# Подходы 34–36: дробные обратные нормы, охлаждение меры и вариация частот

Дата: 18 октября 2026 года, UTC.

Статус: три конкретных механизма проверены. Общая гипотеза Чоулы не доказана; новизна частичных наблюдений не установлена. Ни один отрицательный результат ниже не объявляется невозможностью всего соответствующего направления.

## Постановка

Для конечного непустого множества различных положительных целых частот A положим

\[
f_A(x)=\sum_{a\in A}\cos(ax),\qquad N=|A|,\qquad K(A)=-\min_x f_A(x).
\]

Интегралы по окружности нормированы: \(\int1\,dm=1\). Требуется доказать одну общую оценку K(A)≥c√N, c>0, без ограничения максимальной частоты. Амплитуды исходной суммы равны единице, фазы равны нулю.

## 34. Все дробные обратные нормы как замена точечной положительности

### Механизм

Положим P(z)=Σ_{a∈A}z^a и H(z)=k+P(z), k>0. Если k≥K(A), то Re H>0 внутри единичного диска. Попытаемся заменить это трудное точечное условие целым семейством интегральных ограничений на дробные обратные степени H. Это отличается от прежней проверки одной H²-нормы преобразования Шура: сейчас рассматриваются одновременно все показатели 0<p<1/2.

### Необходимое семейство неравенств

При Re H>0 можно выбрать аналитическую ветвь логарифма с H(0)=k. Для 0<p<1/2 имеем |arg H|<π/2, поэтому

\[
\operatorname{Re}(k/H)^{2p}\ge\cos(\pi p)\,|(k/H)^p|^2.
\]

Среднее аналитической функции (k/H)^{2p} по каждой внутренней окружности равно её значению в нуле, то есть 1. Отсюда

\[
\boxed{\|(k/H)^p\|_{H^2}^2\le\sec(\pi p),\qquad0<p<1/2.}\tag{34.1}
\]

Здесь H²-норма понимается как супремум средних квадратов модуля по радиусам r<1. Неравенство верно и при критическом сдвиге k=K(A); полюса на границе обрабатываются внутренними окружностями и ограниченной H²-нормой.

### Точная проверка: даже ВСЁ семейство (34.1) недостаточно

Возьмём исходные единичные частоты A_N={1,…,N}, но пробный сдвиг k=1:

\[
H_N(z)=1+z+\dots+z^N=\frac{1-z^{M}}{1-z},\qquad M=N+1.
\]

H_N не имеет нулей внутри диска. Его граничные нули простые, поэтому H_N^{-p}∈H² при p<1/2. Докажем для каждого N≥1 и каждого 0<p<1/2 более сильную оценку

\[
\boxed{\|H_N^{-p}\|_{H^2}^2
<\frac{\tan(\pi p)}{\pi p}
<\sec(\pi p).}\tag{34.2}
\]

Обозначим

\[
h_p(x)=|1-e^{ix}|^{2p},\qquad
a_n=\widehat h_p(n),\qquad b_n=\widehat h_{-p}(n).
\]

Для n≠0 выполняются a_n<0 и b_n>0. Знаки можно проверить без предположений о неизвестных экстремумах.

Для a_n используем при 0<p<1 формулу

\[
s^p=\frac{p}{\Gamma(1-p)}
\int_0^\infty(1-e^{-ts})t^{-p-1}\,dt.
\]

Подставляем s=2−2cos x. Ненулевой коэффициент Фурье экспоненты
e^{-2t}e^{2t cos x} строго положителен: коэффициент при e^{inx} равен

\[
e^{-2t}\sum_{j=0}^{\infty}
\frac{t^{2j+|n|}}{j!(j+|n|)!}>0.
\]

Перед ним стоит минус, следовательно a_n<0. Перестановка интегралов допустима: 1−e^{-t(2−2cos x)}≤min(4t,1), а полученная мажоранта интегрируема при 0<p<1.

Для b_n разложение

\[
(1-z)^{-p}=\sum_{j\ge0}c_jz^j,
\qquad c_j=\frac{p(p+1)\dots(p+j-1)}{j!}>0
\]

даёт \(b_n=\sum_{j\ge0}c_jc_{j+|n|}>0\). Ряд коэффициентов принадлежит ℓ², поскольку граничная особенность |x|^{-2p} интегрируема при p<1/2.

