# Исследовательский журнал: гипотеза Чоулы о суммах косинусов

Дата начала записей: 17 октября 2026 года, America/Chicago.
Назначение: проверяемые материалы для возможной научной статьи.
Текущий статус: общего доказательства гипотезы или её опровержения нет.
Новизна частичных результатов не установлена. Внешняя научная рецензия и
формальная машинная верификация не проводились.

## 1. Предмет исследования

Для непустого конечного множества A различных положительных целых чисел
определены f_A(x)=sum_{a in A}cos(ax), N=|A| и K(A)=-min_x f_A(x).
Искомое утверждение: существует абсолютная постоянная c>0, такая что
K(A)>=c*sqrt(N) для каждого допустимого A, независимо от максимальной частоты.
Все исходные амплитуды равны единице, начальные фазы равны нулю.

Глубина отрицательного значения сама по себе не является алгоритмом улучшения
реального аудио. Применение к Bass Plus требует отдельной инженерной постановки.

## 2. Правила научной записи

Этот файл сохраняет формулировки математических кандидатов, проверяемые
доказательства и объяснения, контрпримеры, вычислительные методы и результаты.
Отрицательный результат всегда относится к точно названному утверждению,
конструкции или переходу. Неудача конкретного шага не исключает целую область
математики. Недоказанная лемма не считается опровергнутой.

Используемые категории:
- Доказано в записанных выкладках: приведено математическое обоснование.
- Опровергнут конкретный переход: приведён точный контрпример.
- Сертифицированное вычисление: имеется проверяемая граница погрешности.
- Численный эксперимент: конечные вычисления, без общего асимптотического вывода.
- Открытый шаг: сформулированное, но недоказанное достаточное условие.

Контрмодели с дробными амплитудами, случайными процессами, свободными фазами
или конечными группами проверяют только соответствующие ослабления условий.
Они не являются контрпримерами к исходной гипотезе.

Для статьи нельзя писать «этот метод не работает вообще» на основании
проверки одного предполагаемого неравенства. Корректная запись:
«Неравенство X в классе Y ложно; пример Z нарушает его».

## 3. Результаты предыдущих этапов

### 3.1. Конечный сертифицированный поиск

Предыдущий конечный этап дал набор
A={1,2,3,4,5,6,7,8,10,11,13,14,15,16,17,21}, N=16,
с K(A) между 2.4548327530 и 2.4548327531. Записаны сертификаты и
воспроизводимые проверки. Утверждение об оптимальности имеет только
указанную в итоговом отчёте область непустых подмножеств {1,...,22};
его нельзя переносить на все положительные целые частоты.

### 3.2. Общие направления до списка из двадцати

Исследованы низкие моменты и суммы квадратов; спектральная факторизация;
свёрточная формулировка через вероятностные плотности; аналитические
произведения; матрицы Грама и спектры графов; произведения цифровых наборов;
взвешенные контрмодели Фейера. Полные записи и вычисления включены ниже.
Последующие аудиты имеют приоритет над предварительными предположениями.

### 3.3. Подходы 1–20

1. Свободные некоммутирующие вращения: проверенный перенос спектрального края ложен.
2. Фермионные определители: проверенные ограничения ранга и дисперсии ложны.
3. Комплексная температура: нужная гипотеза о мнимых нулях ложна.
4. Тепловой поток: проверенный контроль энергии через минимум не сохраняется.
5. Броуновская остановка: указанных скалярных данных недостаточно.
6. Суммы Гаусса: частичная оценка верна, универсальность фиксированных сеток ложна.
7. Мера Малера: достаточная лемма остаётся недоказанной.
8. Сжатие частот: записаны доказательства достижения оптимума при фиксированном N
   и приближения произвольного набора явно ограниченными частотами.
9. Иррациональная расстройка: перестановка полного временного инфимума и предела ложна.
10. Комплексная кривая: площадь с кратностью обходов не контролирует нужный минимум.
11. Округление весов Фейера: восемь конечных размеров проверены; крупный отрицательный
    свидетель сертифицирован; асимптотическое поведение не установлено.
12. Нелинейное обращение времени: точный и равномерно близкий универсальные варианты ложны.
13. Смешанная игра на частотах {1,...,2N}: её точное значение равно 1/2
    для любого N; ослабление теряет цель. Ограничение области частот существенно.
14. MaxCut: перенос корректен, необходимая общая оценка остаётся недоказанной.
15. Обрезка и восстановление: итерация сходится к исходному неизвестному K(A).
16. Слабый предел: исчезновение функции не вынуждает исчезновение энергии.
17. Энтропия: обычной энтропии недостаточно, условие второго порядка равноценно цели.
18. Неопределённость: получена верная, но количественно слабая оценка.
19. Алгебраические квадраты: сертификаты верны, степень нельзя ограничить только N.
20. Пассивный фильтр: проверенного логарифмического баланса недостаточно.

### 3.4. Точный смысл результата о сжатии

При 0<eps<=1 положим M=ceil(4*pi*N/eps),
r=ceil(4*N^2*log(M)/eps). Для каждого допустимого A существует допустимое B,
для которого |B|=N, max(B)<=(r+1)^N и |K(A)-K(B)|<=eps.
Это конечное приближение. Эффективного критерия остановки для точного
оптимума и нижней оценки c*sqrt(N), равномерной по N, из этого не получено.
Полное доказательство и отдельный внутренний аудит приведены ниже.

## 4. Второй набор необычных подходов, номера 21–30

Завершён 17 октября 2026 года по времени America/Chicago, 18 октября UTC.
Проверены десять дополнительных механизмов. Некоторые развивают прежние
темы; это не заявление о тридцати полностью независимых математических теориях.
Необычность генерации идей не меняет требований к их доказательству.

21. Вероятностные свёрточные корни. Проверялась возможность представить
    критическую плотность u=1+f_A/K как многократную свёртку одной и той же
    вероятностной меры. Доказано, что это невозможно при любом порядке m>=2:
    корень обязан иметь конечный спектр, а свёртка двух ненулевых
    неотрицательных тригонометрических полиномов строго положительна всюду.
    У критической плотности есть нуль. Для некритической плотности
    1+2*rho*f_A получено необходимое условие rho<=2^(-m).
    Свёртки разных мер этим аргументом не исключены.

22. Выпрямление волны транспортной картой. Карта
    T(x)=x+sum sin(ax)/(K*a) действительно превращает плотность u в
    равномерную. Но малость перемещения T(x)-x не обеспечивает малость
    энергии производной. Для A={q,q+2}, q нечётно, K=2;
    sup|T-id|<1/q стремится к нулю, а ||T'-1||_2^2=1/4.
    Опровергнут модуль контроля, стремящийся к нулю, а не абсолютная
    верхняя оценка энергии, которая была бы равноценна цели Чоулы.

23. Граничные контакты комплексной функции и матрицы Пика. Выведены
    точные формулы угловых производных и верное ограничение суммы обратных
    производных для контактов с одним граничным значением. Нужная нижняя
    оценка этой суммы через c*N/K^2 ложна: для A={1,D}, D нечётно,
    контакт один, его масса 1/(D+1), тогда как N/K^2=1/2.
    Условие одинакового граничного значения нельзя убирать.

24. Адаптивная положительная квадратура. Если вероятностная мера
    обнуляет все исходные гармоники и имеет атом веса w, то строго
    K>=N*w/(1-w). Но для A={1,...,N} максимальный вес любого атома
    точно равен 1/(N+1); минимальное число узлов равно N+1.
    Универсальный атом веса порядка 1/sqrt(N) невозможен даже при
    свободном адаптивном выборе узлов. Иные применения квадратур остаются.

25. Следы и нормы Галуа. Для исходного полинома выведены точные первые
    два следа на полной орбите корня единицы. Проверенная попытка вывести
    контроль относительной дисперсии из положительности сопряжённых и
    целочисленной нормы ложна: положительные циклотомические единицы
    нормы один могут иметь неограниченную относительную дисперсию.
    Вспомогательные примеры имеют неравные коэффициенты; класс исходных
    косинусных сумм ими не опровергнут.

26. Общий знаменатель коэффициентов спектральных факторов. Доказано:
    если 2m+2f_A=sum_j |Q_j|^2 и коэффициенты всех Q_j лежат в
    (1/q)*Z[i], где m,q — положительные целые, то

        N <= 2*m^2*q^2-m.

    Степени и число факторов произвольны, но конечны. При
    m=floor(K)+1 абсолютная граница q<=q0 дала бы гипотезу Чоулы.
    Вариант q=1 строго опровергнут набором {1,2,3,5,6,7,8}:
    восемь рациональных интервалов Бернштейна сертифицируют 1<K<2,
    а целочисленная факторизация потребовала бы 7<=6.
    Одновременно доказано существование рациональной суммы квадратов
    для каждого строго положительного рационального полинома.
    На этом этапе общая граница необходимого знаменателя не установлена.
    Продолжение с дополнительным запасом положительности см. в пункте 32.

27. Комплементарные коды Голэя — Рудина — Шапиро. Точное тождество
    двух квадратов контролирует знакопеременную конструкцию, но перевод
    знаков в допустимую положительную маску создаёт линейный отрицательный
    провал. Для всей построенной семьи liminf K/N>=2/(3*pi), поэтому
    K/sqrt(N) стремится к бесконечности. Это доказанная асимптотическая
    неудача конкретного способа построить контрпример к Чоуле.

28. Туэ — Морс и совпадение степенных сумм частот. Две допустимые
    положительные маски имеют одинаковые суммы a^k до растущего порядка,
    но для обеих бесконечных семей снова liminf K/N>=2/(3*pi) и
    K/sqrt(N) стремится к бесконечности. Степенные суммы частот нельзя
    смешивать с интегральными моментами волны. Подходы 27 и 28 начинаются
    с разных свойств, но после удаления знаков встречают общий барьер,
    связанный с ядром Дирихле; это родство явно зафиксировано.

29. Дробные степени коэффициентов. Для H=(1+2*cos x)^2 возведение
    всех ненулевых коэффициентов Фурье, включая постоянный, в степень
    p даёт точный минимум 3^p-2-4^(p-1)<0 для каждого 0<=p<1.
    Проверенная операция выравнивания разрушает неотрицательность.
    Сохранение прежнего постоянного коэффициента этим примером не
    опровергнуто; цена его корректировки остаётся отдельным вопросом.

30. Запрет бесконечного строгого спуска. Для каждого фиксированного N
    множество V_N всех значений K(A) вполне упорядочено обычным порядком:
    каждое его непустое подмножество имеет минимум. Следовательно,
    последовательность строгих уменьшений K при неизменном N конечна.
    Доказательство использует пределы временных подгрупп тора и их
    целочисленные характеры; свободные фазы исходным волнам не назначаются.
    Однако значений может быть бесконечно много: для A_D={1,2,D}, D>=3,

        17/8-2*pi^2/D^2 <= K(A_D) < 17/8.

    Из запрета строгого спуска не получены критерий распознавания
    глобального оптимума, эффективная длительность поиска или связь
    между минимумами при разных N. Общая оценка Чоулы не доказана.

