80. ЧЁТНОСТЬ, ДВУДОЛЬНОСТЬ И ТОЧНЫЙ СЛУЧАЙ K=N

Дата: 18 октября 2026 года. Статус: точная классификация максимально глубокого провала; это специальный класс, общего квадратнокоренного доказательства нет.

ПОСТАНОВКА
A — N различных положительных целых частот. f_A=sum cos(ax), K=-min f_A. Пусть g=gcd(A), b_a=a/g. Переход от A к A/g не меняет K.

ТЕОРЕМА
Следующие условия равносильны:
(i) K(A)=N;
(ii) все нормированные частоты b_a нечётны;
(iii) граф на Z с переходами n<->n+a, a in A, двудолен;
(iv) нет замкнутого маршрута нечётной длины;
(v) любая целочисленная связь sum_a k_a a=0 имеет чётную длину sum_a |k_a|.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО (i)<->(ii)
Всегда f>=-N. Равенство возможно лишь когда каждый cos(ax)=-1.
Если все b_a нечётны, x=pi/g даёт это одновременно.
Обратно, если ax/pi — нечётное целое для каждого a, обозначим t=gx/pi. Тогда b_a t — нечётные целые. Из gcd(b_a)=1 и тождества Безу следует t=sum_a u_a b_a t in Z. Теперь произведения b_a t нечётны, значит и t, и каждый b_a нечётны.

ДВУДОЛЬНОСТЬ И ХИРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ
Когда b_a нечётны, в каждой компоненте r+gZ красим узел r+gk по чётности k. Любой разрешённый переход меняет цвет. Диагональный унитарный оператор
(Gamma psi)(r+gk)=(-1)^k psi(r+gk)
удовлетворяет Gamma H_A Gamma=-H_A. Это точная симметрия спектра относительно нуля. Верхний край всегда N, поэтому нижний равен -N.

Если среди b_a есть чётное b_e, то есть и нечётное b_o, поскольку gcd(b_a)=1. Связь b_o*b_e-b_e*b_o=0 использует b_o шагов размера b_e в одну сторону и b_e шагов размера b_o в другую. Длина b_o+b_e нечётна. Она даёт нечётный замкнутый маршрут, который невозможен в двудольном графе.

Наконец, любой замкнутый маршрут даёт связь. После сокращения противоположных шагов чётность длины не меняется, поэтому (iv)<->(v). Если все b_a нечётны, то sum k_a b_a=0 modulo 2 даёт sum |k_a|=0 modulo 2 напрямую.

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
Каждый переход предпочитает фазовый сдвиг pi для достижения нижней энергии. В двудольной системе все эти предпочтения совместимы: два цвета получают противоположные фазы. Дискретность здесь — чётность переходов, а не квантование амплитуды звука.
Коэффициент c(A)=sqrt(N) в этом классе велик: именно отсутствие совместимости всех предпочтений, рассмотренное в 81, является более трудной частью общего случая.

ПРИМЕРЫ
A={1,3,5}: x=pi и K=3.
A={2,6,10}: g=2, нормированный набор тот же; x=pi/2 и K=3.
A={1,2}: нормированные чётности смешаны; f=2t^2+t-1 при t=cos x. Минимум при t=-1/4 равен -9/8, поэтому K=9/8<2.

ПРОВЕРКА
В branches_78_83_checks.py проверяются все непустые подмножества {1,...,8}: для однородно нечётной нормировки — матричное равенство Gamma H Gamma=-H; при смешанной чётности — явная нечётная целочисленная связь. Проверка не ищет минимум по сетке.

ОТКРЫТЫЙ ШАГ
Классификация K=N не даёт количественной глубины для недвудольных наборов. В частности, нельзя заключать, что отсутствие этой симметрии уничтожает все отрицательные энергии.
