ВЕТВЬ 64. КОЭФФИЦИЕНТ КАК ФУНКЦИЯ ПОРЯДКА ОТРИЦАТЕЛЬНОГО МОМЕНТА
Дата: 18 октября 2026 года. Публичная математическая запись.

СТАТУС И ПОСТАНОВКА

Доказаны монотонность, предельное восстановление минимума и точные порядки
роста для последовательных частот. Фиксированный p<2 не может обеспечить
абсолютный коэффициент для всех A. Случай p=2 для всех A здесь открыт.
Общее решение и научный приоритет не заявляются.

A — N различных положительных целых частот;
f_A(x)=sum cos(ax), f_-(x)=max(-f_A(x),0), K=max f_-.
E — нормированный интеграл dx/(2pi). Для 0<p<infinity положим

c_A(p)=(E f_-^p)^(1/p)/sqrt(N),  c_A(infinity)=K/sqrt(N).

При p<1 выражение является квазинормой, а не нормой.

64.1. ЧТО ДОКАЗАНО ДЛЯ ЛЮБОГО A

Если 0<p<q, Jensen для u^(q/p) даёт
(E f_-^p)^(1/p)<=(E f_-^q)^(1/q)<=K.
Кроме того, для epsilon>0 множество {f_->K-epsilon} имеет положительную
меру. Его вклад показывает, что lim_{p->infinity} c_A(p)=K/sqrt(N).
Таким образом, увеличение p усиливает оценку, но предельный переход
сам по себе не доказывает положительный минимум по всем A и N.

64.2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ЧАСТОТЫ: ДВЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ОЦЕНКИ

Пусть A_N={1,...,N}, L=2N+1. Геометрическая прогрессия даёт

D_N(x)=1+2f_A(x)=sin(Lx/2)/sin(x/2).

На [-pi,pi] имеем |D_N(x)|<=min(L,pi/|x|), поскольку
sin(|x|/2)>=|x|/pi.

Для N>=2 рассмотрим дугу
I_N=[8pi/(3L),10pi/(3L)] и её отражение -I_N.
На этой дуге y=Lx/2 лежит в [4pi/3,5pi/3], где sin y<=-1/2;
при этом sin(x/2)<=5pi/(3L). Поэтому

f_-(x)>=d_N=3L/(20pi),
mu(I_N union (-I_N))=p_N=2/(3L).                 (64.1)

Конечный порог N>=2 обеспечивает включение обеих дуг в [-pi,pi]
и их непересечение. Это явный непрерывный интервал, а не сеточная проверка.

64.3. ПОЛНЫЕ ПОРЯДКИ РОСТА ПРИ ФИКСИРОВАННОМ p

СЛУЧАЙ p>1. Разбивая интеграл для D_N в x=pi/L, получаем

E|D_N|^p <= L^(p-1)+(L^(p-1)-1)/(p-1).

Выпуклость даёт |(D_N-1)/2|^p<=(|D_N|^p+1)/2.
Следовательно, ||f_-||_p<=C_p L^(1-1/p).
Из (64.1) следует противоположная оценка

||f_-||_p >= [3/(20pi)] (2/3)^(1/p) L^(1-1/p).

Итак, для каждого фиксированного p>1:
||f_{A_N,-}||_p=Theta_p(N^(1-1/p)).              (64.2)

СЛУЧАЙ p=1. Аналогичное интегрирование даёт E|D_N|<=1+log L,
откуда ||f_-||_1<=1+(log L)/2.
Для нижней оценки при N>=6 положим M=floor(N/3) и используем дуги

J_k=[(12k+7)pi/(3L),(12k+11)pi/(3L)], 0<=k<M,

вместе с отражениями. Они лежат в [-pi,pi]. На них sin(Lx/2)<=-1/2,
поэтому f_-(x)>=1/(2|x|). Интегрирование даёт

||f_-||_1 >= (2/pi) sum_{k=0}^{M-1} 1/(12k+11)
           >= (1/(6pi)) log(1+12M/11)
           >= (1/(6pi)) log(1+2N/11).

Значит ||f_-||_1=Theta(log N), а не Theta(1).

СЛУЧАЙ 0<p<1. Из (a+b)^p<=a^p+b^p и |D_N|<=pi/|x|:

E f_-^p <= 2^(-p)[1+1/(1-p)].

Для нижней оценки возьмём x в [pi/2,pi], где sin(Lx/2)<=0.
Индикатор {sin y<=0} на любом y-интервале длины ell имеет интеграл
не меньше ell/2-pi/2: первообразная его отклонения от 1/2 имеет
осцилляцию pi/2. После замены y=Lx/2 длина подходящей части x-интервала
не меньше pi/4-pi/L>=pi/20 при L>=5. С отражением её мера не меньше1/20.
На ней f_- >=1/2. Поэтому

||f_-||_p >= (1/2)(1/20)^(1/p).

Следовательно, для каждого фиксированного 0<p<1:
||f_{A_N,-}||_p=Theta_p(1).

64.4. ЧТО ЭТО ЗНАЧИТ ДЛЯ ФУНКЦИИ c

При 0<p<1: c_{A_N}(p)=Theta_p(N^(-1/2)).
При p=1: c_{A_N}(1)=Theta(log N/sqrt(N)).
При 1<p<2: c_{A_N}(p)=Theta_p(N^(1/2-1/p))->0.
При p=2: c_{A_N}(2)=Theta(1).
При p>2: c_{A_N}(p)=Theta_p(N^(1/2-1/p))->infinity.

Так опровергнута единая положительная нижняя оценка через любой заранее
фиксированный p<2. Интервальный пример не опровергает и не доказывает
гипотезу ||f_{A,-}||_2>=c sqrt(N) для всех A. Эта последняя гипотеза
сама была бы достаточным усилением требуемой оценки K.

64.5. КОНЕЧНЫЙ КОНТРОЛЬ

Для A={1}, по симметрии положительной и отрицательной полуволн,

E(cos x)_-^(2r)=(1/2) binom(2r,r)/4^r.

Код functions_63_68_checks.py вычисляет эти рациональные моменты для
r=1,...,6 и проверяет соответствующие неравенства монотонности точными
степенями рациональных чисел. Он также проверяет рациональные условия
включения дуг для выбранных N. Общие асимптотические выводы опираются
на приведённые интегральные доказательства, а не на конечную таблицу.

ИСТОЧНИКИ И ГРАНИЦЫ

Геометрическая прогрессия, Jensen и элементарные интегралы выведены здесь
в достаточном для проверки объёме; внешняя специальная теорема не нужна.
Не утверждается, что исследование Lp-норм является новым для литературы
о тригонометрических полиномах. Значения коэффициентов, произвольные фазы
и вещественные частоты в постановку не добавлялись.
