РЕКОНСТРУКЦИЯ НАУЧНОЙ ЗАПИСИ: БИОЛОГИЧЕСКИЕ АНАЛОГИИ 41–43 СТАТУС ДОКУМЕНТА Предыдущие рабочие файлы утрачены после сбоя среды. Этот текст заново составлен по сохранившемуся контексту разговора. Он не является восстановлением прежних байтов, исходных JSON-сертификатов или прежнего кода. Все приведённые ниже доказательства записаны вновь. Для конечной части №42 отдельно отмечено, какие проверки были фактически выполнены до сбоя и пока не воспроизведены в восстановленной среде. Научная новизна не установлена. Общая задача Чоулы не решена и не опровергнута. Биологические статьи мотивируют аналогии, но не подтверждают наши математические утверждения. ПОСТАНОВКА A — непустое конечное множество различных положительных целых чисел, N=|A|, f_A(x)=sum_{a in A} cos(ax), K(A)=-min_x f_A(x). Во всех исходных суммах амплитуды равны единице, фазы нулевые. Цель: одна абсолютная c>0 с K(A)>=c*sqrt(N) для всех A. 41. СИНХРОНИЗАЦИЯ ОСЦИЛЛЯТОРОВ И ОБЩЕЕ ВРЕМЯ Биологическое основание: A. T. Winfree, Biological rhythms and the behavior of populations of coupled oscillators, J. Theor. Biol. 16(1), 15–42 (1967), DOI 10.1016/0022-5193(67)90051-3. В первичной работе рассматривается временная организация слабовзаимодействующих осциллирующих элементов. Проверяемое ниже синусоидальное уравнение задано нами как математический эксперимент; оно не приписывается буквально этой статье. Модель: theta'_a = a + C_a(theta), C_a(theta) = (kappa/N)*sum_b sin(theta_b-theta_a), theta_a(0)=0. Допустимые исходные фазы принадлежат одномерной орбите M_A={(a*x)_a mod 2pi}. Чтобы переносить результаты дополнительной динамики в Чоулу, необходимо отдельно проверить сохранение этой орбиты. УТВЕРЖДЕНИЕ 41.1. При N>=2 и kappa!=0 модель не сохраняет M_A. Решение с нулевыми начальными фазами покидает её при достаточно малых положительных временах. Доказательство. Попарное сокращение даёт sum_a C_a(theta)=0. Касательный к M_A вектор связи должен иметь вид C_a=a*v. Положительность sum_a a тогда вынуждает v=0. Но при theta_a=a*x имеем C_a = kappa*(a_bar-a)*x + O(x^3), a_bar=(sum_a a)/N. Вектор (a_bar-a) ненулевой для различных частот. Более непосредственно: theta_a(t)=a*t+(kappa/2)*(a_bar-a)*t^2+O(t^3). При сохранении исходной орбиты тождество sum_a theta_a=t*sum_a a вынуждало бы общий параметр x(t)=t, что противоречит ненулевому квадратичному члену. Количественная проверка: S2=sum_a a^2, V=S2-N*a_bar^2>0. Квадрат нормы компоненты kappa*(a_bar-a), ортогональной вектору (a), равен kappa^2*N*a_bar^2*V/S2>0. Если принудительно проецировать вектор поля на (a), получаем лишь x'=1+kappa/(2*N*S2) * d|P_A(x)|^2/dx, P_A=sum_a exp(i*a*x). Это следует из sum_a a sum_b sin((b-a)x)=(1/2)d|P_A|^2/dx. При строго положительной скорости меняется параметризация прежней окружности, а минимум f_A остаётся тем же. Нули скорости могут мешать её полному прохождению. Область вывода: опровергнут прямой перенос конкретной модели связанных фаз, а не все возможные специально устроенные связи. До сбоя точные алгебраические тождества были дополнительно проверены для всех 1013 подмножеств {1,...,10} мощности >=2. Общий вывод обеспечивается доказательством, а не этим перебором. 42. ЭПИСТАЗ: СТРОГАЯ ЛОВУШКА ОДИНОЧНОГО ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ОТБОРА Биологическое основание: Daniel M. Weinreich, Nigel F. Delaney, Mark A. DePristo, Daniel L. Hartl, Darwinian evolution can follow only very few mutational paths to fitter proteins, Science 312, 111–114 (2006), DOI 10.1126/science.1123539. Авторский abstract сообщает зависимость эффекта мутаций от комбинации остальных мутаций. Из этого заимствована идея зависимости улучшения от контекста. Математический «генотип» — набор A фиксированной мощности, приспособленность — -K(A). Одиночное изменение заменяет a in A на b in N\A без дробных амплитуд. УТВЕРЖДЕНИЕ 42.1, ПОДТВЕРЖДЁННОЕ ДО СБОЯ: A0={1,4,5,6}: 1811/1000 < K(A0) < 1812/1000. Для всех a in A0 и всех положительных целых b not in A0: K((A0\{a}) union {b}) > 19/10. Однако B={1,2,3,4}: 1519/1000 < K(B) < 