ВЕТВЬ 67. КОЭФФИЦИЕНТ КАК ФУНКЦИЯ ЗНАМЕНАТЕЛЯ СЕРТИФИКАТА
Дата: 18 октября 2026 года. Публичная математическая запись.

СТАТУС

Это функциональная запись прежней арифметической оценки из подхода 26
и её последующих продолжений. Более сильная исторически верная формула
содержит q^2, а не q^4 после сокращения. Она не является новым улучшением.
Общий ограниченный знаменатель не доказан. Общего решения нет.

ПОСТАНОВКА И ВЫБОР m

A — N различных положительных целых чисел, f=sum cos(ax), K=-min f.
Для целого m>K положим
H_m(z)=2m+sum_{a in A}(z^a+z^(-a)), |z|=1.
Допустимым знаменателем q>=1 называется целое, для которого

q^2 H_m=sum_j |R_j(z)|^2,

где R_j — конечные Laurent-полиномы с Gaussian-целыми коэффициентами.
То есть R_j/q имеют общий знаменатель q в числовых коэффициентах.
Степени и число факторов заранее не ограничены.
В этой ветви для сравнения всех A используем m=floor(K)+2.

67.1. ПОЛНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО НЕРАВЕНСТВА

Пусть e_j=sum_k |r_jk|^2, l_j=sum_k |r_jk|.
Ненулевой Gaussian-целый коэффициент имеет модуль>=1, поэтому l_j<=e_j.
Постоянный коэффициент тождества даёт общую энергию

E=sum_j e_j=2m q^2.

Сумма модулей положительных Fourier-коэффициентов отдельного |R_j|^2
не превосходит sum_{k>l}|r_jk||r_jl|=(l_j^2-e_j)/2.
Неравенство треугольника при сложении факторов и sum e_j^2<=E^2 дают

N q^2 <= (1/2)sum_j(l_j^2-e_j) <= (E^2-E)/2.

После подстановки E=2m q^2 и сокращения на q^2:

N <= 2m^2 q^2-m.                                          (67.1)

Существенно, что целевые коэффициенты слева равны q^2, а не 1.
Игнорирование этого множителя привело бы к ненужному ослаблению.

67.2. ЯВНЫЕ ФУНКЦИИ КОЭФФИЦИЕНТА

Решая квадратное неравенство (67.1) относительно m и используя K>=m-2:

K >= [1+sqrt(1+8N q^2)]/(4q^2)-2.                         (67.2)

Это нижняя оценка для любого предъявленного допустимого q при выбранном m.
Если правая часть отрицательна, она не даёт содержательного усиления.

Полезно также иметь простую оценку K>=1. Пусть D=max A и
x_j=(2j+1)pi/D, 0<=j<D. Среднее exp(iax_j) по этим D точкам равно
нулю для 1<=a<D, а cos(Dx_j)=-1. Поэтому среднее f по точкам равно -1,
и минимум f не больше -1.

Отсюда m<=K+2<=3K. Из N<=2m^2 q^2 следует

K>=sqrt(N)/(3sqrt(2)q).                                   (67.3)

Например, проверяемый коэффициент можно записать как

c_cert(N,q)=max(1/sqrt(N), 1/(3sqrt(2)q),
                  {[1+sqrt(1+8Nq^2)]/(4q^2)-2}/sqrt(N)).

Для допустимого q выполнено K>=c_cert(N,q)sqrt(N).
Если удалось бы для всех A обеспечить q(A)<=q0 с одним абсолютным q0,
то (67.3) решила бы исходную задачу с c=1/(3sqrt(2)q0).
Это достаточное условие; его необходимость здесь не утверждается.

67.3. ЧТО УЖЕ ЕСТЬ И ЧЕГО НЕ ХВАТАЕТ

Прежние конструкции 32, 47 и 50 обеспечивают для m=floor(K)+2
знаменатели, ограниченные только N, без зависимости от max A.
В частности, реконструкция 47 вместе с округлением 50 даёт следующий
явный вариант. Положим C=4N+4, n=ceil(sqrt(C)), d=ceil(N/2),

R=ceil(4(n+1)(d+1)log(8(n+1)(d+1))),
Q_N=16n(2R+1)^(N+d).

Тогда каждый целый q>=Q_N допустим. Доказательство с контурной оценкой
Чебышёва, округлением коэффициентов и точным диагональным SOS записано в
recovered/philosophy_47_49_reconstructed.txt, раздел 47.
Его существенный запас: min H_m>2 позволяет оставить положительный
диагональный остаток после рационального округления.

Получаем log Q_N=O(N log(N+1)). Это достаточная верхняя граница для
выбираемого сертификата, а не нижняя граница на минимальный знаменатель.
Из неё нельзя заключить, что q_min(A) обязан расти. Но непосредственная
подстановка имеющегося Q_N в (67.3) даёт коэффициент
1/(3sqrt(2)Q_N), стремящийся к нулю, и не решает общий вопрос.

Назвать c функцией q или N математически допустимо. Чтобы вернуть
исходную гипотезу, всё равно нужен положительный абсолютный нижний
предел полученной функции. В этой ветви он не установлен.

67.4. ПРОВЕРКА ТОГО, ЧТО ВЫБОР m ИМЕЕТ ЗНАЧЕНИЕ

Возьмём A={1,2,3,5,6,7,8}, N=7.
Для m=2 и q=1 неравенство (67.1) потребовало бы 7<=6, что невозможно
при любом числе факторов и любых степенях.
Однако H_2 строго положителен: точные сертификаты q=81 и q=128
из реконструкции 49 имеют положительные диагональные остатки.
Поэтому K<2; вместе с K>=1 это даёт floor(K)+2=3.

Для именно этого канонического m=3 имеется очень короткий integer SOS:

H_3=|1+z+z^3+z^8|^2+|1+z^6|^2.                           (67.4)

Первый фактор имеет шесть положительных разностей 1,2,3,5,7,8,
каждую ровно один раз; второй добавляет разность 6.
Постоянный коэффициент равен 4+2=6. Поэтому (67.4) проверяется
целочисленной автокорреляцией и q_min(A,m=3)=1.

Это не разрешает задачу для всех A, но исключает ошибочный перенос
препятствия при m=2 на отдельно сформулированное условие при m=floor(K)+2.
Сертификаты q=81 и 128 не объявлялись минимальными.

67.5. ТОЧНЫЙ КОНТРОЛЬ И ПРОИСХОЖДЕНИЕ

Код functions_63_68_checks.py проверяет все Fourier-коэффициенты (67.4),
а также заново пересчитывает два остатка q=81,128 из сохранённой
реконструкции. Это новое выполнение арифметического контроля после
сбоя файловой среды; восстановление прежних исходных байтов не заявлено.

Исторический полный журнал 1–40:
/workspace/scratch/b671bf289294/restored/Chowla_Research_Journal.txt
Компактная реконструкция 47–49:
/workspace/scratch/b671bf289294/chowla_research/recovered/philosophy_47_49_reconstructed.txt

Приведённое энергетическое доказательство не требует внешней специальной
теоремы. Все выводы относятся к единичным амплитудам, нулевым фазам
и различным положительным целым частотам.
