ВОССТАНОВЛЕННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЗАПИСЬ: ПОДХОДЫ 47–49
Дата реконструкции: 18 октября 2026 года, UTC.

Статус: это новая компактная реконструкция из сохранившейся переписки,
а не восстановление исходных байтов потерянных файлов. Общего решения
Чоулы здесь нет; научная новизна не устанавливалась. Ранее полные
доказательства и конечные проверки были выполнены до сбоя среды.

ПОСТАНОВКА

A — конечное множество различных положительных целых чисел, N=|A|,
f_A(x)=sum_{a in A}cos(ax), K(A)=-min f_A. Для целого m>0:
H(z)=2m+sum_{a in A}(z^a+z^(-a)), |z|=1.
Допустимым знаменателем q называется положительное целое, для которого
q^2 H=sum_j |R_j|^2 с конечными Gaussian-целыми Laurent-полиномами R_j.
Число факторов и степени заранее не ограничены.

47. ЭКОНОМИЯ СЕРТИФИКАТА: УСКОРЕНИЕ СТЕПЕНИ

Предположим 2<=H<=C, C целое. Для m=floor(K)+2 можно взять C=4N+4.
Положим n=ceil(sqrt(C)), d=ceil(N/2), chi=1+1/n.
Приближаем sqrt(y) на [1,C] через y=(C+1)/2+(C-1)t/2.
На Bernstein-эллипсе параметра chi:
Re y>=1-(C-1)/(4n(n+1))>3/4,
|y|<=C+(C-1)/(4n(n+1))<C+1/4.
Поэтому sqrt(y) аналитична в окрестности эллипса и ограничена 2n.
Её усечение Чебышёва p_R имеет равномерную ошибку
epsilon_R<=4n^2 chi^(-R).
Это следует из контурной оценки |c_k|<=4n chi^(-k) и суммы хвоста.

Подставим t(z)=(2(H(z)-1)-(C+1))/(C-1), P=p_R(t(z)).
P действителен на окружности и содержит не более (2R+1)^N частот.
Конечный остаток E_0=H-1-P^2 содержит не более (4R+1)^N частот.
Коши и Парсеваль дают
||E_0||_W<=(4R+1)^d epsilon_R (2n+epsilon_R),
где ||G||_W есть сумма модулей Fourier-коэффициентов.

Достаточно выбрать R>=1 с точным целочисленным условием
64 n^3 (4R+1)^d n^R <= (n+1)^R.
Тогда epsilon_R<=1/[16n(4R+1)^d], ||E_0||_W<=3/16.

ЯВНАЯ ДОСТАТОЧНАЯ ВЕРХНЯЯ ГРАНИЦА:
R_*=ceil(4(n+1)(d+1)log(8(n+1)(d+1))).
Доказательство: a=n+1,b=d+1,X=8ab,L=log X. В нашем диапазоне X>=16,
log X<=X/4. Поэтому 4R_*+1<=16abL+5=2XL+5<=X^2.
Также log(64n^3)<=3L. Правая часть условия
R log chi>=log(64n^3)+d log(4R+1) не больше (2d+3)L,
тогда как R_* log chi>=R_*/a>=4(d+1)L.
При C=4N+4 отсюда R=O(N^(3/2)log(N+1)), без зависимости от max A.

Применение отдельного механизма округления №50:
S=(2R+1)^N, T=(2R+1)^d, Q=16nST.
Для любого целого q>=Q округляем симметричные коэффициенты P на сетку1/q.
Получаем eta=||P_q-P||_W<=S/(2q)<=1/(32nT), ||P||_W<=2nT.
Поэтому ||P_q^2-P^2||_W<=1/8+1/1024=129/1024 и
||H-P_q^2-1||_W<=321/1024<1/2.
Остаток U=H-|P_q|^2 имеет коэффициенты в q^(-2)Z и диагональный запас
u_0-2sum_{k>0}|u_k|>=703/1024>0.
Точное разложение:
U=(u_0-2sum|u_k|)+sum_{k>0}|u_k||1+sign(u_k)z^k|^2.
Каждый целый числитель веса реализуется повторением квадратов с
знаменателем q. Степени обычных факторов не больше 2R max A.
Ближайшее округление достаточно для существования; для вычислимого
выбора с ошибкой<=1/q без проверки точного равенства на середине сетки
можно удвоить Q.

