83. ПОЛИНОМИАЛЬНЫЙ ФИЛЬТР НИЖНЕГО КРАЯ: УСКОРЕННАЯ РАВНОМЕРНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ

Дата: 18 октября 2026 года. Статус: положительный вспомогательный результат с полным доказательством; улучшена достаточная степень по сравнению с элементарным фильтром из ветви 62. Общая гипотеза Чоулы не решена. Ни научная новизна, ни внешняя рецензия не заявляются.

ПОСТАНОВКА И СМЫСЛ
A — N различных положительных целых частот, f=sum cos(ax), m=min f=-K. Мера mu=dx/(2pi). Для d>=0 определим прежнюю моментную оценку
B_d(A)=-min_{p real, deg p<=d, p!=0} [integral f p(f)^2]/[integral p(f)^2].
Здесь 0<=B_d<=K. Все необходимые моменты до порядка 2d+1 — рациональные числа, вычисляемые подсчётом замкнутых маршрутов из ветви 82.
Минимум по p достигается: f непрерывна, непостоянна и принимает все значения от m до N, поэтому integral p(f)^2>0 для каждого ненулевого p. Соответствующая моментная матрица положительно определена; при нормировке integral p(f)^2=1 коэффициенты лежат на компактном эллипсоиде. Постоянный p даёт B_d>=0, а f>=m — B_d<=K.

В решёточной модели p(H)delta_0 является допустимым состоянием частицы. Его энергия равна указанному отношению моментов. Фильтр p усиливает спектральный вес у нижнего края и подавляет более высокие энергии. Коэффициенты p управляют вспомогательным состоянием; амплитуды исходных косинусов по-прежнему равны 1.

ТЕОРЕМА
Для каждого N>=1, каждого 0<epsilon<=N и каждого A размера N положим
M=ceil(8*pi*N/epsilon),
d_* =ceil(sqrt(N/epsilon)*[N log M+log(16N/epsilon)]).
Тогда при любом целом d>=d_* одновременно для всех допустимых A
0<=K(A)-B_d(A)<=epsilon.
Ограничение на max A отсутствует. log означает натуральный логарифм.

ШАГ 1. РАВНОМЕРНАЯ МАССА ОКОЛО МИНИМУМА
Разобьём N-мерный фазовый куб [0,2pi)^N на M^N полуоткрытых клеток со стороной 2pi/M. Рассмотрим их прообразы при x -> (a x modulo 2pi)_{a in A}. У некоторой клетки прообраз E имеет mu(E)>=M^(-N). Выберем x_0 in E и точку x_* минимума f.
Для каждого x in E разности координат фаз между x и x_0 имеют представителей абсолютной величины не больше 2pi/M. Поскольку косинус 1-Lipschitz, перенос x -> x+x_*-x_0 даёт
f(x+x_*-x_0)<=m+2pi N/M<=m+epsilon/4.
Перенос сохраняет меру, поэтому
mu{f<=m+epsilon/4}>=M^(-N).
Все фазы по-прежнему зависят от одной исходной переменной x. Независимость фаз нигде не предполагается.

ШАГ 2. ПОЛИНОМ ЧЕБЫШЁВА
Обозначим D=N-m-epsilon/2. Имеем m<0, m>=-N и epsilon<=N, поэтому D>N/2>0 и D<=2N. Линейное отображение
u(t)=[2t-(N+m+epsilon/2)]/D
переводит отрезок [m+epsilon/2,N] в [-1,1]. Выбираем
p(t)=T_d(u(t)),
где T_d — полином Чебышёва первого рода.
На «плохом» множестве {f>=m+epsilon/2} имеем |p(f)|<=1.
На «хорошем» множестве {f<=m+epsilon/4}:
u(f)<=-1-epsilon/(2D)<=-1-epsilon/(4N).

Для s=epsilon/(4N), 0<s<=1/4,
gamma=arcosh(1+s)>=sqrt(s)=(1/2)sqrt(epsilon/N).
Достаточно проверить это неравенство интегрированием:
arcosh(1+s)=integral_0^s [v(v+2)]^(-1/2)dv
 >=2sqrt(s)/sqrt(2+s)>=sqrt(s),
последнее верно при s<=2. Здесь применяется нижняя оценка к фиксированному s=epsilon/(4N); больший фактический выход u за [-1,1] только помогает.

Стандартное тождество T_d(-cosh v)=(-1)^d cosh(dv) теперь даёт на хорошем множестве
|p(f)|>=cosh(d gamma)>=(1/2)exp(d gamma).
Следовательно, W=integral p(f)^2 удовлетворяет
W>=(1/4)M^(-N)exp[d sqrt(epsilon/N)].

ШАГ 3. ОШИБКА ВЗВЕШЕННОЙ ЭНЕРГИИ
На множестве {f<m+epsilon/2} имеем f-m<=epsilon/2. На его дополнении 0<=f-m<=2N и p(f)^2<=1. Значит
[integral(f-m)p(f)^2]/W
 <=epsilon/2+2N/W
 <=epsilon/2+8N M^N exp[-d sqrt(epsilon/N)].
При заявленном d второе слагаемое не больше epsilon/2, поэтому Rayleigh(p)<=m+epsilon. Вариационное определение B_d даёт B_d>=K-epsilon. Обратная оценка B_d<=K уже следует из f>=m.

