ВНУТРЕННИЙ НЕЗАВИСИМЫЙ АУДИТ ВЕТВИ 62
18 октября 2026 г. Проверяющий агент: round2_analysis.

Граница проверки.
Это внутренняя математическая проверка другим агентом, а не внешнее
рецензирование и не подтверждение научного приоритета. Проверены
определение B_d, сходимость к K, интервальные формулы степени 3 и точные
константы. Обнаружена возможность усилить качественную сходимость до
равномерной абсолютной аппроксимации с явной степенью; она следует из
уже имеющегося результата 8.3, а не из новой гипотезы.

1. Корректность иерархии

Обозначения: f=sum_{a in A}cos(ax), N=|A|>=1, K=-min f; A состоит из
различных положительных целых чисел. Интеграл — вероятностный по кругу.

Для ненулевого полинома p функция p(f) не равна нулю тождественно:
непостоянная непрерывная f принимает все значения невырожденного интервала,
а ненулевой полином не может зануляться на всём интервале. Непрерывность
даёт положительную меру области, где p(f)^2>0, так что H_d строго
положительно определена. Обобщённое собственное число существует.

Постоянный тест и вложение пространств дают 0=B_0<=B_1<=...;
f>=-K даёт B_d<=K. Формула моментов через нулевую сумму выбранных
знаковых частот верна, включая кратности упорядоченных выборов.

Качественное доказательство с p_d(t)=(N-t)^d корректно. При m=min f,
0<epsilon<N-m отношение масс вне и внутри окрестности минимума
ограничено константой, умноженной на
[(N-m-epsilon)/(N-m-epsilon/2)]^(2d), и стремится к нулю.
Взвешенное среднее f поэтому стремится к m. Знаменатель положителен.

2. Точный общий количественный вывод

Условия: N>=1, 0<epsilon<=1. Положим

  M=ceil(4*pi*N/epsilon),
  d >= ceil(2*N^2*log(M)/epsilon),
  r=2d.

Тогда для каждого набора A из N частот

  0 <= K(A)-B_d(A) <= epsilon.                            (A62.1)

Полное доказательство. Обозначим g=N-f, G=max g=N+K. Имеем
0<=g<=2N и G>0. Используем доказанный ранее near-extremum аргумент
из раздела 8.3 внутреннего журнала. Он даёт

  mu{g>=G-epsilon/2} >= M^(-N).

Для ясности, этот факт не зависит от максимальной частоты. Разобьём
N-мерный фазовый тор на M^N клеток. Одна клетка имеет прообраз E меры
не меньше M^(-N). Выбрав t_0 in E, получим, что при u=t-t_0, t in E,
все фазы a_i u по модулю 2*pi отстоят от нуля не более чем на 2*pi/M.
Перенос этих u к точке максимума g меняет сумму не более чем на
2*pi*N/M<=epsilon/2. Мера при переносе сохраняется.

Следовательно,

  T_r=(integral g^r)^(1/r)
      >= (G-epsilon/2)exp[-N log(M)/r],   T_r<=G.

Из G<=2N и 1-exp(-u)<=u следует

  G-T_r <= epsilon/2 + 2*N^2*log(M)/r <= epsilon.

Здесь достаточно r>=4*N^2*log(M)/epsilon; равенство с целым потолком
из прежней записи не требуется. Наш r=2d именно удовлетворяет этому
неравенству. Все основания положительны, так как G>=N+1/2 и epsilon<=1.

Теперь применим Hölder с показателями (r+1)/r и r+1:

  integral g^r
    = integral (g^(r+1))^(r/(r+1))*1
    <= (integral g^(r+1))^(r/(r+1)).

Мера нормирована, поэтому множитель нормы единицы равен 1. Поскольку
integral g^r>0, получаем

  [integral g^(r+1)]/[integral g^r]
       >= (integral g^r)^(1/r)=T_r.

Для допустимого теста p(t)=(N-t)^d, r=2d, минус Rayleigh-отношение равно

  -[integral f*g^r]/[integral g^r]
       = [integral g^(r+1)]/[integral g^r]-N
       >= T_r-N >= G-epsilon-N = K-epsilon.

