ПОДХОД 50. ОКРУГЛЕНИЕ С ТОЧНЫМ ИСПРАВЛЕНИЕМ ОСТАТКА
Реконструкция научного содержания, 18 октября 2026 года.
Предыдущая рабочая среда перезапустилась. Этот файл заново восстанавливает
проверяемые формулы и доказательства из сохранившихся записей; он не является
побайтовой копией утраченного файла. Прежние промежуточные численные векторы
не объявляются восстановленными. Два приведённых ниже сертификата заново
проверены отдельным целочисленным скриптом.

1. ОБОЗНАЧЕНИЯ И ТОЧНОЕ ИСПРАВЛЕНИЕ
H(z)=sum h_k z^k — действительный эрмитов Laurent-полином:
h_{-k}=h_k в Z. Окружность |z|=1. Для S аналогичного вида положим
||S||_W=sum_k |s_k|,
Delta(S)=s_0-2 sum_{k>0}|s_k|.
Если s_k в q^{-2} Z и Delta(S)>=0, то
S=Delta(S)+sum_{k>0}|s_k| |1+sgn(s_k) z^k|^2.
Это точное тождество. Каждый вес кратен q^{-2}, поэтому его реализуют
целым числом копий квадрата с коэффициентами в q^{-1}Z.
Laurent-факторы переводятся в обычные полиномы умножением на моном;
модуль на окружности не меняется.

2. ОБЩАЯ ЛЕММА О ЗНАМЕНАТЕЛЕ
Пусть P — конечный Laurent-полином с действительными коэффициентами,
s — число его ненулевых коэффициентов, B=||P||_W, C — положительное целое,
и delta=Delta(H-C|P|^2)>0.
Округлим каждый коэффициент P до ближайшего кратного 1/q, получив P_q.
При симметричных коэффициентах используем одно и то же правило округления
для пары противоположных индексов. Тогда eta=||P-P_q||_W<=s/(2q).
Подходит КАЖДОЕ целое
q>=ceil(max{s/2, C*s*(2B+1)/delta}).
Действительно, eta<=1 и eta<=delta/[2C(2B+1)], откуда
||C|P_q|^2-C|P|^2||_W <= C eta(2B+eta) <=delta/2.
Функционал Delta меняется не больше чем на W-норму изменения, поэтому
Delta(H-C|P_q|^2)>=delta/2>0.
Остаток имеет коэффициенты в q^{-2}Z и раскладывается по пункту1.
C|P_q|^2 — C копий одного квадрата. Никакой делимости q на прежний
знаменатель не требуется. Лемма относится к действительным коэффициентам;
константа для произвольного комплексного округления здесь не используется.

3. ОБЩАЯ ГРАНИЦА, НЕ ЗАВИСЯЩАЯ ОТ МАКСИМАЛЬНОЙ ЧАСТОТЫ
Для исходного A, N=|A|, K=-min sum cos(ax), возьмём
m=floor(K)+2, H=2m+sum_{a in A}(z^a+z^{-a}), C=4N+4.
Тогда H>=2 и H<=C.

Используем полностью сохранённый прежний пункт32:
restored/previous_sources/round3/denominators_31_33.md и его аудит.
При gamma=1, d=ceil(N/2), rho=1-1/C,
B=3^d d! C^{d+1}, theta=(1+rho)/2,
выбирается конечное R=O(N^2 log(N+1)), обеспечивающее
(rho/theta)^(R+1)<=1/[8C B(rho)B(theta)],
где B(x)=3^d d!/(1-x)^{d+1}.
Для биномиального усечения P=Q_R там строго доказаны
||P||_W<=B и ||H-C P^2-1||_W<=17/64.
Носитель P содержит не более L=(2R+1)^N частот.

Теперь округляем коэффициенты к любому целому знаменателю
q>=Q=ceil(8 C B L).
Тогда eta<=L/(2q)<=1/(16CB), а
||C P_q^2-C P^2||_W <=2CB eta+C eta^2<=1/8+1/256.
Итого ||H-C P_q^2-1||_W<=101/256<1/2.
Остаток строго диагонально доминирует, и пункт1 даёт точную SOS с тем же q.
Так как log B=O(N log(N+1)) и log L=N log(2R+1)=O(N log(N+1)),
получено log Q=O(N log(N+1)).
Это улучшение НАШЕЙ прежней границы log q=O(N^2 log^2(N+1)),
не заявление о научном первенстве.
Восстановленный пункт47 ещё уменьшает достаточную степень до
O(N^(3/2) log(N+1)); порядок log Q остаётся тем же.

