62. ФУНКЦИЯ c КАК КОНЕЧНАЯ МОМЕНТНАЯ ИЕРАРХИЯ

СТАТУС. Проверяемая функциональная версия моментного подхода. Уровень d=1 совпадает с №59; уровни и связанные методы не считаются независимыми открытиями. Научный приоритет не заявляется. Общая Чоула не решена.

ПОСТАНОВКА. A — N различных положительных целых частот, f=sum cos(ax), K=-min f. Мера — dx/(2pi), M_j=integral f^j, M_0=1, M_1=0, M_2=N/2.

ФУНКЦИЯ, НЕ ОПРЕДЕЛЯЕМАЯ ЧЕРЕЗ НЕИЗВЕСТНЫЙ K

Для целого d>=0 положим
B_d(A)=-min_{p real polynomial, degree(p)<=d, p!=0}
          [integral f*p(f)^2]/[integral p(f)^2],
c_d(A)=B_d(A)/sqrt(N).

Это конечная задача линейной алгебры. Матрицы с индексами i,j=0,...,d:
H_d=(M_{i+j}), F_d=(M_{i+j+1}).
Знаменатель равен u^T H_d u, числитель u^T F_d u, где u — коэффициенты p. Матрица H_d положительно определена: ненулевой p не может обращаться в ноль на всём невырожденном интервале значений непостоянной f. Поэтому B_d — минус наименьшее обобщённое собственное число пары (F_d,H_d).

Для его вычисления нужны только моменты до 2d+1. Каждый из них — рациональное число:
M_r=2^(-r)*#{(s1,...,sr) in (A union -A)^r:sum s_i=0}.
Таким образом, определение не использует минимизирующее время или величину K. Стоимость подсчёта моментов может быть велика. Ниже установлена явная степень d(N,epsilon), достаточная для равномерной абсолютной аппроксимации K; степень, гарантирующая общую нижнюю оценку B_d>=c*sqrt(N) с абсолютным c>0, не установлена.

УНИВЕРСАЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ

1. 0=B_0<=B_1<=...<=K.
Из f+K>=0 следует integral(f+K)p(f)^2>=0 для каждого p. Это даёт B_d<=K. Постоянный p даёт нуль, а вложение пространств полиномов обеспечивает монотонность.

2. При каждом фиксированном A: B_d -> K при d->infinity.
Доказательство с явными полиномами. Берём p_d(t)=(N-t)^d, использующий известное N. Обозначим m=min f=-K. Для каждого epsilon>0 множество E={f<=m+epsilon/2} имеет положительную меру по непрерывности. На E вес p_d(f)^2 не меньше (N-m-epsilon/2)^(2d), а на {f>=m+epsilon} он не больше (N-m-epsilon)^(2d). Отношение этих оснований меньше 1. Поэтому нормированная масса вне {f<m+epsilon} стремится к нулю, а взвешенное среднее f стремится к m. Следовательно B_d>=-Rayleigh(p_d)->K. Вместе с B_d<=K получаем сходимость.
Достаточно выбирать epsilon<N-m; произвольное более крупное epsilon не нужно для предельного вывода.

3. Явная скорость аппроксимации, равномерная по всем A размера N.
Пусть N>=1, 0<epsilon<=1. Положим
M=ceil(4*pi*N/epsilon),
d>=ceil(2*N^2*log(M)/epsilon), r=2d.
Тогда для каждого допустимого набора A
0<=K(A)-B_d(A)<=epsilon.
Здесь log — натуральный логарифм. Ни максимальная частота, ни расположение частот в выборе d не участвуют.

Доказательство. Обозначим g=N-f, G=max g=N+K. Имеем 0<=g<=2N, N<G<=2N. Разобьём фазовый куб [0,2*pi)^N на M^N полуоткрытых клеток со стороной 2*pi/M и возьмём их прообразы при отображении исходной окружности x -> (a*x modulo 2*pi)_{a in A}. У одной клетки прообраз E имеет нормированную меру не меньше M^(-N). Выберем x_0 in E и точку x_* максимума g.

Для каждого x in E все разности фаз a*(x-x_0) имеют по модулю 2*pi представителей абсолютной величины не больше 2*pi/M. Перенос точки x в x+x_*-x_0 поэтому меняет каждый косинус относительно его значения при x_* не больше чем на 2*pi/M. На переведённом множестве E+x_*-x_0 имеем
g>=G-2*pi*N/M>=G-epsilon/2.
Перенос сохраняет меру окружности. Это работа с одной исходной переменной x; независимость фаз или возможность произвольного выбора N фаз не предполагается.

