конечного kappa_{N,D}:

  нижняя граница L требует K(A)>=L для КАЖДОГО набора в конечной области;
  верхняя граница U требует ОДНОГО набора в области с K(A)<=U.

Верхнее свидетельство одного набора автоматически даёт kappa_N<=U.
Нижняя граница только для области {1,...,D} сама по себе ещё не даёт
kappa_N>=L. Если D>=D(N,epsilon), формула (56.1) восстанавливает общий
вывод с ошибкой: из L<=kappa_{N,D}<=U получаем

  max(1/2,L-epsilon)/sqrt(N) <= c_N <= U/sqrt(N).        (56.2)

Для гарантированного приближения при фиксированном D не требуется
предполагать точность сеточного минимума. Например, ||f_A'||_infinity
<=sum a<=ND. Сетка окружности с расстоянием до ближайшего узла не больше
h даёт, при W_A=max_узлы(-f_A),

  W_A <= K(A) <= W_A+ND*h.

Сертифицированные интервалы значений косинуса расширяют этот интервал
на свою известную ошибку. Их можно получить, например, из ряда Тейлора
с явной оценкой остатка после приведения аргумента к ограниченному
интервалу. Минимум таких интервалов по конечному семейству даёт
сертифицированное приближение kappa_{N,D}. Здесь шаг h зависит от
конечного D; вместе с (56.1) получается конечная, хотя огромная,
процедура для любого фиксированного N и заданной точности.

Точный малый пример: kappa_{1,D}=1 при любом D>=1. При N=2,D=3
три кандидата имеют глубины

  {1,2}: 9/8,
  {1,3}: 2,
  {2,3}: (25+20 sqrt(10))/54 > 9/8.

Поэтому kappa_{2,2}=kappa_{2,3}=9/8. Само это совпадение двух конечных
значений не используется как доказательство глобального kappa_2.
Точные вычисления в этом примере воспроизведены в коде и ветви 54.

56.5. Что осталось бы сделать для всех N

При epsilon=1 явный порог D(N,1) имеет размер exp(O(N log N)). Если для
всех достаточно больших N доказать

  kappa_{N,D(N,1)} >= c sqrt(N)

с одним c>0, то (56.1) даёт kappa_N>=c sqrt(N)-1. При N>=(2/c)^2
это не меньше (c/2)sqrt(N). Оставшиеся конечные размеры покрываются
элементарной положительной оценкой. Таким образом, общая задача точно
сводится к равномерному утверждению на явно растущих конечных областях.

Проведение конечного числа таких переборов не доказывает утверждения для
всех N. Но и фраза «конечный перебор в принципе ничего не говорит обо
всех частотах» была бы неверна: (56.1) даёт именно общий контроль всех
частот при фиксированном N с заданной ошибкой. Нерешённым остаётся
равномерный по N нижний масштаб sqrt(N).

Проверка.
functions_51_56_checks.py проверяет точный конечный пример N=2,D=3,
различает направления сертификатов и проверяет формулы ошибки на
рациональных интервалах. Повторного массового перебора прежних наборов
не проводилось. Полное доказательство сжатия и аудит достижения взяты
из указанного восстановленного внутреннего журнала. Новых внешних
научных фактов для этой ветви не требуется.