### 4.1. Что подтверждено дополнительно

Три новых вычислительных скрипта повторно выполнены основным проверяющим;
все их утверждения прошли. Блоки 21–23, 27–29 и 30 получили отдельные
письменные аудиты от участников, не писавших соответствующие доказательства.
Блок 24–26 прочитан и проверен основным участником, включая все 72
рациональных коэффициента сертификата для семи частот.

Единственное найденное редакционное уточнение этого раунда внесено:
в подходе 23 неотрицательность гарантирует нуль порядка не ниже двух,
но не обязательно точно второго порядка. В журнале сохранена запись
об исправлении. Внешнего рецензирования и формальной проверки доказательств
в Lean, Coq или аналогичной системе не было.

### 4.2. Конкретный оставшийся шаг

Подход 26 оставляет проверяемое достаточное условие: ограничить одним
абсолютным числом общий знаменатель хотя бы одного рационального
разложения 2m+2f_A, где m=floor(K)+1. Существование разложения для каждого
отдельного набора доказано; его равномерный арифметический контроль — нет.
Это достаточный путь к решению, а не доказанная эквивалентность и не
обещание, что условие истинно. Большой знаменатель сам по себе не
опровергает исходную гипотезу.

## 5. Третий набор необычных подходов, номера 31–40

Завершён 18 октября 2026 года UTC. Записаны десять следующих механизмов,
часть которых развивает предыдущие. Это сорок исследованных направлений
и вариантов, а не сорок независимых теорий. Общее доказательство гипотезы
Чоулы, её контрпример и улучшенная общая нижняя оценка K не получены.

31. Арифметика коэффициентов по модулю. Без контроля полной энергии
    проверка коэффициентов суммы квадратов по любому модулю M всегда
    проходит уже при q=1, даже если исходный полином бывает отрицательным.
    Это доказано явной формулой, поэтому сами такие сравнения недостаточны.
    Однако при ограничении полной энергии E=2m*q^2 и M>E+q^2
    коэффициентное сравнение строго вынуждает точное равенство. Речь
    идёт о модуле коэффициентов, а не об отождествлении степеней z.

32. Спектральное разложение через длинный биномиальный ряд. Доказана
    явная верхняя граница общего знаменателя, зависящая только от N,
    независимо от max(A), для разложения

        H=2m+2f_A=sum_j |Q_j|^2,  m=floor(K(A))+2.

    В отличие от пункта 26 здесь использован дополнительный запас
    положительности. Если d=ceil(N/2), C=4N+4, rho=1-1/C,
    theta=(1+rho)/2 и B(x)=3^d*d!/(1-x)^(d+1), достаточно выбрать R
    так, чтобы

        (rho/theta)^(R+1) <= 1/(8*C*B(rho)*B(theta)).

    Тогда подходит общий знаменатель q=(4C)^R. Все коэффициенты Q_j
    лежат в (1/q)*Z[i]; число факторов и степени конечны. Получено
    log(q)=O(N^2*log^2(N+1)). Большая численная величина этой верхней
    границы не означает, что такой знаменатель необходим.

    Механизм контролирует число частот в степенях вспомогательного
    полинома вместо максимальной частоты. Остаток поглощается точными
    рациональными квадратами без увеличения знаменателя с q до q^2.
    Полный рациональный сертификат построен для A={1}, m=2,
    gamma=1, C=6, R=153, q=24^153 и перенесён на A={1000003}.
    В этом демонстрационном примере существуют и гораздо более простые
    разложения с q=1; вычисление проверяет конструкцию, не минимальность q.

    Абсолютная граница q<=q0 для всех A дала бы оценку
    K(A)>=sqrt(N)/(3*sqrt(2)*q0). Полученная граница растёт с N
    и такого вывода не даёт. Это частичный арифметический результат,
    не решение Чоулы и не установленная новая теорема в литературе.

33. Превращение неограниченных степеней в конечную проверку. Для
    фиксированных A,m,q положим E=2m*q^2, D=max(A). Доказано: если
    разложение из пункта 26 существует вообще, существует и разложение
    обычными полиномами степени не более

        (max(D+1,4)+1)^(E+N).

    Число ненулевых целочисленных коэффициентов и их величины также
    ограничены энергией. Поэтому существование или отсутствие разложения
    с заданным q решается конечным перебором в принципе. Сам этот
    огромный перебор не проводился, практическая эффективность не заявлена.
    Доказательство сохраняет короткие линейные отношения между степенями
    и использует точное возвращение масштаба из пункта 40.
    Это граница для существования хотя бы одного короткого разложения:
    другие разложения того же полинома могут иметь сколь угодно большие
    степени. Для этого приведено точное семейство примеров при E=16.

34. Все дробные обратные нормы одновременно. Если Re H>0 и H(0)=k,
    необходимо ||(k/H)^p||_(H2)^2<=sec(pi*p), 0<p<1/2. Доказано,
    что всё это непрерывное семейство условий проходит полином
    H_N=1+z+...+z^N при пробном k=1:

        ||H_N^(-p)||_(H2)^2 < tan(pi*p)/(pi*p) < sec(pi*p).

    При этом для N>=2 его вещественная часть бывает отрицательной,
    а K({1,...,N})>=1/2+(2N+1)/(3*pi). Значит, именно это семейство
    необходимых норм не обеспечивает требуемую положительность и
    не контролирует настоящий K. Пробный k=1 не подменяет K(A).

35. Изменение вероятностной меры по Гиббсу. Для плотности
    q_t=exp(-t*f_A)/mean(exp(-t*f_A)) строго выведено

        K(A)>=integral_0^beta Var_t(f_A) dt.

    Достаточной была бы оценка Var_t(f_A)>=v*N до t=b/sqrt(N)
    с абсолютными b,v>0. Версия b=1, v=1/4 опровергнута точным
    рациональным сертификатом: для A={1,2,3,4}, t=1/2 дисперсия
    лежит строго между 0.646 и 0.647, что меньше N/4=1.
    Другие абсолютные b,v этим примером не исключены и остаются
    недоказанными. Прямое сравнение плотностей даёт только константную
    нижнюю оценку K, недостаточную для цели sqrt(N).

36. Дробный спуск и разрыв при целом обмене. Для каждого допустимого
    A существует строго улучшающее достаточно малое дробное изменение
    амплитуд с сохранением их суммы: косинус с новой целой частотой
    принимает значения, близкие к +1, одновременно во всех точках
    исходного минимума. Но это вспомогательный класс
    с неединичными амплитудами. При замене {1,2} на {1,3} через
    f_t=cos(x)+(1-t)*cos(2x)+t*cos(3x) доказано точно:

        K(0)=9/8, K'_+(0)=-25/16, K(1/2)=1, K(1)=2.

    Полная допустимая замена частоты ухудшает минимум, хотя начальное
    дробное движение его улучшает. Такой переход нельзя округлять
    автоматически и выдавать за алгоритм спуска исходной задачи.

37. Поправка между циклической сеткой и всей окружностью. Для
    совершенных разностных множеств выведено точное дополнительное
    слагаемое, которое исчезает на корнях единицы, но возвращается
    между ними. Для любого A и равномерной сетки размера Q доказана
    сертификация глобального минимума:

        m_Q - pi^2*sum(a^2)/(2*Q^2) <= min(f_A) <= m_Q.

    Рациональные интервалы на Q=1024 дали K в [1.31555040,1.31561630],
    [1.97221293,1.97313065] и [2.84260376,2.84960659] для конкретных
    разностных конструкций модулей 7, 13 и 31 соответственно.
    Это полные интервалы на окружности, но только для указанных наборов.
    Связанный взвешенный перенос через ядро Фейера из препринта Bu et al.
    прямо приписан авторам; его нельзя считать нашим новым результатом.

38. Разреженный двоичный автомат. Пусть A_m состоит из положительных
    чисел меньше 2^m, двоичная запись которых не содержит соседних единиц.
    Тогда |A_m|=F_(m+2)-1, плотность частот стремится к нулю. Доказано
    для всего бесконечного семейства, а не по конечной таблице:

        K(A_m)>|A_m|/20  для каждого m>=20.

    Поэтому K(A_m)/sqrt(|A_m|) стремится к бесконечности: это семейство
    не даёт асимптотического контрпримера к Чоуле. Использованы рекурсия
    Фибоначчи, точные веса 144 десятибитовых префиксов, рациональные
    интервалы и оценка остатка, равномерная по всем m>=20.
    Вывод касается именно данного автомата, не всех разреженных наборов.

39. Случайное целочисленное кодирование настоящего многомерного тора.
    Доказано: для конечного набора ненулевых целочисленных векторов,
    различных с точностью до знака, можно случайной целой проекцией
    получить допустимые одномерные частоты с

        K_d-eps <= K_1 <= K_d

    и явно ограниченной вероятностью неудачи. Параметры конечны,
    но велики. Механизм развивает моментное сжатие из пункта 8.
    Точное сохранение коротких отношений принципиально: конечная
    циклическая группа имеет дополнительные отношения кручения.
    Для характера порядка p его p-й момент косинуса отличается от
    непрерывного одночастотного момента на 2^(1-p). Поэтому такая
    проекция не переносит результаты Singer-сетки без поправок.

40. Смена фаз факторов и масштабирование всех частот. Доказано, что
    2m+z+z^(-1), m>=2, нельзя представить одним квадратом модуля
    полинома с гауссовыми рациональными коэффициентами, хотя конечная
    сумма целочисленных квадратов существует. Препятствие одному
    фактору не является препятствием сумме факторов.

    Для минимального общего знаменателя любого конечного разложения
    при фиксированном m доказано точное равенство

        q_min(L*A,m)=q_min(A,m), L — положительное целое.

    Возврат масштаба достигается разбиением коэффициентов факторов по
    остаткам степеней и усреднением по корням единицы, без новых
    знаменателей. Значит, простое умножение всех частот не улучшает
    этот арифметический показатель. Разбиваются вспомогательные факторы
    сертификата; исходный набор волн и всеобщность задачи сохраняются.

### 5.1. Исправление краткой формулировки старого пункта 13

В исходном полном доказательстве смешанной игры область {1,...,2N}
была указана, но в кратком обзоре её следовало сделать явной; это исправлено.
Для области {1,...,M-1}, M>=2N, значение игры равно N/(M-1).
Если разрешить неограниченные положительные целые частоты, инфимум
смешанной игры равен нулю и не достигается. Это усреднение по случайным
наборам с изменённым порядком операций, поэтому не опровержение Чоулы.
Полное обоснование сохранено в clarification_game13.md. Уточнение
старого направления не считается дополнительным подходом 41.

### 5.2. Проверка и оставшиеся пробелы

Основной участник повторно выполнил четыре новых проверочных скрипта;
все точные утверждения прошли. Прочитаны доказательства и код. Отдельные
исследовательские агенты дополнительно проверили пункты 31–34 и 40;
основной участник отдельно проверил блоки 34–36 и 37–39. Аудиты и
дополнительная проверка степеней в пункте 32 включены в приложения.
Это внутренние проверки, а не внешняя рецензия или доказательство в Lean.

