НЕЗАВИСИМЫЙ ВНУТРЕННИЙ АУДИТ ВЕТВЕЙ 64 И 65
18 октября 2026 года. Проверяющий агент: round2_constructions.

ОБЛАСТЬ ПРОВЕРКИ

Проверены полные тексты 64_negative_lp_function.txt и
65_quantile_function.txt, включая все три интервальных Lp-режима,
нормировку меры, дуги отрицательности и квантильный барьер для всех N.
Ни внешняя рецензия, ни проверка научного приоритета этим аудитом
не подразумеваются. Ниже записана самостоятельная математическая
проверка, а не повторный запуск авторского кода. Существенных ошибок
в проверенных утверждениях не обнаружено.

ОБЩАЯ НОРМИРОВКА

Мера dx/(2pi) имеет массу 1. Для A_N={1,...,N}, L=2N+1,
f=(D_N-1)/2, D_N=sin(Lx/2)/sin(x/2). На [-pi,pi]
|D_N|<=min(L,pi/|x|). Это следует соответственно из суммы L экспонент
и из sin(|x|/2)>=|x|/pi. Особенность огибающей при нуле интегрально
обрабатывается отдельно либо допустима при p<1.

1. ОБЩИЕ УТВЕРЖДЕНИЯ ВЕТВИ 64

Для Y=max(-f,0) и 0<p<q неравенство Jensen на вероятностной мере даёт
(E Y^p)^(1/p)<=(E Y^q)^(1/q)<=K. При p<1 слово «квазинорма»
употреблено правильно. Если 0<epsilon<K, непрерывность даёт положительную
меру множества Y>K-epsilon; его вклад в E Y^p доказывает предел нормы K
при p->infinity. Это утверждение о каждом A и само по себе не доказывает
единой квадратнокоренной нижней границы.

2. ДУГИ С ГЛУБИНОЙ ПОРЯДКА N

На I_N=[8pi/(3L),10pi/(3L)] имеем Lx/2 in [4pi/3,5pi/3],
так что sin(Lx/2)<=-1/2. Для N>=2 дуга лежит в (0,pi), а
sin(x/2)<=x/2<=5pi/(3L). Следовательно,
Y=(1-D_N)/2>=1/(4sin(x/2))>=3L/(20pi).
При отражении знак числителя и знаменателя одновременно меняется,
поэтому f чётна и оценка сохраняется. Длина каждой дуги равна
2pi/(3L); суммарная нормированная мера равна 2/(3L).
Таким образом, обе константы в (64.1) и в разделе 65.3 подтверждены
на непрерывных дугах, без сеточного допущения.

3. РЕЖИМ p>1

Прямой интеграл огибающей, разделённый в pi/L, равен
E[min(L,pi/|x|)^p]
 = L^(p-1)+(L^(p-1)-1)/(p-1).
Из выпуклости следует |(D_N-1)/2|^p<=(|D_N|^p+1)/2,
поэтому верхняя граница имеет порядок L^(1-1/p) после извлечения
p-й степени. Нижняя граница с той же степенью следует из дуг пункта 2:
||Y||_p>=[3/(20pi)](2/3)^(1/p)L^(1-1/p).
Вывод Theta_p(N^(1-1/p)) верен для каждого фиксированного p>1.
Константы вправе зависеть от p; равномерности при p->1 не заявлено.

4. ГРАНИЧНЫЙ РЕЖИМ p=1

Верхняя граница 1+(log L)/2 в основном тексте корректна, хотя допускает
улучшение констант. Для заявленного порядка роста улучшение не нужно.

Проверим нижнюю границу. Пусть N>=6, M=floor(N/3). На дуге
J_k=[(12k+7)pi/(3L),(12k+11)pi/(3L)], 0<=k<M,
числитель синуса соответствует интервалу
2k*pi+[7pi/6,11pi/6] и не превосходит -1/2.
Последний правый конец имеет числитель 12M-1<=4N-1<3L,
так что все дуги находятся в (0,pi). Они попарно не пересекаются.
Здесь Y>=1/(4sin(x/2))>=1/(2x). С учётом отражений и меры dx/(2pi)
получаем точный переход
E Y >= (1/(2pi))*sum log[(12k+11)/(12k+7)]
    >= (2/pi)*sum 1/(12k+11).
Во втором шаге использовано log(1+u)>=u/(1+u), u>=0.
Убывание 1/(12t+11) даёт
sum_{k=0}^{M-1}1/(12k+11)
 >= integral_0^M dt/(12t+11)=(1/12)log(1+12M/11).
Наконец, M>=N/6 при N>=6. Все коэффициенты в опубликованной нижней
границе (1/(6pi))log(1+2N/11) подтверждены. Поэтому Theta(log N),
а не постоянный порядок, доказана для отрицательной части.

