ВЕТВЬ 54. ФУНКЦИЯ ВЕРХНЕЙ ЧАСТОТЫ И ИНВАРИАНТНОСТЬ МАСШТАБА
Дата составления: 18 октября 2026 г.

Постановка.
A subset Z_{>0} — конечное непустое множество различных частот,
N=|A|, f_A(x)=sum cos(ax), K(A)=-min_x f_A(x).
Все амплитуды равны единице, начальные фазы нулевые.

Статус: доказаны точная инвариантность и ограничения на интерпретацию
частотно зависимого коэффициента. Зависимость от приведённой верхней
частоты может быть полезной для нижних оценок, но сама по себе не
определяет K и не решает общую задачу. Новизна не заявляется.

54.1. Общее умножение частот ничего не меняет в K

Для любого положительного целого L имеем

  f_{LA}(x)=f_A(Lx),   LA={La:a in A}.

Отображение x -> Lx на окружности сюръективно. Следовательно, множества
значений двух функций совпадают и

  K(LA)=K(A),   |LA|=|A|.

Пусть g=gcd(A), A_0=A/g и D_0=max(A)/g. Тогда gcd(A_0)=1,
K(A_0)=K(A), а D_0 не меняется при общем умножении. Поэтому для внутренней
сложности частот полезнее приведённая верхняя частота D_0, чем max(A).

Точный пример: cos x+cos 2x=2y^2+y-1 при y=cos x. Его минимум на [-1,1]
равен -9/8 при y=-1/4. Поэтому

  K({1,2})=K({7,14})=9/8,

хотя необработанные верхние частоты равны соответственно 2 и 14. В обоих
случаях D_0=2. В физическом применении частотный масштаб может менять
временной интервал наблюдения, но K здесь определено по всему периоду;
для этой математической величины приведённая инвариантность точная.

54.2. Что это исключает, а что допускает

Предположим, предложена универсальная оценка

  K(A) >= sqrt(N) h(N,max(A)).

Её применение к примитивному множеству A_0 сразу даёт также

  K(A) >= sqrt(N) h(N,D_0).

Если h убывает по второму аргументу, последняя оценка не слабее. Это
легитимное улучшение нормировки, не требующее изменения амплитуд.

Уменьшение h при увеличении max(A) само по себе НЕ противоречит
инвариантности: истинная нижняя оценка может становиться всё менее точной
на общем кратном одного набора. Но такое уменьшение нельзя выдавать за
доказанное ухудшение самого отношения K(A)/sqrt(N). Для этого отношения
общие кратные дают в точности одинаковые значения.

Любая действительная универсальная h обязана, в частности, удовлетворять

  sup_{L>=1} h(N,L max(A)) <= K(A)/sqrt(N)

для каждого A. Поэтому функция h, неограниченно растущая вдоль всех
кратных фиксированной верхней частоты, не может быть универсальной
нижней оценкой. Например, даже при N=1 все множества {L} имеют K=1.

54.3. Приведённая верхняя частота не определяет значение K

У множеств A={1,3} и B={2,3} одинаковы N=2, gcd=1 и D_0=3. Но

  K(A)=2,
  K(B)=(25+20 sqrt(10))/54 < 2.

Первое равенство достигается при x=pi. Для второго положим y=cos x:

  f_B=4y^3+2y^2-3y-1,
  f_B'=12y^2+4y-3.

Критические точки равны (-1-sqrt(10))/6 и (-1+sqrt(10))/6 и обе лежат
внутри [-1,1]. Первая — локальный максимум, вторая — локальный минимум.
На концах получаются соответственно f_B(-1)=0 и f_B(1)=2, а в точке
y=(-1+sqrt(10))/6 значение равно -(25+20 sqrt(10))/54<0. Это глобальный
минимум. Строгое неравенство K(B)<2 следует, например, из sqrt(10)<4.

Таким образом, точная формула K(A)/sqrt(N)=h(N,D_0) для всех A невозможна
уже на этих двух наборах. Нижняя экстремальная функция, зависящая от
N,D_0, вполне допустима: она учитывает наихудший набор с такими
параметрами, а не утверждает равенство для каждого набора.

54.4. Достаточная цель и оставшийся разрыв

Можно искать доказуемую функцию h(N,D_0) с

  K(A)/sqrt(N) >= h(N,D_0).

Если inf_{N,D_0 admissible} h(N,D_0)>0, исходная задача решена. Если h
стремится к нулю при росте D_0, это оставляет вопрос открытым: нужны либо
более сильная нижняя оценка, либо реальные наборы, дающие соответствующее
стремление отношения сверху. Само название параметра не заменяет
доказательства ни того, ни другого.

Для конечного перебора ограничение gcd(A)=1 не теряет минимального
значения: каждый A subset {1,...,D} сводится к A_0 в той же конечной
области и с тем же K. Поэтому минимум среди всех наборов и минимум
среди примитивных наборов при фиксированных N,D совпадают.

Проверка.
functions_51_56_checks.py точно проверяет gcd-нормировку, полиномиальные
тождества и критическое значение для {2,3} в поле Q(sqrt(10)); расчёт
не использует округлённый минимум сетки. Общая инвариантность доказана
сюръективностью x -> Lx. Все используемые математические факты выведены
здесь, внешние научные ссылки для этой ветви не требуются.