ВЕТВЬ 66. КОЭФФИЦИЕНТ КАК ФУНКЦИЯ ЭНТРОПИЙНОГО БЮДЖЕТА
Дата: 18 октября 2026 года. Публичная математическая запись.

СТАТУС

Доказана точная вариационная формула. Для последовательных частот
при любом фиксированном бюджете h>0 доказан порядок N/log N.
Для всех наборов A доказана верхняя оценка того же порядка при фиксированном h.
Нужная для общего решения равномерная нижняя оценка не доказана.
Научный приоритет этого результата не устанавливался.

ПОСТАНОВКА

A — N различных положительных целых частот, f_A=sum cos(ax), X=-f_A,
K=max X. E — нормированный интеграл dx/(2pi); E X=0, E X^2=N/2, X<=N.
Для плотности rho>=0, E rho=1, обозначим
D(rho)=E rho log rho, полагая 0 log 0=0.

Для h>=0 определим

b_A(h)=sup{E rho X: E rho=1, rho>=0, D(rho)<=h},
c_A(h)=b_A(h)/sqrt(N).

Смысл: мы можем перераспределить вес моментов времени, но платим
за отклонение от равномерного распределения относительной энтропией.

66.1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА

Из выпуклости u log u следует D>=0, с равенством только при rho=1
почти всюду. Поэтому b_A(0)=0. Функция b_A не убывает и не превосходит K.
Она вогнута: смесь допустимых плотностей для бюджетов h1,h2 допустима
при смешанном бюджете, а целевой функционал линеен.

При h->infinity имеем b_A(h)->K. Для epsilon>0 достаточно взять
rho=1_E/mu(E), где E={X>=K-epsilon}: его энтропия log(1/mu(E)) конечна,
а целевой функционал не меньше K-epsilon.

66.2. ТОЧНАЯ ДВОЙСТВЕННОСТЬ С ФУНКЦИЕЙ ИЗ 63

Пусть g(beta)=log E exp(beta X), rho_beta=exp(beta X-g(beta)).
Для любой допустимой rho и beta>0:

D(rho || rho_beta)=D(rho)-beta E rho X+g(beta)>=0.

Поэтому b_A(h)<=inf_{beta>0}[h+g(beta)]/beta.
Для наших непостоянных тригонометрических полиномов при h>0 на самом деле

b_A(h)=inf_{beta>0}[h+g(beta)]/beta=g'(beta_h),              (66.1)
beta_h g'(beta_h)-g(beta_h)=h,

причём beta_h существует и единственен.

Полное обоснование последнего утверждения. Функция
D_beta=D(rho_beta)=beta g'-g имеет производную beta Var_{rho_beta}(X)>0
и стремится к нулю при beta->0. Проверим, что D_beta->infinity.
Максимум X достигается в конечном числе точек: иначе аналитическая
тригонометрическая функция X-K имела бы бесконечно много нулей с
предельной точкой и была бы тождественным нулём.
Следовательно, p_epsilon=mu{X>=K-epsilon}->0 при epsilon->0.

Для фиксированного epsilon Gibbs-масса вне этого множества не больше
p_{epsilon/2}^(-1) exp(-beta epsilon/2), то есть стремится к нулю.
Если его Gibbs-масса равна a, Jensen по множеству и дополнению даёт

D_beta>=a log(a/p_epsilon)+(1-a)log((1-a)/(1-p_epsilon))
       >=a log(1/p_epsilon)-log 2.

Сначала beta->infinity, затем p_epsilon->0; получаем D_beta->infinity.
По непрерывности и строгой монотонности существует единственный beta_h.
Плотность rho_{beta_h} имеет ровно разрешённую энтропию h и достигает
верхней оценки, поскольку D(rho_{beta_h} || rho_{beta_h})=0.
Это доказывает (66.1), включая достижение и отсутствие двойственного разрыва.

При фиксированном A и h->0 дополнительно получается
b_A(h)=sqrt(N h)+O_A(h),
поскольку g=N beta^2/4+O_A(beta^3) и D_beta=N beta^2/4+O_A(beta^3).
Эта локальная асимптотика не объявляется равномерной по N и A.

66.3. КОНСТРУКТИВНАЯ ЛЕММА ДЛЯ РЕДКОГО ПРОВАЛА

Пусть E имеет меру p в (0,1), а X>=d>0 на E. Положим

lambda=min(1,h/log(1/p)),
rho=(1-lambda)+lambda 1_E/p.