Ряд Фурье h_p абсолютно сходится. Действительно, a_n<0 при n≠0, а пуассоновские средние в точке 0 сходятся к h_p(0)=0; поэтому \(2\sum_{n\ge1}|a_n|=a_0\). Значит, можно интегрировать этот ряд против h_{-p}(Mx)∈L¹. Получаем

\[
\|H_N^{-p}\|_{H^2}^2
=\int h_p(x)h_{-p}(Mx)\,dm(x)
=a_0b_0+2\sum_{j\ge1}a_{jM}b_j
<a_0b_0.
\]

Бета-интеграл и формулы гамма-функции дают

\[
\int|1-e^{ix}|^{2q}\,dm(x)
=\frac{\Gamma(1+2q)}{\Gamma(1+q)^2},\qquad q>-1/2,
\]

откуда

\[
a_0b_0
=\frac{\Gamma(1+2p)\Gamma(1-2p)}
{\Gamma(1+p)^2\Gamma(1-p)^2}
=\frac{\tan(\pi p)}{\pi p}.
\]

Последнее меньше sec(πp), поскольку sin(πp)<πp. Оценка (34.2) доказана одновременно для всех p∈(0,1/2).

Однако для N≥2 функция Re H_N отрицательна в некоторых точках. Более того, при

\[
x_N=\frac{3\pi}{2N+1}
\]

формула ядра Дирихле даёт

\[
f_{A_N}(x_N)
=-\frac12-\frac1{2\sin(3\pi/(4N+2))},
\]

поэтому

\[
K(A_N)\ge\frac12+\frac{2N+1}{3\pi}.
\]

Итак, пробный сдвиг k=1 проходит ВСЕ проверки (34.1) при сколь угодно большом N, но настоящая глубина провала растёт как минимум линейно с N.

### Статус

Одновременные дробные обратные H²-ограничения (34.1) не заменяют точечную положительность и не вынуждают N≤Ck². Это доказано бесконечной семьёй с исходными единичными коэффициентами. Она не является контрпримером к Чоуле: её реальная глубина провала, наоборот, велика. Другие связи между обратными степенями, фазой и точечной геометрией H здесь не исключены.

## 35. Охлаждать только меру: экспоненциальное семейство без изменения набора частот

### Механизм и точные тождества

Сохраним весь исходный набор A и зададим

\[
Z(\beta)=\int e^{-\beta f_A}\,dm,
\quad q_\beta=\frac{e^{-\beta f_A}}{Z(\beta)},
\quad G(\beta)=\log Z(\beta),\qquad\beta\ge0.
\]

Отрицательные значения получают больший вес. Ни набор частот, ни его амплитуды при этом не меняются. Это действительное экспоненциальное изменение меры, а не прежняя попытка использовать мнимые нули функции температуры.

Дифференцирование интеграла даёт

\[
G'(\beta)=-\mathbb E_\beta f_A,
\qquad G''(\beta)=\operatorname{Var}_\beta(f_A).
\]

Поскольку G'(0)=0 и любая средняя глубина не превосходит максимальную,

\[
\boxed{K(A)\ge G'(\beta)
=\int_0^\beta\operatorname{Var}_t(f_A)\,dt.}\tag{35.1}
\]

Также выполнен точный вариационный принцип

\[
G(\beta)=\sup_q
\left[-\beta\int f_Aq\,dm-\int q\log q\,dm\right],
\]

где супремум по вероятностным плотностям достигается при q=q_β. Проверка: разность между правой частью при q_β и при произвольном q равна неотрицательной относительной энтропии \(\int q\log(q/q_\beta)\,dm\).

### Конкретный достаточный мост к Чоуле

Если найдутся абсолютные b,v>0, для которых для всех исходных наборов

\[
\operatorname{Var}_\beta(f_A)\ge vN
\quad\text{при всех}\quad0\le\beta\le b/\sqrt N,
\tag{35.2}
\]

то (35.1) немедленно даст K(A)≥bv√N. Это конкретная дополнительная лемма, а не уже доказанный факт.

