ВЕТВЬ 70. ВЛОЖЕННАЯ ФУНКЦИЯ ОТ ЧАСТОТНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И МАСШТАБА
18 октября 2026 года. Отдельный проверяемый научный результат.
Статус: построено бесконечное семейство, опровергающее конкретный
переход от гладкого распределения частот и короткого окна к общей оценке.
Общая гипотеза Чоулы не доказана и не опровергнута.

1. КАНДИДАТ
Пусть D — масштаб частот, mu_A=(1/N)sum_{a in A}delta_{a/D}.
Тогда
f_A(s/D)=N*integral cos(su) dmu_A(u).
Можно попытаться искать коэффициент как вложенную функцию
от mu_A, её предельного распределения и диапазона параметра s.
Само точное равенство верно, но замена дискретной меры её гладким пределом
может потерять необходимый отрицательный отклик.

2. ТОЧНАЯ ЦЕЛОЧИСЛЕННАЯ КОНСТРУКЦИЯ
Для каждого N>=1 положим D=2N и, для j=1,...,N,
a_j=2N-floor(sqrt(2N(2N-2j+1))).
Пусть A_N={a_1,...,a_N}.
Все частоты — различные положительные целые, a_1=1, max A_N<2N.

Доказательство допустимости. Положим
Q(v)=1-sqrt(1-v), v_j=(j-1/2)/N, u_j=Q(v_j).
Тогда a_j=ceil(D*u_j), поскольку D целое.
Q'(v)=1/[2sqrt(1-v)]>1/2 при v>0.
Поэтому D*(u_{j+1}-u_j)>1, и округления вверх остаются различными.
Кроме того
D*u_1=1/[1+sqrt(1-1/(2N))] находится между1/2 и1,
так что a_1=1. Наконец, 2N(2N-2N+1)=2N>=2,
поэтому a_N<=2N-1.

3. ГЛАДКИЙ ПРЕДЕЛ И НЕОТРИЦАТЕЛЬНАЯ КОСИНУСНАЯ ФУНКЦИЯ
Q — квантиль распределения на[0,1] с плотностью
w(u)=2(1-u).
Его косинусное преобразование равно
phi(s)=integral_0^1 2(1-u)cos(su)du
      =2(1-cos s)/s^2>=0, s!=0; phi(0)=1.
Гладкий предельный профиль вообще не имеет отрицательного провала.

4. РАВНОМЕРНАЯ ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ДЛЯ ВСЕХ s
Сначала заменим Q(v), v равномерно на[0,1], средними квантильными
точками u_j. Для любого 1-Lipschitz теста ошибка среднего не больше
integral_0^1 |Q(v)-Q(v_j(v))|dv.
В ячейке [(j-1)/N,j/N] левый и правый участки имеют длину1/(2N);
по монотонности Q их суммарный вклад не превосходит
[Q(j/N)-Q((j-1)/N)]/(2N).
Суммируя, получаем не более1/(2N).
Округление u_j вверх к a_j/D добавляет не более1/D=1/(2N).
Таким образом, транспортная ошибка средних не больше1/N.

Тест u -> cos(su) имеет Lipschitz-константу не больше |s|.
Поэтому для КАЖДОГО вещественного s:
|f_{A_N}(s/(2N))/N-phi(s)|<=|s|/N,
или
|f_{A_N}(s/(2N))-N phi(s)|<=|s|.
В частности
f_{A_N}(s/(2N))>=-|s|.

5. ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ РЕЗУЛЬТАТ ДЛЯ ОКОННОЙ ФУНКЦИИ
Определим доступную в окне глубину
K_window(A_N,T)=max(0,-min_{|s|<=T} f_{A_N}(s/(2N))).
Тогда для каждого N>=1 и T>=0:
K_window(A_N,T)<=T.
Следовательно, если T=T_N=o(sqrt(N)), то
K_window(A_N,T_N)/sqrt(N)->0.
Это верно даже при gcd(A_N)=1 и max A_N<2N.
Никакое доказательство по такому окну не может обеспечить универсальную
положительную корневую константу: именно его свидетель заведомо слишком слаб.

6. ЧТО ИМЕННО УСТАНОВЛЕНО
Полный минимум f_A берётся по всей окружности, а не по окну.
Здесь НЕТ оценки K(A_N)<=T. За пределами окна могут находиться
сколь угодно более глубокие отрицательные значения.
При выборе T порядкаsqrt(N) или больше доказанное препятствие само
по себе исчезает; успешность такого выбора тоже не доказана.
Также не утверждается, что никакая функция от точной дискретной меры
mu_A не может дать ответ: эта мера содержит весь набор A и всю исходную задачу.

Проверенный неправильный переход таков:
«предельный гладкий частотный профиль изучен, значит его отрицательный
отклик описывает все важные масштабы исходного дискретного сигнала».
Контрсемейство показывает, что нужен контроль растущих масштабов и
поправок к пределу. Это конкретизация более ранних идей о слабом пределе
и округлении положительных весов, а не объявление нового направления науки.

7. ТОЧНЫЕ ПРОВЕРКИ
Для вычисления a_j достаточно целочисленного isqrt:
a_j=2N-isqrt(2N*(2N-2j+1)).
Скрипт root_69_70_checks.py сохраняет наборы при десяти значенияхN,
проверяет различность, положительность, gcd1, диапазон и точные неравенства
k^2<=2N(2N-2j+1)<(k+1)^2.
Эти проверки защищают реализацию конструкции. Общее доказательство
не опирается на конечную сетку значений s или на вычисленные графики.
Научная новизна и внешнее рецензирование не заявляются.