Так как B_d является максимумом минусов всех допустимых отношений,
B_d>=K-epsilon. Неравенство B_d<=K уже доказано. Это завершает (A62.1).

Данная скорость равномерна по всем частотным наборам при заданных N,
epsilon. Она не даёт нижней оценки B_d>=c sqrt(N), пока отсутствует
соответствующее общее ограничение самого K. Следовательно, фразу
«эффективная универсальная степень пока не установлена» необходимо
относить именно к достижению масштаба c sqrt(N), а не к аппроксимации
K с заданной абсолютной ошибкой. Автору передано это уточнение для
включения в основную ветвь 62.

Источник ранее доказанного факта:
  /workspace/scratch/b671bf289294/restored/Chowla_Research_Journal.txt
  раздел 8.3, шаги A и B. Выше они воспроизведены, и полный шаг Hölder
приведён независимо. Новые внешние научные факты здесь не используются.

3. Проверка интервальной комбинаторики

Для A_N={1,...,N} величина C_r=integral(1+2f)^r считает решения
y_1+...+y_r=rN, 0<=y_i<=2N. Включение–исключение даёт указанную в 62
сумму биномиальных коэффициентов. Для фиксированного r все её верхние
аргументы неотрицательны при N>=1. Если верхний аргумент меньше r-1,
соответствующая биномиальная величина равна нулю; её обычное полиномиальное
произведение также равно нулю. Поэтому C_r(N) является полиномом степени
не более r-1, а M_r(N) также имеет степень не более r-1 при r>=2.

Из этого следует, что -N^4 U_N — полином степени не более 6,
а N^4 V_N — степени не более 5. Проверочный файл
audit_62_independent_checks.py рассчитывает M_0,...,M_7 при N=1,...,7
НЕ через биномиальную формулу, а независимой свёрткой Laurent-полинома
sum_{a=1}^N(z^a+z^(-a)). Все действия целые и рациональные.

Семь различных значений аргумента достаточны для проверки тождеств:
разность двух полиномов степени <=6 с семью корнями тождественно нулевая.
Таким образом, это не экстраполяция нескольких совпадений без контроля
степени. Проверяются в точности

  -N^4 U_N=(56N^6+1005N^5+5750N^4+12495N^3+11474N^2+3780N)/5760,
   N^4 V_N=(43N^5+465N^4+1175N^3+1125N^2+372N)/480.

Следовательно, формула R_N=-U_N/V_N в основной записи корректна для
всех целых N>=1. Коэффициенты обоих положительных числителей положительны,
поэтому U_N<0 и V_N>0. После вычитания (14/129)N*N^4 V_N из -N^4 U_N
проверены все заявленные коэффициенты:

  [0,21/32,47255/24768,31619/16512,18145/24768,1145/16512,0].

Они доказывают строгое R_N>(14/129)N при N>=1. Отношение ведущих
коэффициентов равно 14/129. Например, N=1 даёт R_1=48/53<1=K({1}),
что также контролирует нормировку.

4. Низкие уровни и общий вывод аудита

Формула B_1 получается из положительности матрицы F_1+kH_1;
указанное положительное решение квадратного неравенства верно.
При интервальных частотах B_1->2/3. Для B_2 проверены
det Q=11/9216>0 и h^T Q^(-1)h=24/11. Аргумент через предельный
дополнительный член Шура корректно даёт B_2->24/11.

Кубический тест действительно даёт линейный нижний масштаб для всего
интервального семейства, тогда как два предыдущих фиксированных уровня
дают ограниченные величины. Это не распространяется автоматически на
произвольные A. Помимо уточнения об общей скорости аппроксимации,
математических ошибок в проверенных утверждениях не обнаружено.

Протокол точного выполнения находится в audit_62_independent_results.json.
Внешняя рецензия, доказательство исходной гипотезы и проверка новизны
результатов этим аудитом не утверждаются.