Два конкретных достаточных шага остаются открытыми: абсолютный,
не зависящий от N, знаменатель для хотя бы одного разложения с указанным
сдвигом; либо подходящие абсолютные b,v в дисперсионной оценке пункта 35.
Истинность этих достаточных условий не установлена. Отсутствие их
доказательства не означает их ложность; их возможная ложность сама
по себе не опровергала бы Чоулу. Гарантии нахождения решения нет.

## 6. Устройство приложений и приоритет записей

Далее помещены полные математические записи, код и сохранённые результаты.
Часть технических приложений написана по-английски; формулы и условия
сохранены без перевода во избежание потери точности. Это материалы для
редактирования научной статьи, а не готовая рецензированная публикация.

Итоговые аудиты и явно помеченные исправления имеют приоритет над более
ранними пробными гипотезами. Исторический отрицательный результат сохраняется
даже после отказа от соответствующей идеи.

Источники приведены полными URL в соответствующих математических разделах.
Код и численные журналы сохраняются как приложения для воспроизводимости.
Хеши SHA-256 идентифицируют включённые версии, но не доказывают их корректность.


Версия сборки: 2026-10-18T00:17:37-05:00

РЕЕСТР ПРИЛОЖЕНИЙ
{"path": "round3/INDEX.md", "bytes": 5435, "sha256": "0c63b41d1f038171b2a9fb0fb2efaef1b3c83d2fe02e77d914e0fd086032d1ba"}
{"path": "round3/analysis_34_36.md", "bytes": 20601, "sha256": "b24be6b4a4ad11455048e3201fe3c08d3b4d3c7de9843e83efa8bcd9f51c1906"}
{"path": "round3/analysis_34_36_checks.py", "bytes": 4081, "sha256": "ba0850f8d027526eb53cdd3478385a0b9f46c6e4d8c6a7d47e186e103169b44d"}
{"path": "round3/analysis_34_36_results.json", "bytes": 1908, "sha256": "5424702adcf3c7165af33a09e40edf777352e56198c738feda64c5b5063cbf86"}
{"path": "round3/audit_31_33.md", "bytes": 15682, "sha256": "a88ff68b6aa70b897942dae07056ee4698260b0b8537ae2700c64c7fae5b78a0"}
{"path": "round3/audit_32.md", "bytes": 11608, "sha256": "ed05468ad5b741e2592a98792c7cebc17cbbc6fd3b238e5916460d6921646789"}
{"path": "round3/audit_32_power_checks.py", "bytes": 1362, "sha256": "2eaf6f85a6488f9fde4a470e2351136e829be2eed598c69eee6d11745c93ca82"}
{"path": "round3/audit_32_power_results.json", "bytes": 1653, "sha256": "626147f9e822928fc23ecce07c74a98eb80e84e9afed529a6d6674712c68c899"}
{"path": "round3/audit_34.md", "bytes": 5692, "sha256": "b84ef45c0f294978cfac88d09a2419a6ab71094492d31ea695f029fbbafdbd33"}
{"path": "round3/audit_34_36.md", "bytes": 6432, "sha256": "0d4f2cf4dff83f0cefe911d39fb68d711e4fdbe7f0bf5c3e09a6c0db2f6b0c03"}
{"path": "round3/audit_37_39.md", "bytes": 8629, "sha256": "cb732e45bc943993b91ce1b8ab46c8c30964777bfb9509e7b5a46e29bf9d160a"}
{"path": "round3/audit_40.md", "bytes": 5175, "sha256": "4c774dadb63fc044247b80d04ec1221638baa0d80efb2f161117d777b95ca850"}
{"path": "round3/clarification_game13.md", "bytes": 4242, "sha256": "3b293b799ce66f5487f24fcb9958fb08a9e1e91592fc0cd51b989d96eb55ab79"}
{"path": "round3/constructions_37_39.md", "bytes": 23843, "sha256": "ee0c3241465b542d3696ebf0848aefb7aaba7ceefa54193cccef68d37cc71d8d"}
{"path": "round3/constructions_37_39.py", "bytes": 8778, "sha256": "a42af9fab3850d80dda91e1c2758f376f71b690cb4722d6d54d7f8ab667b8f26"}
{"path": "round3/constructions_37_39_results.json", "bytes": 10865, "sha256": "91e3bf48bba86efef79906bac4be5e8854fe1facb3a1eb2440f2217fbfa61c93"}
{"path": "round3/denominators_31_33.md", "bytes": 26438, "sha256": "c112fa781033aa01483f56a972221e9ab5184dbda11de24ae80ae9f8bb72950d"}
{"path": "round3/denominators_31_33_checks.py", "bytes": 8100, "sha256": "0a57fe21d1bf35acfe373a53d86a8bb10a9ac017e83002136f0d1a89680b207d"}
{"path": "round3/denominators_31_33_results.json", "bytes": 189884, "sha256": "5b8f57719e3afebb8db41f5a464a736cec8ab658ac06089cfe637d6a49463fc8"}
{"path": "round3/phase_dilation_40.md", "bytes": 9981, "sha256": "2b7f1596a25f7d38e0af825870961f9edad24181c7127d3c9cd717b0a55208dc"}
{"path": "round3/phase_dilation_40_checks.py", "bytes": 3345, "sha256": "6542c133ce48f90eee23ba44e33fbd15c298fbdfec43228b667b1157a59cc68c"}
{"path": "round3/phase_dilation_40_results.json", "bytes": 2036, "sha256": "cbffd313cf3fc3a8539326e330558bfb01a5c22a73fe5add3c4685b6e59e9544"}
{"path": "round2/INDEX.md", "bytes": 5961, "sha256": "695de6f4d33abaeb8a1fc95cdae2a316c3b5076870e6165909da4a13f5915537"}
{"path": "round2/analysis_21_23.md", "bytes": 24251, "sha256": "e3615263d9574524e80abeb9d67f251bd85f3d904d5a95e4a42af48844867907"}
{"path": "round2/analysis_21_23_checks.py", "bytes": 4079, "sha256": "d860a32bfff167308b2dc6b2a00b0b688f9846f61cfa14b1734c8697a57ca8c9"}
{"path": "round2/analysis_21_23_results.json", "bytes": 2528, "sha256": "e47e6d3383d9d5fb6e2841c9fc75eb6f0922c10b10a663e7259402a12dc3cf60"}
{"path": "round2/audit_21_23.md", "bytes": 12118, "sha256": "a161f29a1940bd6224103e28c49c3f41e25afa0d1dc39e310e84f9ff2365da52"}
{"path": "round2/audit_24_26.md", "bytes": 7733, "sha256": "30a6ba3bbb844c80bd5feafc7ef4ca7fe07c5d1852a9a0ed7a5daa837f540200"}
{"path": "round2/audit_27_29.md", "bytes": 5147, "sha256": "44dcd9e00846b8cb646d6489f3cbe71aae73efddcd4e8e9da8e1b6e5480ce70d"}
{"path": "round2/audit_30.md", "bytes": 13434, "sha256": "7231a54d692cc70b063bf74ba905303a8c081d07a984e7463157354ccd2f94a6"}
{"path": "round2/constructions_27_29.md", "bytes": 14571, "sha256": "306433fbbb55c8bd48106991570ded7bcf282a963f1276ad253fbe8bf449c411"}
{"path": "round2/constructions_27_29.py", "bytes": 6889, "sha256": "eb187472eca24160ed9f2a9739713bdfbb55fa17724b8bf0ed6ff640c76cbc92"}
{"path": "round2/constructions_27_29_results.json", "bytes": 10269, "sha256": "1fb7d6cd8f82e1b6a8ffc9567d4f2528678e3d465fddb5ca5bdfd8d874ff6c4d"}
{"path": "round2/descent_30.md", "bytes": 11590, "sha256": "bec7c3de16ca4a443dd336396dd25e505f7a3ed7d74474d6a28db39db25b93bb"}
{"path": "round2/geometry_24_26.md", "bytes": 24747, "sha256": "fc63518cf9c1cdbf2ed806dcc2999d3e1bc93e91f53fb53591a6f2b3567d40cb"}
{"path": "round2/geometry_check_results.json", "bytes": 5028, "sha256": "d5388fdf42c3949eaf4c23b4c7bd7a34da391453692bb2679fb10f1352d08784"}
{"path": "round2/geometry_checks.py", "bytes": 6934, "sha256": "daae344571d18143b8bd305f7ad40d677085234095cd42270f9628de3bf851f6"}
{"path": "unconventional20/INDEX.md", "bytes": 5831, "sha256": "5a62248d35993d16d36bc4df5aa93d8f3ba332f2a70700308529fc38fce9d3dc"}
{"path": "unconventional20/arithmetic.md", "bytes": 21506, "sha256": "adb07cc2e295875763130af4af00b9a7aaefd57acc9fb53596949cb178b1c71e"}
{"path": "unconventional20/arithmetic_audit.md", "bytes": 5170, "sha256": "67218fedf6c9ef1a0e55575831c04d3e2bec688bf05c1baeed080d8a428b4c5a"}
{"path": "unconventional20/arithmetic_checks.json", "bytes": 2609, "sha256": "5729d6ea0600ee0739d3b8c1b1ede34d409dff3f6c28e3d7a32f2be93c72a105"}
{"path": "unconventional20/arithmetic_checks.py", "bytes": 4641, "sha256": "a3bbec6a91c7987acaf880c68451b5bf9469e4ac999b33649ec1a0dd8e007c01"}
{"path": "unconventional20/constructive.md", "bytes": 19473, "sha256": "f7f38d7ed8f264f6a840bd21d91b11843f0bc972f5c71534f5ebc32c4adc5fa4"}
{"path": "unconventional20/constructive_check_results.json", "bytes": 4746, "sha256": "4eea03abe48168f32758501ac968d7a054bdb02c48cd70a99349cb6e73823a3d"}
{"path": "unconventional20/constructive_checks.py", "bytes": 6147, "sha256": "80ee7e7c2475a653fdf576ddf3cd0913851c41eceb4c235026c660dd4ed1f900"}
{"path": "unconventional20/information.md", "bytes": 7618, "sha256": "9b94795497a24ad01b80110bf47f3bb66c78dc92f9d1759a115478fb6a2ef480"}
{"path": "unconventional20/physics.md", "bytes": 19144, "sha256": "3999b730fb3f586561141702ecdb58decc772c01f0b4cdfdb7f6bcfc7adaa6d7"}
{"path": "unconventional20/physics_check.py", "bytes": 2691, "sha256": "4c60eeded859e8f7bf169b4295b9fbece93e3d691a7eb0a861636020683a7f5f"}
{"path": "GENERAL_RESEARCH_CHECKPOINT.md", "bytes": 5501, "sha256": "32877f44a72b11d2ebd793c2c29d077acb2b808b186be8568fb14b8fbbb1b7fa"}
{"path": "README.md", "bytes": 1582, "sha256": "f2947bf46ed4bfa116b14e4e621f9fdab9dd0bf2090847ff735925bf6c348d02"}
{"path": "REPORT_RU.md", "bytes": 23526, "sha256": "101c7dcacf87206b73d674f620630b4a6f0ddb75420c4d0e1c25ba47de8e2e05"}
{"path": "SHA256SUMS.txt", "bytes": 3530, "sha256": "942a38b3590c2f23b611e6d7b71cce2dedb3555ea9a6f8a9f8917386c5bff89f"}
{"path": "general_fejer_barrier.md", "bytes": 3306, "sha256": "398e6403bcf54fdd764a754e97eb3af4d87629401fd890cbe3258c4a31a3d679"}
{"path": "independent_bernstein_certificates.json", "bytes": 19985, "sha256": "2148d656628e3bd7d3859d0dfd40409681bc295181688bbe6a75d90e591a62ed"}
{"path": "lower/lower_bound_audit.md", "bytes": 8748, "sha256": "da4d72aef379a4fa69f8a8ae96f02d44596933d6ac27411076ad5ad160978a05"}
{"path": "lower/product_audit.md", "bytes": 3255, "sha256": "2f2acd7d3d8ee379e02d1267a28b85c0b49053bf61e0bae4112bbc235a8aeb85"}
{"path": "requirements.txt", "bytes": 87, "sha256": "c88c1c4008ef0970424c633c9f0474b9c88266309fa130fe36e7b5240d1416b0"}
{"path": "run_verification.py", "bytes": 3874, "sha256": "ccfc238e1bfb110a6d4bafa461eeb4cdb6e55c153d18ea5006500cf97d3e227e"}
{"path": "verification_receipt.json", "bytes": 1889, "sha256": "c3b7dfbe76c0055bfbefbe7aed49976aab4dc8868eada71ee66f10914ec8f49c"}
{"path": "verify_bernstein.py", "bytes": 4556, "sha256": "536e37bee31097292bbea0bab3cf331e287f76da9084aa0df974d6d9a2e4d769"}
{"path": "general_moments/moment_obstructions.md", "bytes": 9759, "sha256": "0e8c070bde695a83005c140645ab3139cd91168fba7944bd58c4228714a36f42"}
{"path": "general_moments/probability_convolution_audit.md", "bytes": 6708, "sha256": "69e38112b1a33b71c04b1d2abb758d1ed6f3d016722692f1e0724f24c3ff9df6"}
{"path": "general_moments/product_route_audit.md", "bytes": 9955, "sha256": "595d0dcc8d2f69b01b12358e89dc6869c82199c15e9df5834e73c0592b36ccff"}
{"path": "general_moments/singer_test.py", "bytes": 2165, "sha256": "819bad4c952b86b82cdba4e62799827a2dbd6002e51dbb631c7df21697249097"}
{"path": "general_moments/singer_test_results.json", "bytes": 9198, "sha256": "0031b372c1c3251383ad57864e551a08b82b5c5f0084945ff32e8193ae41f626"}
{"path": "general_spectral/SPECTRAL_ATTEMPT.md", "bytes": 11048, "sha256": "099200ac3cde804452532b1153d7cc431bfe2986d3c2a530e3369e6324c3130e"}
{"path": "general_spectral/singer_local.py", "bytes": 2744, "sha256": "3315faf55ed58d1e96841ec90b8df79ebcb4d49242038e09f72734b271fcf1e2"}
{"path": "general_factorization/DAMPED_PRODUCT_NOTES.md", "bytes": 8453, "sha256": "53695d4f3a80a654967c8ef9131a14565024a9eaefecf5557abbf2d45400e2dc"}
{"path": "general_factorization/FACTORIZATION_NOTES.md", "bytes": 7114, "sha256": "79394e77f21d40a01390c49fb548b87b9a16ceab5f357d8ff9127a01447475f7"}
{"path": "general_factorization/exact_product_monotonicity.json", "bytes": 2148, "sha256": "20644e3e23a391767b4d4d5dfd57b15740bef67eba57c22207aa7314c1fccd46"}
{"path": "general_factorization/exact_product_monotonicity.py", "bytes": 1342, "sha256": "a3bb7e455929e6c498628669f819efbd5d32e50d62837cb8bb9f09db42c7a0b0"}
{"path": "counterexample/FINITE_AUDIT.md", "bytes": 4858, "sha256": "a8b7df5862389eb7d3760e4b88500589c1ede0ec7d291eac281e6d5d63a2c481"}
{"path": "counterexample/NOTES.md", "bytes": 9479, "sha256": "5c2242c69d19779dc95b964a818881407d5aa242ec88e232f33d1c05e65937ca"}
{"path": "counterexample/hypercube_shell_results.json", "bytes": 5158, "sha256": "923bdceaa0f74418dda73610a642989911f7e72a86c87be21aba29bcfe5d1a67"}
{"path": "counterexample/hypercube_shells.py", "bytes": 2040, "sha256": "3d909ea0ec0596385771459db7befc18871ea8f253cfe382941d06ae23a454f7"}
{"path": "counterexample/redteam_finite_check.json", "bytes": 1484, "sha256": "462a0e65576d60e63c4c28392f15e1163d7e6e9f0bd3cba9c7c918fe154d57d7"}
{"path": "counterexample/redteam_finite_check.py", "bytes": 6978, "sha256": "567eed9ed3eee613eebdbb1c79c143d69044c8d7d7a86265e1639668d5a57fc1"}
{"path": "compute/README.md", "bytes": 6537, "sha256": "05263041e3df150031ca29e951fb6dd8468c6af8166d738147bfe3b0dde7c755"}
{"path": "compute/anneal.py", "bytes": 1950, "sha256": "24642fdf0c921c9d6908f197baf90abef7f9cbd62964179851c2455901b7cf4c"}
{"path": "compute/anneal_M128_N48.json", "bytes": 12927, "sha256": "3101687e9f5532ea7a1e7192b2e8c4f3c1a29a631db048076e6e0988d0bb358d"}
{"path": "compute/anneal_M128_N48.log", "bytes": 4060, "sha256": "b0592a85cc9fc7907322fcc6198fa16ce2cbeb7f65e71d644b5520655e84f2a3"}
{"path": "compute/anneal_M48_N28.json", "bytes": 6762, "sha256": "3a18b83ae7cb45d88ced6a9885469117a234269bdbbf56bad132cdbd402574e3"}
{"path": "compute/anneal_M48_N28.log", "bytes": 1987, "sha256": "95ca1ebbeeb813a6ca0bcf01ecd198e946e325fccd56ea6f6c92172f2bdef3df"}
{"path": "compute/anneal_M64_N24.json", "bytes": 8218, "sha256": "9d42c2928cf84bb94cdbb76e59c8f472189eabd32dba283cab0df049ccf0207a"}
{"path": "compute/anneal_M64_N24.log", "bytes": 2413, "sha256": "5221eac2bb8b1683b1a99569fe370f76a093ce750c97cb2a2cc1715845f02fd9"}
{"path": "compute/anneal_M96_N36.json", "bytes": 10524, "sha256": "32e5243ab85dc47c31d82b4adc19f74d49237f2d8ec95940775d1f5bc8b101de"}
{"path": "compute/anneal_M96_N36.log", "bytes": 3215, "sha256": "0c0fb551322bf8bee75fcbc5ebff453964374228a853cbb57cc7529412ee60f8"}
{"path": "compute/certificate_N11.json", "bytes": 5632, "sha256": "4ad82e8484c68b2cf90596980b1bf55f4d494e258e01c89e93f11a3e3235c0a7"}
{"path": "compute/certificate_N16.json", "bytes": 13674, "sha256": "fcc9bd052865949af1f2fc19f411a9e5c85cdd7d37386db1047de7e4d3d42242"}
{"path": "compute/certificate_N6.json", "bytes": 2263, "sha256": "3dc3ad607d7e5dcc2a12c1b4ae897331f89bdccdd3e13e59f409677326b5bdd6"}
{"path": "compute/certify.py", "bytes": 3713, "sha256": "48c9cac5b59b7658486b613eee91485765f35c4d135f075b6dc93cfd8310894a"}
{"path": "compute/exact_finite_M22.log", "bytes": 1279, "sha256": "8ff254339222e3033d7995ee93d9f0500ab3dddd018459a455202e61a7b61e22"}
{"path": "compute/exact_finite_M22_certificate.json", "bytes": 1134, "sha256": "c066f7f1c3911c0af3a3778544582e5bc3f4e10cf788c8aed4c6f58e96bded38"}
{"path": "compute/exact_grid.py", "bytes": 3901, "sha256": "2eb94d7df8a6d60f1b0e5ada4faa1f85793944cab56215083b077e94fad8d2f5"}
{"path": "compute/exhaustive_M16.json", "bytes": 5899, "sha256": "53ad4672da4c0c04950942b6e268dc904c77c88bd47a7e5e13d20fa1cd88e081"}
{"path": "compute/exhaustive_M22.json", "bytes": 8874, "sha256": "97fedbe637c9d882fbfc8c5a18a34b74f3760148d70f2240619b6ddc097d5d01"}
{"path": "compute/exhaustive_M22.log", "bytes": 10888, "sha256": "6a66b2817f0861dabe855a626e7a1237de5e1bcd05664b616d3d54fa9fa56e7e"}
{"path": "compute/exhaustive_M24.json", "bytes": 9975, "sha256": "8e1a8e43dfcfe24a3f8fff925d1d63a0d65cd2343dca74c794754ffa8fd7d8ba"}
{"path": "compute/exhaustive_M24.log", "bytes": 18430, "sha256": "78d99e08c6c002ba4eba2d9c4760f4cb1aa243a95dd1a6736f3294cf5e434307"}
{"path": "compute/search.py", "bytes": 2390, "sha256": "2bda19b9c5e491474102275dd35266273f7a03fafca9da29b5d702b702a4d426"}