5. РЕЖИМ 0<p<1

Неравенство (a+b)^p<=a^p+b^p и интеграл |x|^(-p) дают
E Y^p<=2^(-p)[1+1/(1-p)]. Эта верхняя граница независима от N.

Для постоянной нижней границы рассмотрим индикатор h(y)=1_{sin y<=0}.
Первообразная h-1/2 периодична с осцилляцией pi/2: на положительной
полуволне она убывает со скоростью 1/2, на отрицательной возрастает
с той же скоростью. На любом интервале длины ell поэтому
integral h>=ell/2-pi/2.
Интервал x in [pi/2,pi] переходит при y=Lx/2 в интервал длины Lpi/4.
Обратное масштабирование даёт длину части с sin(Lx/2)<=0 не меньше
pi/4-pi/L>=pi/20 при L>=5. На этой части D_N<=0 и Y>=1/2.
С отражением нормированная мера не меньше 1/20, откуда
||Y||_p>=(1/2)(1/20)^(1/p).
Таким образом, Theta_p(1) при фиксированном 0<p<1 доказана полностью.

После деления на sqrt(N) все режимы в разделе 64.4 следуют верно.
При p=2 получается постоянный порядок для интервалов; переход к общей
оценке для всех A текст правильно оставляет недоказанным.

6. КВАНТИЛЬ И ЕГО РАВНОМЕРНЫЙ ИНТЕРВАЛЬНЫЙ БАРЬЕР

Для q_A(p)=sup{t>=0:mu(Y>=t)>=p}, 0<p<1, значение t=0 допустимо.
Отсюда определение корректно даже при наличии атома Y=0. Монотонность
по p и предел q_A(p)->K при p->0+ следуют из включения событий и
положительной меры каждого множества Y>K-epsilon.

На [-pi,pi] интервальная огибающая даёт
|f(x)|<=1/2+pi/(2|x|).
При t>1/2 условие f<=-t поэтому требует
|x|<=pi/(2t-1). Нормированная мера последнего интервала после
пересечения с [-pi,pi] равна min(1,1/(2t-1)). В частности,
mu(f<=-t)<=min(1,1/(2t-1)) для всех N.
Если t>(1+1/p)/2, правая часть строго меньше p. Это доказывает
q_{A_N}(p)<=(1+1/p)/2 без необходимости доказывать достижение супремума.
Для фиксированного p>0 деление на sqrt(N) даёт вырождение к нулю.
Подстановка t=c*sqrt(N) верно даёт лишь необходимое условие
p_N<=1/(2c*sqrt(N)-1) при 2c*sqrt(N)>1.

С другой стороны, пункт 2 этого аудита доказывает
q_{A_N}(2/(3L))>=3L/(20pi).
Оба вывода совместимы: постоянная вероятность и вероятность порядка 1/N
описывают разную глубину. Контрпример относится к фиксированному p,
а не к самой гипотезе Чоулы.

7. ОДНА ЧАСТОТА И ОБЛАСТЬ ИТОГОВОГО ВЫВОДА

При A={1} отрицательная половина косинуса имеет ровно половину полного
чётного момента, то есть E(cos x)_-^(2r)=binom(2r,r)/(2*4^r).
Мера {cos x<=-t} равна arccos(t)/pi для 0<t<1, поэтому
q_{\{1\}}(p)=max(cos(pi*p),0). Нулевой квантиль при p>=1/2 корректен:
при любом t>0 мера соответствующего события строго меньше 1/2.

ИТОГ АУДИТА

Все проверенные формулы и пределы ветвей 64 и 65 подтверждены.
Доказательства сохраняют единичные амплитуды, нулевые фазы и один общий
параметр x исходной суммы. Общая квадратнокоренная граница из этих
утверждений не следует. Исправлений математического содержания
в основных двух файлах аудит не требует.
