ВЕТВЬ 64. КОЭФФИЦИЕНТ КАК ФУНКЦИЯ ПОРЯДКА ОТРИЦАТЕЛЬНОГО МОМЕНТА Дата: 18 октября 2026 года. Публичная математическая запись. СТАТУС И ПОСТАНОВКА Доказаны монотонность, предельное восстановление минимума и точные порядки роста для последовательных частот. Фиксированный p<2 не может обеспечить абсолютный коэффициент для всех A. Случай p=2 для всех A здесь открыт. Общее решение и научный приоритет не заявляются. A — N различных положительных целых частот; f_A(x)=sum cos(ax), f_-(x)=max(-f_A(x),0), K=max f_-. E — нормированный интеграл dx/(2pi). Для 00 множество {f_->K-epsilon} имеет положительную меру. Его вклад показывает, что lim_{p->infinity} c_A(p)=K/sqrt(N). Таким образом, увеличение p усиливает оценку, но предельный переход сам по себе не доказывает положительный минимум по всем A и N. 64.2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ЧАСТОТЫ: ДВЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ОЦЕНКИ Пусть A_N={1,...,N}, L=2N+1. Геометрическая прогрессия даёт D_N(x)=1+2f_A(x)=sin(Lx/2)/sin(x/2). На [-pi,pi] имеем |D_N(x)|<=min(L,pi/|x|), поскольку sin(|x|/2)>=|x|/pi. Для N>=2 рассмотрим дугу I_N=[8pi/(3L),10pi/(3L)] и её отражение -I_N. На этой дуге y=Lx/2 лежит в [4pi/3,5pi/3], где sin y<=-1/2; при этом sin(x/2)<=5pi/(3L). Поэтому f_-(x)>=d_N=3L/(20pi), mu(I_N union (-I_N))=p_N=2/(3L). (64.1) Конечный порог N>=2 обеспечивает включение обеих дуг в [-pi,pi] и их непересечение. Это явный непрерывный интервал, а не сеточная проверка. 64.3. ПОЛНЫЕ ПОРЯДКИ РОСТА ПРИ ФИКСИРОВАННОМ p СЛУЧАЙ p>1. Разбивая интеграл для D_N в x=pi/L, получаем E|D_N|^p <= L^(p-1)+(L^(p-1)-1)/(p-1). Выпуклость даёт |(D_N-1)/2|^p<=(|D_N|^p+1)/2. Следовательно, ||f_-||_p<=C_p L^(1-1/p). Из (64.1) следует противоположная оценка ||f_-||_p >= [3/(20pi)] (2/3)^(1/p) L^(1-1/p). Итак, для каждого фиксированного p>1: ||f_{A_N,-}||_p=Theta_p(N^(1-1/p)). (64.2) СЛУЧАЙ p=1. Аналогичное интегрирование даёт E|D_N|<=1+log L, откуда ||f_-||_1<=1+(log L)/2. Для нижней оценки при N>=6 положим M=floor(N/3) и используем дуги J_k=[(12k+7)pi/(3L),(12k+11)pi/(3L)], 0<=k=1/(2|x|). Интегрирование даёт ||f_-||_1 >= (2/pi) sum_{k=0}^{M-1} 1/(12k+11) >= (1/(6pi)) log(1+12M/11) >= (1/(6pi)) log(1+2N/11). Значит ||f_-||_1=Theta(log N), а не Theta(1). СЛУЧАЙ 0=pi/20 при L>=5. С отражением её мера не меньше1/20. На ней f_- >=1/2. Поэтому ||f_-||_p >= (1/2)(1/20)^(1/p). Следовательно, для каждого фиксированного 00. При p=2: c_{A_N}(2)=Theta(1). При p>2: c_{A_N}(p)=Theta_p(N^(1/2-1/p))->infinity. Так опровергнута единая положительная нижняя оценка через любой заранее фиксированный p<2. Интервальный пример не опровергает и не доказывает гипотезу ||f_{A,-}||_2>=c sqrt(N) для всех A. Эта последняя гипотеза сама была бы достаточным усилением требуемой оценки K. 64.5. КОНЕЧНЫЙ КОНТРОЛЬ Для A={1}, по симметрии положительной и отрицательной полуволн, E(cos x)_-^(2r)=(1/2) binom(2r,r)/4^r. Код functions_63_68_checks.py вычисляет эти рациональные моменты для r=1,...,6 и проверяет соответствующие неравенства монотонности точными степенями рациональных чисел. Он также проверяет рациональные условия включения дуг для выбранных N. Общие асимптотические выводы опираются на приведённые интегральные доказательства, а не на конечную таблицу. ИСТОЧНИКИ И ГРАНИЦЫ Геометрическая прогрессия, Jensen и элементарные интегралы выведены здесь в достаточном для проверки объёме; внешняя специальная теорема не нужна. Не утверждается, что исследование Lp-норм является новым для литературы о тригонометрических полиномах. Значения коэффициентов, произвольные фазы и вещественные частоты в постановку не добавлялись.