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: round3/INDEX.md
==============================================================================

# Третий этап исследования Чоулы: подходы 31–40

Дата: 18 октября 2026 года, UTC. Это очередной этап того же исследования.
Общего доказательства или опровержения гипотезы не получено. Новизна
частичных утверждений относительно литературы не установлена.

## Карта материалов

- denominators_31_33.md: коэффициентные сравнения по модулю; явный
  знаменатель через N при дополнительном запасе положительности;
  конечная разрешимость вопроса о заданном знаменателе.
- analysis_34_36.md: все дробные обратные Hardy-нормы; мера Гиббса;
  улучшающие дробные вариации и препятствие целому обмену.
- constructions_37_39.md: точная циклическая поправка и сертификация
  окружности; разреженный автомат Фибоначчи; случайная проекция тора.
- phase_dilation_40.md: один фактор и сумма факторов; неизменность
  минимального знаменателя при общем целом масштабировании частот.
- clarification_game13.md: уточнение области частот в старой смешанной
  игре и точное значение при произвольном конечном ограничении.

Разделы 32, 33 и 40 логически связаны. Нумерация отражает механизмы,
а не независимость всех доказательств. Проекция 39 развивает моментный
подход 8. Уточнение 13 не является новым номером 41.

## Воспроизводимые проверки

Основной участник прочитал и повторно успешно выполнил:

    python3 chowla_research/round3/denominators_31_33_checks.py
    python3 chowla_research/round3/analysis_34_36_checks.py
    python3 chowla_research/round3/constructions_37_39.py
    python3 chowla_research/round3/phase_dilation_40_checks.py

Результаты сохранены в соответствующих *_results.json. Сертификаты
используют целые числа и рациональные интервалы, где это требуется.
Десятичные числа в обзоре служат кратким отображением точных границ.
Файлы кода и JSON включаются полностью в единый текстовый журнал.

