61. ФУНКЦИЯ c ЧЕРЕЗ СПЕКТР КОНЕЧНОГО ГРАФА ЧАСТОТ

СТАТУС. Проверка функциональной версии конечного Gram-графа, ранее изучавшегося в журнале. Не новый независимый метод и не заявление научного приоритета. Общая Чоула не решена.

ПОСТАНОВКА. A — N различных положительных целых чисел; f=sum cos(ax), K=-min f. Вершины Lambda={0} union A. Две разные вершины соединены ребром тогда и только тогда, когда модуль их разности принадлежит A. Матрица смежности G_A вещественна и симметрична, диагональ нулевая.

ФУНКЦИЯ

B_61(A)=-lambda_min(G_A)/2,
c_61(A)=B_61(A)/sqrt(N).
Эта функция вычисляется из конечной целочисленной матрицы размера N+1. Её определение не использует K или минимум по времени.

УТВЕРЖДЕНИЕ. K>=B_61(A) для каждого A.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для произвольных комплексных v_lambda положим P(x)=sum_{lambda in Lambda}v_lambda*exp(i*lambda*x). Из f+K>=0 следует
0<=integral (f+K)|P|^2 = v^* [K I+(1/2)G_A] v.
При интегрировании используются Fourier-коэффициенты f: 1/2 на +/-A и 0 на остальных частотах. Следовательно K I+G_A/2 положительно полуопределена, что и даёт спектральную оценку.

Нельзя считать эту конечную положительность достаточным условием f+K>=0. Это только необходимый тест.

ЗВЕЗДА: ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ КЛАСС

Вершина 0 соединена со всеми a in A. Если между самими положительными частотами нет рёбер, граф — звезда K_{1,N}, спектр которой состоит из +/-sqrt(N) и N-1 нулей. Поэтому K>=sqrt(N)/2.
Отсутствие положительных рёбер равносильно A intersect (A+A) пусто, включая отношения a+a=b. В этом же классе №59 даёт более сильное sqrt(N/2). Следовательно, эти две проверки не представляются как независимые открытия.

ИНТЕРВАЛЬНЫЙ БАРЬЕР ДЛЯ ДАННОГО ВЫБОРА ВЕРШИН

Если A_N={1,...,N}, то Lambda={0,...,N} и все разные вершины соседствуют. Это полный граф K_{N+1}, его спектр: N один раз и -1 N раз. Поэтому
B_61(A_N)=1/2, c_61(A_N)=1/(2sqrt(N))->0.
Необходимая матрица при пробном k=1/2 равна (1/2)J и положительно полуопределена. Но в точке x=2pi/(N+1) сумма f_A=-1, так что f_A+k=-1/2<0. Получена точная бесконечная семья, проходящая данный конечный Gram-тест при неверном пробном сдвиге.

Это ограничение касается именно Lambda={0} union A. При добавлении отрицательных частот или других вершин получается иной тест. Полный двухсторонний граф из прежнего журнала этим примером не опровергается.

ЧТО ДАЁТ ЧИСЛО РЁБЕР

Пусть e — число рёбер между положительными вершинами A. Ограничим Rayleigh-отношение векторами, постоянными на этих N вершинах. В ортонормированных координатах «центр, равномерные листья» сжатие G равно
[[0, sqrt(N)], [sqrt(N), 2e/N]].
Поэтому
B_61(A)>=[sqrt((e/N)^2+N)-e/N]/2.
Число e равно R(A)=#{(a,b) in A^2:a+b in A}, поэтому M_3=3e/4. Эта скалярная версия снова связана с №59, но полный граф несёт больше информации, чем одно e.

БЕСКОНЕЧНАЯ СЕМЬЯ, ГДЕ ПОЛНЫЙ ГРАФ СИЛЬНЕЕ ОДНОГО M_3

Пусть m>=1, L=m+1 и
A_m={1,...,m} union {L*4^j:1<=j<=m}, N=2m.

Между низкими частотами граф полный. Между высокими частотами рёбер нет: разность двух степеней четвёрки не является степенью четвёрки и не попадает в низкий диапазон. Между низкой и высокой частотой ребра тоже нет: разность слишком велика для низкого диапазона и не кратна L, тогда как все высокие частоты кратны L.
Таким образом, на положительных вершинах получены клика K_m и m изолированных вершин. Включая общий центр 0, видим индуцированную звезду с m высокими листьями. Вектор Rayleigh, поддержанный на этой звезде, даёт
K(A_m)>=sqrt(m)/2=sqrt(N)/(2sqrt(2)).

В то же время e=m(m-1)/2, M_2=m, M_3=3m(m-1)/8. Оценка №59 в этой семье стремится к 8/3 и не растёт как sqrt(N). Это точный пример полезности спектральной структуры сверх общего числа аддитивных троек. Все фазы по-прежнему задаются одним x; независимые фазы не вводятся.

ДОСТАТОЧНАЯ ЦЕЛЬ И ПРЕДЕЛЫ

Для доказательства Чоулы только этой функцией потребовалось бы -lambda_min(G_A)>=2c*sqrt(N) для всех A. Полные графы интервалов опровергают это. Расширение множества вершин остаётся отдельным возможным направлением, но успех такого расширения здесь не заявляется.

ВОСПРОИЗВОДИМОСТЬ. branches_57_62_checks.py проверяет точное соответствие рёбер и аддитивных троек, формулу Gram-интеграла через Laurent-коэффициенты, матрицы звёзд и клик, а также граф смешанной семьи A_m. Спектральные формулы этих явных графов доказаны аналитически; машинная аппроксимация собственных чисел не используется как сертификат.

ИСТОЧНИКИ. Постановка сверена по https://arxiv.org/abs/2610.17160; сам Gram-аргумент записан полностью. Более сильные графы прежнего журнала не отождествляются с выбранной здесь матрицей.

ВЫВОД. Спектральная функция корректна и даёт sqrt(N) в проверенных бесконечных классах. Но для выбранных N+1 вершин универсальная нижняя граница c_61>0 ложна.