58. ФУНКЦИЯ c ЧЕРЕЗ ЧЕТВЁРТЫЙ МОМЕНТ И АДДИТИВНЫЕ СОВПАДЕНИЯ

СТАТУС. Проверка функциональной версии низкомоментного подхода из прежнего журнала, связанная с №57. Не новый независимый метод и не заявление приоритета. Общая Чоула не решена.

ПОСТАНОВКА. A состоит из N различных положительных целых чисел; f=sum cos(ax), K=-min f. Мера нормирована: dx/(2pi). Обозначим M_j=integral f^j; M_1=0, M_2=N/2.

ФУНКЦИЯ И УНИВЕРСАЛЬНАЯ ОЦЕНКА

B_58(A)=N^(3/2)/(4sqrt(2)*sqrt(M_4)),
c_58(A)=B_58(A)/sqrt(N)=N/(4sqrt(2)*sqrt(M_4)).

Если kappa_4=M_4/M_2^2 — нормированный четвёртый момент, то
c_58(A)=1/(2sqrt(2)*sqrt(kappa_4)).

Для всех A имеем K>=B_58(A).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Гёльдер с показателями 3/2 и 3 даёт
M_2=integral |f|^(2/3)|f|^(4/3)
 <= ||f||_1^(2/3)*M_4^(1/3).
Значит, ||f||_1>=M_2^(3/2)/sqrt(M_4). Вместе с K>=||f||_1/2 из №57 это даёт указанную константу 1/(4sqrt(2)).

ТОЧНЫЙ СМЫСЛ «АДДИТИВНОЙ ЭНЕРГИИ»

Пусть S=A union (-A) и
E(S)=#{(s1,s2,s3,s4) in S^4: s1+s2=s3+s4}.
Тогда M_4=E(S)/16, поскольку 2f=sum_{s in S}e^(isx), а S симметрично. В этой записи
B_58=N^(3/2)/(sqrt(2)*sqrt(E(S))).

Если вместо S использовать только положительное A, нужна дополнительная поправка. Обозначим
E(A)=#{(a,b,c,d) in A^4:a+b=c+d},
T(A)=#{(a,b,c,d) in A^4:a+b+c=d}.
Все четверки упорядоченные, повторы частот разрешены. Тогда
M_4=(3/8)E(A)+(1/2)T(A).
Доказательство: в нулевой сумме четырёх знаковых частот есть 6 способов выбрать два плюса и два минуса и 8 способов выбрать три плюса и один минус либо наоборот. Поэтому E(S)=6E(A)+8T(A).

Опускать T(A), ссылаясь только на обычную энергию положительного A, было бы ошибкой.

ДОСТАТОЧНАЯ ЦЕЛЬ

Любая абсолютная верхняя граница kappa_4<=C, или эквивалентно E(S)<=C' N^2, даёт K>=c*sqrt(N) в соответствующем классе. Но такое ограничение четвёртого момента неверно для всех A.

ТОЧНАЯ ПРОВЕРКА ИНТЕРВАЛЬНОГО СЕМЕЙСТВА

Для A_N={1,...,N}:
E(A_N)=(2N^3+N)/3,
T(A_N)=binom(N,3)=N(N-1)(N-2)/6,
M_4=N(8N^2-6N+7)/24.

Первая формула получается из треугольных чисел представлений суммы a+b, вторая — подсчётом положительных троек a+b+c<=N. Следовательно,
kappa_4=(8N^2-6N+7)/(6N) ~ (4/3)N,
B_58(A_N)^2 = 3N^2/[4(8N^2-6N+7)] ->3/32,
B_58(A_N)->sqrt(6)/8,
c_58(A_N)->0.

Это барьер для функции четвёртого момента, а не для Чоулы. На этих же наборах K>=1/2+(2N+1)/(3pi).

ПОЛОЖИТЕЛЬНАЯ ПРОВЕРКА БЕСКОНЕЧНОГО КЛАССА

A_N={1,4,...,4^(N-1)} имеет только тривиальные нулевые отношения длины четыре: все частоты попарно сокращаются с противоположными знаками. Действительно, несокращённая старшая степень 4 не может компенсироваться тремя меньшими степенями. Поэтому
E(A_N)=2N^2-N, T(A_N)=0,
M_4=3N(2N-1)/8,
kappa_4=3-3/(2N)<3.
Итак, в этом классе для всех N:
K>=sqrt(N)/(2sqrt(6)).
Эта оценка не оптимальна: данный класс также не имеет отношений a+b=c и допускает более сильную оценку №59.

ПРОВЕРКА КОДОМ

branches_57_62_checks.py вычисляет M_4 двумя независимыми конечными способами: постоянным коэффициентом четвёртой степени знакового Laurent-полинома и прямыми подсчётами E(A), T(A). Проверяются все непустые подмножества {1,...,8}, интервалы и степени четвёрки. Общность утверждений основана на приведённых доказательствах.

ИСТОЧНИКИ. Современная постановка и отличие низкомоментных критериев от общей задачи сверены по первичному препринту https://arxiv.org/abs/2610.17160. Формулы и константы данной записи доказаны непосредственно; приоритет не заявляется.

ВЫВОД. Функциональная оценка верна для каждого A и сильна при ограниченном нормированном четвёртом моменте. Интервалы доказывают невозможность положительного универсального минимума самой функции c_58.