Дополнительный проверяющий создал и выполнил audit_32_power_checks.py;
его результат audit_32_power_results.json проверяет степени полинома
с исходной Fourier-l1-нормой больше единицы. Конечная проверка степеней
служит иллюстрацией; общее доказательство приведено отдельно.

Полный конечный перебор из теоремы 33 не выполнялся. Минимальность
огромного демонстрационного знаменателя 32 не заявлена. Предполагаемые
универсальные константы из 35 не подтверждены.

## Внутренние аудиты

- audit_31_33.md: отдельная проверка 31, 33 и зависимости от 40.
- audit_32.md: отдельная проверка полного вывода явного q(N).
- audit_34.md: дополнительная проверка аналитического результата 34.
- audit_34_36.md: проверка основным участником доказательств и кода 34–36.
- audit_37_39.md: проверка основным участником доказательств и кода 37–39.
- audit_40.md: отдельная проверка обоих утверждений 40.

Результат этих проверок: ошибок в заявленных ограниченных утверждениях
не обнаружено. Это не внешняя научная рецензия, не формальная проверка
в proof assistant и не подтверждение приоритета.

## Что остаётся открытым

Граница знаменателя из 32 зависит от N слишком сильно, чтобы дать
абсолютную константу в оценке Чоулы. Условия с абсолютным знаменателем
или абсолютными b,v в дисперсионной лемме 35 остаются достаточными
кандидатами, а не доказанными утверждениями. Отрицательные результаты
относятся только к явно указанным неравенствам, переносам и семействам.


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: round3/analysis_34_36.md
==============================================================================

# Подходы 34–36: дробные обратные нормы, охлаждение меры и вариация частот

Дата: 18 октября 2026 года, UTC.

Статус: три конкретных механизма проверены. Общая гипотеза Чоулы не доказана; новизна частичных наблюдений не установлена. Ни один отрицательный результат ниже не объявляется невозможностью всего соответствующего направления.

## Постановка

Для конечного непустого множества различных положительных целых частот A положим

\[
f_A(x)=\sum_{a\in A}\cos(ax),\qquad N=|A|,\qquad K(A)=-\min_x f_A(x).
\]

Интегралы по окружности нормированы: \(\int1\,dm=1\). Требуется доказать одну общую оценку K(A)≥c√N, c>0, без ограничения максимальной частоты. Амплитуды исходной суммы равны единице, фазы равны нулю.

## 34. Все дробные обратные нормы как замена точечной положительности

### Механизм

Положим P(z)=Σ_{a∈A}z^a и H(z)=k+P(z), k>0. Если k≥K(A), то Re H>0 внутри единичного диска. Попытаемся заменить это трудное точечное условие целым семейством интегральных ограничений на дробные обратные степени H. Это отличается от прежней проверки одной H²-нормы преобразования Шура: сейчас рассматриваются одновременно все показатели 0<p<1/2.

### Необходимое семейство неравенств

При Re H>0 можно выбрать аналитическую ветвь логарифма с H(0)=k. Для 0<p<1/2 имеем |arg H|<π/2, поэтому

\[
\operatorname{Re}(k/H)^{2p}\ge\cos(\pi p)\,|(k/H)^p|^2.
\]

Среднее аналитической функции (k/H)^{2p} по каждой внутренней окружности равно её значению в нуле, то есть 1. Отсюда

\[
\boxed{\|(k/H)^p\|_{H^2}^2\le\sec(\pi p),\qquad0<p<1/2.}\tag{34.1}
\]

Здесь H²-норма понимается как супремум средних квадратов модуля по радиусам r<1. Неравенство верно и при критическом сдвиге k=K(A); полюса на границе обрабатываются внутренними окружностями и ограниченной H²-нормой.

### Точная проверка: даже ВСЁ семейство (34.1) недостаточно

Возьмём исходные единичные частоты A_N={1,…,N}, но пробный сдвиг k=1:

\[
H_N(z)=1+z+\dots+z^N=\frac{1-z^{M}}{1-z},\qquad M=N+1.
\]

H_N не имеет нулей внутри диска. Его граничные нули простые, поэтому H_N^{-p}∈H² при p<1/2. Докажем для каждого N≥1 и каждого 0<p<1/2 более сильную оценку

\[
\boxed{\|H_N^{-p}\|_{H^2}^2
<\frac{\tan(\pi p)}{\pi p}
<\sec(\pi p).}\tag{34.2}
\]

Обозначим

\[
h_p(x)=|1-e^{ix}|^{2p},\qquad
a_n=\widehat h_p(n),\qquad b_n=\widehat h_{-p}(n).
\]

Для n≠0 выполняются a_n<0 и b_n>0. Знаки можно проверить без предположений о неизвестных экстремумах.

Для a_n используем при 0<p<1 формулу

\[
s^p=\frac{p}{\Gamma(1-p)}
\int_0^\infty(1-e^{-ts})t^{-p-1}\,dt.
\]

Подставляем s=2−2cos x. Ненулевой коэффициент Фурье экспоненты
e^{-2t}e^{2t cos x} строго положителен: коэффициент при e^{inx} равен

\[
e^{-2t}\sum_{j=0}^{\infty}
\frac{t^{2j+|n|}}{j!(j+|n|)!}>0.
\]

Перед ним стоит минус, следовательно a_n<0. Перестановка интегралов допустима: 1−e^{-t(2−2cos x)}≤min(4t,1), а полученная мажоранта интегрируема при 0<p<1.

Для b_n разложение

\[
(1-z)^{-p}=\sum_{j\ge0}c_jz^j,
\qquad c_j=\frac{p(p+1)\dots(p+j-1)}{j!}>0
\]

даёт \(b_n=\sum_{j\ge0}c_jc_{j+|n|}>0\). Ряд коэффициентов принадлежит ℓ², поскольку граничная особенность |x|^{-2p} интегрируема при p<1/2.

Ряд Фурье h_p абсолютно сходится. Действительно, a_n<0 при n≠0, а пуассоновские средние в точке 0 сходятся к h_p(0)=0; поэтому \(2\sum_{n\ge1}|a_n|=a_0\). Значит, можно интегрировать этот ряд против h_{-p}(Mx)∈L¹. Получаем

\[
\|H_N^{-p}\|_{H^2}^2
=\int h_p(x)h_{-p}(Mx)\,dm(x)
=a_0b_0+2\sum_{j\ge1}a_{jM}b_j
<a_0b_0.
\]

Бета-интеграл и формулы гамма-функции дают

\[
\int|1-e^{ix}|^{2q}\,dm(x)
=\frac{\Gamma(1+2q)}{\Gamma(1+q)^2},\qquad q>-1/2,
\]

откуда

\[
a_0b_0
=\frac{\Gamma(1+2p)\Gamma(1-2p)}
{\Gamma(1+p)^2\Gamma(1-p)^2}
=\frac{\tan(\pi p)}{\pi p}.
\]

Последнее меньше sec(πp), поскольку sin(πp)<πp. Оценка (34.2) доказана одновременно для всех p∈(0,1/2).

Однако для N≥2 функция Re H_N отрицательна в некоторых точках. Более того, при

\[
x_N=\frac{3\pi}{2N+1}
\]

формула ядра Дирихле даёт

\[
f_{A_N}(x_N)
=-\frac12-\frac1{2\sin(3\pi/(4N+2))},
\]

поэтому

\[
K(A_N)\ge\frac12+\frac{2N+1}{3\pi}.
\]

Итак, пробный сдвиг k=1 проходит ВСЕ проверки (34.1) при сколь угодно большом N, но настоящая глубина провала растёт как минимум линейно с N.

### Статус

Одновременные дробные обратные H²-ограничения (34.1) не заменяют точечную положительность и не вынуждают N≤Ck². Это доказано бесконечной семьёй с исходными единичными коэффициентами. Она не является контрпримером к Чоуле: её реальная глубина провала, наоборот, велика. Другие связи между обратными степенями, фазой и точечной геометрией H здесь не исключены.

## 35. Охлаждать только меру: экспоненциальное семейство без изменения набора частот

### Механизм и точные тождества

Сохраним весь исходный набор A и зададим

\[
Z(\beta)=\int e^{-\beta f_A}\,dm,
\quad q_\beta=\frac{e^{-\beta f_A}}{Z(\beta)},
\quad G(\beta)=\log Z(\beta),\qquad\beta\ge0.
\]

Отрицательные значения получают больший вес. Ни набор частот, ни его амплитуды при этом не меняются. Это действительное экспоненциальное изменение меры, а не прежняя попытка использовать мнимые нули функции температуры.

Дифференцирование интеграла даёт

\[
G'(\beta)=-\mathbb E_\beta f_A,
\qquad G''(\beta)=\operatorname{Var}_\beta(f_A).
\]

Поскольку G'(0)=0 и любая средняя глубина не превосходит максимальную,

\[
\boxed{K(A)\ge G'(\beta)
=\int_0^\beta\operatorname{Var}_t(f_A)\,dt.}\tag{35.1}
\]

Также выполнен точный вариационный принцип

\[
G(\beta)=\sup_q
\left[-\beta\int f_Aq\,dm-\int q\log q\,dm\right],
\]

где супремум по вероятностным плотностям достигается при q=q_β. Проверка: разность между правой частью при q_β и при произвольном q равна неотрицательной относительной энтропии \(\int q\log(q/q_\beta)\,dm\).

### Конкретный достаточный мост к Чоуле

Если найдутся абсолютные b,v>0, для которых для всех исходных наборов

\[
\operatorname{Var}_\beta(f_A)\ge vN
\quad\text{при всех}\quad0\le\beta\le b/\sqrt N,
\tag{35.2}
\]

то (35.1) немедленно даст K(A)≥bv√N. Это конкретная дополнительная лемма, а не уже доказанный факт.

### Проверка слишком сильной версии

Испытана версия b=1, v=1/4. Она ложна даже для

\[
A=\{1,2,3,4\},\qquad N=4,\qquad\beta=1/2=1/\sqrt N.
\]

Расчёт с рациональными интервальными пределами даёт

\[
\boxed{646/1000<\operatorname{Var}_{1/2}(f_A)<647/1000< N/4.}
\]

Код воспроизводит этот сертификат без вычислений синусов и косинусов: моменты \(\int f_A^j dm\) вычислены как постоянные коэффициенты целочисленного полинома \((\sum_{a\in A}(z^a+z^{-a}))^j\), делённые на 2^j. Экспонента заменена полиномом Тейлора степени 40. При |βf_A|≤2 равномерная ошибка не превосходит

\[
R=9\,\frac{2^{41}}{41!},
\]

поскольку e²<9. Для интегралов f_A^r e^{-βf_A}, r=0,1,2, ошибки ограничены соответственно R, 4R, 16R. Все дальнейшие деления выполнены с рациональными интервальными пределами.

