ВЕТВЬ 65. КОЭФФИЦИЕНТ КАК ФУНКЦИЯ ВЕРОЯТНОСТИ НАБЛЮДЕНИЯ ПРОВАЛА
Дата: 18 октября 2026 года. Публичная математическая запись.

СТАТУС

Функция квантиля определена и проверена. Фиксированная положительная
вероятность наблюдения не может обеспечить провал порядка sqrt(N)
для всех наборов частот. Это строго доказано на последовательных частотах.
Зависимость вероятности от A или N сохраняет открытый общий шаг.
Общего решения и утверждения научного приоритета нет.

A — N различных положительных целых чисел;
f_A=sum cos(ax), Y=f_{A,-}=max(-f_A,0), K=max Y.
Мера mu нормирована: dx/(2pi).

65.1. ФУНКЦИЯ

Для 0<p<1 положим

q_A(p)=sup{t>=0: mu(Y>=t)>=p},
C_A(p)=q_A(p)/sqrt(N).

Использование Y обеспечивает непустоту множества: t=0 всегда допустимо.
При t>0 событие Y>=t совпадает с f_A<=-t. При p, превышающем долю
отрицательной полуволны, q_A(p)=0.

Функция q_A невозрастает по p, лежит между 0 и K, и
lim_{p->0+}q_A(p)=K. Последнее следует из положительной меры любого
открытого множества {Y>K-epsilon}. Таким образом, C_A(p) всегда является
проверяемой нижней оценкой K/sqrt(N), но очень малое p может скрывать
всю исходную трудность поиска глубокого минимума.

65.2. РАВНОМЕРНОЕ ПРЕПЯТСТВИЕ НА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ЧАСТОТАХ

Для A_N={1,...,N}, L=2N+1:

f_A(x)=(sin(Lx/2)/sin(x/2)-1)/2.

Поэтому на [-pi,pi], кроме несущественной точки 0,

|f_A(x)| <= 1/2+1/[2|sin(x/2)|] <= 1/2+pi/(2|x|).

Если t>1/2 и f_A(x)<=-t, необходимо |x|<=pi/(2t-1).
Отсюда для всех N:

mu(f_A<=-t) <= min(1,1/(2t-1)).                 (65.1)

Если t>(1+1/p)/2, правая часть строго меньше p, и такой t не входит
в определение квантиля. Следовательно,

q_{A_N}(p) <= (1+1/p)/2,                        (65.2)
C_{A_N}(p) <= (1+1/p)/(2sqrt(N)).

Для любого заранее фиксированного p>0 коэффициент стремится к нулю.
Это точный контрпример к требованию фиксированной доли времени с
провалом порядка sqrt(N), но не к существованию самого такого провала.

65.3. КАК БЫСТРО ДОЛЖНА УМЕНЬШАТЬСЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

Если для этих же интервалов требуется mu(f_A<=-c sqrt(N))>=p_N,
то при 2c sqrt(N)>1 из (65.1) необходимо

p_N <= 1/[2c sqrt(N)-1]=O_c(N^(-1/2)).

Это только необходимое условие. Оно не утверждает достаточность
p_N порядка 1/sqrt(N) для произвольных A.

В противоположную сторону можно предъявить явный глубокий провал.
При N>=2 на двух дугах

E_N= [8pi/(3L),10pi/(3L)] union [-10pi/(3L),-8pi/(3L)]

имеем mu(E_N)=2/(3L) и f_A<=-3L/(20pi). Доказательство: на положительной
дуге sin(Lx/2)<=-1/2 и sin(x/2)<=5pi/(3L), отрицательная получается
чётностью f_A. Поэтому

q_{A_N}(2/(3L)) >= 3L/(20pi).

Узкая доля времени порядка 1/N способна нести провал порядка N.
Именно поэтому фиксированная вероятность и точечный минимум дают
существенно разные задачи даже в очень простом семействе частот.

65.4. ОСТАЮЩИЙСЯ ВОПРОС

Достаточно было бы предъявить правило p=p(A) и абсолютное c>0, для которых
q_A(p(A))>=c sqrt(N), с доказательством для всех A. Без количественного
контроля правило p->0 лишь переписывает исходное определение K.
Ни универсальная подходящая вероятность, ни такое общее правило здесь
не доказаны. Провал фиксированного p записывается как отрицательный
результат именно для этой схемы.

65.5. КОНЕЧНАЯ ПРОВЕРКА

Для A={1} прямое измерение дуги даёт

mu(cos x<=-t)=arccos(t)/pi, 0<t<1;
q_{\{1\}}(p)=max(cos(pi p),0).

Примеры: q(1/3)=1/2, q(1/4)^2=1/2, q(1/6)^2=3/4,
q(1/2)=0, а для p>1/2 квантиль равен нулю.
Код functions_63_68_checks.py проверяет соответствующие точные
алгебраические тождества двойного/тройного угла и рациональные верхние
границы (65.2) для нескольких N. Конечная таблица не используется
вместо доказательства равномерной оценки (65.1).

ИСТОЧНИКИ

Специальные внешние теоремы не использованы: формула геометрической
прогрессии и оценки синуса приведены явно. Связь с предыдущими
исследованиями меры отрицательного множества является продолжением
того же проекта, а не заявлением независимого нового открытия.