57. ФУНКЦИЯ c ЧЕРЕЗ СРЕДНИЙ МОДУЛЬ СУММЫ

СТАТУС. Проверка функциональной версии ранее использованной L1-оценки. Это не новый независимый метод и не заявление научного приоритета. Общая Чоула не решена.

ПОСТАНОВКА. A — непустое множество N различных положительных целых частот,
f(x)=sum_{a in A}cos(ax), K=-min f. Интегралы и нормы используют нормированную меру dx/(2pi). Все амплитуды равны 1, фазы 0.

ПРЕДЛАГАЕМАЯ ФУНКЦИЯ

c_57(A)=||f||_1/(2*sqrt(N)), B_57(A)=c_57(A)*sqrt(N)=||f||_1/2.
Она вычисляется из средней величины |f|, а не определяется через неизвестный минимум K.

УТВЕРЖДЕНИЕ. Для каждого допустимого A имеем K>=B_57(A).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку integral f=0, положительная и отрицательная части имеют одинаковые интегралы:
integral f_+=integral f_-=||f||_1/2.
При этом f_-<=K поточечно, а мера окружности равна 1. Следовательно,
K>=integral f_-=||f||_1/2.

ДОСТАТОЧНАЯ ЦЕЛЬ. Чтобы именно эта функция доказала Чоулу, потребовалось бы
inf_A ||f_A||_1/sqrt(|A|)>0.
Следующий допустимый бесконечный класс опровергает это требование.

ПРОВЕРКА НА ВСЕХ ИНТЕРВАЛАХ A_N={1,...,N}

Положим D_N(x)=1+2f_A(x). Геометрическая сумма даёт
D_N(x)=sin((N+1/2)x)/sin(x/2).
При 0<|x|<=pi:
|D_N(x)|<=min(2N+1, pi/|x|),
так как sin(|x|/2)>=|x|/pi. Обозначая L=2N+1 и интегрируя по [0,pi], получаем
||D_N||_1 <= (1/pi)*[integral_0^(pi/L) L dx + integral_(pi/L)^pi pi/x dx]
 =1+log L.
Поэтому
||f_A||_1 <= (||D_N||_1+1)/2 <= 1+(1/2)log(2N+1),
B_57(A_N)<=1/2+(1/4)log(2N+1),
c_57(A_N)<= [1/2+(1/4)log(2N+1)]/sqrt(N) ->0.

Это доказательство для всех N, а не вывод из конечной сетки. Достаточная цель для одной L1-функции ложна.

ПОЧЕМУ ЭТО НЕ КОНТРПРИМЕР ЧОУЛЕ

В точке x_N=3pi/(2N+1) числитель D_N равен -1. Следовательно,
K(A_N)>=1/2 + 1/[2 sin(3pi/(4N+2))]
 >=1/2+(2N+1)/(3pi).
Настоящая глубина в этом примере растёт как минимум линейно по N. Вырождается только выбранная нижняя оценка.

МАЛЫЕ ТОЧНЫЕ ПРИМЕРЫ

A={1}: ||f||_1=2/pi, B_57=1/pi, K=1.
A={1,2}: f=2y^2+y-1=(2y-1)(y+1), y=cos x. Знак меняется при x=pi/3 на [0,pi]; интегрирование sin x+(1/2)sin 2x даёт
||f||_1=3sqrt(3)/(2pi), B_57=3sqrt(3)/(4pi).
Эти значения служат проверкой нормировки, особенно множителя 1/2.

ПОЛЕЗНАЯ ОБЛАСТЬ. В классах с ограниченным нормированным четвёртым моментом функция c_57 ограничивается снизу положительной константой через неравенство Гёльдера; это ровно переход, подробно проверенный в №58. Мы не считаем его новым независимым доказательством.

ВОСПРОИЗВОДИМОСТЬ. Общая оценка и интервальный барьер доказаны выше аналитически. В branches_57_62_checks.py точно проверяются полиномиальная факторизация малого примера и тождества моментов, используемые в связанном пункте 58. Численное интегрирование не используется как доказательство общего результата.

ИСТОЧНИКИ И ГРАНИЦЫ. Постановка сверена по первичному препринту https://arxiv.org/abs/2610.17160; его более сильные оценки с L1 не отождествляются с простой оценкой этой ветви. Все специальные формулы этого файла выведены непосредственно. Препринт и наше внутреннее вычисление не объявляются внешним рецензированием.

ВЫВОД. K>=c_57(A)*sqrt(N) верно для всех A. У функции c_57 нет положительного универсального нижнего предела: интервальное семейство даёт c_57->0.