# Уточнение к прежнему подходу 13: область разрешённых частот

18 октября 2026 UTC. Это дополнение к ранее проверенному подходу,
оно не считается ещё одним новым пунктом сверх номеров 31–40.

В полном первоначальном доказательстве constructive.md область игры
правильно ограничена частотами 1,...,2N. В кратком русском указателе
это ограничение было опущено. Сейчас указатель уточнён. Само доказательство
первоначальной конечной игры изменения не требует.

## Общая конечная формула

Пусть игрок выбирает случайное N-элементное множество из {1,...,M-1},
где M>=2N. Время выбирается против математического ожидания суммы,
а не после наблюдения реализованного множества. Значение такой игры:

    inf_law(A) max_x E[-f_A(x)] = N/(M-1).

Для верхней оценки возьмём вероятности включения

    p_a = (2N/(M-1))*(1-a/M),   1<=a<M.

Их сумма N, а максимальная вероятность 2N/M<=1. Случайное округление
накопленных сумм с одним равномерным сдвигом U из [0,1) даёт именно
N-элементное множество с этими вероятностями включения:

    S_a=sum_(j<=a) p_j,
    b_a(U)=floor(S_a+U)-floor(S_(a-1)+U).

Каждое b_a есть 0 или 1, сумма равна N, среднее равно p_a. Поэтому

    E f_A(x) = N/(M-1)*(F_M(x)-1) >= -N/(M-1),

где F_M — неотрицательное ядро Фейера. Для обратной оценки равномерное
распределение времени по M-1 нетривиальным M-м корням единицы даёт
каждому разрешённому косинусу среднее -1/(M-1), а каждой сумме —
-N/(M-1). Это завершает доказательство точного значения.

Прежний результат 1/2 получается при M=2N+1.

## Неограниченная область частот

Если разрешены все положительные целые частоты и фиксировано только N,
инфимум смешанной игры равен нулю: верхние оценки N/(M-1) стремятся
к нулю, а среднее по времени любой ожидаемой суммы равно нулю.

Инфимум не достигается. У любой вероятностной смеси N-элементных
множеств вероятности включения p_a удовлетворяют sum p_a=N. Поэтому
ожидаемый Fourier-ряд сходится абсолютно и равномерно, задаёт непрерывную
функцию со средним ноль и значением N в точке 0. Она должна принимать
строго отрицательное значение. Значит, её максимальная глубина
положительна, хотя может быть сколь угодно близка к нулю.

Это свойство ослабленной игры, не контрпример к Чоуле: математическое
ожидание имеет дробные амплитуды, а максимум берётся после усреднения.
Исходная задача допускает выбор времени после выбора конкретного набора.

Вывод проверен приведёнными точными тождествами. Численного поиска для
него не требуется. Новизна не заявляется.