ВЕТВЬ 67. КОЭФФИЦИЕНТ КАК ФУНКЦИЯ ЗНАМЕНАТЕЛЯ СЕРТИФИКАТА Дата: 18 октября 2026 года. Публичная математическая запись. СТАТУС Это функциональная запись прежней арифметической оценки из подхода 26 и её последующих продолжений. Более сильная исторически верная формула содержит q^2, а не q^4 после сокращения. Она не является новым улучшением. Общий ограниченный знаменатель не доказан. Общего решения нет. ПОСТАНОВКА И ВЫБОР m A — N различных положительных целых чисел, f=sum cos(ax), K=-min f. Для целого m>K положим H_m(z)=2m+sum_{a in A}(z^a+z^(-a)), |z|=1. Допустимым знаменателем q>=1 называется целое, для которого q^2 H_m=sum_j |R_j(z)|^2, где R_j — конечные Laurent-полиномы с Gaussian-целыми коэффициентами. То есть R_j/q имеют общий знаменатель q в числовых коэффициентах. Степени и число факторов заранее не ограничены. В этой ветви для сравнения всех A используем m=floor(K)+2. 67.1. ПОЛНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО НЕРАВЕНСТВА Пусть e_j=sum_k |r_jk|^2, l_j=sum_k |r_jk|. Ненулевой Gaussian-целый коэффициент имеет модуль>=1, поэтому l_j<=e_j. Постоянный коэффициент тождества даёт общую энергию E=sum_j e_j=2m q^2. Сумма модулей положительных Fourier-коэффициентов отдельного |R_j|^2 не превосходит sum_{k>l}|r_jk||r_jl|=(l_j^2-e_j)/2. Неравенство треугольника при сложении факторов и sum e_j^2<=E^2 дают N q^2 <= (1/2)sum_j(l_j^2-e_j) <= (E^2-E)/2. После подстановки E=2m q^2 и сокращения на q^2: N <= 2m^2 q^2-m. (67.1) Существенно, что целевые коэффициенты слева равны q^2, а не 1. Игнорирование этого множителя привело бы к ненужному ослаблению. 67.2. ЯВНЫЕ ФУНКЦИИ КОЭФФИЦИЕНТА Решая квадратное неравенство (67.1) относительно m и используя K>=m-2: K >= [1+sqrt(1+8N q^2)]/(4q^2)-2. (67.2) Это нижняя оценка для любого предъявленного допустимого q при выбранном m. Если правая часть отрицательна, она не даёт содержательного усиления. Полезно также иметь простую оценку K>=1. Пусть D=max A и x_j=(2j+1)pi/D, 0<=j=sqrt(N)/(3sqrt(2)q). (67.3) Например, проверяемый коэффициент можно записать как c_cert(N,q)=max(1/sqrt(N), 1/(3sqrt(2)q), {[1+sqrt(1+8Nq^2)]/(4q^2)-2}/sqrt(N)). Для допустимого q выполнено K>=c_cert(N,q)sqrt(N). Если удалось бы для всех A обеспечить q(A)<=q0 с одним абсолютным q0, то (67.3) решила бы исходную задачу с c=1/(3sqrt(2)q0). Это достаточное условие; его необходимость здесь не утверждается. 67.3. ЧТО УЖЕ ЕСТЬ И ЧЕГО НЕ ХВАТАЕТ Прежние конструкции 32, 47 и 50 обеспечивают для m=floor(K)+2 знаменатели, ограниченные только N, без зависимости от max A. В частности, реконструкция 47 вместе с округлением 50 даёт следующий явный вариант. Положим C=4N+4, n=ceil(sqrt(C)), d=ceil(N/2), R=ceil(4(n+1)(d+1)log(8(n+1)(d+1))), Q_N=16n(2R+1)^(N+d). Тогда каждый целый q>=Q_N допустим. Доказательство с контурной оценкой Чебышёва, округлением коэффициентов и точным диагональным SOS записано в recovered/philosophy_47_49_reconstructed.txt, раздел 47. Его существенный запас: min H_m>2 позволяет оставить положительный диагональный остаток после рационального округления. Получаем log Q_N=O(N log(N+1)). Это достаточная верхняя граница для выбираемого сертификата, а не нижняя граница на минимальный знаменатель. Из неё нельзя заключить, что q_min(A) обязан расти. Но непосредственная подстановка имеющегося Q_N в (67.3) даёт коэффициент 1/(3sqrt(2)Q_N), стремящийся к нулю, и не решает общий вопрос. Назвать c функцией q или N математически допустимо. Чтобы вернуть исходную гипотезу, всё равно нужен положительный абсолютный нижний предел полученной функции. В этой ветви он не установлен. 67.4. ПРОВЕРКА ТОГО, ЧТО ВЫБОР m ИМЕЕТ ЗНАЧЕНИЕ Возьмём A={1,2,3,5,6,7,8}, N=7. Для m=2 и q=1 неравенство (67.1) потребовало бы 7<=6, что невозможно при любом числе факторов и любых степенях. Однако H_2 строго положителен: точные сертификаты q=81 и q=128 из реконструкции 49 имеют положительные диагональные остатки. Поэтому K<2; вместе с K>=1 это даёт floor(K)+2=3. Для именно этого канонического m=3 имеется очень короткий integer SOS: H_3=|1+z+z^3+z^8|^2+|1+z^6|^2. (67.4) Первый фактор имеет шесть положительных разностей 1,2,3,5,7,8, каждую ровно один раз; второй добавляет разность 6. Постоянный коэффициент равен 4+2=6. Поэтому (67.4) проверяется целочисленной автокорреляцией и q_min(A,m=3)=1. Это не разрешает задачу для всех A, но исключает ошибочный перенос препятствия при m=2 на отдельно сформулированное условие при m=floor(K)+2. Сертификаты q=81 и 128 не объявлялись минимальными. 67.5. ТОЧНЫЙ КОНТРОЛЬ И ПРОИСХОЖДЕНИЕ Код functions_63_68_checks.py проверяет все Fourier-коэффициенты (67.4), а также заново пересчитывает два остатка q=81,128 из сохранённой реконструкции. Это новое выполнение арифметического контроля после сбоя файловой среды; восстановление прежних исходных байтов не заявлено. Исторический полный журнал 1–40: /workspace/scratch/b671bf289294/restored/Chowla_Research_Journal.txt Компактная реконструкция 47–49: /workspace/scratch/b671bf289294/chowla_research/recovered/philosophy_47_49_reconstructed.txt Приведённое энергетическое доказательство не требует внешней специальной теоремы. Все выводы относятся к единичным амплитудам, нулевым фазам и различным положительным целым частотам.