Даже точная гауссова нижняя оценка G(β)≥β²N/4 не работает: уже для N=1

\[
Z(\beta)=\sum_{j\ge0}\frac{(\beta^2/4)^j}{(j!)^2}
<\sum_{j\ge0}\frac{(\beta^2/4)^j}{j!}
=e^{\beta^2/4}\quad(\beta>0).
\]

### Что даёт непосредственное сравнение плотностей

Из |f_A|≤N следует q_β≥e^{-2βN}. Поскольку дисперсия равна минимуму среднего квадрата отклонения от константы,

\[
\operatorname{Var}_\beta(f_A)
\ge e^{-2\beta N}\operatorname{Var}_0(f_A)
=e^{-2\beta N}N/2.
\]

Это сохраняет заметную долю дисперсии только на масштабе β≈1/N и через (35.1) даёт лишь постоянную оценку

\[
K(A)\ge\frac{1-e^{-2N\beta}}4.
\]

Разрыв между масштабами 1/N и 1/√N этим сравнением не закрыт.

### Статус

Механизм переноса через (35.1) корректен для всех исходных наборов. Версия (35.2) с b=1,v=1/4 опровергнута точным сертификатом. Существование каких-либо более слабых абсолютных b,v здесь не доказано и не опровергнуто. Отрицательная проверка одной пары постоянных не считается опровержением всех возможных Gibbs-подходов.

## 36. Вариация набора через его контакты: дробный спуск и невозможность округлить его автоматически

### Точная формула производной

Для непрерывной функции h и

\[
K(t)=-\min_x(f_A(x)+t h(x)),
\qquad C(A)=\{x:f_A(x)=-K(A)\},
\]

правая производная равна

\[
\boxed{K'_+(0)=-\min_{x\in C(A)}h(x).}\tag{36.1}
\]

Доказательство: каждый исходный контакт даёт нижнюю оценку производной максимума −f_A−th. Для верхней оценки выбираем максимизаторы при t→0+, извлекаем сходящуюся подпоследовательность и замечаем, что её предел должен быть исходным контактом. Компактность окружности и непрерывность функций обеспечивают оба перехода.

При обмене старой частоты a на новую b вдоль амплитудного отрезка h=cos bx−cos ax формула принимает вид

\[
K'_+(0)=\max_{x\in C(A)}(\cos ax-\cos bx).
\]

### Общий проверенный результат: у каждого бинарного набора есть строгий дробный спуск

Для любого непустого A и любого ε>0 можно выбрать новую целую частоту b∉A так, чтобы

\[
\cos(bx)>1-\varepsilon\qquad\text{для всех }x\in C(A).
\]

Действительно, множество контактов конечно, поскольку f_A+K(A) — ненулевой тригонометрический полином. Одновременная аппроксимация конечного числа фаз даёт сколь угодно большие целые b, близкие к общему возврату фаз к нулю. Элементарное доказательство использует разбиение конечномерного тора на малые ячейки и разности двух попавших в одну ячейку целых кратных. Если получаемые возвраты остаются ограниченными, одна фиксированная ненулевая разность является точным периодом; её кратные вновь дают сколь угодно большие b.

Рассмотрим

\[
f_t(x)=(1-t/N)f_A(x)+t\cos(bx),\qquad0\le t\le1.
\]

Все коэффициенты лежат в [0,1], а их сумма остаётся равной N. На контактах

\[
h(x)=\cos(bx)-f_A(x)/N=\cos(bx)+K(A)/N.
\]

По (36.1),

\[
\boxed{K'_+(0)\le-1-K(A)/N+\varepsilon<0}
\]

при достаточно малом ε. Следовательно, каждый бинарный набор допускает строго улучшающее направление в непрерывном амплитудном ослаблении, включая бинарный набор, который минимизирует K среди всех N-элементных целых наборов.

Этот результат не является допустимым шагом решения исходной задачи: промежуточные коэффициенты дробные, а после добавления частоты обычно ненулевых коэффициентов становится N+1. Величина допустимого малого шага t этим аргументом равномерно не ограничена и может зависеть от выбранной новой частоты. Смысл результата — точное выявление разрыва между непрерывной оптимизацией и бинарной задачей.

### Проверка автоматического округления: отрицательная производная не даёт хорошего целого обмена

Возьмём A={1,2}, заменяем частоту 2 на 3:

\[
f_t(x)=\cos x+(1-t)\cos2x+t\cos3x.
\]

При t=0 имеем K(0)=9/8, а контакты задаются cos x=−1/4. Там

\[
\cos2x=-7/8,\qquad\cos3x=11/16,
\]

поэтому

\[
\boxed{K'_+(0)=-25/16<0.}
\]

При t=1/2 обозначим y=cos x. Точное разложение

\[
f_{1/2}(x)+1=(y+1)(2y^2-y+1/2)\ge0
\quad(-1\le y\le1)
\]

показывает K(1/2)=1: второй множитель строго положителен, первый обращается в ноль при y=−1.

Но при полном целочисленном обмене t=1 получаем частоты {1,3}; в точке π обе волны равны −1. Поэтому

\[
\boxed{K(1)=2>9/8=K(0).}
\]

Итак, настоящий бинарный обмен делает результат хуже, хотя его начальное направление строго улучшает результат и внутри отрезка получено меньшее значение.

### Статус

Контактная формула и общий дробный спуск доказаны. Переход «найти улучшающую вариацию ⇒ выполнить полный обмен частоты с улучшением» опровергнут двумя допустимыми конечными наборами и точным полиномиальным сертификатом промежуточного значения. Для продвижения по целым наборам нужен отдельный принцип округления или дискретного обмена; он здесь не получен.

## Источники и воспроизводимость

Стандартные бета- и гамма-тождества, использованные в пункте 34, сверены по официальной математической документации NIST DLMF:

- §5.12, Euler’s Beta Integral, формулы 5.12.1–5.12.2: https://dlmf.nist.gov/5.12 .
- §5.5, recurrence, reflection and duplication formulas: https://dlmf.nist.gov/5.5 .

Специальные утверждения об исходных косинусных суммах и контрпримерах доказаны выше. Источники не представлены как подтверждение новизны или внешняя экспертиза настоящего исследования.

Проверочный файл `analysis_34_36_checks.py` выполнен успешно; его вывод сохранён в `analysis_34_36_results.json`. Он воспроизводит рациональный сертификат для35 и точную алгебру для36. В34 общая по p и N оценка доказана аналитически; проверка конечных коэффициентов служит только проверкой знаков формулы, а не заменой доказательства.

## Три статуса

| ID | Проверенный механизм | Результат |
|---:|---|---|
| 34 | Одновременный контроль всех дробных обратных H²-норм | Бесконечная семья проходит все необходимые нормы при ложном пробном сдвиге k=1; эти нормы сами по себе недостаточны. |
| 35 | Изменение меры exp(−βf) с сохранением бинарного набора | Точный перенос через интеграл дисперсии; конкретная версия b=1,v=1/4 опровергнута. Общая ослабленная дисперсионная лемма остаётся недоказанной. |
| 36 | Контактные производные и добавление/удаление частоты | У каждого бинарного набора есть строгий дробный спуск; автоматический перенос на целый обмен опровергнут точным примером. |

Общая оценка K(A)≥c√N данным блоком не получена.


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: round3/analysis_34_36_checks.py
==============================================================================

"""Exact checks supporting analysis_34_36.md; no trigonometric floating point.

The universal statement in section34 is proved analytically in the note.
The code checks coefficient signs at several rational exponents, provides
the complete rational interval certificate in35, and checks algebra in36.
"""
from fractions import Fraction as F
from math import factorial
import json


def cosine_moments(A, max_order):
    # The integer Laurent polynomial is 2*f, so mu_j=CT((2*f)^j)/2**j.
    powers = {0: 1}
    moments = [F(1)]
    steps = tuple(A) + tuple(-a for a in A)
    for order in range(1, max_order+1):
        new = {}
        for exponent, coefficient in powers.items():
            for step in steps:
                target = exponent + step
                new[target] = new.get(target, 0) + coefficient
        powers = new
        moments.append(F(powers.get(0, 0), 2**order))
    return moments


fractional_sign_checks = []
for p in (F(1, 4), F(1, 3), F(2, 5), F(49, 100)):
    a_ratio, b_ratio = F(1), F(1)
    first = None
    for n in range(1, 41):
        a_ratio *= -(p-n+1)/(p+n)
        b_ratio *= (p+n-1)/(n-p)
        assert a_ratio < 0 and b_ratio > 0
        if n == 1:
            first = [str(a_ratio), str(b_ratio)]
    fractional_sign_checks.append({
        "p": str(p), "orders_checked": 40,
        "first_normalized_coefficients": first,
        "status": "signs agree with the all-orders analytic proof"
    })


A = [1, 2, 3, 4]
N = len(A)
beta = F(1, 2)
degree = 40
mu = cosine_moments(A, degree+2)
assert mu[0] == 1 and mu[1] == 0 and mu[2] == F(N, 2)
remainder = F(9 * 2**(degree+1), factorial(degree+1))
integrals = []
for r in range(3):
    approximation = sum(((-beta)**k * mu[k+r] / factorial(k)
                         for k in range(degree+1)), F(0))
    error = N**r * remainder
    integrals.append((approximation-error, approximation+error))

(z0lo, z0hi), (z1lo, z1hi), (z2lo, z2hi) = integrals
assert z0lo > 0 and z1hi < 0 and z2lo > 0
variance_lower = z2lo/z0hi - ((-z1lo)/z0lo)**2
variance_upper = z2hi/z0lo - ((-z1hi)/z0hi)**2
assert F(646, 1000) < variance_lower
assert variance_upper < F(647, 1000)
assert variance_upper < F(N, 4)
gibbs_certificate = {
    "frequencies": A, "N": N, "beta": str(beta),
    "Taylor_degree": degree, "uniform_exp_error_bound": str(remainder),
    "first_six_moments": [str(v) for v in mu[:6]],
    "certified_variance_outer_interval": ["646/1000", "647/1000"],
    "candidate_lower_bound_N_over_4": str(F(N, 4)),
    "candidate_refuted": True,
    "arithmetic": "rational integer Fourier moments and Taylor remainder"
}


def chebyshev(n, y):
    if n == 0:
        return F(1)
    prev, cur = F(1), y
    for _ in range(1, n):
        prev, cur = cur, 2*y*cur-prev
    return cur


def poly_mul(a, b):
    out = [F(0)]*(len(a)+len(b)-1)
    for i, x in enumerate(a):
        for j, y in enumerate(b):
            out[i+j] += x*y
    return out


y = F(-1, 4)
K0 = F(9, 8)
assert chebyshev(1, y)+chebyshev(2, y) == -K0
assert chebyshev(2, y) == F(-7, 8)
assert chebyshev(3, y) == F(11, 16)
directional_derivative = chebyshev(2, y)-chebyshev(3, y)
assert directional_derivative == F(-25, 16)
half_path_plus_one = [F(1, 2), F(-1, 2), F(1), F(2)]
assert poly_mul([F(1), F(1)], [F(1, 2), F(-1), F(2)]) == half_path_plus_one
assert F(1)-4*2*F(1, 2) == -3  # Positive quadratic has negative discriminant.
assert chebyshev(1, F(-1))+chebyshev(3, F(-1)) == -2
exchange_check = {
    "initial_set": [1, 2], "final_set": [1, 3],
    "K_initial": str(K0), "K_half_path": "1", "K_final": "2",
    "initial_directional_derivative": str(directional_derivative),
    "half_path_positivity_certificate": "(y+1)*(2*y*y-y+1/2)",
    "status": "exact polynomial identities passed"
}

print(json.dumps({
    "status": "all exact arithmetic assertions passed",
    "fractional_sign_checks": fractional_sign_checks,
    "gibbs_certificate": gibbs_certificate,
    "exchange_check": exchange_check,
    "limitations": "No result here proves or disproves the general Chowla bound."
}, ensure_ascii=False, indent=2))


