# Независимая проверка подхода 32: рациональный SOS со знаменателем без max A

Дата: 18 октября 2026 года, UTC.

Проверенный документ: `denominators_31_33.md`, раздел 32.

**Математический вердикт: обязательных исправлений не обнаружено.** Доказана заявленная оценка существования конечного рационального SOS. Она зависит от N,m и заданного положительного зазора, но не от максимальной частоты. При дополнительном сдвиге m=floor K+2 получается одна граница q(N), с log q=O(N² log²(N+1)). Это внутренний независимый математический аудит; новизна и внешняя экспертиза не заявляются.

## 1. Проверка области значений F

Пусть

\[
H=2m+\sum_{a\in A}(z^a+z^{-a}),\qquad
H\ge2\gamma,\quad0<\gamma=a/b\le1,
\]

и целое C удовлетворяет C≥2m+2N. Тогда H≤C на окружности. Для

\[
F=1-(H-\gamma)/C,\qquad \rho=1-\gamma/C
\]

фактически имеем \(\gamma/C\le F\le\rho<1\). Более слабое неравенство 0≤F≤ρ, использованное в тексте, верно.

Таким образом, \(\|F^k\|_{L^2}\le\rho^k\) для любого k≥0. Оценка не использует величины частот или независимости фаз.

## 2. Размер носителя и норма коэффициентов

В любом мономе F^k показатель степени имеет вид \(\sum_{a\in A}h_a a\), где h_a — целые и Σ|h_a|≤k. Отсюда число различных показателей не превосходит (2k+1)^N. Разные векторы h могут давать одну частоту, что только уменьшает число членов.

По неравенству Коши для конечного вектора Fourier-коэффициентов и равенству Парсеваля,

\[
\|F^k\|_W\le\sqrt{\#\operatorname{supp}(F^k)}\,\|F^k\|_{L^2}
\le(2k+1)^{N/2}\rho^k.
\]

Этот переход корректен и при огромной разреженной степени полинома. Нельзя заменять число ненулевых коэффициентов длиной полного диапазона частот; в проверенном доказательстве такой ошибки нет.

## 3. Биномиальная сумма и хвост

При d=ceil(N/2)≥1 верны

\[
(2k+1)^{N/2}\le(2k+1)^d\le3^d(k+1)^d
\le3^d d!\binom{k+d}{d}.
\]

Последнее неравенство следует из
\(d!\binom{k+d}{d}=(k+1)\dots(k+d)\ge(k+1)^d\). Поэтому

\[
\sum_{k\ge0}(2k+1)^d x^k
\le B(x):=\frac{3^d d!}{(1-x)^{d+1}}.
\]

В частности, ряд квадратного корня сходится абсолютно в норме W, хотя норма W самой F может быть больше 1. Для этого действительно достаточно полученной специальной оценки норм её степеней.

При θ=(1+ρ)/2 и r=ρ/θ∈(0,1) хвост удовлетворяет

\[
T=\|W-Q_R\|_W
\le r^{R+1}\sum_{k>R}(2k+1)^d\theta^k
\le r^{R+1}B(\theta).
\]

Здесь используется r^k≤r^{R+1} при k>R; знаки и показатель степени правильны. Условие (32.1) даёт T≤γ/[8CB(ρ)]. Поскольку |F|≤ρ<1, значение суммы совпадает с положительным точечным квадратным корнем W=√(1−F).

## 4. Проверка постоянных ошибки

Положим B=B(ρ). Неравенства \(\|W\|_W\le B\), \(\|Q_R\|_W\le B+T\) и субмультипликативность дают

\[
\|(H-\gamma)-CQ_R^2\|_W
\le CT(2B+T)
\le\frac\gamma4+\frac{\gamma^2}{64CB^2}
\le\frac{17\gamma}{64}<\frac\gamma2.
\]

Использованные γ≤1, C≥1 и B≥1 обеспечивают последнее сравнение. Все постоянные (32.4)–(32.5) достаточны.

Можно отдельно оценить конечную сумму \(\|Q_R\|_W\le B\) и получить немного более сильную ошибку γ/4, но для доказанного результата это улучшение не требуется.

## 5. Проверка общего знаменателя

Коэффициенты F имеют знаменатель, делящий bC. Для k≥1

\[
\binom{1/2}{k}(-1)^k
=-\frac{2\operatorname{Catalan}_{k-1}}{4^k}.
\]

Следовательно, коэффициенты k-го слагаемого Q_R имеют знаменатель, делящий (4bC)^k, а знаменатели всей суммы делят

\[
q=(4bC)^R.
\]

F и Q_R имеют действительные симметричные Laurent-коэффициенты, поэтому Q_R принимает вещественные значения на окружности и Q_R²=|Q_R|². Это существенная проверенная предпосылка; без неё заменять квадрат на квадрат модуля было бы нельзя.