1520/1000. Следовательно, A0 — строгий локальный, но не глобальный минимум по всем одиночным заменам, включая сколь угодно большие частоты. Две конкретные замены: исходный {1,4,5,6}: 1.8112, {1,2,4,6}: 2.1183, {1,3,4,5}: K=2; оба изменения, {1,2,3,4}: 1.519=500 полностью доказывается вновь без потерянных данных. Для остатка C=A0\{a} выбираем: a=1, C={4,5,6}, theta0=pi/6, f_C(theta0)=-(3+sqrt(3))/2; a=4, C={1,5,6}, theta0=pi/2, f_C(theta0)=-1; a=5, C={1,4,6}, theta0=5pi/6, f_C(theta0)=-(3+sqrt(3))/2; a=6, C={1,4,5}, theta0=2pi/3, f_C(theta0)=-3/2. Во всех случаях f_C(theta0)<=-1 и |f'_C|<=sum(C)<=15. Выбираем ближайшее к theta0 нечётное кратное pi/b. Тогда |theta-theta0|<=pi/b и cos(b*theta)=-1. Отсюда K(C union {b})>=2-15pi/b>=2-3pi/100>667/350>19/10, где использовано pi<22/7. Область вывода: принцип «каждый неглобальный набор допускает одиночное улучшение» ложен. Для предъявленной ловушки совместное изменение двух частот полезно. Не доказаны универсальный радиус изменений, классификация всех локальных минимумов или асимптотическая оценка Чоулы. 43. НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГУЛЯЦИЯ ПОПУЛЯЦИИ СОЗДАЁТ НОВЫЕ ГАРМОНИКИ Биологическое основание: R. A. Fisher, The wave of advance of advantageous genes, Annals of Eugenics 7, 355–369 (1937), DOI 10.1111/j.1469-1809.1937.tb02153.x. На первых страницах первичной статьи проверена модель диффузии и член mpq при q=1-p. Алгебраические утверждения ниже не приписываются Fisher. Проверяемый перенос: представить неотрицательную функцию u_A=1+f_A/K как равновесие Lu+R(u)=0, где L — линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами, R — пространственно однородный полином степени p>=2 со старшим коэффициентом beta!=0. УТВЕРЖДЕНИЕ 43.1. Непостоянный вещественный конечный тригонометрический полином u не может удовлетворять такому уравнению. Если D — его наибольшая положительная частота, c_D!=0 — комплексный коэффициент, то коэффициент R(u) при pD равен beta*c_D^p. Получить pD в u^p можно только выбором D во всех множителях. У младших степеней u и у Lu этой частоты нет. Следовательно, равенство невозможно. Для u=alpha+eta*f_A, eta!=0, Парсеваль по двум частотам +/-pD даёт ||Lu+R(u)||_2 >= sqrt(2)*|beta|*(|eta|/2)^p. Норма использует dx/(2pi). Для u_A=1+f_A/K и квадратичного R: ||Lu_A+R(u_A)||_2 >= |beta|/(2*sqrt(2)*K^2). Поэтому равномерная цель ||Lu_A+R(u_A)||_2<=C/N при фиксированном beta!=0 дала бы K >= sqrt(|beta|/(2*sqrt(2)*C))*sqrt(N). Однако именно эта достаточная цель опровергается бесконечной семьёй A_N={1,...,N}. ВНЕШНИЕ ЧАСТОТЫ ИНТЕРВАЛЬНОГО НАБОРА. Для N= beta^2/(8*K^4)*sum_{j=1}^N j^2 = beta^2*N*(N+1)*(2N+1)/(48*K^4). Из K<=N следует ||Lu_A+R(u_A)||_2 >= |beta|/sqrt(24*N). Неравенство C/N для всех N вынуждало бы N<=24*C^2/beta^2 и потому невозможно. Область вывода: исключены точные конечные равновесия указанной скалярной однородной модели и конкретная слишком сильная оценка невязки. Не исключены многокомпонентные системы, неоднородные коэффициенты, нелинейные производные, бесконечные спектры и иные количественные мосты. До сбоя отдельно проверялись 12 конечных свёрточных примеров реакций и восемь примеров точной внешней энергии. Общие выводы полностью следуют из заново записанных доказательств. ПЕРВИЧНЫЕ ИСТОЧНИКИ, ПРОВЕРЕННЫЕ В ПРЕЖНЕМ ЭТАПЕ РАЗГОВОРА Winfree: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0022519367900513 https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/6035757/ Прямое открытие издателя давало 403; был доступен индексированный авторский abstract, библиография проверена по PubMed. Weinreich et al.: https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/16601193/ Прочитан первичный авторский abstract. Fisher: https://math.mit.edu/~dunkel/Teach/18.S995_2014F/paper_suggestions/fisher.pdf https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/j.1469-1809.1937.tb02153.x Просмотрены изображения страниц первичной статьи с моделью. Эти URL сохраняют библиографию; они не являются внешней экспертизой наших доказательств.