# Подходы 31–33: локальная арифметика, явный знаменатель и конечность факторов 18 октября 2026 года, UTC. Проверяемая исследовательская запись для статьи. Новизна не установлена. Общего решения гипотезы Чоулы здесь нет. ## Общая постановка Пусть A — набор N различных положительных целых чисел, f_A(t)=sum_{a in A} cos(at), K(A)=-min_t f_A(t). Введём \[ H(z)=2m+\sum_{a\in A}(z^a+z^{-a}),\qquad D=\max A, \] где m — положительное целое. Для положительного целого q рассматривается точное равенство на окружности \[ q^2H(z)=\sum_j|R_j(z)|^2,\qquad R_j\in\mathbb Z[i][z,z^{-1}].\tag{*} \] Число факторов и их степени конечны, но заранее не ограничены. При таком равенстве полная энергия коэффициентов факторов равна E=2mq^2. Ранее, в подходе 26, доказано N<=2m^2q^2-m. Абсолютная общая граница q при m=K+O(1) была бы достаточна для Чоулы; такая граница по-прежнему не получена. ## 31. Локальная арифметика: что теряется при редукции по модулю ### 31.1 Проверяемые утверждения Проверялись две разные гипотезы: 1. Некоторые A,m не допускают формального разложения (*) уже по модулю подходящего целого числа M, независимо от энергии предполагаемых факторов. 2. Локальная проверка по модулю не способна установить точное разложение, даже если сохранить точный верхний предел энергии E. Оба утверждения в такой форме неверны. Без энергетического ограничения локальное разложение всегда существует. При ограниченной энергии достаточно большого модуля, напротив, достаточно для точного равенства. ### 31.2 Без ограничения энергии все модули проходят Для любого M>=2 выберем 0<=cE+q^2.}\tag{31.2} \] Тогда (*) выполняется точно над целыми числами. **Доказательство.** Пусть c_d — d-й коэффициент sum_j |R_j|^2. Его постоянный коэффициент c_0 есть неотрицательная энергия и 0<=c_0<=E. Так как c_0 congruent to E modulo M и M>E, получаем c_0=E. Для каждого d != 0 неравенство Коши или 2|uv|<=|u|^2+|v|^2 даёт \[ |c_d|\le E. \] Целевой коэффициент t_d равен q^2 при d in A union (-A) и нулю иначе. Поэтому \[ |\operatorname{Re}c_d-t_d|\le E+q^2=2m+2N — любое положительное целое. Обозначим \[ d=\lceil N/2\rceil,\quad \rho=1-\gamma/C,\quad \theta=(1+\rho)/2,\quad B(x)=\frac{3^d d!}{(1-x)^{d+1}}. \] Выберем целое R>=0, удовлетворяющее \[ \left(\frac\rho\theta\right)^{R+1} \le\frac{\gamma}{8C B(\rho)B(\theta)}.\tag{32.1} \] Такой R существует, поскольку 0=1 и B(rho)>=1. ### 32.4 Рациональные коэффициенты и точное поглощение остатка F имеет действительные симметричные коэффициенты с знаменателем, делящим bC. Для k>=1 \[ \binom{1/2}{k}(-1)^k =-\frac{2\,\mathrm{Catalan}_{k-1}}{4^k}. \] Числа Catalan целые, следовательно, все коэффициенты Q_R лежат в q^{-1}Z с q из (32.2). На окружности Q_R действителен, поэтому Q_R^2=|Q_R|^2. Множитель C не требует извлечения иррационального квадратного корня: C|Q_R|^2 — это сумма C одинаковых квадратов. Остаток \[ S=H-C|Q_R|^2=s_0+\sum_{a>0}s_a(z^a+z^{-a}) \] имеет конечный носитель и коэффициенты в q^{-2}Z. Из (32.5) \[ s_0-2\sum_{a>0}|s_a| \ge\gamma-\|S-\gamma\|_W>\gamma/2>0. \] Следовательно, \[ S=\left(s_0-2\sum_{a>0}|s_a|\right) +\sum_{a:s_a\ne0}|s_a|\,|1+\operatorname{sign}(s_a)z^a|^2. \] Каждый положительный вес имеет вид u/q^2 с целым u>0. Его можно представить u одинаковыми квадратами с коэффициентами, делёнными на q. Поэтому общий знаменатель остаётся q, **не q^2**. Это завершает точное конечное разложение H и доказательство (32.2). ### 32.5 Универсальная по частотам граница при заданном N Для любого A можно взять \[ m=\lfloor K(A)\rfloor+2,\qquad\gamma=1,\qquad C=4N+4. \] Тогда m-K>1, то есть H>2; это зазор для H, а не для f отдельно. Так как K<=N, имеем m<=N+2 и 2m+2N<=C. Все параметры (32.1)–(32.2) теперь зависят только от N, а не от A или max A. При этом \[ B(\rho)=3^d d! C^{d+1},\quad B(\theta)=2^{d+1}B(\rho),\quad \rho/\theta=1-\frac1{2C-1}. \] Поэтому достаточно R=O(N^2 log(N+1)), а \[ \log q=O\bigl(N^2\log^2(N+1)\bigr). \] Это доказанная частотонезависимая оценка существования, однако она слишком велика, чтобы через N<=2m^2q^2-m получить масштаб sqrt(N). Если бы вместо неё удалось получить q<=q_0 с абсолютной постоянной, то m<=K+2<=3K (используется K>=1) дало бы K>=sqrt(N)/(3 sqrt(2) q_0). Такого усиления не доказано. ## 33. Дискретная автокорреляция и явная конечная проверка знаменателя ### 33.1 Проверяемое утверждение Можно ли при фиксированных A,m,q точно решить существование (*) конечным поиском, если заранее разрешены любые степени факторов? **Да.