Поскольку C — положительное целое, C|Q_R|² действительно является суммой C одинаковых квадратов без введения √C в коэффициенты.

## 6. Точное SOS-поглощение остатка

Остаток S=H−C|Q_R|² имеет коэффициенты в q^{-2}Z. Из оценки ошибки следует

\[
s_0-2\sum_{a>0}|s_a|>\gamma/2>0.
\]

Значит, точное тождество

\[
S=\delta+\sum_{a>0}|s_a|\,|1+\operatorname{sign}(s_a)z^a|^2,
\quad \delta=s_0-2\sum_{a>0}|s_a|
\]

имеет только положительные рациональные веса. Каждый вес записывается u/q² с положительным целым u. Он реализуется u одинаковыми квадратами с коэффициентами в q^{-1}Z. В частности, для постоянного δ применяются постоянные факторы 1/q.

Таким образом, знаменатель факторов остаётся q. Увеличивать его до q² или извлекать квадратные корни из рациональных весов не требуется. Число факторов может быть огромным, но оно конечное, что соответствует постановке.

При необходимости каждый Laurent-фактор можно умножить на подходящий моном z^j, не изменяя квадрата модуля на окружности и не меняя знаменателя. Это даёт обычные полиномиальные факторы.

## 7. Граница, зависящая только от N

Выбор

\[
m=\lfloor K(A)\rfloor+2,\qquad\gamma=1,\qquad C=4N+4
\]

правильно обеспечивает m−K>1 и H>2γ. Из K≤N следует m≤N+2, поэтому C≥2m+2N.

Следовательно, d,ρ,θ,B,R и q можно выбрать как функции только N. Важно наличие ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО единичного запаса: при m=floor K+1 положительный зазор m−K мог бы приближаться к нулю, и данный вывод о q(N) автоматически не следовал бы.

В рассматриваемом выборе

\[
r=\rho/\theta=1-\frac1{2C-1},
\quad B(\rho)=3^d d!C^{d+1},
\quad B(\theta)=2^{d+1}B(\rho).
\]

Например, достаточен целый

\[
R=\left\lceil(2C-1)\log\bigl(8CB(\rho)B(\theta)\bigr)\right\rceil,
\]

поскольку r≤exp(−1/(2C−1)). Логарифм в скобках равен O(N log(N+1)), поэтому R=O(N² log(N+1)), а

\[
\log q=R\log(4C)=O(N^2\log^2(N+1)).
\]

Заявленный порядок роста подтверждён; максимальная частота в этих оценках нигде не появляется.

## 8. Что результат не устанавливает

Оценка относится к существованию рационального SOS и знаменателю его коэффициентов. Она не даёт абсолютного q, независимого от N, и потому не закрывает требуемый переход к K≥c√N.

Она также не даёт малых степеней факторов, малого числа факторов или быстрого алгоритма. При построении самого разложения нужно обрабатывать исходные частоты; степень Q_R может иметь порядок R·max A. Эффективность знаменателя не следует представлять как эффективность всей процедуры.

Все условия положительности и зазора остаются явными. Полученный SOS является точным после поглощения остатка, а не приблизительным численным сертификатом.

## Проверка исполнения

Авторский файл `denominators_31_33_checks.py` прочитан и независимо повторно выполнен. Все проверки прошли. Для A={1}, m=2, γ=1, C=6 воспроизведено точное разложение с R=153, q=24^153; проверены все целочисленные коэффициенты, точное поглощение остатка и полная энергия 2mq². Тот же знаменатель проверен после замены частоты1 на1000003. Большие кратности квадратов сохраняются целыми счётчиками; это точная конечная сумма, а не усечение.

Дополнительно выполнена независимая проверка степенной оценки в случае, когда обычная геометрическая оценка по W-норме F не работает. Для A={1,2}, m=2, γ=1/2, C=8 имеем

\[
F=\frac{9-2(z+z^{-1}+z^2+z^{-2})}{16},\qquad
\|F\|_W=17/16>1,\qquad\rho=15/16.
\]

Точной целочисленной свёрткой проверены все степени k=0,…,64: размер носителя не превосходит (2k+1)², а \(\|F^k\|_W\le(2k+1)(15/16)^k\). Результат сохранён в `audit_32_power_results.json`. Этот конечный дополнительный тест проверяет использование специального степенного механизма, но общая оценка для всех k и всех A основана на доказательстве выше.