ВЕТВЬ 55. ПЕРЕНОС ОЦЕНОК ПО РАССТОЯНИЮ МЕЖДУ НАБОРАМИ
Дата составления: 18 октября 2026 г.

Постановка.
Для конечного непустого A subset Z_{>0} с различными элементами
f_A(x)=sum cos(ax), K(A)=-min_x f_A(x). Амплитуды единичные, фазы нулевые.
Обозначим kappa_N=inf_{|A|=N}K(A), c_N=kappa_N/sqrt(N).

Статус: общий точный перенос и количественная граница его возможности.
Покрытие всех частотных наборов достаточно близкими изученными наборами
не построено. Конечный список удачных примеров общей теоремы не даёт.

55.1. Липшицева оценка

Пусть d=|A triangle B| — число частот, входящих ровно в одно из двух
множеств. Для каждого x

  |f_A(x)-f_B(x)|
    = |sum_{a in A\B} cos(ax)-sum_{b in B\A} cos(bx)| <= d.

Если две функции отличаются в каждой точке не более чем на d, их
минимумы отличаются не более чем на d: неравенство f_A>=f_B-d даёт
min f_A>=min f_B-d, а обратное получается перестановкой A,B. Поэтому

  |K(A)-K(B)| <= |A triangle B|.                         (55.1)

Общую константу 1 в этой формуле улучшить нельзя. Например,
A={1}, B={1,3} имеют K(A)=1, K(B)=2 и d=1. Оба минимума достигаются при
x=pi; все частоты нечётные. Этот пример допускает разные размеры,
как и само утверждение (55.1).

55.2. Перенос нормированного сертификата

Если |A|=N, |B|=M и доказано L_B<=K(B)<=U_B, то

  L_B-d <= K(A) <= U_B+d,

а после деления на sqrt(N):

  K(A)/sqrt(N) >= sqrt(M/N) [L_B/sqrt(M)] - d/sqrt(N).

Нижнюю границу можно дополнительно заменить максимумом с 1/(2 sqrt(N));
верхнюю — минимумом с sqrt(N). Это перенос уже доказанных сертификатов.
Если K(B) известно только как сеточное приближение без гарантированной
ошибки, формула не превращает его автоматически в строгий сертификат.

Одна замена частоты обычно имеет стоимость d=2: одна частота удалена,
другая добавлена. Если имеется N-элементный образец B с K(B)>=c sqrt(N),
то гарантированное сохранение, например, половины коэффициента требует
d<=c sqrt(N)/2. Произвольное число замен этим условием не контролируется.

55.3. Условная теорема покрытия

Допустим, существуют известные семейства образцов R_N, числа c>0 и
epsilon_N>=0 с limsup epsilon_N<c такие, что:

  для каждого B in R_N доказано K(B)>=c sqrt(N);
  для каждого A размера N существует B in R_N размера N с
  |A triangle B|<=epsilon_N sqrt(N).

Тогда (55.1) даёт K(A)>=(c-epsilon_N)sqrt(N). С учётом конечного начального
участка и K(A)>=1/2 это доказывало бы общую гипотезу. Здесь содержательный
непроверенный шаг — существование такого покрытия, а не арифметика
переноса. Случай epsilon_N->0 был бы достаточен, но не обязателен.

55.4. Почему сырой конечный набор эталонов не покрывает все частоты

Зафиксируем N и любую конечную коллекцию R из N-элементных множеств.
Её объединение конечно. Выберем N различных положительных целых чисел,
не входящих в это объединение, и образуем A. Тогда для каждого B in R

  A intersect B = empty,   |A triangle B|=2N.

Следовательно, по метрике (55.1) ни один сырой конечный список эталонов
не покрывает все N-элементные множества радиусом меньше 2N. В нормировке
sqrt(N) это даёт потерю 2sqrt(N), которая намного больше желаемой
постоянной. Этот аргумент не исключает другие теоретические способы
сжатия, классы с симметриями или бесконечные структурные семейства.
Эффективное сжатие через сохранение моментов — иной доказанный механизм,
отдельно учитываемый в ветви 56.

55.5. Дополнительное следствие для экстремальной функции размера

Для любых положительных N,M выполнено

  |kappa_N-kappa_M| <= |N-M|.                            (55.2)

Пусть M>N. К любому N-элементному A можно добавить M-N новых частот,
получив B с K(B)<=K(A)+(M-N). Переходя к инфимуму по A, получаем
kappa_M<=kappa_N+(M-N). Обратно, из любого M-элементного B можно удалить
M-N частот. Полученное A удовлетворяет K(A)<=K(B)+(M-N), откуда
kappa_N<=kappa_M+(M-N). Достижение инфимума для этих двух переходов
не требуется: можно использовать произвольные приближающие множества.

В частности,

  c_{N+1} >= sqrt(N/(N+1)) c_N - 1/sqrt(N+1).

Эта аддитивная устойчивость не даёт суммируемых относительных потерь из
ветви 53. Она полезна для переноса результата между соседними размерами,
но не предоставляет равномерную положительную нижнюю грань сама по себе.

Проверка.
functions_51_56_checks.py проверяет точный случай равенства d=1,
полиномиальную форму переноса и явное построение набора, удалённого от
заданной конечной коллекции на 2N. Общие утверждения доказаны выше;
численный поиск контрпримеров не заменяет эти доказательства.
Внешние научные результаты для этой ветви не используются.