** Ниже выводится явный предел степени хотя бы одного разложения, если разложение вообще существует: \[ \boxed{\deg R_j\le \bigl(\max(D+1,4)+1\bigr)^{E+N},\qquad E=2mq^2.}\tag{33.1} \] Утверждение относится к существованию ограниченного представителя. Другие разложения той же H могут иметь неограниченные степени. ### 33.2 Коэффициентные конфигурации У каждого ненулевого Gaussian-целого коэффициента квадрат модуля не меньше единицы. Поэтому при энергии E общее число ненулевых коэффициентов всех R_j не превосходит E; число ненулевых факторов также не превосходит E. Каждый коэффициент лежит в конечном множестве {u+iv: u,v целые, u^2+v^2<=E}. Сдвиг каждого отдельного Laurent-фактора на моном |z|=1 не изменяет его квадрат модуля. Поэтому сначала нормируем минимальную степень каждого ненулевого фактора к нулю. Введём отсортированный вектор v всех различных положительных степеней факторов, добавив координаты для всех a in A и для числа 1. Пусть число координат равно t. Так как у каждого фактора есть ненулевой коэффициент при нулевой степени, \[ t\le(E-1)+N+1=E+N. \] Равенство двух положительных разностей степеней задаётся целочисленным отношением длины не больше четырёх. Совпадение разности с исходной частотой a задаётся отношением длины не больше трёх. Поэтому сохранение всех таких равенств и неравенств сохраняет все автокорреляционные коэффициенты, включая компенсации до нуля на посторонних частотах. ### 33.3 Сжатие с исходными частотами в качестве якорей Положим r=max(D+1,4). Для всех целочисленных h с ||h||_1<=r построим систему относительно вещественного вектора x: h*x = 0, если h*v=0; h*x >= 1, если h*v>0; -h*x >= 1, если h*v<0. Она осуществима: исходный целочисленный v ей удовлетворяет. Система содержит x_i>=1 и x_{i+1}-x_i>=1. Минимизация sum_i x_i имеет непустую ограниченную оптимальную грань; можно выбрать вершину с t линейно независимыми активными строками. Эти строки целочисленны, имеют l1-нормы не больше r, а правые части равны нулю или единице. По правилу Крамера, умножение выбранной вершины на модуль её ненулевого целочисленного определителя даёт положительный строго возрастающий целочисленный вектор b, сохраняющий все нулевые и ненулевые отношения. Неравенство Адамара для числителей Крамера даёт \[ \max_i b_i\le(r+1)^t.\tag{33.2} \] Это тот же элементарный механизм сжатия отношений, который использован в подходе 8; новым здесь является его применение к коэффициентным носителям, с фиксированными арифметическими якорями A и последующим возвращением исходного масштаба. Пусть L=b_1 соответствует координате исходного числа 1. Для каждого a in A отношение v_a-a v_1=0 имеет длину a+1<=D+1. Следовательно, b_a=aL. Заменяя степени факторов по v->b, получаем с теми же Gaussian-целыми коэффициентами точное равенство \[ q^2H(z^L)=\sum_j|\widetilde R_j(z)|^2. \] Отсутствие новых равенств разностей гарантирует, что ненужные компенсации не разрушились и новые ненулевые коэффициенты не возникли. Полная энергия остаётся E. ### 33.4 Возврат исходного масштаба без изменения q Используется лемма о дилатации из подхода 40; этот шаг не считается отдельным независимым результатом. Разложим каждый вспомогательный фактор по остаткам его степеней modulo L: \[ \widetilde R_j(z)=\sum_{s=0}^{L-1}z^s S_{j,s}(z^L). \] Усреднение равенства по z->omega*z, omega^L=1, убирает перекрёстные слагаемые с разными остатками. Получается \[ q^2H(w)=\sum_{j,s}|S_{j,s}(w)|^2. \] Коэффициенты остаются Gaussian-целыми, энергия остаётся E, а их степени не превосходят max b_i/L<=max b_i. Вместе с (33.2) это даёт (33.1). Все исходные частоты A сохранены; группируются коэффициенты вспомогательных факторов, а не заменяется постановка исходной задачи. ### 33.5 Почему нельзя ограничивать каждое исходное представление Даже при фиксированных A,m,q и после нормировки минимальных степеней существуют разложения произвольно большой ширины. Например, \[ A=\{1,2,3\},\quad m=2,\quad q=2, \quad P=1+z+z^3,\quad H=|P|^2+1. \] Для любого положительного L положим \[ R_1=(1+z^L)P+(1-z^L),\qquad R_2=(1-z^L)P+(1+z^L). \] Прямое тождество на окружности даёт \[ |R_1|^2+|R_2|^2=4(|P|^2+1)=q^2H. \] При L>3 оба фактора имеют минимальную степень 0, максимальную L+3, а общая энергия всегда E=16. Поэтому энергия не ограничивает ширину данного представления. Теорема (33.1) утверждает существование другого ограниченного представления, что этому примеру не противоречит. ### 33.6 Конечный алгоритм и границы результата При фиксированных A,m,q предел (33.1), число коэффициентов <=E, число факторов <=E и конечный список возможных Gaussian-целых коэффициентов дают буквальный конечный перебор всех кандидатов. Каждый кандидат проверяется точной автокорреляцией. Поэтому можно в принципе установить как существование, так и несуществование разложения с данным q, несмотря на исходно неограниченные степени. Это не обещание практической скорости: пределы очень велики. Приведённый демонстрационный код не выполняет весь такой перебор и не объявляет вычисленным минимальный q для новых наборов. Для строго положительного H подход 32 дополнительно ограничивает один существующий q через N,m,зазор. В сочетании результаты дают конечную процедуру поиска минимального знаменателя для данного строго положительного H. Они не дают абсолютной границы q для всех N. ## Проверка и область выводов Сопровождающий код выполняет точные целочисленные и рациональные проверки локальных тождеств, биномиального построения, поглощения остатка и конфигурации с неограниченной шириной. Демонстрационные разложения с огромным числом одинаковых квадратов записываются компактно: сохраняется целая кратность и сам фактор. Это точная форма записи конечной суммы, а не замена весов исходной волны. Доказанные утверждения являются ограниченными результатами о представлениях положительных сумм. Все зависимости от N и зазора указаны явно. Ни отсутствие контрпримера, ни конечность процедуры не доказывают искомую оценку K>=c sqrt(N). ### Фактическое выполнение проверок Файл `denominators_31_33_checks.py` выполнен успешно, все проверки прошли. Результаты находятся в `denominators_31_33_results.json`. - Для подхода 31 точно проверены десять формальных модульных представлений с явным сопоставлением фактической и требуемой энергии. - Для подхода 32 полностью построено рациональное SOS при A={1}, m=2, gamma=1, C=6. Выбранный консервативный порядок R=153, общий знаменатель q=24^153 содержит 212 десятичных цифр. Проверены все целые коэффициенты, точное восстановление H, строгая диагональная доминантность остатка и энергия 2mq^2. Тот же q и тот же сертификат с пересчитанными показателями проверены при частоте 1 000 003. Эти примеры не объявляются оптимальными: для данного одночастотного H существует существенно более простое целочисленное разложение. - Для универсальной формулы при N=1,2,7,16 точно подобраны достаточные порядки R=232,406,3675,17118 соответственно. Это проверки формулы верхней границы, а не вычисление минимальных знаменателей. - Для подхода 33 проверено постоянство энергии E=16 у представлений с шириной до 10^15+10, существование короткого представителя степени три и сохранение знаков всех 681 отношения l1-длины не больше четырёх в конкретном сжатии пяти координат. Ни один сертификат не использует арифметику с плавающей точкой или проверку непрерывной неотрицательности только по сетке.