### Проверка слишком сильной версии

Испытана версия b=1, v=1/4. Она ложна даже для

\[
A=\{1,2,3,4\},\qquad N=4,\qquad\beta=1/2=1/\sqrt N.
\]

Расчёт с рациональными интервальными пределами даёт

\[
\boxed{646/1000<\operatorname{Var}_{1/2}(f_A)<647/1000< N/4.}
\]

Код воспроизводит этот сертификат без вычислений синусов и косинусов: моменты \(\int f_A^j dm\) вычислены как постоянные коэффициенты целочисленного полинома \((\sum_{a\in A}(z^a+z^{-a}))^j\), делённые на 2^j. Экспонента заменена полиномом Тейлора степени 40. При |βf_A|≤2 равномерная ошибка не превосходит

\[
R=9\,\frac{2^{41}}{41!},
\]

поскольку e²<9. Для интегралов f_A^r e^{-βf_A}, r=0,1,2, ошибки ограничены соответственно R, 4R, 16R. Все дальнейшие деления выполнены с рациональными интервальными пределами.

Даже точная гауссова нижняя оценка G(β)≥β²N/4 не работает: уже для N=1

\[
Z(\beta)=\sum_{j\ge0}\frac{(\beta^2/4)^j}{(j!)^2}
<\sum_{j\ge0}\frac{(\beta^2/4)^j}{j!}
=e^{\beta^2/4}\quad(\beta>0).
\]

### Что даёт непосредственное сравнение плотностей

Из |f_A|≤N следует q_β≥e^{-2βN}. Поскольку дисперсия равна минимуму среднего квадрата отклонения от константы,

\[
\operatorname{Var}_\beta(f_A)
\ge e^{-2\beta N}\operatorname{Var}_0(f_A)
=e^{-2\beta N}N/2.
\]

Это сохраняет заметную долю дисперсии только на масштабе β≈1/N и через (35.1) даёт лишь постоянную оценку

\[
K(A)\ge\frac{1-e^{-2N\beta}}4.
\]

Разрыв между масштабами 1/N и 1/√N этим сравнением не закрыт.

### Статус

Механизм переноса через (35.1) корректен для всех исходных наборов. Версия (35.2) с b=1,v=1/4 опровергнута точным сертификатом. Существование каких-либо более слабых абсолютных b,v здесь не доказано и не опровергнуто. Отрицательная проверка одной пары постоянных не считается опровержением всех возможных Gibbs-подходов.

## 36. Вариация набора через его контакты: дробный спуск и невозможность округлить его автоматически

### Точная формула производной

Для непрерывной функции h и

\[
K(t)=-\min_x(f_A(x)+t h(x)),
\qquad C(A)=\{x:f_A(x)=-K(A)\},
\]

правая производная равна

\[
\boxed{K'_+(0)=-\min_{x\in C(A)}h(x).}\tag{36.1}
\]

Доказательство: каждый исходный контакт даёт нижнюю оценку производной максимума −f_A−th. Для верхней оценки выбираем максимизаторы при t→0+, извлекаем сходящуюся подпоследовательность и замечаем, что её предел должен быть исходным контактом. Компактность окружности и непрерывность функций обеспечивают оба перехода.

При обмене старой частоты a на новую b вдоль амплитудного отрезка h=cos bx−cos ax формула принимает вид

\[
K'_+(0)=\max_{x\in C(A)}(\cos ax-\cos bx).
\]

### Общий проверенный результат: у каждого бинарного набора есть строгий дробный спуск

Для любого непустого A и любого ε>0 можно выбрать новую целую частоту b∉A так, чтобы

\[
\cos(bx)>1-\varepsilon\qquad\text{для всех }x\in C(A).
\]

Действительно, множество контактов конечно, поскольку f_A+K(A) — ненулевой тригонометрический полином. Одновременная аппроксимация конечного числа фаз даёт сколь угодно большие целые b, близкие к общему возврату фаз к нулю. Элементарное доказательство использует разбиение конечномерного тора на малые ячейки и разности двух попавших в одну ячейку целых кратных. Если получаемые возвраты остаются ограниченными, одна фиксированная ненулевая разность является точным периодом; её кратные вновь дают сколь угодно большие b.