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: round3/analysis_34_36_results.json
==============================================================================

{
  "status": "all exact arithmetic assertions passed",
  "fractional_sign_checks": [
    {
      "p": "1/4",
      "orders_checked": 40,
      "first_normalized_coefficients": [
        "-1/5",
        "1/3"
      ],
      "status": "signs agree with the all-orders analytic proof"
    },
    {
      "p": "1/3",
      "orders_checked": 40,
      "first_normalized_coefficients": [
        "-1/4",
        "1/2"
      ],
      "status": "signs agree with the all-orders analytic proof"
    },
    {
      "p": "2/5",
      "orders_checked": 40,
      "first_normalized_coefficients": [
        "-2/7",
        "2/3"
      ],
      "status": "signs agree with the all-orders analytic proof"
    },
    {
      "p": "49/100",
      "orders_checked": 40,
      "first_normalized_coefficients": [
        "-49/149",
        "49/51"
      ],
      "status": "signs agree with the all-orders analytic proof"
    }
  ],
  "gibbs_certificate": {
    "frequencies": [
      1,
      2,
      3,
      4
    ],
    "N": 4,
    "beta": "1/2",
    "Taylor_degree": 40,
    "uniform_exp_error_bound": "8/13522175873595716381682425002283203125",
    "first_six_moments": [
      "1",
      "0",
      "2",
      "9/2",
      "37/2",
      "1015/16"
    ],
    "certified_variance_outer_interval": [
      "646/1000",
      "647/1000"
    ],
    "candidate_lower_bound_N_over_4": "1",
    "candidate_refuted": true,
    "arithmetic": "rational integer Fourier moments and Taylor remainder"
  },
  "exchange_check": {
    "initial_set": [
      1,
      2
    ],
    "final_set": [
      1,
      3
    ],
    "K_initial": "9/8",
    "K_half_path": "1",
    "K_final": "2",
    "initial_directional_derivative": "-25/16",
    "half_path_positivity_certificate": "(y+1)*(2*y*y-y+1/2)",
    "status": "exact polynomial identities passed"
  },
  "limitations": "No result here proves or disproves the general Chowla bound."
}


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: round3/audit_31_33.md
==============================================================================

# Независимая проверка подходов 31, 33 и используемой леммы 40

18 октября 2026 года, UTC. Проверяющий не является автором указанных
подходов. Проверены математические разделы 31 и 33 файла
`denominators_31_33.md`, весь `phase_dilation_40.md` и оба сопровождающих
скрипта. Скрипты повторно выполнены; все точные assertions прошли.

Доказательство подхода 32 не входило в данный независимый аудит: его
отдельно проверяют другие участники. При запуске общего скрипта 31–33
арифметический пример 32 также выполнился, но это не заменяет проверки
его общего доказательства.

## Вердикт

Ошибок в проверенных утверждениях 31, 33 и 40 не найдено. Особенно
проверены три потенциально уязвимых перехода:

1. В 31 редуцируются коэффициенты, а не показатели степеней. Точный
   бюджет энергии запрещает ненулевые кратные достаточно большого модуля.
2. В 33 сжатие меняет показатели вспомогательных факторов, сохраняя
   их коэффициенты, все нужные автокорреляционные совпадения и якоря A.
3. Возврат масштаба через polyphase-разложение не вводит ни множитель
   sqrt(L), ни дополнительный знаменатель L; коэффициенты остаются
   прежними Gaussian-целыми числами.

Это внутренняя проверка исследования с участием ИИ. Внешней экспертизы
математиком, рецензирования или проверки в системе формальных
доказательств не проводилось.

## 31. Коэффициентная редукция с ограничением энергии

### Без бюджета

Каждый |1+z^a|^2 имеет постоянный коэффициент 2 и коэффициенты 1 при
частотах +/-a. Поэтому выбор c congruent to 2m-2N modulo M даёт
заявленное формальное разложение. Для коэффициентов 1 здесь не возникает
тонкостей с комплексным сопряжением в остаточном кольце.

Формальное разложение действительно существует даже для отрицательного
в некоторых точках H: оно не утверждает неотрицательность над R.
Бюджет постоянного коэффициента 2N+c может превосходить 2m, как явно
оговорено в исходном тексте. Совместная проверка любого конечного
числа модулей ничего не исправляет: можно применить тот же пример к
их общему кратному.

### При бюджете E=2mq^2

Если c_d — коэффициенты суммы квадратов Gaussian-целых факторов,
то c_0 — их точная неотрицательная целая энергия. Из
0<=c_0<=E, c_0 congruent to E modulo M и M>E следует c_0=E.

Для ненулевого сдвига d коэффициент c_d — скалярное произведение
полного вектора коэффициентов с его сдвигом, по всем факторам сразу.
После дополнения нулями обе нормы не превосходят sqrt(E), поэтому
|c_d|<=E. Это обоснование применимо к комплексным Gaussian-целым
коэффициентам, а не только к действительным примерам кода.

Реальная часть целевого коэффициента равна q^2 либо 0; мнимая часть
нулевая. Поэтому каждая реальная разность имеет модуль не больше
E+q^2, а мнимая — не больше E. Условие M>E+q^2 действительно исключает
ненулевые кратные M и даёт точное коэффициентное равенство на всех
частотах. Число и степени факторов в этом аргументе не ограничены
заранее, но конечны, как и требуется.

Замена Laurent-кольца на кольцо z^L=1 здесь была бы иной операцией:
при ней далёкие частоты могут совпасть. Исходный текст корректно
исключает такую подмену.

## 33. Конечный предел степени при сохранении q

### Конечность коэффициентных данных

Ненулевой Gaussian-целый коэффициент имеет квадрат модуля не меньше 1.
Поэтому коэффициентов во всех факторах не больше E, а возможных
значений каждого коэффициента конечное число. После независимых
мономиальных сдвигов у каждого ненулевого фактора есть ненулевой
коэффициент при степени 0.

Следовательно, общее число различных положительных показателей не
больше E-1. После добавления всех исходных a и числа 1 получаем
t<=E+N. Вектор координат состоит из различных положительных целых
чисел, поэтому добавленный якорь 1 действительно является первой
координатой v_1.

### Какие именно отношения необходимо сохранить

Равенство двух положительных разностей показателей выражается
отношением с l1-нормой не больше 4. Это остаётся верным при совпадении
каких-либо индексов: сокращения только уменьшают норму. Разности с
нулевой степенью используют ещё меньше координат.

Равенство разности заданной частоте a использует не больше трёх
координат, включая якорь v_a. Поэтому сохранение нулевых и ненулевых
отношений длины <=4 сохраняет разбиение всех автокорреляционных пар
на классы одинаковых разностей. Внутри класса суммы коэффициентов
остаются прежними; в частности, нулевые компенсации не исчезают.
Отсутствие новых равенств предотвращает слияние разных классов.

Якорное отношение v_a-a*v_1=0 имеет норму не больше a+1<=D+1.
Отсюда необходимость выбора r=max(D+1,4) и точное равенство b_a=aL
после сжатия. При a=1 это просто тождество с той же координатой;
никакой дополнительной независимости якорей не предполагается.

### Существование вершины и оценка Крамера

Предъявленный исходный v удовлетворяет системе, поскольку все
ненулевые целые значения h*v имеют модуль не меньше 1. Система
содержит x_i>=1. Поэтому пересечение с условием sum x_i<=sum v_i
ограничено, замкнуто и непусто. Минимум суммы достигается на компактной
грани, имеющей вершину. В этой вершине можно выбрать t линейно
независимых активных целочисленных строк, включая активные равенства.

Их определитель — ненулевое целое число. Умножение координат вершины
на модуль этого определителя даёт целый вектор b и сохраняет все
знаки отношений. В числителе Крамера одна колонка заменяется правыми
частями 0 или 1. Евклидова норма строки не превосходит sqrt(r^2+1),
следовательно, оценка Адамара даёт |b_i|<=(r+1)^t.

Строгое возрастание и положительность координат сохраняются. Таким
образом, число L=b_1 положительно, все исходные якоря равны aL, а
коэффициенты факторов не менялись. Получено именно q^2 H(z^L),
без умножения коэффициентов факторов на дополнительный знаменатель.

### Возврат масштаба

После группировки показателей по остаткам modulo L каждый фактор
имеет вид sum_s z^s S_s(z^L). Усреднение по L корням единицы убирает
перекрёстные члены разных остатков. Коэффициенты S_s — отдельные
коэффициенты прежнего фактора, а не их средние.

Именно поэтому коэффициенты остаются Gaussian-целыми и энергия не
меняется. Никаких знаменателей от усреднения в конечном результате
нет. После замены w=z^L получается нужное исходное H(w). Степени
S_s не больше max b_i/L, поэтому заявленная более грубая граница
(max(D+1,4)+1)^(E+N) корректна.

### Проверка примера с неограниченной шириной

Для P=1+z+z^3 имеем H=|P|^2+1=4+sum_{a=1}^3(z^a+z^-a).
Запишем R_1=(P+1)+z^L(P-1), R_2=(P+1)-z^L(P-1).
Параллелограммное тождество даёт sum |R_j|^2=4(|P|^2+1).

При L>3 каждый фактор имеет пять ненулевых коэффициентов с квадратами
модулей 4,1,1,1,1; его энергия равна 8, суммарная энергия 16.
Ширина равна L+3. Таким образом, верхняя граница не может относиться
к каждому представлению. В то же время существует короткий вариант
4|P|^2+4 с тем же q=2. Это точно согласуется с формулировкой о
существовании ограниченного представителя.

## 40. Дополнительная проверка фаз и polyphase-леммы

Для одного фактора Q его крайняя ненулевая разность степеней имеет
коэффициент — произведение крайних коэффициентов с сопряжением,
которое не может обнулиться. Поэтому степень H_m=1 действительно
вынуждает Q=a+bz после мономиальной нормировки.

Из b*conj(a)=1 и |a|^2+|b|^2=2m следует рациональное t=|a|^2 с
t=m+/-sqrt(m^2-1). При целых m>=2 число под корнем лежит строго между
двумя соседними квадратами. Противоречие рациональности t корректно.
Оно охватывает любые исходные фазы Gaussian-рациональных a и b.

Пример 6+z^2+z^-2=|1+2iz+z^2|^2 проверен непосредственно. Он показывает,
что существование одного фактора действительно может измениться при
дилатации, не противореча инвариантности минимального знаменателя
произвольной суммы квадратов.

Обратное направление polyphase-леммы применимо и к отрицательным
Laurent-степеням через обычное деление с остатком 0,...,L-1.
Отображение z->z^L сюръективно на окружности, поэтому после усреднения
можно вернуть исходную переменную. Эквивалентность для каждого q
действительно даёт равенство минимальных существующих знаменателей,
а также сохраняет несуществование разложения.

