ВЕТВЬ 52. ЛОГАРИФМЫ, МЕДЛЕННЫЕ ПОПРАВКИ И УЖЕ ИЗВЕСТНАЯ НИЖНЯЯ ФУНКЦИЯ
Дата проверки первичных текстов: 18 октября 2026 г.

Постановка.
A subset Z_{>0} — конечное множество различных частот, N=|A|>=1,
f_A(x)=sum cos(ax), K(A)=-min_x f_A(x), c_N=inf_{|A|=N}K(A)/sqrt(N).
Амплитуды единичные и фазы нулевые.

Статус: проверена логика функционального ослабления и сверены формулировки
двух первичных препринтов. Оценка sqrt(N)/log(N+1)^p для произвольного
фиксированного p>0 здесь не доказана. Перечень источников не объявляется
полным обзором наиболее поздней литературы, а их внешние доказательства
не выдаются за заново проведённую независимую верификацию.

52.1. Конкретная гипотеза с логарифмической потерей

Для фиксированных C>0 и p>0 рассмотрим цель

  K(A) >= C sqrt(N) / [log(N+1)]^p   для всех A.

Она равносильна c_N>=C/[log(N+1)]^p. Такая правая часть стремится к нулю,
но намного медленнее любой отрицательной степени N. Если бы она была
доказана, это было бы сильным общим результатом. Он оставался бы слабее
исходной цели с положительной постоянной.

Нулевая граница именно нижней функции не устанавливает c_N->0. Например,
возьмём b_N=(log 2)^p/[log(N+1)]^p, так что 0<b_N<=1. Две абстрактные
последовательности u_N=1 и v_N=b_N обе удовлетворяют одной и той же
оценке «последовательность >= b_N». У первой положительная общая нижняя
грань, у второй — нулевая. Это логический контрпример к выводу из нижней
оценки; последовательности u_N,v_N не объявляются реализованными значениями
экстремальной функции Чоулы.

Опровержение постоянной потребовало бы, например, действительных наборов
A_j, для которых K(A_j)/sqrt(|A_j|) имеет верхнюю границу, стремящуюся к
нулю. Нижняя граница, стремящаяся к нулю, такой информации не содержит.

52.2. Что дают проверенные первичные публикации

Benjamin Bedert, «Polynomial bounds for the Chowla Cosine Problem»,
arXiv:2509.05260, версия v3 от 24 июля 2026 г., Theorem 1.1:

  K(A) >= N^(1/5-o(1))

в асимптотической записи статьи, равномерно по множествам A данного размера.
В нормировке настоящего журнала это даёт c_N>=N^(-3/10-o(1)).
Точный URL просмотренной версии:
  https://arxiv.org/html/2509.05260v3

Abhishek Shankar, «A Log-Free n^{1/5} Bound for Chowla's Cosine Problem»,
arXiv:2609.05338, версия v1 от 4 сентября 2026 г., Theorem 1.1:

  существует абсолютная C_*>0:
  K(A) >= C_* N^(1/5) для каждого непустого конечного A subset Z_{>0}.

После замены используемого в статье аргумента t на x/(2*pi) это в точности
наш класс сумм. В нормировке c_N результат имеет вид

  c_N >= C_* N^(-3/10).

Точный URL просмотренной версии:
  https://arxiv.org/html/2609.05338v1
  https://arxiv.org/abs/2609.05338
Значение оптимальной постоянной в этой работе не вычисляется.

Оба результата приведены с явными версиями. Они не доказывают оценку
порядка sqrt(N) и не означают, что степенная функция N^(-3/10) описывает
реальное асимптотическое поведение c_N. Из утверждения Shankar следует
существование такой нижней функции; её точность
сверху не утверждается.

52.3. Почему логарифмическую цель нельзя объявить следствием степени 1/5

Отношение двух предполагаемых масштабов равно

  [sqrt(N)/log(N+1)^p] / N^(1/5)
       = N^(3/10)/log(N+1)^p -> infinity.

Доказательство предела элементарно: положив t=log(N+1), получаем
экспоненциальный рост e^(3t/10) с множителем, стремящимся к 1, делённый на
t^p. Из ряда экспоненты e^(alpha t)>= (alpha t)^m/m! при любом целом m>p
следует, что это отношение уходит в бесконечность. Поэтому уменьшением
одной абсолютной константы нельзя превратить оценку N^(1/5) в требуемую
sqrt(N)/log(N+1)^p одновременно для всех N.

52.4. Вложенные логарифмы и другие медленные поправки

То же различие сохраняется для

  b_1(N)=C/log(N+e),
  b_2(N)=C/log(log(N+e^e)),
  b_3(N)=C/[log(N+e)]^p/[log(log(N+e^e))]^q,

где p,q>0. Все знаменатели определены и положительны при N>=1; все три
нижние функции стремятся к нулю. Более медленное стремление к нулю означает
более сильную требуемую нижнюю оценку при сопоставимых фиксированных
константах. Вложенность сама по себе не даёт ни доказательства оценки,
ни опровержения постоянной.

Общее полезное условие просто: если доказано c_N>=b(N) и inf_N b(N)>0,
исходная гипотеза решена. Если доказано только b(N)>0 для каждого N,
решение не следует. Если нижняя функция слаба на конечном числе размеров,
их можно обработать отдельно с помощью c_N>=1/(2 sqrt(N)); поэтому для
этой цели достаточно liminf b(N)>0.

Можно назвать функцию L медленно меняющейся, когда L(lambda x)/L(x)->1
при каждом фиксированном lambda>0. Для L(x)=log(x+e) это следует из
log(lambda x+e)-log(x+e)->log lambda и log(x+e)->infinity; аналогично для
вложенного логарифма. Это определение не содержит оценки для K(A).
Переход к языку медленного изменения — классификация кандидата, а не
механизм доказательства его связи с частотами.

Проверка и ограничения.
Асимптотические выводы доказаны выше без экстраполяции конечного численного
диапазона. Групповой код точно проверяет разность показателей
1/2-1/5=3/10 и использует рациональные логические примеры различия нижней
функции и истинной последовательности. Он не является проверкой теорем
Bedert или Shankar. Внешние факты ограничены двумя явно указанными
первичными текстами; остальные утверждения имеют доказательства в записи.

