ВЕТВЬ 53. ВЛОЖЕННАЯ РЕКУРСИЯ И ТОЧНЫЙ КРИТЕРИЙ НАКОПЛЕНИЯ ПОТЕРЬ Дата составления: 18 октября 2026 г. Исходная задача: для f_A(x)=sum_{a in A}cos(ax), где A состоит из N различных положительных целых частот, доказать K(A)=-min f_A>=c sqrt(N) с одной положительной c. Определим истинную функцию c_N=inf_{|A|=N}K(A)/sqrt(N). Статус: полностью доказан критерий для числовой рекурсии и условная теорема переноса на c_N. Нужное рекуррентное неравенство для всех наборов частот не установлено. Числовая модель не приравнивается к c_N без самостоятельного доказательства. 53.1. Проверяемая рекурсия Пусть b_0>0 и заранее задана последовательность потерь 0<=delta_n<1. Положим b_{n+1}=b_n(1-delta_n), b_n=b_0 product_{j=0}^{n-1}(1-delta_j). Тогда b_n убывает или остаётся постоянной и имеет предел b_infinity>=0. Следующие условия эквивалентны: b_infinity>0; sum_{n>=0} [-log(1-delta_n)] < infinity; sum_{n>=0} delta_n < infinity. Доказательство. Логарифм произведения равен сумме логарифмов. Поэтому положительность его предела равносильна конечности второй суммы. Для 0<=t<1 имеем t <= -log(1-t), а для 0<=t<=1/2 также -log(1-t)<=2t. Обе оценки следуют из интеграла -log(1-t)=integral_0^t du/(1-u). Конечность второй суммы влечёт конечность sum delta_n по первой оценке. Обратно, из sum delta_n0; начиная с некоторого номера работает верхняя оценка 2delta_n. Оставшееся конечное число членов конечно, так как каждый delta_n<1. Если допустить хотя бы один delta_n=1, произведение с этого момента равно нулю, даже если sum delta_n конечна. Условие delta_n<1 обязательно. 53.2. Два точных примера, различающиеся характером потерь Несуммируемые потери delta_n=1/(n+2) стремятся к нулю, но b_n/b_0 = product_{k=2}^{n+1} (k-1)/k = 1/(n+1) -> 0. Значит «каждая следующая потеря очень мала» недостаточно. Нужно учитывать всю сумму потерь, а не только их поточечный предел. Для суммируемых потерь delta_n=1/(n+2)^2, напротив, b_n/b_0 = product_{k=2}^{n+1} [(k-1)(k+1)/k^2] = (n+2)/[2(n+1)] -> 1/2. Потерь бесконечно много, но половина первоначального коэффициента сохраняется. Доказательство телескопическое и справедливо для каждого n, а не только для проверенных первых членов. 53.3. Что меняется при вложенных функциях Можно задать delta_n=F_n(G_n(H_n(...))) или рекурсивно вычислять delta_n из нескольких предыдущих числовых параметров. Если итоговые числа по-прежнему лежат в [0,1), решающим условием остаётся sum delta_n0, вместе с delta_n<1 для начального конечного участка достаточна. Сходимость мажоранты следует из сравнения её хвоста с интегралом t^(-1-eta), равным конечной величине t^(-eta)/eta на нижнем конце хвоста. 53.4. Условная теорема, которая действительно решила бы задачу Предположим, что независимо от неизвестных значений c_N удаётся доказать для всех N>=1: c_{N+1} >= (1-d_N)c_N, 0<=d_N<1, sum_{N>=1} d_N= product_{j=1}^{N-1}(1-d_j) >= product_{j=1}^{infinity}(1-d_j) > 0. Это реальная достаточная цель для метода последовательного расширения числа частот. Однако само неравенство о c_N уже должно охватывать ВСЕ наборы из N+1 частот. Проверка одной цепочки вложенных множеств A_1 subset A_2 subset ... его не устанавливает. Из общей устойчивости |kappa_{N+1}-kappa_N|<=1 следует лишь c_{N+1} >= sqrt(N/(N+1)) c_N - 1/sqrt(N+1), что не является указанной оценкой с заранее ограниченной суммой относительных потерь. Подстановка слабой общей оценки c_N>=1/(2 sqrt(N)) не делает относительные потери малыми. Таким образом, доступная аддитивная устойчивость не закрывает нужный рекуррентный мост. 53.5. Как избежать скрытого круга Можно формально положить d_N=max(0,1-c_{N+1}/c_N). Тогда рекуррентное неравенство выполнится по определению. Но значения d_N зависят от тех самых неизвестных экстремальных значений, которые требуется ограничить. Без независимого доказательства суммируемости такая запись не даёт нового результата. Более того, положительная общая нижняя грань произвольной колеблющейся последовательности c_N не обязана означать суммируемость именно этих относительных спадов: последовательность 1,1/2,1,1/2,... остаётся положительной, но каждый второй спад имеет потерю 1/2. Поэтому критерий произведения достаточен для такого способа переноса, а не необходим для любой формы доказательства положительной границы у c_N. Проверка. functions_51_56_checks.py использует точные Fraction для двух произведений и проверяет формулы для n=0,...,50; также проверяет конечные участки колеблющегося логического контрпримера. Доказательство бесконечного критерия приведено выше. Все результаты этой ветви самостоятельны; внешние научные факты и программные эвристики не требуются.