ВЕТВЬ 66. КОЭФФИЦИЕНТ КАК ФУНКЦИЯ ЭНТРОПИЙНОГО БЮДЖЕТА Дата: 18 октября 2026 года. Публичная математическая запись. СТАТУС Доказана точная вариационная формула. Для последовательных частот при любом фиксированном бюджете h>0 доказан порядок N/log N. Для всех наборов A доказана верхняя оценка того же порядка при фиксированном h. Нужная для общего решения равномерная нижняя оценка не доказана. Научный приоритет этого результата не устанавливался. ПОСТАНОВКА A — N различных положительных целых частот, f_A=sum cos(ax), X=-f_A, K=max X. E — нормированный интеграл dx/(2pi); E X=0, E X^2=N/2, X<=N. Для плотности rho>=0, E rho=1, обозначим D(rho)=E rho log rho, полагая 0 log 0=0. Для h>=0 определим b_A(h)=sup{E rho X: E rho=1, rho>=0, D(rho)<=h}, c_A(h)=b_A(h)/sqrt(N). Смысл: мы можем перераспределить вес моментов времени, но платим за отклонение от равномерного распределения относительной энтропией. 66.1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА Из выпуклости u log u следует D>=0, с равенством только при rho=1 почти всюду. Поэтому b_A(0)=0. Функция b_A не убывает и не превосходит K. Она вогнута: смесь допустимых плотностей для бюджетов h1,h2 допустима при смешанном бюджете, а целевой функционал линеен. При h->infinity имеем b_A(h)->K. Для epsilon>0 достаточно взять rho=1_E/mu(E), где E={X>=K-epsilon}: его энтропия log(1/mu(E)) конечна, а целевой функционал не меньше K-epsilon. 66.2. ТОЧНАЯ ДВОЙСТВЕННОСТЬ С ФУНКЦИЕЙ ИЗ 63 Пусть g(beta)=log E exp(beta X), rho_beta=exp(beta X-g(beta)). Для любой допустимой rho и beta>0: D(rho || rho_beta)=D(rho)-beta E rho X+g(beta)>=0. Поэтому b_A(h)<=inf_{beta>0}[h+g(beta)]/beta. Для наших непостоянных тригонометрических полиномов при h>0 на самом деле b_A(h)=inf_{beta>0}[h+g(beta)]/beta=g'(beta_h), (66.1) beta_h g'(beta_h)-g(beta_h)=h, причём beta_h существует и единственен. Полное обоснование последнего утверждения. Функция D_beta=D(rho_beta)=beta g'-g имеет производную beta Var_{rho_beta}(X)>0 и стремится к нулю при beta->0. Проверим, что D_beta->infinity. Максимум X достигается в конечном числе точек: иначе аналитическая тригонометрическая функция X-K имела бы бесконечно много нулей с предельной точкой и была бы тождественным нулём. Следовательно, p_epsilon=mu{X>=K-epsilon}->0 при epsilon->0. Для фиксированного epsilon Gibbs-масса вне этого множества не больше p_{epsilon/2}^(-1) exp(-beta epsilon/2), то есть стремится к нулю. Если его Gibbs-масса равна a, Jensen по множеству и дополнению даёт D_beta>=a log(a/p_epsilon)+(1-a)log((1-a)/(1-p_epsilon)) >=a log(1/p_epsilon)-log 2. Сначала beta->infinity, затем p_epsilon->0; получаем D_beta->infinity. По непрерывности и строгой монотонности существует единственный beta_h. Плотность rho_{beta_h} имеет ровно разрешённую энтропию h и достигает верхней оценки, поскольку D(rho_{beta_h} || rho_{beta_h})=0. Это доказывает (66.1), включая достижение и отсутствие двойственного разрыва. При фиксированном A и h->0 дополнительно получается b_A(h)=sqrt(N h)+O_A(h), поскольку g=N beta^2/4+O_A(beta^3) и D_beta=N beta^2/4+O_A(beta^3). Эта локальная асимптотика не объявляется равномерной по N и A. 66.3. КОНСТРУКТИВНАЯ ЛЕММА ДЛЯ РЕДКОГО ПРОВАЛА Пусть E имеет меру p в (0,1), а X>=d>0 на E. Положим lambda=min(1,h/log(1/p)), rho=(1-lambda)+lambda 1_E/p. Выпуклость энтропии даёт D(rho)<=lambda D(1_E/p)=lambda log(1/p)<=h. Поскольку E X=0, имеем E rho X=lambda E(X | E)>=lambda d. Значит b_A(h)>=d min(1,h/log(1/p)). (66.2) Даже фиксированный бюджет допускает небольшой дополнительный вес на очень узкой глубокой впадине. Это отличается от требования, чтобы впадина сама занимала заранее фиксированную долю времени. 