НАУЧНАЯ РЕКОНСТРУКЦИЯ ЗАПИСЕЙ 44–46
18 октября 2026 года, UTC

Это заново составленный текст по сохранившемуся контексту исследования.
Прежние scratch-файлы утрачены. Их исходные байты, проверочный код и JSON
этим документом не восстановлены. Приведены публичные формулировки и
доказательства, которые можно проверять независимо от утраченных файлов.
Общая гипотеза Чоулы не доказана и не опровергнута; новизна не установлена.

ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА

A={a_1,...,a_N} — различные положительные целые частоты;
f_A(x)=sum_i cos(a_i x), K(A)=-min_x f_A(x).
Интегралы по окружности нормированы мерой dx/(2π).
Цель: существует абсолютная c>0, для которой K(A)>=c sqrt(N) для всех A.
Вспомогательные веса, фазовые цели и бюллетени не изменяют коэффициенты
или нулевые исходные фазы в конечном утверждении об f_A.

44. КОНСЕНСУС, ВЛИЯНИЕ И КОРРЕЛЯЦИИ

Социальная аналогия: обновление мнений по DeGroot и изучение влияния
в работе Golub–Jackson. Сами социальные теоремы к косинусам не применяются.

Пусть c_i(x)=cos(a_i x), W>=0 — стохастическая по строкам матрица и
W^t -> 1π^T, где π_i>=0, sum π_i=1. Консенсус равен
g_π(x)=sum π_i cos(a_i x). При u=(1/N,...,1/N) непосредственно получаем

  ||N g_π-f_A||_∞ <= N ||π-u||_1,
  ||N g_π-f_A||_2² = (N²/2)||π-u||_2²,
  K(A) >= -N min g_π - N||π-u||_1.

Вторая формула следует из ортогональности различных косинусов. Если
множество {N g_π<=-b sqrt(N)} имеет меру не меньше p>0 и
||π-u||_2² < 2p ε²/N, то Чебышёв оставляет на нём точку с
|N g_π-f_A|<ε sqrt(N). Поэтому K(A)>=(b-ε)sqrt(N).
Это условный перенос: нужные b, p и точность π автоматически не получены.

Если W дважды стохастична, sum_i (W^t c)_i=f_A при каждом x,t.
При консенсусе π=u. Ковариационная матрица мнений точно равна
W^t(W^t)^T/2. Для W=11^T/N после одного шага все мнения равны f_A/N:
дисперсия каждого 1/(2N), сумма индивидуальных дисперсий 1/2,
дисперсия суммы N/2. Пренебрежение корреляциями ошибается в N раз.

Контрпример к достаточности мгновенного консенсуса и малого влияния:
A={1,...,N}, π_a=2(N+1-a)/(N(N+1)), W=1π^T.
Все элементы положительны; W²=W; π_iW_ij=π_iπ_j=π_jW_ji.
max π_a=2/(N+1), sum π_a²=2(2N+1)/(3N(N+1)). При этом

  N g_π = F_(N+1)-1,
  F_M(x)=(1/M)|sum_(j=0)^(M-1) exp(ijx)|² >=0.

Раскрытие квадрата даёт коэффициенты F_M:
F_M=1+2 sum_(a=1)^(M-1)(1-a/M) cos(ax).
При x=2π/(N+1) получаем F_(N+1)=0, поэтому -min N g_π=1 для всех N.
Дисперсия N g_π=N(2N+1)/(3(N+1)) растёт линейно.
Таким образом, эти свойства сети не вынуждают провал масштаба sqrt(N)
у консенсуса. Это взвешенная контрмодель к переходу, не контрпример Чоулы.
Конструкция Фейера известна; новой здесь не объявляется.

45. СОГЛАСОВАННОСТЬ СОБСТВЕННЫХ КОАЛИЦИЙ НЕ ДАЁТ ОБЩЕГО ВРЕМЕНИ

Аналогия с коллективными суждениями: совместимость частных решений
и совместимость всей системы — разные требования.
Назовём B допустимым при пороге α, если существует одно x_B, такое что
cos(b x_B)<=-cos α для всех b в B. Времена разных B могут различаться.

Пусть r>=3 нечётно, d=r-1; q кратно 2r и q>=2r². Положим

  A_(r,q)={1,q,...,q^(r-2),b}, b=sum_(i=0)^(r-2) q^i,
  α=π/(2r).

Это ровно r различных положительных целых частот. Все собственные
поднаборы проходят строгий порог, но полный набор не проходит нестрогий.