Рассмотрим

\[
f_t(x)=(1-t/N)f_A(x)+t\cos(bx),\qquad0\le t\le1.
\]

Все коэффициенты лежат в [0,1], а их сумма остаётся равной N. На контактах

\[
h(x)=\cos(bx)-f_A(x)/N=\cos(bx)+K(A)/N.
\]

По (36.1),

\[
\boxed{K'_+(0)\le-1-K(A)/N+\varepsilon<0}
\]

при достаточно малом ε. Следовательно, каждый бинарный набор допускает строго улучшающее направление в непрерывном амплитудном ослаблении, включая бинарный набор, который минимизирует K среди всех N-элементных целых наборов.

Этот результат не является допустимым шагом решения исходной задачи: промежуточные коэффициенты дробные, а после добавления частоты обычно ненулевых коэффициентов становится N+1. Величина допустимого малого шага t этим аргументом равномерно не ограничена и может зависеть от выбранной новой частоты. Смысл результата — точное выявление разрыва между непрерывной оптимизацией и бинарной задачей.

### Проверка автоматического округления: отрицательная производная не даёт хорошего целого обмена

Возьмём A={1,2}, заменяем частоту 2 на 3:

\[
f_t(x)=\cos x+(1-t)\cos2x+t\cos3x.
\]

При t=0 имеем K(0)=9/8, а контакты задаются cos x=−1/4. Там

\[
\cos2x=-7/8,\qquad\cos3x=11/16,
\]

поэтому

\[
\boxed{K'_+(0)=-25/16<0.}
\]

При t=1/2 обозначим y=cos x. Точное разложение

\[
f_{1/2}(x)+1=(y+1)(2y^2-y+1/2)\ge0
\quad(-1\le y\le1)
\]

показывает K(1/2)=1: второй множитель строго положителен, первый обращается в ноль при y=−1.

Но при полном целочисленном обмене t=1 получаем частоты {1,3}; в точке π обе волны равны −1. Поэтому

\[
\boxed{K(1)=2>9/8=K(0).}
\]

Итак, настоящий бинарный обмен делает результат хуже, хотя его начальное направление строго улучшает результат и внутри отрезка получено меньшее значение.

### Статус

Контактная формула и общий дробный спуск доказаны. Переход «найти улучшающую вариацию ⇒ выполнить полный обмен частоты с улучшением» опровергнут двумя допустимыми конечными наборами и точным полиномиальным сертификатом промежуточного значения. Для продвижения по целым наборам нужен отдельный принцип округления или дискретного обмена; он здесь не получен.

## Источники и воспроизводимость

Стандартные бета- и гамма-тождества, использованные в пункте 34, сверены по официальной математической документации NIST DLMF:

- §5.12, Euler’s Beta Integral, формулы 5.12.1–5.12.2: https://dlmf.nist.gov/5.12 .
- §5.5, recurrence, reflection and duplication formulas: https://dlmf.nist.gov/5.5 .

Специальные утверждения об исходных косинусных суммах и контрпримерах доказаны выше. Источники не представлены как подтверждение новизны или внешняя экспертиза настоящего исследования.

Проверочный файл `analysis_34_36_checks.py` выполнен успешно; его вывод сохранён в `analysis_34_36_results.json`. Он воспроизводит рациональный сертификат для35 и точную алгебру для36. В34 общая по p и N оценка доказана аналитически; проверка конечных коэффициентов служит только проверкой знаков формулы, а не заменой доказательства.

## Три статуса

| ID | Проверенный механизм | Результат |
|---:|---|---|
| 34 | Одновременный контроль всех дробных обратных H²-норм | Бесконечная семья проходит все необходимые нормы при ложном пробном сдвиге k=1; эти нормы сами по себе недостаточны. |
| 35 | Изменение меры exp(−βf) с сохранением бинарного набора | Точный перенос через интеграл дисперсии; конкретная версия b=1,v=1/4 опровергнута. Общая ослабленная дисперсионная лемма остаётся недоказанной. |
| 36 | Контактные производные и добавление/удаление частоты | У каждого бинарного набора есть строгий дробный спуск; автоматический перенос на целый обмен опровергнут точным примером. |

Общая оценка K(A)≥c√N данным блоком не получена.