Полученные точной целой арифметикой параметры:
N=1,2,7,16,64,100;
R=44,63,241,706,5855,11859;
число цифр Q=6,9,32,78,394,659 соответственно.
Прежняя конструкция32 давала для первых четырёх N степени
232,406,3675,17118. Порядок log Q=O(Nlog(N+1)) уже получен в50;
самостоятельный выигрыш47 касается степени и конкретных границ.

Точный конечный пример: A={1},m=3,q=380208.
Целочисленный Laurent P имеет симметричные коэффициенты, при k=0..6:
[841326,86374,-4482,466,-61,9,-1]. Другие коэффициенты нулевые.
Для q^2H-|P|^2 диагональный запас144551014200;
W-ошибка относительно постоянной q^2 равна7109064<q^2/2.
У этого простого H имеется также q=1; минимальность большого q не заявлена.

48. МОНИЧЕСКИЙ ПОМОЩНИК И ЕГО УДАЛЕНИЕ

Лемма: если монический C in Z[i][z] имеет все корни на окружности,
то допустимые знаменатели H и H|C|^2 совпадают.
Прямое направление — умножение факторов на C. Для обратного:
q^2H|C|^2=sum|R_j|^2. В корне C кратности r левая часть вдоль окружности
имеет порядок не меньше2r. Неотрицательность слагаемых заставляет
каждый R_j иметь этот корень кратности не меньшеr. Следовательно,
C делит все R_j. Деление на монический Gaussian-целый полином не
вводит знаменателей. После удаления |C|^2 получаем SOS для H с тем жеq.
Laurent-факторы предварительно сдвигаются мономами в обычные полиномы.

Теорема: для ЛЮБОГО строго положительного действительного целочисленного
симметричного Laurent H существует монический целочисленный C, для
которого H|C|^2 строго диагонально доминирует и имеет целочисленную SOS.

Полное основание существования. Пусть mu=minH>0,C0>=maxH,
F=1-H/C0, 0<=F<=rho=1-mu/C0<1. Для N положительных частот H
||F^k||_W<=(2k+1)^(N/2)rho^k. Коэффициенты обратного квадратного корня
binom(2k,k)/4^k<=1, поэтому ряд для W=H^(-1/2) абсолютно сходится вW.
Выбираем конечный симметричный P с ||H|P|^2-1||_W<=1/8.
Пусть support P subset[-r,r], s=#support P, B=||P||_W,J=||H||_W>=1.
Округляем MP до целого T_M с ошибкой||T_M/M-P||_W<=s/(2M).
Положим C_M=z^rT_M+z^(2r+1); он монический. Расстояние C_M/M от z^rP
не большеeta=(s/2+1)/M. При eta<=1/[8J(2B+1)] изменение
||H|C_M/M|^2-H|P|^2||_W<=J eta(2B+eta)<=1/8.
Значит ||H|C_M|^2/M^2-1||_W<=1/4, диагональный запас>=3M^2/4>0.
Целые веса диагонального разложения дают integer SOS.

ТОЧНЫЙ ПРИМЕР, ГДЕ ПОМОЩНИК МЕНЯЕТ ПРЕДСТАВИМОСТЬ:
A={1,2,3,5,6,7,8},m=2,H=4+sum_{a in A}(z^a+z^(-a)).
C степени65 задан коэффициентами по возрастанию степени:
[-12,-22,-21,-5,10,11,9,17,32,26,-2,-30,-25,-13,-21,-42,
-31,21,60,62,5,18,49,55,-80,-125,-91,-34,55,-73,-51,9,
679,9,-51,-73,55,-34,-91,-125,-80,55,49,18,5,62,60,21,
-31,-42,-21,-13,-25,-30,-2,26,32,17,9,11,10,-5,-21,-22,-12,1].
Для G=H|C|^2 точный расчёт всех147 коэффициентов дал
g0=1004910, sum_{k>0}|gk|=395377, диагональный запас214156.
Компактное разложение реализуется609533 квадратами при повторении весов.
Именно эти числа были независимо пересчитаны другим проверяющим.
Исходный H не имеет integer SOS по энергетическому запрету ниже.
Из строгого доминирования G также следует H>0 на всей окружности.