НЕИЗВЕСТНЫЙ m В ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ НЕ ДЕЛАЕТ ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРУГОВЫМ
Выбранный для доказательства p зависит от истинного m. Он нужен лишь для доказательства существования допустимого полинома с хорошим отношением. Сам B_d вычисляется оптимизацией по всем коэффициентам степени <=d через моменты и не требует заранее знать m. Теорема не утверждает, что предложенный p можно выписать с известными коэффициентами без определения m.

СРАВНЕНИЕ С ПРЕЖНЕЙ ОЦЕНКОЙ
Ветвь 62 использовала p(t)=(N-t)^d и в ранее указанном диапазоне 0<epsilon<=1 давала достаточную степень порядка N^2 epsilon^(-1) log(2N/epsilon). Здесь достаточно порядка
N^(3/2) epsilon^(-1/2) log(2N/epsilon).
При фиксированной абсолютной epsilon это улучшение N^2 log N до N^(3/2) log N в нашей достаточной оценке. Это не доказанная оптимальная скорость всей иерархии.
Поскольку доказательство работает даже при epsilon<=N, для фиксированного 0<alpha<=1 и epsilon=alpha sqrt(N) достаточно степени O_alpha(N^(5/4) log(2N)). Приближение с такой ошибкой не устанавливает положительный нижний коэффициент K/sqrt(N).

ПОЛНОСТЬЮ РАЦИОНАЛЬНЫЙ ДОСТАТОЧНЫЙ ВЫБОР
Чтобы вычислительная проверка выбора степени не зависела от округления pi, log и sqrt, можно взять положительные целые M_0,s и неотрицательные целые q,p, удовлетворяющие
M_0*epsilon>=32N,
s^2*epsilon>=N,
2^q>=M_0,
2^p*epsilon>=16N,
и положить d_0=s(Nq+p).
Поскольку pi<4, M_0>=8pi N/epsilon. Кроме того,
d_0 sqrt(epsilon/N)>=Nq+p,
exp(Nq+p)>=2^(Nq+p)>=M_0^N*(16N/epsilon).
Поэтому тот же контроль ошибки работает со степенью d_0. При выборе наименьших подходящих целых сохраняется указанный порядок роста. В коде epsilon — Fraction, все четыре неравенства проверяются точно.

ПРОВЕРКА
branches_78_83_checks.py:
1) проверяет рекурсию T_(d+1)=2u T_d-T_(d-1) и тождество T_d((z+z^(-1))/2)=(z^d+z^(-d))/2 как тождество Laurent-полиномов, без проверки лишь на сетке;
2) проверяет линейную карту в рациональных крайних точках для допустимых N,m,epsilon;
3) вычисляет целочисленные сертификаты M_0,s,q,p,d_0 для ряда N,epsilon;
4) проверяет связь p(H)delta_0 с моментным Rayleigh-отношением для конкретных рациональных полиномов.
Общая теорема следует из доказательства выше. Код не вычисляет гигантские моментные матрицы на уровне d_* и не выдаёт такой расчёт за выполненный.

КОНКРЕТНОЕ ИСПЫТАНИЕ ФИЛЬТРА
Для A={1,2} точный минимум m=-9/8 известен из квадратного выражения через cos x. При epsilon=1/4 линейная карта равна u(t)=(2t-1)/3. Прямое точное вычисление моментов даёт для R_d=-Rayleigh(T_d(u(f))):
d=1: R_1=1/5;
d=4: 0.646576<=R_4<0.646577;
d=8: 1.064600<=R_8<1.064601;
d=12: 1.111965<=R_12<1.111966.
Все десятичные границы здесь являются рациональными границами с знаменателем 10^6; они сертифицированы сравнением целых числителей, не получены из плавающей диагонализации. Истинное K=1.125. Это иллюстрация работы конкретного фильтра, а не проверка общего оптимума B_d или самостоятельное доказательство асимптотической скорости.

ФИЗИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТА
Полином Чебышёва ограничен на подавляемой энергетической полосе и быстро растёт за её границей. Это даёт более резкое выделение низких энергий, чем простое многократное умножение на N-H. Физическая подсказка здесь привела к выбору полезного математического фильтра; никакого дополнительного физического постулата в доказательство не вводилось.

ОСТАВШИЙСЯ ВОПРОС
Нужно доказать общую нижнюю оценку самого оптимизированного значения B_d или K порядка sqrt(N). Эффективное приближение неизвестного минимума само по себе не определяет его масштаб.

ПЕРВОИСТОЧНИК ДЛЯ ФОРМУЛ ЧЕБЫШЁВА
NIST Digital Library of Mathematical Functions, 18.5.1: https://dlmf.nist.gov/18.5.E1 . Тождество через z даёт как |T_d(u)|<=1 при -1<=u<=1, так и гиперболическую формулу при |u|>1. Остальная оценка доказана непосредственно в настоящей записи.
