ВЕТВЬ 69. МАКСИМУМ НЕСКОЛЬКИХ ФУНКЦИЙ-КАНДИДАТОВ
18 октября 2026 года. Отдельный проверяемый научный результат.
Статус: общая схема корректна; конкретная предложенная достаточная гипотеза
опровергнута бесконечным семейством. Никакого опровержения Чоулы нет.

ПОСТАНОВКА
f_A(x)=sum_{a in A}cos(ax), N=|A|, K(A)=-min f_A.
Все интегралы ниже нормированы мерой dx/(2pi).
Идея: отдельные функциональные коэффициенты могут ослабевать в разных
ситуациях. Тогда брать их максимум — возможно, они восполнят пробелы друг друга.

ОБЩАЯ ЛЕММА
Если K(A)>=B_j(A) для каждого j из некоторого непустого семейства,
то K(A)>=sup_j B_j(A). Для конечного семейства это максимум.
Отсюда гипотезу Чоулы доказало бы
inf_A max_j B_j(A)/sqrt(|A|)>0.
Однако положительность каждой B_j(A) по отдельности такого вывода не даёт.
Нужно именно равномерное отсутствие совместного вырождения.

ПРОВЕРЕННЫЙ КОНКРЕТНЫЙ КАНДИДАТ
Берём следующие оценки, подробно доказанные в ветвях57–61:
B0=1/2;
B1=||f||_1/2;
B3=(sqrt(M3^2+4M2^3)-M3)/(2M2), где Mj=integral f^j, M2=N/2;
B4=N^(3/2)/(4sqrt(2)*sqrt(M4));
Bres=sup_{q>=2} max(0,(N-q*#{a in A:q divides a})/(q-1));
Bgraph=-(1/2)lambda_min(G_A),
где G_A — обычная матрица смежности на вершинах {0} union A,
а ребро соединяет различные u,v тогда и только тогда, когда |u-v| in A.
Положим Benv=max(B0,B1,B3,B4,Bres,Bgraph).
Это одна конкретная вложенная функция, построенная из шести нижних оценок.

ТЕОРЕМА: ДЛЯ ЭТОЙ ОБОЛОЧКИ ОБЩАЯ КОРНЕВАЯ ГРАНИЦА ЛОЖНА
Для A_N={1,...,N}
Benv(A_N)<=max(1,1/2+(1/4)log(2N+1))=O(log(N+1)),
но
K(A_N)>=1/2+(2N+1)/(3pi).
Следовательно, Benv(A_N)/sqrt(N)->0, тогда как
K(A_N)/sqrt(N)->infinity.
Именно функция Benv упускает сильный отрицательный отклик.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПО КОМПОНЕНТАМ
1. Ядро Дирихле D_N=1+2f_N удовлетворяет
|D_N(x)|<=min(2N+1,pi/|x|), 0<|x|<=pi.
Интегрирование даёт ||D_N||_1<=1+log(2N+1) и
B1<=1/2+(1/4)log(2N+1).

2. Точные моменты:
M2=N/2,
M3=3N(N-1)/8,
M4=N(8N^2-6N+7)/24.
Поэтому
B3=[sqrt(9N^2+14N+9)-3N+3]/8<=1.
Последняя оценка следует из
9N^2+14N+9 <= (3N+5)^2.
Более точно B3->2/3.

3. B4^2=3N^2/[4(8N^2-6N+7)]<=1/4,
так как 5N^2-6N+7>0. Поэтому B4<=1/2.
Более точно B4->sqrt(6)/8.

4. Для ЛЮБОГО целого q>=2:
N-q floor(N/q)=N mod q, так что
(N-q floor(N/q))/(q-1)<=1.
При q=N+1 получается ровно1, следовательно Bres=1.
Здесь рассмотрены все q, а не ограниченная сетка модулей.

5. Граф G_A для A_N — полный граф на N+1 вершинах.
Его собственные числа N и -1 (кратностьN), поэтому Bgraph=1/2.
Также B0=1/2.

6. В точке x=3pi/(2N+1) числитель D_N равен -1:
f_N(x)=-(1+1/sin(3pi/(4N+2)))/2.
Используя sin y<=y, получаем заявленную линейную нижнюю оценку K.
Все шесть оценок и их максимум тем самым проверены для бесконечного семейства.

ЧТО НЕ ОПРОВЕРГНУТО
Другие объединения функциональных оценок этим не исключены.
В частности, уровень d=3 моментной иерархии из62 существенно сильнее
B3 и B4 на этом самом семействе. Для
p_N(t)=t(1-t/N)(1-2t/N)
там получается
-E[f_N p_N(f_N)^2]/E[p_N(f_N)^2]
>(14/129)*N для всех N>=1, а отношение к N стремится к14/129.
Точная рациональная формула и положительный полиномиальный остаток
записаны в62. На интервалах прямой свидетель из пункта6 ещё сильнее;
здесь существенно различие между уровнями одного семейства сертификатов.
Это НЕ означает, что максимум с этой новой компонентой уже удовлетворяет
общей корневой границе для всех A; такой вывод здесь не доказан.
Перспективный открытый вопрос: подобрать проверяемый набор функций,
для которого совместное вырождение действительно невозможно.

ПРОВЕРКА И ПРОИСХОЖДЕНИЕ
Формулы моментов проверены независимым точным подсчётом нулевой
частоты в степенях sum_{a=1}^N(z^a+z^{-a}), с делением на2^k.
Скрипт root_69_70_checks.py проверяет конечные случаи; общую теорему
обеспечивает данное доказательство.
Ветвь развивает прежние низкомоментные и графовые методы; не заявляется,
что каждый компонент является новым математическим открытием.