ВЕТВЬ 68. КОЭФФИЦИЕНТ КАК ФУНКЦИЯ РЕЗОНАНСОВ И ГОРИЗОНТА ВРЕМЕНИ
Дата: 18 октября 2026 года. Публичная математическая запись.

СТАТУС И ГРАНИЦЫ МОДЕЛИ

Это функциональное переосмысление иррациональной расстройки из прежнего
подхода 9, а не новый независимый механизм. Точно доказаны разрыв
бесконечного минимума по частотам и непрерывность на конечном времени.
Эти результаты объясняют, почему малая расстройка не переносит доказательство
на исходную целочисленную задачу. Общего решения и заявления приоритета нет.

Временно рассмотрим вещественные положительные различные частоты
omega=(omega_1,...,omega_N) и функции

f_omega(t)=sum_i cos(omega_i t),
K_R(omega)=-inf_{t in R} f_omega(t),
K_T(omega)=-min_{0<=t<=T} f_omega(t), T>=0.

Их нормирование на sqrt(N) даёт соответствующие функции коэффициента c.
Исходная гипотеза по-прежнему относится только к целым частотам.

68.1. ВЕЩЕСТВЕННАЯ НЕЗАВИСИМАЯ МОДЕЛЬ

Если k dot omega !=0 для любого ненулевого k in Z^N, то

K_R(omega)=N.                                             (68.1)

Полное основание плотности нужной орбиты. Для любого ненулевого k

(1/T)integral_0^T exp(i(k dot omega)t)dt ->0,

а для k=0 среднее равно1. Следовательно, временные средние любого
тригонометрического полинома на N-мерном торе сходятся к его Haar-среднему.
То же верно для непрерывной функции: её можно равномерно приблизить
тригонометрическими полиномами свёрткой с произведением ядер Фейера.
Для полноты, одномерное ядро

F_M(u)=(1/M)|sum_{j=0}^{M-1}exp(iju)|^2

неотрицательно, имеет нормированный интеграл1, а вне |u|<delta
ограничено 1/[M sin^2(delta/2)]. Поэтому свёртка стремится равномерно
к непрерывной функции по её равномерной непрерывности. Произведение
ядер даёт тот же вывод в конечномерном торе.

Теперь возьмём неотрицательную непрерывную функцию положительного
интеграла, поддержанную в произвольно малой окрестности точки
(pi,...,pi). Положительный предел её временных средних заставляет
орбиту (omega_1t,...,omega_Nt) по модулю2pi входить в эту окрестность.
Все косинусы тогда сколь угодно близки к -1. С другой стороны,
каждый косинус не меньше -1. Это доказывает (68.1).

68.2. ДВЕ ЧАСТОТЫ: ТОЧНЫЙ РАЗРЫВ

Для целого набора A={1,2}, при y=cos t имеем

cos t+cos 2t=2y^2+y-1=2(y+1/4)^2-9/8.

Точка y=-1/4 достижима, поэтому K_R(1,2)=9/8.
Если epsilon иррационально и достаточно мало, пара (1,2+epsilon)
рационально независима. По (68.1) K_R(1,2+epsilon)=2.

Для этого двухчастотного случая есть и элементарное доказательство.
Положим alpha=2+epsilon и t=(2k+1)pi. Первый косинус равен -1,
а второй можно сделать сколь угодно близким к -1, поскольку
{k alpha mod1: k in Z} плотно на окружности.
Плотность следует из принципа Дирихле: среди M+1 дробных частей
0,alpha,...,M alpha две находятся в одном из M равных интервалов.
После вычитания и возможной смены знака получается ненулевое
theta={n alpha} в (0,1/M). Последовательность j theta, пока она
не превысила1, приближает каждую точку [0,1] с ошибкой<theta;
эти точки принадлежат исходной двусторонней орбите. M произвольно.
Даже если найденное t отрицательно, чётность косинусной суммы даёт
равное значение при |t|.

При иррациональной alpha точное значение -2 не достигается: равенство
обоих косинусов -1 требовало бы alpha=(2l+1)/(2k+1), рациональное число.
Следовательно, следует писать inf, а не обязательно min.

Итак, при иррациональных epsilon->0 значение K_R остаётся2, тогда
как в пределе частот оно равно9/8. Бесконечный функционал разрывен.

68.3. КОНЕЧНОЕ ВРЕМЯ: НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ЦЕНА ОЖИДАНИЯ

Из |cos u-cos v|<=|u-v| следует для любых omega,nu:

|K_T(omega)-K_T(nu)|<=T sum_i |omega_i-nu_i|.              (68.2)

То есть при фиксированном T минимум Lipschitz-непрерывен по частотам.
Для пары выше, если K_T(1,2+epsilon)>=2-delta с 0<delta<7/8, то

2-delta<=K_T(1,2)+T|epsilon|<=9/8+T|epsilon|,
T>=[7/8-delta]/|epsilon|.                                (68.3)

Глубокий дополнительный провал не появляется на одном фиксированном
временном окне при сколь угодно малой расстройке. Время ожидания должно
расти. Поэтому предельные переходы epsilon->0 и T->infinity нельзя
менять местами в этом аргументе.

68.4. ЯВНЫЙ КОНЕЧНЫЙ СВИДЕТЕЛЬ ПРИ МАЛОЙ РАССТРОЙКЕ

Пусть 0<|epsilon|<=1. Выберем положительное нечётное целое M,
ближайшее к1/|epsilon|; тогда |M-1/|epsilon||<=1.
В момент t=M pi первый косинус равен -1, а
epsilon M находится на расстоянии не больше |epsilon| от +1 или -1.
Используя cos u>=1-u^2/2, получаем

f_{(1,2+epsilon)}(M pi)<=-2+(pi^2 epsilon^2)/2.             (68.4)

Здесь t порядка1/|epsilon|. Оценка действительна и для рациональных
малых epsilon; для точного бесконечного равенства2 в (68.1) используется
рациональная независимость. Эта оговорка сохраняет различие моделей.

68.5. ТОЧНЫЕ КОНЕЧНЫЕ ПРОВЕРКИ

Код functions_63_68_checks.py проверяет квадратное тождество для A={1,2}
и строит свидетели для epsilon=sqrt(2)/10^j, j=1,...,4.
Рациональные нижняя и верхняя границы sqrt(2) подтверждаются возведением
в квадрат. Нечётные M и ошибки |epsilon M-1| ограничиваются рационально.
С pi<4 получается строгий сертификат

K_R(1,2+epsilon)>=2-8|epsilon M-1|^2.

Скрипт не выдаёт эти конечные приближения за доказательство точного
равенства2: общее доказательство плотности дано отдельно в68.1–68.2.

ПЕРВИЧНЫЙ ИСТОЧНИК МОДЕЛИ

Hermann Weyl, Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins,
Mathematische Annalen 77 (1916), 313–352.
Оригинальная публикация и доступный скан:
https://doi.org/10.1007/BF01475864
https://zenodo.org/records/2425535
Источник указывает историческую модель равномерного распределения.
Используемое здесь непрерывное утверждение об орбите и его нужное
двухчастотное следствие доказаны непосредственно выше.