ВЕТВЬ 63. КОЭФФИЦИЕНТ КАК ФУНКЦИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ Дата: 18 октября 2026 года. Публичная математическая запись. СТАТУС И ПОСТАНОВКА Это функциональное переосмысление экспоненциального наклона из прежнего подхода 35, а не заявление о новом независимом механизме или приоритете. Доказаны свойства функции и препятствие для аргумента только по моментам. Общая нижняя оценка порядка sqrt(N) для косинусных сумм не доказана. A — N различных положительных целых частот, N>=1; f(x)=sum_{a in A} cos(ax), K=-min_x f(x). E означает интеграл по [0,2pi] с вероятностной мерой dx/(2pi). Тогда E f=0, E f^2=N/2 и |f|<=N. Исходная цель: K>=c sqrt(N) с одним абсолютным c>0 для всех A. 63.1. ТОЧНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть X=-f, g(beta)=log E exp(beta X), beta>0. Определим b_A(beta)=g(beta)/beta и c_A(beta)=b_A(beta)/sqrt(N). Это нижние оценки: 0=beta E X=0, строгое неравенство следует из непостоянства X. Из X<=K следует g<=beta K. Равенство невозможно: непрерывная непостоянная X строго меньше K на множестве положительной меры. 63.2. МОНОТОННОСТЬ И ПРЕДЕЛЫ Плотность rho_beta=exp(beta X-g(beta)) имеет среднее 1. Дифференцирование допустимо, поскольку X ограничена. Получаем g'(beta)=E rho_beta X; g''(beta)=Var_{rho_beta}(X)>0; beta g'(beta)-g(beta)=E rho_beta log(rho_beta)>0. Последняя положительность следует из строгой выпуклости u log u. Поэтому b_A'(beta)=[beta g'-g]/beta^2>0. При beta->0 для фиксированного A: g(beta)=N beta^2/4+O_A(beta^3), b_A(beta)=N beta/4+O_A(beta^2). Остаток в этой записи не объявляется равномерным по N и A. При beta->infinity имеем b_A(beta)->K. Действительно, для epsilon>0 p_epsilon=mu{X>=K-epsilon}>0 по непрерывности; следовательно, b_A(beta)>=K-epsilon+log(p_epsilon)/beta. Совместно с b_A<=K это доказывает предел. 63.3. ПРОВЕРЯЕМАЯ ГИПОТЕЗА О ПАРАМЕТРЕ Если бы существовали абсолютные kappa,c>0, для которых E exp(-kappa f_A/sqrt(N)) >= exp(kappa c) для всех A, то подстановка beta=kappa/sqrt(N) дала бы K>=c sqrt(N). Это конкретная достаточная гипотеза; здесь она не доказана и не опровергнута. Формальная подстановка в локальный ряд предлагает c примерно kappa/4, но без равномерной оценки остатка такой вывод неправомерен. Уход beta в бесконечность всегда возможен для отдельного A; он лишь возвращает исходный минимум и сам по себе не даёт абсолютного c. 63.4. СТРОГОЕ ПРЕПЯТСТВИЕ ДЛЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТОЛЬКО ПО ДВУМ МОМЕНТАМ Для целого N>=2 рассмотрим вспомогательную случайную величину Y: Y=-1 с вероятностью N/(N+2), Y=N/2 с вероятностью 2/(N+2). Тогда E Y=0, E Y^2=N/2, |Y|<=N, но -min Y=1. Поэтому для любого beta>0 log E exp(-beta Y)/[beta sqrt(N)] <= 1/sqrt(N) ->0. Значит среднее, дисперсия и ограничение амплитуды сами по себе не обеспечивают желаемую постоянную. Y не является предъявленным примером косинусной суммы: это опровержение ослабленной модели, не гипотезы Чоулы. Для успеха требуется дополнительное свойство целых частот и коэффициентов. 63.5. КОНЕЧНАЯ ПРОВЕРКА БЕЗ ЧИСЛЕННОГО ПОИСКА МИНИМУМА При A={1} прямое интегрирование степенного ряда даёт M(beta)=E exp(-beta cos x)=sum_{k>=0}(beta^2/4)^k/(k!)^2. Положительные слагаемые позволяют сертифицировать M рациональными числами. После члена k=J следующий член a_{J+1} ограничивает хвост сверху как a_{J+1}/(1-r), r=beta^2/[4(J+2)^2]<1. Скрипт functions_63_68_checks.py проверяет строго рациональными числами M(1)^2