# Подход 40. Менять фазу фактора и растягивать частоты ради рациональных коэффициентов 18 октября 2026 UTC / 17 октября America/Chicago. Исходный класс: f_A(x)=sum_{a in A}cos(ax), A — конечное непустое множество различных положительных целых частот, N=|A|, K(A)=-min_x f_A(x). Цель остаётся K(A)>=c*sqrt(N) с одной абсолютной c>0. ## 40.1. Проверяемые необычные механизмы У обычного спектрального фактора можно менять выбор взаимно обратных корней и общую фазу, сохраняя квадрат его модуля на окружности. Кроме того, замена всех частот a на L*a не меняет K. Проверяем две возможности: 1. Можно ли выбором фаз и корней всегда сделать ОДИН точный спектральный фактор рациональным, а затем ограничить его общий знаменатель? 2. Можно ли общим целочисленным растяжением частот уменьшить минимальный знаменатель, если разрешено произвольное конечное число факторов? Это отличается от №26: там целочисленная сумма любого числа квадратов опровергнута примером из семи частот. Здесь проверяется один рациональный фактор с любым знаменателем и действие растяжения частот на все суммы квадратов. Подстановка z=e^{ix}; рациональные комплексные коэффициенты понимаются как Q(i), то есть обе компоненты рациональны. ## 40.2. Один рациональный фактор может не существовать ни при каком знаменателе **Утверждение.** Для каждого целого m>=2 полином H_m(z)=2m+z+z^(-1) строго положителен на окружности, но не существует Laurent-полинома Q с коэффициентами в Q(i), для которого H_m=|Q|^2. **Доказательство.** Пусть крайние ненулевые коэффициенты Q имеют показатели r и s, r<=s. Fourier-коэффициент |Q|^2 при частоте s-r равен произведению двух крайних коэффициентов с сопряжением и не равен нулю. Поэтому из степени H_m=1 следует s-r=1. После умножения на моном z^(-r) можно записать Q=a+bz, где a,b ненулевые гауссовы рациональные числа. Сравнение коэффициентов даёт |a|^2+|b|^2=2m, b*conj(a)=1. Положим t=|a|^2. Число t положительно и рационально, |b|^2=1/t, поэтому t^2-2m*t+1=0, t=m +/- sqrt(m^2-1). Для целого m>=2 число m^2-1 лежит строго между (m-1)^2 и m^2. Его квадратный корень иррационален: рациональный квадратный корень целого обязан быть целым. Получено противоречие. Любой выбор общей фазы и взаимно обратных корней уже охвачен этим аргументом. Доказательство завершено. При этом конечное разложение с ЦЕЛЫМИ коэффициентами существует: H_m(z)=|1+z|^2 + (2m-2)*|1|^2. Последний член означает 2m-2 одинаковых квадратов. Следовательно, невозможность одного рационального фактора не означает невозможность рациональной или даже целочисленной суммы квадратов. Для самого набора A={1} имеем K=1; он не является контрпримером к Чоуле. ## 40.3. У одного фактора растяжение действительно может изменить арифметику Показателен точный пример при m=3: 6+z+z^(-1) не имеет одного фактора над Q(i); 6+z^2+z^(-2)=|1+2iz+z^2|^2. Второе тождество следует и непосредственно: 1+2i*e^(ix)+e^(2ix)=e^(ix)*(2*cos x+2i), |1+2i*e^(ix)+e^(2ix)|^2=4*cos^2 x+4=6+2*cos(2x). Таким образом, представимость одним рациональным фактором не инвариантна относительно общего целочисленного растяжения частот. В обоих случаях число исходных частот равно одному и K=1. Это иллюстрирует, почему нельзя заменять вопрос о произвольной сумме квадратов вопросом об одном факторе. ## 40.4. Для произвольного числа факторов знаменатель инвариантен Пусть m — одно и то же положительное целое, а q — положительное целое. Разрешаем любое конечное число Laurent-факторов с коэффициентами в (1/q)*Z[i], произвольных степеней. **Теорема.** Для каждого целого L>=1 эквивалентны: 2m+2f_A(x) допускает такую сумму квадратов со знаменателем q; 2m+2f_(L*A)(x) допускает такую сумму квадратов со знаменателем q. **Прямое направление.** Подставить z^L вместо z во все факторы. **Обратное направление.** Пусть H(z^L)=sum_j |Q_j(z)|^2. Разложим показатели каждого вспомогательного фактора по остаткам modulo L: Q_j(z)=sum_(r=0)^(L-1) z^r Q_(j,r)(z^L). Для Laurent-показателей используется обычное целочисленное деление с остатком от 0 до L-1. Все коэффициенты Q_(j,r) сохраняют знаменатель q. Усредним тождество по заменам z на omega^s*z, где omega — примитивный L-й корень единицы и 0<=sK существование ранее доказано в №26. Поскольку K(L*A)=K(A), равенство применимо и к выбору m=floor(K)+1, и к выбору m=floor(K)+2 с дополнительным положительным запасом. Формула использует разбиение вспомогательного сертификата по остаткам; исходная гипотеза и исходная сумма волн не заменяются задачей о свободно регулируемых амплитудах или фазах. ## 40.5. Что установлено и чего не следует Оба предложенных коротких пути к ограничению знаменателя закрыты в точном указанном смысле. Один рациональный фактор может отсутствовать даже для одной исходной частоты. Общее целочисленное растяжение частот вообще не меняет минимальный знаменатель произвольной суммы квадратов. Это даёт полезное нормирование для дальнейшего поиска: общий делитель частот можно убрать, сохранив и K, и q_min. Ограничения знаменателя через N или абсолютной константой отсюда не получено. Теорема Чоулы не доказана и не опровергнута. Новизна этих вспомогательных утверждений не устанавливалась. Точные коэффициентные проверки приведены в phase_dilation_40_checks.py. Конечные примеры дополняют приведённые общие доказательства и не используются вместо них.