66.4. ЯВНЫЙ НЕПРЕРЫВНЫЙ ПРИМЕР: ВСЕ N>=2 Пусть A_N={1,...,N}, L=2N+1 и E_N=[8pi/(3L),10pi/(3L)] union [-10pi/(3L),-8pi/(3L)]. Угловые коэффициенты рациональны; конечный порог N>=2 обеспечивает, что обе дуги лежат в [-pi,pi] и не пересекаются. Их нормированная мера p_N=2/(3L). Из f=(sin(Lx/2)/sin(x/2)-1)/2, sin(Lx/2)<=-1/2 на положительной дуге и sin(x/2)<=5pi/(3L) следует X>=3L/(20pi) на всём E_N. На отрицательной дуге действует чётность. Подставляя в (66.2), получаем точную нижнюю оценку b_{A_N}(h)>=[3(2N+1)/(20pi)] min(1,h/log(3(2N+1)/2)). (66.3) При фиксированном h>0 она имеет порядок не меньше N/log N. Никакое обнаружение точки на конечной сетке в доказательстве не использовано. 66.5. ОБЩАЯ ВЕРХНЯЯ ОЦЕНКА: ВСЕ A, N>=2 Для вещественного u положим j(u)=(exp(u)-1-u)/u^2=integral_0^1(1-t)exp(tu)dt, с непрерывным значением 1/2 при u=0. Подынтегральное выражение показывает, что j возрастает по u. Так как X<=N, для beta>0 получаем точечную оценку exp(beta X)<=1+beta X+[(exp(beta N)-1-beta N)/N^2]X^2. Усредняем и используем E X=0, E X^2=N/2: g(beta)<=log(1+[exp(beta N)-1-beta N]/(2N)) <=[exp(beta N)-1-beta N]/(2N). (66.4) При beta=log(N)/N правая часть равна (N-1-log N)/(2N)<1/2. Из (66.1) следует b_A(h)<=(h+1/2) N/log N, N>=2. (66.5) Следовательно, для последовательных частот и каждого фиксированного h>0: b_{A_N}(h)=Theta_h(N/log N), c_{A_N}(h)=Theta_h(sqrt(N)/log N)->infinity. (66.6) Верхняя оценка (66.5) относится ко всем A; нижняя (66.3) — только к явно указанному интервальному семейству. Эти области нельзя смешивать. 66.6. КАКОЙ ШАГ ОСТАЛСЯ ОТКРЫТ Достаточно было бы установить b_A(h0)>=c sqrt(N) при одних абсолютных h0,c>0 для всех A. Полученные формулы этого пока не дают. Двухуровневая случайная величина из 63 имеет те же первые два момента, но отрицательная глубина у неё равна 1; следовательно, её b(h)<=1 при любом бюджете. Это показывает необходимость дополнительной структуры косинусных сумм, не являясь контрпримером в исходной постановке. 66.7. КОНЕЧНЫЙ ТОЧНЫЙ КОНТРОЛЬ Код functions_63_68_checks.py для нескольких N строит рациональное lambda=1/J с целым J, удовлетворяющим exp(J)>=3(2N+1)/2. Последнее проверяется нижней рациональной суммой ряда exp, а не округлённым логарифмом. Тогда D(rho)<=1 доказано, и с pi<4 получаем строго рациональный сертификат b_{A_N}(1)>3(2N+1)/(80J). Скрипт сохраняет также число членов экспоненциального сертификата. Эти примеры проверяют конструкцию; общий порядок (66.6) доказан выше. ИСТОЧНИК МОДЕЛИ И АТРИБУЦИЯ S. M. Perlaza, G. Bisson, Variations on the Expectation Due to Changes in the Probability Measure, Entropy 27(8), 865 (2025), Definition 2, Lemma 2: первичная статья о Gibbs-плотностях и вариационном принципе. https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC12385246/ https://doi.org/10.3390/e27080865 Здесь формула двойственности с заданным бюджетом и все оценки для A доказаны непосредственно. Статья не цитируется как доказательство наших выводов о косинусных суммах.