Следовательно,
T_r=(integral g^r)^(1/r)
   >=(G-epsilon/2)M^(-N/r)
   =(G-epsilon/2)exp[-N*log(M)/r].
Из 1-exp(-u)<=u при u>=0 и G<=2N получаем
G-T_r<=epsilon/2+2*N^2*log(M)/r<=epsilon.
Основание G-epsilon/2 положительно, поскольку G>N>=1 и epsilon<=1.

Неравенство Гёльдера на вероятностной мере даёт
integral g^r <= (integral g^(r+1))^(r/(r+1)),
а значит
(integral g^(r+1))/(integral g^r) >= (integral g^r)^(1/r)=T_r.
В определении B_d допустим p(t)=(N-t)^d, поэтому
B_d >= -(integral f*g^r)/(integral g^r)
    = (integral g^(r+1))/(integral g^r)-N
    >=T_r-N>=G-epsilon-N=K-epsilon.
Вместе с B_d<=K это доказывает утверждение.

Покрытие фазовыми клетками — тот же аргумент, что в разделе 8.3 ранее восстановленного журнала; здесь он воспроизведён целиком и применён к моментному отношению через Гёльдера. Данный вывод не считается отдельной новой ветвью исследования.

Таким образом, получена равномерная абсолютная точность, но не общее квадратнокоренное доказательство. Приближение неизвестной величины K с ошибкой epsilon само по себе не даёт нижней оценки её масштаба. Не получено общей границы B_d(A)>=c*sqrt(N) с абсолютным c>0 для всех A.

УРОВЕНЬ d=1: РОВНО №59

H_1=[[1,0],[0,M_2]], F_1=[[0,M_2],[M_2,M_3]].
Условие F_1+k H_1>=0 даёт M_2 k^2+M_3 k-M_2^2>=0. Поэтому
B_1=[sqrt(M_3^2+4M_2^3)-M_3]/(2M_2).

ПОЛНАЯ ПРОВЕРКА НА ИНТЕРВАЛЬНОМ СЕМЕЙСТВЕ

Пусть A_N={1,...,N}. Для D_N=1+2f_A=
sum_{a=-N}^N exp(i*a*x) обозначим C_r(N)=integral D_N^r. При r>=1 включение–исключение даёт точную формулу
C_r(N)=sum_{j=0}^{floor(r/2)} (-1)^j binom(r,j)
        *binom((r-2j)N+r-1-j,r-1),
где binom(u,v)=0 при 0<=u<v, а C_0(N)=1.
Она считает решения y1+...+yr=rN, 0<=y_i<=2N. Все верхние аргументы в данной конечной сумме неотрицательны. Слагаемые, не попадающие в допустимое включение–исключение, автоматически равны нулю.
Далее
M_r(N)=2^(-r)*sum_{j=0}^r (-1)^(r-j)binom(r,j) C_j(N).

Для r>=2 ведущий коэффициент равен
m_r=lim_{N->infinity}M_r/N^(r-1)
   = [1/(2^r*(r-1)!)]*sum_{j=0}^{floor(r/2)}
        (-1)^j binom(r,j)(r-2j)^(r-1).
Нужные значения:
m_2=1/2, m_3=3/8, m_4=1/3,
m_5=115/384, m_6=11/40, m_7=5887/23040.
Это конечные комбинаторные формулы, а не предположение о сходимости распределений.

УРОВЕНЬ d=1 НА ИНТЕРВАЛАХ

M_3=3N(N-1)/8, поэтому B_1(A_N)->2/3. Таким образом c_1(A_N)->0.

УРОВЕНЬ d=2 НА ИНТЕРВАЛАХ

Здесь также нет роста порядка sqrt(N), но предел уже иной:
B_2(A_N)->24/11.

Доказательство. Используем базис (1,f/N,(f/N)^2). В матрице F_2+kH_2 нижний правый блок при каждом фиксированном k стремится к
Q=[[3/8,1/3],[1/3,115/384]], det Q=11/9216>0.
Верхняя левая запись равна k, вектор связи стремится к h=(1/2,3/8). Все добавки k от нижнего блока H_2 и его связи с константой стремятся к нулю. Критерий Шура поэтому стремится к
k-h^T Q^(-1)h = k-24/11.
Для любого фиксированного k<24/11 матрица при больших N не положительно полуопределена; для k>24/11 она положительно определена. Это доказывает указанный предел порога B_2. Аргумент не выводит асимптотику из численных собственных чисел.