Доказательство общей несовместимости. Если q^i x≡π+e_i и bx≡π+e_b
по модулю 2π при |e_i|,|e_b|<=α, то соотношение b=sum q^i требует
0≡(1-d)π+e_b-sum e_i. Здесь 1-d нечётно, а суммарная ошибка <=rα=π/2.
Нечётное кратное π нельзя превратить в кратное 2π такой ошибкой.

Явные свидетельства для собственных поднаборов. Достаточно удалять
по одной частоте. Зададим t_i=1/2 для i=0,...,d-1; если удалено q^j,
заменим t_j на 0; если удалено b, ничего не меняем. Возьмём
s=sum_i t_i/q^i и x=2πs. Чётность q даёт
q^i s≡t_i+η_i mod 1, где 0<=η_i<1/[2(q-1)]. Ошибка базовой фазы
меньше π/(q-1). При удалении базовой частоты сумма оставшихся целевых
фаз — (d-1)π, нечётное кратное π; значит, целевая фаза b тоже π.
Её ошибка меньше dπ/(q-1)<π/(2r)=α. Все оставшиеся частоты проходят
строгий порог. Любой меньший собственный поднабор содержится в одном
из этих наборов после удаления.

Кванторы существенны: α зависит от r. При фиксированном r приближение
собственных коалиций к точному -1 при q->∞ меняет сам набор A_(r,q).
Никакого произвольно точного приближения для одного фиксированного A
не утверждается. Также не доказан барьер для каждого одного заранее
фиксированного порога α.

Само семейство имеет большой отрицательный провал. Положим теперь
все t_i=(r-1)/(2r) и снова s=sum_i t_i/q^i. Кратность q числу 2r
сохраняет целочисленные переносы. Все целевые косинусы, включая b,
равны -cos(π/r); суммарная угловая ошибка меньше 2dπ/(q-1).
Липшицевость косинуса даёт

  K(A_(r,q)) >= r cos(π/r)-2(r-1)π/(q-1).

При q=2r² отношение этой границы к r стремится к 1. Поэтому неудача
критерия почти единогласного отклика не является неудачей Чоулы:
для отрицательности суммы единогласие избыточно.

46. ГОЛОСОВАНИЕ ПРИ ОБЩЕМ СКРЫТОМ СИГНАЛЕ

Аналогия: Dietrich–List различают независимость при общем свидетельстве
и независимость без такого условия. В математической конструкции
X равномерен на окружности; условно на X=x бюллетени V_i из {-1,1}
независимы и P(V_i=v|X=x)=(1+v cos(a_i x))/2. Тогда для S=sum_i V_i
E[S|X]=f_A(X). Отдельное случайное S<0 ещё не доказывает f_A(X)<0.

Для v в {-1,1}^N определим

  L_v(x)=product_i(1+v_i cos(a_i x)),
  Z_v=integral L_v, J_v=integral f_A L_v.

Z_v>0, поскольку каждый неотрицательный множитель имеет лишь конечное
число нулей. Формула Байеса:

  P(V=v)=2^(-N) Z_v, m(v)=E[f_A(X)|V=v]=J_v/Z_v.

Для множества индексов B справедливо точное равенство
E product_(i in B) V_i = 2^(-|B|) times number of choices ε_i in {-1,1}
with sum_(i in B) ε_i a_i=0. Это следует из раскрытия косинусов
в экспоненты и выделения нулевой частоты.
Поэтому отдельные бюллетени несмещены и любые два независимы;
для A={1,2,3}, однако, E(V_1 V_2 V_3)=1/4.
Даже полная независимость бюллетеней не гарантирует m=S/2:
для A={1,2} все четыре v равновероятны, но
m(v)=(v_1+v_2)/2+v_1v_2/4. Дополнительный член даёт integral cos²x cos2x=1/4.

ОБЩАЯ ЛЕММА О РАЗБРОСЕ БЮЛЛЕТЕНЕЙ

Для всех исходных A:

  E|S| >= N/[2 sqrt(3N+1)] >= sqrt(N)/4.

Доказательство. Возьмём вторую условно независимую копию V' при том же X
и W=S-S'. Условно на X разности W_i независимы, центрированы,
E[W_i²|X]=2 sin²(a_i X), E[W_i⁴|X]=8 sin²(a_i X).
Для i!=j интеграл sin²(a_i x) sin²(a_j x)=1/4. Раскрытие даёт
EW²=N и EW⁴=4N+6 binom(N,2)=3N²+N.
Гёльдер: E|W|>=(EW²)^(3/2)/(EW⁴)^(1/2)=N/sqrt(3N+1).
Треугольник: E|W|<=2 E|S|.
Это четвёртый момент вспомогательной разности, а не четвёртый момент f_A.

