ВЕТВЬ 63. КОЭФФИЦИЕНТ КАК ФУНКЦИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ
Дата: 18 октября 2026 года. Публичная математическая запись.

СТАТУС И ПОСТАНОВКА

Это функциональное переосмысление экспоненциального наклона из прежнего
подхода 35, а не заявление о новом независимом механизме или приоритете.
Доказаны свойства функции и препятствие для аргумента только по моментам.
Общая нижняя оценка порядка sqrt(N) для косинусных сумм не доказана.

A — N различных положительных целых частот, N>=1;
f(x)=sum_{a in A} cos(ax), K=-min_x f(x).
E означает интеграл по [0,2pi] с вероятностной мерой dx/(2pi).
Тогда E f=0, E f^2=N/2 и |f|<=N.
Исходная цель: K>=c sqrt(N) с одним абсолютным c>0 для всех A.

63.1. ТОЧНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Пусть X=-f, g(beta)=log E exp(beta X), beta>0.
Определим b_A(beta)=g(beta)/beta и c_A(beta)=b_A(beta)/sqrt(N).
Это нижние оценки: 0<b_A(beta)<K для конечного beta.

Доказательство. Jensen даёт g>=beta E X=0, строгое неравенство следует
из непостоянства X. Из X<=K следует g<=beta K. Равенство невозможно:
непрерывная непостоянная X строго меньше K на множестве положительной меры.

63.2. МОНОТОННОСТЬ И ПРЕДЕЛЫ

Плотность rho_beta=exp(beta X-g(beta)) имеет среднее 1. Дифференцирование
допустимо, поскольку X ограничена. Получаем

g'(beta)=E rho_beta X;
g''(beta)=Var_{rho_beta}(X)>0;
beta g'(beta)-g(beta)=E rho_beta log(rho_beta)>0.

Последняя положительность следует из строгой выпуклости u log u.
Поэтому b_A'(beta)=[beta g'-g]/beta^2>0.

При beta->0 для фиксированного A:
g(beta)=N beta^2/4+O_A(beta^3),
b_A(beta)=N beta/4+O_A(beta^2).
Остаток в этой записи не объявляется равномерным по N и A.

При beta->infinity имеем b_A(beta)->K. Действительно, для epsilon>0
p_epsilon=mu{X>=K-epsilon}>0 по непрерывности; следовательно,
b_A(beta)>=K-epsilon+log(p_epsilon)/beta.
Совместно с b_A<=K это доказывает предел.

63.3. ПРОВЕРЯЕМАЯ ГИПОТЕЗА О ПАРАМЕТРЕ

Если бы существовали абсолютные kappa,c>0, для которых

E exp(-kappa f_A/sqrt(N)) >= exp(kappa c)  для всех A,

то подстановка beta=kappa/sqrt(N) дала бы K>=c sqrt(N).
Это конкретная достаточная гипотеза; здесь она не доказана и не опровергнута.
Формальная подстановка в локальный ряд предлагает c примерно kappa/4,
но без равномерной оценки остатка такой вывод неправомерен.
Уход beta в бесконечность всегда возможен для отдельного A; он лишь
возвращает исходный минимум и сам по себе не даёт абсолютного c.

63.4. СТРОГОЕ ПРЕПЯТСТВИЕ ДЛЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТОЛЬКО ПО ДВУМ МОМЕНТАМ

Для целого N>=2 рассмотрим вспомогательную случайную величину Y:
Y=-1 с вероятностью N/(N+2),
Y=N/2 с вероятностью 2/(N+2).
Тогда E Y=0, E Y^2=N/2, |Y|<=N, но -min Y=1.
Поэтому для любого beta>0

log E exp(-beta Y)/[beta sqrt(N)] <= 1/sqrt(N) ->0.

Значит среднее, дисперсия и ограничение амплитуды сами по себе не
обеспечивают желаемую постоянную. Y не является предъявленным примером
косинусной суммы: это опровержение ослабленной модели, не гипотезы Чоулы.
Для успеха требуется дополнительное свойство целых частот и коэффициентов.

63.5. КОНЕЧНАЯ ПРОВЕРКА БЕЗ ЧИСЛЕННОГО ПОИСКА МИНИМУМА

При A={1} прямое интегрирование степенного ряда даёт
M(beta)=E exp(-beta cos x)=sum_{k>=0}(beta^2/4)^k/(k!)^2.
Положительные слагаемые позволяют сертифицировать M рациональными числами.
После члена k=J следующий член a_{J+1} ограничивает хвост сверху как
a_{J+1}/(1-r), r=beta^2/[4(J+2)^2]<1.

Скрипт functions_63_68_checks.py проверяет строго рациональными числами
M(1)^2<M(2) и M(2)^2<M(4), то есть b(1)<b(2)<b(4), а также точные
моменты двухуровневого препятствия. Общие утверждения доказаны выше;
конечные проверки служат контролем формул.

ИСТОЧНИК МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

Gibbs-плотность и вариационные тождества относительной энтропии:
S. M. Perlaza, G. Bisson, Variations on the Expectation Due to Changes
in the Probability Measure, Entropy 27(8), 865 (2025), Definition 2,
Lemma 2. Первичная исследовательская статья:
https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC12385246/
https://doi.org/10.3390/e27080865
В этой записи нужные формулы выведены непосредственно; результаты об A
не приписываются указанной статье. Связь с прежним 35: восстановленный
Chowla_Research_Journal.txt, раздел о Gibbs-наклоне.