Выпуклость энтропии даёт
D(rho)<=lambda D(1_E/p)=lambda log(1/p)<=h.
Поскольку E X=0, имеем E rho X=lambda E(X | E)>=lambda d.
Значит

b_A(h)>=d min(1,h/log(1/p)).                              (66.2)

Даже фиксированный бюджет допускает небольшой дополнительный вес
на очень узкой глубокой впадине. Это отличается от требования, чтобы
впадина сама занимала заранее фиксированную долю времени.

66.4. ЯВНЫЙ НЕПРЕРЫВНЫЙ ПРИМЕР: ВСЕ N>=2

Пусть A_N={1,...,N}, L=2N+1 и

E_N=[8pi/(3L),10pi/(3L)] union [-10pi/(3L),-8pi/(3L)].

Угловые коэффициенты рациональны; конечный порог N>=2 обеспечивает,
что обе дуги лежат в [-pi,pi] и не пересекаются.
Их нормированная мера p_N=2/(3L).
Из f=(sin(Lx/2)/sin(x/2)-1)/2, sin(Lx/2)<=-1/2 на положительной
дуге и sin(x/2)<=5pi/(3L) следует X>=3L/(20pi) на всём E_N.
На отрицательной дуге действует чётность.

Подставляя в (66.2), получаем точную нижнюю оценку

b_{A_N}(h)>=[3(2N+1)/(20pi)]
              min(1,h/log(3(2N+1)/2)).                    (66.3)

При фиксированном h>0 она имеет порядок не меньше N/log N.
Никакое обнаружение точки на конечной сетке в доказательстве не использовано.

66.5. ОБЩАЯ ВЕРХНЯЯ ОЦЕНКА: ВСЕ A, N>=2

Для вещественного u положим
j(u)=(exp(u)-1-u)/u^2=integral_0^1(1-t)exp(tu)dt,
с непрерывным значением 1/2 при u=0.
Подынтегральное выражение показывает, что j возрастает по u.
Так как X<=N, для beta>0 получаем точечную оценку

exp(beta X)<=1+beta X+[(exp(beta N)-1-beta N)/N^2]X^2.

Усредняем и используем E X=0, E X^2=N/2:

g(beta)<=log(1+[exp(beta N)-1-beta N]/(2N))
       <=[exp(beta N)-1-beta N]/(2N).                       (66.4)

При beta=log(N)/N правая часть равна
(N-1-log N)/(2N)<1/2. Из (66.1) следует

b_A(h)<=(h+1/2) N/log N,  N>=2.                           (66.5)

Следовательно, для последовательных частот и каждого фиксированного h>0:

b_{A_N}(h)=Theta_h(N/log N),
c_{A_N}(h)=Theta_h(sqrt(N)/log N)->infinity.                (66.6)

Верхняя оценка (66.5) относится ко всем A; нижняя (66.3) — только
к явно указанному интервальному семейству. Эти области нельзя смешивать.

66.6. КАКОЙ ШАГ ОСТАЛСЯ ОТКРЫТ

Достаточно было бы установить b_A(h0)>=c sqrt(N) при одних абсолютных
h0,c>0 для всех A. Полученные формулы этого пока не дают.
Двухуровневая случайная величина из 63 имеет те же первые два момента,
но отрицательная глубина у неё равна 1; следовательно, её b(h)<=1
при любом бюджете. Это показывает необходимость дополнительной структуры
косинусных сумм, не являясь контрпримером в исходной постановке.

66.7. КОНЕЧНЫЙ ТОЧНЫЙ КОНТРОЛЬ

Код functions_63_68_checks.py для нескольких N строит рациональное
lambda=1/J с целым J, удовлетворяющим exp(J)>=3(2N+1)/2.
Последнее проверяется нижней рациональной суммой ряда exp, а не
округлённым логарифмом. Тогда D(rho)<=1 доказано, и с pi<4 получаем
строго рациональный сертификат

b_{A_N}(1)>3(2N+1)/(80J).

Скрипт сохраняет также число членов экспоненциального сертификата.
Эти примеры проверяют конструкцию; общий порядок (66.6) доказан выше.

ИСТОЧНИК МОДЕЛИ И АТРИБУЦИЯ

S. M. Perlaza, G. Bisson, Variations on the Expectation Due to Changes
in the Probability Measure, Entropy 27(8), 865 (2025), Definition 2,
Lemma 2: первичная статья о Gibbs-плотностях и вариационном принципе.
https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC12385246/
https://doi.org/10.3390/e27080865
Здесь формула двойственности с заданным бюджетом и все оценки для A
доказаны непосредственно. Статья не цитируется как доказательство
наших выводов о косинусных суммах.
