ВЕТВЬ 53. ВЛОЖЕННАЯ РЕКУРСИЯ И ТОЧНЫЙ КРИТЕРИЙ НАКОПЛЕНИЯ ПОТЕРЬ
Дата составления: 18 октября 2026 г.

Исходная задача: для f_A(x)=sum_{a in A}cos(ax), где A состоит из N
различных положительных целых частот, доказать K(A)=-min f_A>=c sqrt(N)
с одной положительной c. Определим истинную функцию
c_N=inf_{|A|=N}K(A)/sqrt(N).

Статус: полностью доказан критерий для числовой рекурсии и условная
теорема переноса на c_N. Нужное рекуррентное неравенство для всех наборов
частот не установлено. Числовая модель не приравнивается к c_N без
самостоятельного доказательства.

53.1. Проверяемая рекурсия

Пусть b_0>0 и заранее задана последовательность потерь 0<=delta_n<1.
Положим

  b_{n+1}=b_n(1-delta_n),
  b_n=b_0 product_{j=0}^{n-1}(1-delta_j).

Тогда b_n убывает или остаётся постоянной и имеет предел b_infinity>=0.
Следующие условия эквивалентны:

  b_infinity>0;
  sum_{n>=0} [-log(1-delta_n)] < infinity;
  sum_{n>=0} delta_n < infinity.

Доказательство. Логарифм произведения равен сумме логарифмов. Поэтому
положительность его предела равносильна конечности второй суммы. Для
0<=t<1 имеем

  t <= -log(1-t),

а для 0<=t<=1/2 также -log(1-t)<=2t. Обе оценки следуют из интеграла
-log(1-t)=integral_0^t du/(1-u). Конечность второй суммы влечёт конечность
sum delta_n по первой оценке. Обратно, из sum delta_n<infinity следует
delta_n->0; начиная с некоторого номера работает верхняя оценка 2delta_n.
Оставшееся конечное число членов конечно, так как каждый delta_n<1.

Если допустить хотя бы один delta_n=1, произведение с этого момента
равно нулю, даже если sum delta_n конечна. Условие delta_n<1 обязательно.

53.2. Два точных примера, различающиеся характером потерь

Несуммируемые потери delta_n=1/(n+2) стремятся к нулю, но

  b_n/b_0 = product_{k=2}^{n+1} (k-1)/k = 1/(n+1) -> 0.

Значит «каждая следующая потеря очень мала» недостаточно. Нужно учитывать
всю сумму потерь, а не только их поточечный предел.

Для суммируемых потерь delta_n=1/(n+2)^2, напротив,

  b_n/b_0
   = product_{k=2}^{n+1} [(k-1)(k+1)/k^2]
   = (n+2)/[2(n+1)] -> 1/2.

Потерь бесконечно много, но половина первоначального коэффициента
сохраняется. Доказательство телескопическое и справедливо для каждого n,
а не только для проверенных первых членов.

53.3. Что меняется при вложенных функциях

Можно задать delta_n=F_n(G_n(H_n(...))) или рекурсивно вычислять delta_n
из нескольких предыдущих числовых параметров. Если итоговые числа
по-прежнему лежат в [0,1), решающим условием остаётся sum delta_n<infinity.
Форма записи не меняет критерия произведения.

Например, независимо доказанная оценка

  delta_n <= C/(n+2)^(1+eta),   eta>0,

вместе с delta_n<1 для начального конечного участка достаточна. Сходимость
мажоранты следует из сравнения её хвоста с интегралом t^(-1-eta), равным
конечной величине t^(-eta)/eta на нижнем конце хвоста.

53.4. Условная теорема, которая действительно решила бы задачу

Предположим, что независимо от неизвестных значений c_N удаётся доказать
для всех N>=1:

  c_{N+1} >= (1-d_N)c_N,
  0<=d_N<1,    sum_{N>=1} d_N<infinity.

Тогда исходная гипотеза следует: поскольку c_1=1,

  c_N >= product_{j=1}^{N-1}(1-d_j)
      >= product_{j=1}^{infinity}(1-d_j) > 0.

Это реальная достаточная цель для метода последовательного расширения
числа частот. Однако само неравенство о c_N уже должно охватывать ВСЕ
наборы из N+1 частот. Проверка одной цепочки вложенных множеств
A_1 subset A_2 subset ... его не устанавливает.

Из общей устойчивости |kappa_{N+1}-kappa_N|<=1 следует лишь

  c_{N+1} >= sqrt(N/(N+1)) c_N - 1/sqrt(N+1),

что не является указанной оценкой с заранее ограниченной суммой
относительных потерь. Подстановка слабой общей оценки
c_N>=1/(2 sqrt(N)) не делает относительные потери малыми. Таким образом,
доступная аддитивная устойчивость не закрывает нужный рекуррентный мост.

53.5. Как избежать скрытого круга

Можно формально положить

  d_N=max(0,1-c_{N+1}/c_N).

Тогда рекуррентное неравенство выполнится по определению. Но значения
d_N зависят от тех самых неизвестных экстремальных значений, которые
требуется ограничить. Без независимого доказательства суммируемости
такая запись не даёт нового результата. Более того, положительная
общая нижняя грань произвольной колеблющейся последовательности c_N
не обязана означать суммируемость именно этих относительных спадов:
последовательность 1,1/2,1,1/2,... остаётся положительной, но каждый
второй спад имеет потерю 1/2. Поэтому критерий произведения достаточен
для такого способа переноса, а не необходим для любой формы доказательства
положительной границы у c_N.

Проверка.
functions_51_56_checks.py использует точные Fraction для двух произведений
и проверяет формулы для n=0,...,50; также проверяет конечные участки
колеблющегося логического контрпримера. Доказательство бесконечного
критерия приведено выше. Все результаты этой ветви самостоятельны;
внешние научные факты и программные эвристики не требуются.

