60. ФУНКЦИЯ c ЧЕРЕЗ ВСЕ КЛАССЫ ДЕЛИМОСТИ

СТАТУС. Проверка функционального варианта усреднения по корням единицы. Не заявление нового независимого метода или научного приоритета. Общая Чоула не решена.

ПОСТАНОВКА. A — N различных положительных целых частот, f=sum cos(ax), K=-min f. Для q>=2 положим n_q=#{a in A:q divides a}.

ФУНКЦИЯ

B_60(A)=sup_{q>=2} [N-q*n_q]/(q-1),
c_60(A)=B_60(A)/sqrt(N).

УТВЕРЖДЕНИЕ. K>=B_60(A) для каждого A.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сумма значений exp(2pi*i*a*j/q) по j=0,...,q-1 равна q при q|a и нулю иначе. После взятия вещественной части и суммирования по a:
sum_{j=0}^{q-1} f(2pi*j/q)=q*n_q.
Поскольку f(0)=N,
sum_{j=1}^{q-1} f(2pi*j/q)=q*n_q-N.
Хотя бы одно из q-1 значений не превосходит их среднего. Поэтому
K>= [N-q*n_q]/(q-1).
Это только нижняя оценка глубины, полученная из существования точки; минимум между корнями единицы не подменяется сеточным минимумом.

КОНЕЧНАЯ ВЫЧИСЛИМОСТЬ. Если D=max A, то для q>D имеем n_q=0, и N/(q-1) убывает. Поэтому супремум на самом деле достигается среди 2<=q<=D+1. B_60 — точное рациональное число. Формула верна независимо от D; стоимость прямого вычисления может зависеть от D.

БАРЬЕР ДЛЯ ВСЕХ q ОДНОВРЕМЕННО

Для A_N={1,...,N} имеем n_q=floor(N/q), а значит
[N-q*n_q]/(q-1)=(N mod q)/(q-1)<=1
для КАЖДОГО q>=2. При q=N+1 достигается ровно 1. Следовательно,
B_60(A_N)=1, c_60(A_N)=1/sqrt(N)->0.

Это не ограниченный перебор модулей: выражение доказывает барьер сразу для всех q. Увеличение числа проверяемых q не улучшит оценку на этой семье. Настоящая глубина при этом K>=1/2+(2N+1)/(3pi).

ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ

Если все a нечётные, то q=2 даёт B_60>=N. В точке x=pi все косинусы равны -1, поэтому K=N и B_60=N. В таком классе функция не только верна, но и точна.

ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ОГРАНИЧЕНИЕ: ЗАВИСИМОСТЬ ОТ ОБЩЕГО МАСШТАБА

Настоящая глубина не меняется при умножении всех частот на L: K(LA)=K(A). Сама B_60 такой инвариантности не имеет.
Возьмём L=lcm(1,...,Q). Для q<=Q все частоты LA делятся на q, и соответствующая оценка равна -N. Для q>Q она не превосходит N/(q-1)<=N/Q. Поэтому B_60(LA)<=N/Q, хотя K(LA)=K(A).
Предварительное деление частот на их НОД устраняет это простое вырождение. Но интервальный барьер остаётся: у {1,...,N} НОД равен 1.

ДОСТАТОЧНАЯ ЦЕЛЬ И ЕЁ ПРОВЕРКА

Если бы для всех A существовал q с N-q*n_q>=c*sqrt(N)*(q-1), это доказывало бы Чоулу данным методом. Интервальное семейство опровергает такое универсальное утверждение для любой c>0.
Этот отрицательный результат относится к указанному усреднению. Он не исключает другие сдвиги сетки, индивидуальные значения, неравномерные веса или общую задачу Чоулы.

ВОСПРОИЗВОДИМОСТЬ. branches_57_62_checks.py точно вычисляет все максимумы для конечных интервальных примеров, проверяет случай нечётных наборов, делимость примориальных масштабов и тождество N=q*floor(N/q)+(N mod q). Доказательство всех q дано аналитически выше.

ИСТОЧНИКИ. Постановка сверена по первичному препринту https://arxiv.org/abs/2610.17160. Здесь используется элементарная геометрическая сумма, а не результаты о распределении простых чисел. Все специальные утверждения доказаны в тексте.

ВЫВОД. c_60 — конкретная рациональная функция набора частот. Неограниченный выбор q не обеспечивает универсальную положительную константу: c_60({1,...,N})=N^(-1/2).