59. ФУНКЦИЯ c ЧЕРЕЗ ТРЕТИЙ МОМЕНТ И АСИММЕТРИЮ

СТАТУС. Точная функциональная проверка ранее использованного моментного механизма. Уровень d=1 иерархии №62 совпадает с этой оценкой; это не два независимых доказательства. Научный приоритет не заявляется. Общая Чоула не решена.

ПОСТАНОВКА. A — N различных положительных целых частот, f=sum cos(ax), K=-min f. M_j=integral f^j по dx/(2pi), M_1=0, M_2=N/2.

УНИВЕРСАЛЬНАЯ ОЦЕНКА

B_59(A)=[sqrt(M_3^2+4M_2^3)-M_3]/(2M_2),
c_59(A)=B_59(A)/sqrt(N).
Для численно устойчивого вычисления равносильная форма:
B_59=2M_2^2/[sqrt(M_3^2+4M_2^3)+M_3].

Если gamma_3=M_3/M_2^(3/2), то
c_59=[sqrt(gamma_3^2+4)-gamma_3]/(2sqrt(2)).
Все величины определяются моментами; минимум K не входит в определение функции.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для любого вещественного t:
0<=integral (f+K)(f-t)^2
=K t^2-2M_2 t+M_3+K M_2.
При K>0 этот квадратный трёхчлен неотрицателен для всех t только если
M_2 K^2+M_3 K-M_2^2>=0.
Положительный корень равен B_59, следовательно K>=B_59.
K>0 следует из непостоянства f и нулевого среднего.

ТОЧНЫЙ КОМБИНАТОРНЫЙ СМЫСЛ

Пусть R(A)=#{(a,b) in A^2:a+b in A}, с упорядоченными парами и с разрешением a=b. Тогда
M_3=(3/4)R(A)>=0.
В нулевой сумме трёх знаковых частот одна из трёх частот является суммой остальных; выбор стороны и позиции даёт 6R(A) знаковых троек, после деления на 2^3 получается 3R(A)/4.

СЛУЧАЙ БЕЗ АДДИТИВНЫХ ТРОЕК

Если A intersect (A+A) пусто, то M_3=0 и
K>=sqrt(N/2).
Это доказательство для всех наборов указанного класса, без ограничений на максимальную частоту. Условие запрещает также отношения a+a=b; речь не только о трёх различных частотах.

Более общо, абсолютное ограничение gamma_3<=G даёт абсолютную положительную константу c_59. Одной лишь неотрицательности M_3 для этого недостаточно.

ИНТЕРВАЛЬНОЕ СЕМЕЙСТВО: ТОЧНЫЙ БАРЬЕР

При A_N={1,...,N} число упорядоченных пар a+b<=N равно N(N-1)/2. Поэтому
M_3=3N(N-1)/8,
B_59(A_N)=[sqrt(9N^2+14N+9)-3N+3]/8 ->2/3.
В частности, c_59(A_N)->0.

Дополнительная точная проверка: B_59(A_N)>2/3 для всех N. Подстановка K=2/3 в моментный трёхчлен даёт -N/36<0. Верхняя граница B_59<=1/sqrt(2) следует подстановкой этого значения и неравенством 3>2sqrt(2).

На этой семье настоящая глубина K>=1/2+(2N+1)/(3pi) линейна. Значит, большое M_3 ухудшает данную оценку, но само по себе не свидетельствует о мелком истинном минимуме.

ЕЩЁ ОДНА ПРОВЕРКА ПРИ НЕНУЛЕВОМ M_3

Для A_N={2^j:0<=j<N} существуют ровно N-1 упорядоченных отношений a+b in A: a=b=2^j, a+b=2^(j+1). Поэтому M_3=3(N-1)/4. Подстановка в B_59 даёт B_59/sqrt(N)->1/sqrt(2). Таким образом, метод не ограничен строгим отсутствием троек; важно их число относительно N^(3/2).

СВЯЗЬ С ГРАФОМ №61

Число R(A) равно числу рёбер между положительными вершинами A в графе, где ребро означает |a-b| in A: упорядоченная пара (a,c) с a+c=b соответствует ребру {a,b}. При c!=a перестановка пары соответствует другому ребру. Поэтому M_3 измеряет число таких рёбер, но не описывает весь спектр графа. Пример №61 показывает, что спектральная информация может быть сильнее одного M_3.

ВОСПРОИЗВОДИМОСТЬ. В branches_57_62_checks.py третий момент сравнивается с прямым подсчётом троек для всех непустых подмножеств {1,...,8}; проверяются точные интервальные формулы, степени двойки и равенство числу рёбер. Алгебраический корень можно сертифицировать рациональными подстановками в M_2 k^2+M_3 k-M_2^2.

ИСТОЧНИКИ. Постановка сверена по https://arxiv.org/abs/2610.17160. Все утверждения этого файла получены прямой позитивностью и точным подсчётом; внешняя экспертиза и приоритет не заявляются.

ВЫВОД. Замена постоянной c функцией нормированной асимметрии корректна, но её универсальный положительный минимум отсутствует: интервалы дают c_59->0. При ограниченной асимметрии функция действительно даёт нужный квадратнокоренной масштаб.