УРОВЕНЬ d=3: ФИКСИРОВАННАЯ СТЕПЕНЬ УЖЕ ВИДИТ ЛИНЕЙНУЮ ГЛУБИНУ

Берём конкретный полином
p_N(t)=t-3t^2/N+2t^3/N^2=t(1-t/N)(1-2t/N).
Его нули подавляют части положительной области. Для любого A подстановка этого p в Rayleigh-отношение является допустимой нижней оценкой B_3; никаких новых фаз или дробных коэффициентов в исходной f не вводится. Коэффициенты вспомогательного p не являются амплитудами исходных волн.

При A=A_N его числитель и знаменатель:
U_N=M_3-6M_4/N+13M_5/N^2-12M_6/N^3+4M_7/N^4,
V_N=M_2-6M_3/N+13M_4/N^2-12M_5/N^3+4M_6/N^4.

Точные формулы моментов дают для ВСЕХ целых N>=1:
-N^4 U_N=(56N^6+1005N^5+5750N^4+12495N^3+11474N^2+3780N)/5760,
 N^4 V_N=(43N^5+465N^4+1175N^3+1125N^2+372N)/480.
Все коэффициенты правых частей положительны. Поэтому
B_3(A_N)>=R_N,
R_N=(56N^5+1005N^4+5750N^3+12495N^2+11474N+3780)
     /[12*(43N^4+465N^3+1175N^2+1125N+372)].

Более того, R_N>(14/129)N при каждом N>=1. Проверка получается вычитанием (14/129)N*(N^4 V_N) из -N^4 U_N. В возрастающих степенях N коэффициенты разности:
[0,21/32,47255/24768,31619/16512,18145/24768,1145/16512,0].
Они неотрицательны, и коэффициент при N положителен. Следовательно,
K({1,...,N}) >= B_3({1,...,N}) >= R_N > (14/129)N.

Также U_N/N^2->-7/720 и V_N/N->43/480, откуда R_N/N->14/129. Иерархия не только совпадает с низкими моментами: переход от d=2 к d=3 на этом бесконечном семействе действительно меняет масштаб доказанной оценки с постоянного на линейный.

При этом прямое значение интервальной суммы в x=3*pi/(2N+1) уже даёт
K(A_N)>=1/2+1/[2*sin(3*pi/(4N+2))]
      >=1/2+(2N+1)/(3*pi),
чей линейный коэффициент 2/(3*pi) больше 14/129. Кубический результат демонстрирует поведение моментной иерархии, а не улучшение этой известной прямой границы для интервалов.

ОГРАНИЧЕНИЕ ЭТОГО ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО РЕЗУЛЬТАТА

Указанная оценка степени 3 доказана для интервалов, где моментные формулы известны точно. Она не распространяется автоматически на произвольные частоты. В частности, не доказано B_3(A)>=c*sqrt(N) для всех A. Ни качественная сходимость, ни доказанная выше равномерная абсолютная аппроксимация K сами по себе нижней оценки порядка sqrt(N) не дают.

ВОСПРОИЗВОДИМОСТЬ

branches_57_62_checks.py:
- сравнивает inclusion–exclusion моментов с независимой свёрткой знакового Laurent-полинома;
- выполняет точные полиномиальные действия с биномиальными формулами и проверяет тождества U_N,V_N и коэффициенты разности;
- вычисляет рациональные интервалы для B_d на конечных примерах, проверяя положительность и отрицательные главные миноры матриц F_d+kH_d точной арифметикой;
- проверяет det Q=11/9216 и h^T Q^(-1)h=24/11.
Численные собственные числа не используются как доказательство.

ИСТОЧНИКИ. Постановка сверена по первичному препринту https://arxiv.org/abs/2610.17160. Общие свойства иерархии и специальные интервальные вычисления доказаны в этом документе. Ни подтверждения новизны, ни внешней рецензии не заявляется.

ВЫВОД. Это вычислимая последовательность функций c_d, корректных для всех A и сходящихся к K(A)/sqrt(N). При заданных N и epsilon доказана явная степень d, обеспечивающая 0<=K-B_d<=epsilon одновременно для всех наборов из N частот. Первые уровни могут вырождаться, а следующий уровень исправляет это на проверенной интервальной семье. Недостающий шаг — общая нижняя оценка B_d или K порядка sqrt(N), а не сходимость или само определение функции.