ТОЧНЫЙ ПЕРЕНОС И БАРЬЕР ДЛЯ ОБЫЧНОГО БОЛЬШИНСТВА

Пусть B_-={S<0}, p_-=P(B_-),
R_-=E[(m(V)-S/2) 1_(B_-)]. Так как ES=0,

  K(A) >= [(1/4) E|S|-R_-]/p_- = -E[f_A(X) 1_(B_-)]/p_-.

Попарная независимость даёт ES²=N. Обозначая S_-=max(-S,0), имеем
ES_-=E|S|/2. По Коши

  p_- >= (E|S|)²/(4N) >= N/[16(3N+1)] >= 1/64.

Для любого события бюллетеней B условная вероятность P(B|X=x)
лежит в [0,1], поэтому -E[f_A 1_B]<=integral (f_A)_-=||f_A||_1/2.
При A={1,...,N} имеем f_A=(D_N-1)/2,
D_N(x)=sin((N+1/2)x)/sin(x/2).
На [-π,π] |D_N(x)|<=min(2N+1,π/|x|). Интегрирование с границей
|x|=π/(2N+1) даёт ||D_N||_1<=1+log(2N+1) и
||f_A||_1<=1+(1/2)log(2N+1). Следовательно, само условное среднее
по отрицательному большинству даёт нижнюю оценку K, не превышающую

  32||f_A||_1 <= 32+16 log(2N+1)=O(log N).

Это верхняя граница эффективности указанного метода, а не самого K.
Для любого события B, у которого -E[f_A|B]>=c sqrt(N), необходимо
P(B)<=||f_A||_1/[2c sqrt(N)]=O(log N/sqrt(N)) на последовательных частотах.
Редкие информативные бюллетени этим результатом не исключены.

Также Jensen даёт E|m(V)|<=||f_A||_1. На последовательных частотах

  E|m(V)-S/2| >= N/[4 sqrt(3N+1)]-1-(1/2)log(2N+1).

Поэтому универсальная ошибка o(sqrt(N)) при замене m на S/2 невозможна.

ОГРАНИЧЕННЫЙ УСПЕХ И ОТКРЫТАЯ ДОСТАТОЧНАЯ ЦЕЛЬ

Если sum_i n_i a_i=0 с n_i из {-2,-1,0,1,2} влечёт все n_i=0,
то раскрытие произведений даёт Z_v=1, J_v=(1/2)sum_i v_i.
Бюллетень v=(-1,...,-1) положительной вероятности 2^(-N) даёт K(A)>=N/2.
Условие выполняется для {1,4,...,4^(N-1)}: старшая степень больше
суммы меньших с коэффициентами по модулю не больше двух.
Это знакомый ограниченный класс; новизна результата не заявляется.

Для общего A величина M(A)=-min_v J_v/Z_v всегда удовлетворяет M(A)<=K(A).
Достаточная общая цель M(A)>=c sqrt(N) осталась недоказанной и неопровергнутой.
Её эквивалентность Чоуле не установлена. Барьер большинства не отменяет
минимум по отдельным редким бюллетеням. Прежний вычислительный код этих
произведений утрачен; в этой реконструкции его выполнение не заявляется.

ПЕРВИЧНЫЕ ИСТОЧНИКИ СОЦИАЛЬНЫХ АНАЛОГИЙ

1. M. H. DeGroot (1974), Reaching a Consensus, JASA 69(345), 118–121.
   https://doi.org/10.1080/01621459.1974.10480137
2. B. Golub, M. O. Jackson (2010), Naïve Learning in Social Networks and
   the Wisdom of Crowds, AEJ: Microeconomics 2(1), 112–149.
   https://doi.org/10.1257/mic.2.1.112
   Авторское изложение: https://bengolub.net/
3. C. List, P. Pettit (2002), Aggregating Sets of Judgments:
   An Impossibility Result, Economics & Philosophy 18(1), 89–110.
   https://doi.org/10.1017/S0266267102001098
   Авторское изложение: https://personal.lse.ac.uk/LIST/DOCTRINALPARADOX.HTM
4. F. Dietrich, C. List, A Model of Jury Decisions Where All Jurors
   Have the Same Evidence, авторская версия 24 сентября 2002 года.
   https://www.nuffield.ox.ac.uk/economics/papers/2002/w23/CJTDietrichList.pdf

Источники объясняют происхождение аналогий, а не подтверждают математические
выводы реконструкции. Доказательства последних выписаны непосредственно.