Удаление общего помощника даёт R_j/C — рациональные ФУНКЦИИ отz,
а не обязательно полиномы с рациональными числовыми коэффициентами.
Поэтому данный результат не устраняет q-препятствие исходной задачи.
У C из примера обязательно есть корень вне окружности: иначе лемма
отмены противоречила бы отсутствию integer SOS у H.

49. СОГЛАСОВАНИЕ ДВУХ СЕРТИФИКАТОВ НЕ УСТРАНЯЕТ НОД ЗНАМЕНАТЕЛЕЙ

Для H из48 имеются следующие точные сертификаты, найденные в50:
q=81, P коэффициентами[51,47,38,26,-15,33,25,9,128];
остаток q^2H-|P|^2 при степенях0..8:
[910,73,-9,-53,-50,33,-1,86,33], диагональный запас234.

q=128, P коэффициентами[81,75,60,41,-24,52,39,15,203];
остаток при степенях0..8:
[1834,-77,-4,-52,-39,24,-80,-56,-59], запас1052.
Остатки симметричны; диагональное разложение выше даёт полные SOS.

При q=1 общая энергия коэффициентов была быE=4. Для каждого фактора
l_j=sum|r_jk|<=e_j=sum|r_jk|^2, поскольку ненулевой Gaussian-целый
коэффициент имеет модуль>=1. Сумма модулей положительных коэффициентов
не больше(1/2)sum(l_j^2-e_j)<=(E^2-E)/2=6. Но уH эта сумма7.
Следовательно,q=1 невозможен при любых степенях и числе факторов.
Так какgcd(81,128)=1, универсальная gcd-склейка опровергнута.
Это пример со строго положительным H приm2; отдельно ограниченная
гипотеза только дляm=floorK+2 этим примером не опровергнута.

Положительный результат: пустьq1,q2 допустимы,d=gcd(q1,q2),u=q1/d,v=q2/d.
Любойr с d|r иr/d>=uv допустим. Дляt=r/d выбираем0<=b<u^2,
bv^2=t^2 mod u^2. Тогдаa=(t^2-bv^2)/u^2>=0, посколькуt>=uv,
иr^2=aq1^2+bq2^2. Объединениеa копий первого иb копий второго
сертификатов доказывает утверждение. При u=1 можно взять b=0.
Склейка работает к большим знаменателям, а не к их НОД.

ИСПОЛЬЗОВАННЫЕ ПЕРВИЧНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

L.N.Trefethen, авторская глава8, Theorems8.1–8.2:
https://github.com/chebfun/ATAP/blob/development/chap8.m
https://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/ATAP/

S.Bernstein,1912, оригинальный скан:
https://people.math.osu.edu/nevai.1/AT/BERNSTEIN/bernstein=bern1912_1=french=brussels=optimized=OCR.pdf

E.Artin, Über die Zerlegung definiter Funktionen in Quadrate,1927:
https://doi.org/10.1007/BF02952513
Доступный перевод оригинального текста:
https://webmath.univ-rennes1.fr/geomreel/seminaire_fichiers/Artincomplet.pdf

Эта реконструкция сохраняет публичные формулировки, доказательства,
контрпримеры и границы результатов. Она не содержит внутреннего потока
рассуждений и не утверждает, что потерянные исходные файлы восстановлены
побайтно. Новые проверки реконструированных чисел должны иметь отдельную
датированную запись; прежние успешные проверки указаны как сведения
из сохранившегося журнала беседы.