Результат относится ко всем допустимым наборам A, но Q зависит от N.
Общая нижняя оценка K>=c sqrt(N) отсюда не получена.

4. ДВА ТОЧНЫХ СЕРТИФИКАТА
A={1,2,3,5,6,7,8}, m=2,
H=4+sum_{a in A}(z^a+z^{-a}).
Для q=81 зададим P(z) коэффициентами от степени0 до8:
[51,47,38,26,-15,33,25,9,128].
Коэффициенты r=q^2H-|P|^2 от лага0 до8 равны
[910,73,-9,-53,-50,33,-1,86,33].
Delta(r)=234.

Для q=128:
P=[81,75,60,41,-24,52,39,15,203],
r=[1834,-77,-4,-52,-39,24,-80,-56,-59],
Delta(r)=1052.

В обоих случаях точное тождество:
q^2 H=|P|^2+Delta(r)+sum_{k=1}^8 |r_k| |1+sgn(r_k)z^k|^2.
Следовательно, H строго положителен на всей окружности.
Сертификаты не зависят от корректности исходного численного поиска:
все указанные равенства проверяются целыми числами.

Знаменатель1 невозможен. Если бы H=sum_j|R_j|^2 с коэффициентами в Z[i],
полная энергия коэффициентов была бы E=4. Для каждого фактора пусть
e_j=sum |c|^2, ell_j=sum |c|. Ненулевой гауссов целый коэффициент имеет
модуль>=1, поэтому ell_j<=e_j.
Сумма положительных лаговых коэффициентов H, равная7, не превосходит
(1/2)sum_j(ell_j^2-e_j) <=(E^2-E)/2=6. Противоречие.
Это контрпример для класса всех строго положительных H.
Здесь m=2; он НЕ является отдельным контрпримером для ограничения
m=floor(K)+2 с дополнительным запасом.

Для P_128/128 имеем s=9, B=295/64, delta=263/4096.
Лемма2 даёт порог ceil(376704/263)=1433:
для этого же H допустим каждый целый q>=1433.
Это достаточный порог, а не доказанный минимальный знаменатель.

5. ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ПОПЫТКИ И ОГРАНИЧЕНИЯ
Ранее проверялись округления одного найденного численного фактора при
q=2,3,4,8,9,16,27,32,64; соответствующие остатки не прошли выбранный
критерий диагонального доминирования.
Это НЕ доказывает невозможности других сертификатов с этими знаменателями.
Исходные промежуточные векторы этих попыток утрачены при перезапуске;
данная реконструкция не изображает их как заново воспроизведённые.
Точные сертификаты81,128 и универсальная лемма восстановлены независимо.

6. СВЯЗЬ С ОЦЕНКОЙ K И НОРМИРОВКА
Для H=2m+2f и коэффициентов факторов в q^{-1}Z[i] верный подсчёт даёт
N<=2m^2q^2-m.
Причина: сумма положительных лаговых коэффициентов q^2H равна Nq^2,
а не N. Поэтому
m>=[1+sqrt(1+8Nq^2)]/(4q^2).
При m=floor(K)+2 это даёт такую же правую часть минус2 для K.
Зависимость здесь порядка sqrt(N)/q, а не sqrt(N)/q^2.
В постановке нового пункта67 сначала была записана лишне ослабленная
версия; исправленная нормировка приведена здесь явно.
Абсолютная граница q дала бы Чоулу; нынешняя растущая граница этого не даёт.

7. ПЕРВОИСТОЧНИК И СТАТУС
Численное приближение с последующим точным рациональным исправлением —
известная идея; источник контекста:
H. Peyrl, P. Parrilo, Computing sum of squares decompositions with rational coefficients (2008):
https://web.mit.edu/parrilo/www/pubs/files/PeyrlParrilo-ComputingSumOfSquaresDecompositionsWithRationalCoefficients.pdf
Конкретная лемма и две целочисленные проверки даны выше самостоятельно.
Публикация, внешнее рецензирование и формальная проверка в proof assistant
не проводились. Общее решение задачи Чоулы не заявляется.