## Что фактически выполнено

- Повторно выполнен `denominators_31_33_checks.py`; все утверждения
  прошли. Для 31 проверены формальные тождества по пяти модулям на
  двух наборах. Для 33 проверена энергия 16 и точные коэффициенты
  трёх представлений, включая L=10^15+7; проверены все 681 отношения
  длины <=4 в приведённом примере сжатия.
- Пример сжатия в коде проверяет конкретную конфигурацию; он не
  вычисляет общую вершину системы Крамера и не заменяет её доказательство.
- Повторно выполнен `phase_dilation_40_checks.py`; десять residue-
  тождеств, включая Gaussian-рациональные коэффициенты и отрицательные
  показатели, прошли точно.

Полученная конечная процедура не была реально выполнена как полный
перебор всех факторов огромной ограниченной степени. Минимальный q
для новых общих наборов этим аудитом не вычислялся. Общая гипотеза
Чоулы из проверенных утверждений не следует без дополнительной
равномерной оценки знаменателя.


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: round3/audit_32.md
==============================================================================

# Независимая проверка подхода 32: рациональный SOS со знаменателем без max A

Дата: 18 октября 2026 года, UTC.

Проверенный документ: `denominators_31_33.md`, раздел 32.

**Математический вердикт: обязательных исправлений не обнаружено.** Доказана заявленная оценка существования конечного рационального SOS. Она зависит от N,m и заданного положительного зазора, но не от максимальной частоты. При дополнительном сдвиге m=floor K+2 получается одна граница q(N), с log q=O(N² log²(N+1)). Это внутренний независимый математический аудит; новизна и внешняя экспертиза не заявляются.

## 1. Проверка области значений F

Пусть

\[
H=2m+\sum_{a\in A}(z^a+z^{-a}),\qquad
H\ge2\gamma,\quad0<\gamma=a/b\le1,
\]

и целое C удовлетворяет C≥2m+2N. Тогда H≤C на окружности. Для

\[
F=1-(H-\gamma)/C,\qquad \rho=1-\gamma/C
\]

фактически имеем \(\gamma/C\le F\le\rho<1\). Более слабое неравенство 0≤F≤ρ, использованное в тексте, верно.

Таким образом, \(\|F^k\|_{L^2}\le\rho^k\) для любого k≥0. Оценка не использует величины частот или независимости фаз.

## 2. Размер носителя и норма коэффициентов

В любом мономе F^k показатель степени имеет вид \(\sum_{a\in A}h_a a\), где h_a — целые и Σ|h_a|≤k. Отсюда число различных показателей не превосходит (2k+1)^N. Разные векторы h могут давать одну частоту, что только уменьшает число членов.

По неравенству Коши для конечного вектора Fourier-коэффициентов и равенству Парсеваля,

\[
\|F^k\|_W\le\sqrt{\#\operatorname{supp}(F^k)}\,\|F^k\|_{L^2}
\le(2k+1)^{N/2}\rho^k.
\]

Этот переход корректен и при огромной разреженной степени полинома. Нельзя заменять число ненулевых коэффициентов длиной полного диапазона частот; в проверенном доказательстве такой ошибки нет.

## 3. Биномиальная сумма и хвост

При d=ceil(N/2)≥1 верны

\[
(2k+1)^{N/2}\le(2k+1)^d\le3^d(k+1)^d
\le3^d d!\binom{k+d}{d}.
\]

Последнее неравенство следует из
\(d!\binom{k+d}{d}=(k+1)\dots(k+d)\ge(k+1)^d\). Поэтому

\[
\sum_{k\ge0}(2k+1)^d x^k
\le B(x):=\frac{3^d d!}{(1-x)^{d+1}}.
\]

В частности, ряд квадратного корня сходится абсолютно в норме W, хотя норма W самой F может быть больше 1. Для этого действительно достаточно полученной специальной оценки норм её степеней.

При θ=(1+ρ)/2 и r=ρ/θ∈(0,1) хвост удовлетворяет

\[
T=\|W-Q_R\|_W
\le r^{R+1}\sum_{k>R}(2k+1)^d\theta^k
\le r^{R+1}B(\theta).
\]

Здесь используется r^k≤r^{R+1} при k>R; знаки и показатель степени правильны. Условие (32.1) даёт T≤γ/[8CB(ρ)]. Поскольку |F|≤ρ<1, значение суммы совпадает с положительным точечным квадратным корнем W=√(1−F).

## 4. Проверка постоянных ошибки

Положим B=B(ρ). Неравенства \(\|W\|_W\le B\), \(\|Q_R\|_W\le B+T\) и субмультипликативность дают

\[
\|(H-\gamma)-CQ_R^2\|_W
\le CT(2B+T)
\le\frac\gamma4+\frac{\gamma^2}{64CB^2}
\le\frac{17\gamma}{64}<\frac\gamma2.
\]

Использованные γ≤1, C≥1 и B≥1 обеспечивают последнее сравнение. Все постоянные (32.4)–(32.5) достаточны.

Можно отдельно оценить конечную сумму \(\|Q_R\|_W\le B\) и получить немного более сильную ошибку γ/4, но для доказанного результата это улучшение не требуется.

## 5. Проверка общего знаменателя

Коэффициенты F имеют знаменатель, делящий bC. Для k≥1

\[
\binom{1/2}{k}(-1)^k
=-\frac{2\operatorname{Catalan}_{k-1}}{4^k}.
\]

Следовательно, коэффициенты k-го слагаемого Q_R имеют знаменатель, делящий (4bC)^k, а знаменатели всей суммы делят

\[
q=(4bC)^R.
\]

F и Q_R имеют действительные симметричные Laurent-коэффициенты, поэтому Q_R принимает вещественные значения на окружности и Q_R²=|Q_R|². Это существенная проверенная предпосылка; без неё заменять квадрат на квадрат модуля было бы нельзя.

Поскольку C — положительное целое, C|Q_R|² действительно является суммой C одинаковых квадратов без введения √C в коэффициенты.

## 6. Точное SOS-поглощение остатка

Остаток S=H−C|Q_R|² имеет коэффициенты в q^{-2}Z. Из оценки ошибки следует

\[
s_0-2\sum_{a>0}|s_a|>\gamma/2>0.
\]

Значит, точное тождество

\[
S=\delta+\sum_{a>0}|s_a|\,|1+\operatorname{sign}(s_a)z^a|^2,
\quad \delta=s_0-2\sum_{a>0}|s_a|
\]

имеет только положительные рациональные веса. Каждый вес записывается u/q² с положительным целым u. Он реализуется u одинаковыми квадратами с коэффициентами в q^{-1}Z. В частности, для постоянного δ применяются постоянные факторы 1/q.

Таким образом, знаменатель факторов остаётся q. Увеличивать его до q² или извлекать квадратные корни из рациональных весов не требуется. Число факторов может быть огромным, но оно конечное, что соответствует постановке.

При необходимости каждый Laurent-фактор можно умножить на подходящий моном z^j, не изменяя квадрата модуля на окружности и не меняя знаменателя. Это даёт обычные полиномиальные факторы.

## 7. Граница, зависящая только от N

Выбор

\[
m=\lfloor K(A)\rfloor+2,\qquad\gamma=1,\qquad C=4N+4
\]

правильно обеспечивает m−K>1 и H>2γ. Из K≤N следует m≤N+2, поэтому C≥2m+2N.

Следовательно, d,ρ,θ,B,R и q можно выбрать как функции только N. Важно наличие ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО единичного запаса: при m=floor K+1 положительный зазор m−K мог бы приближаться к нулю, и данный вывод о q(N) автоматически не следовал бы.

В рассматриваемом выборе

\[
r=\rho/\theta=1-\frac1{2C-1},
\quad B(\rho)=3^d d!C^{d+1},
\quad B(\theta)=2^{d+1}B(\rho).
\]

Например, достаточен целый

\[
R=\left\lceil(2C-1)\log\bigl(8CB(\rho)B(\theta)\bigr)\right\rceil,
\]

поскольку r≤exp(−1/(2C−1)). Логарифм в скобках равен O(N log(N+1)), поэтому R=O(N² log(N+1)), а

\[
\log q=R\log(4C)=O(N^2\log^2(N+1)).
\]

Заявленный порядок роста подтверждён; максимальная частота в этих оценках нигде не появляется.

## 8. Что результат не устанавливает

Оценка относится к существованию рационального SOS и знаменателю его коэффициентов. Она не даёт абсолютного q, независимого от N, и потому не закрывает требуемый переход к K≥c√N.

Она также не даёт малых степеней факторов, малого числа факторов или быстрого алгоритма. При построении самого разложения нужно обрабатывать исходные частоты; степень Q_R может иметь порядок R·max A. Эффективность знаменателя не следует представлять как эффективность всей процедуры.

Все условия положительности и зазора остаются явными. Полученный SOS является точным после поглощения остатка, а не приблизительным численным сертификатом.

## Проверка исполнения

Авторский файл `denominators_31_33_checks.py` прочитан и независимо повторно выполнен. Все проверки прошли. Для A={1}, m=2, γ=1, C=6 воспроизведено точное разложение с R=153, q=24^153; проверены все целочисленные коэффициенты, точное поглощение остатка и полная энергия 2mq². Тот же знаменатель проверен после замены частоты1 на1000003. Большие кратности квадратов сохраняются целыми счётчиками; это точная конечная сумма, а не усечение.

Дополнительно выполнена независимая проверка степенной оценки в случае, когда обычная геометрическая оценка по W-норме F не работает. Для A={1,2}, m=2, γ=1/2, C=8 имеем

\[
F=\frac{9-2(z+z^{-1}+z^2+z^{-2})}{16},\qquad
\|F\|_W=17/16>1,\qquad\rho=15/16.
\]

Точной целочисленной свёрткой проверены все степени k=0,…,64: размер носителя не превосходит (2k+1)², а \(\|F^k\|_W\le(2k+1)(15/16)^k\). Результат сохранён в `audit_32_power_results.json`. Этот конечный дополнительный тест проверяет использование специального степенного механизма, но общая оценка для всех k и всех A основана на доказательстве выше.


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: round3/audit_32_power_checks.py
==============================================================================

"""Exact power-norm sanity check where ||F||_W>1.

The all-orders proof is in denominators_31_33.md and audit_32.md.
"""
from fractions import Fraction as F
from pathlib import Path
import json

G = {0: 9, 1: -2, -1: -2, 2: -2, -2: -2}  # G=16F.
power = {0: 1}
rows = []
for k in range(65):
    norm_numerator = sum(abs(v) for v in power.values())
    assert norm_numerator <= (2*k+1)*15**k
    assert len(power) <= (2*k+1)**2
    if k in (0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64):
        rows.append({
            "k": k, "support_size": len(power),
            "W_norm": str(F(norm_numerator, 16**k)),
            "bound": str(F((2*k+1)*15**k, 16**k)),
        })
    new = {}
    for a, x in power.items():
        for b, y in G.items():
            new[a+b] = new.get(a+b, 0) + x*y
    power = {a: x for a, x in new.items() if x}

assert F(sum(abs(v) for v in G.values()), 16) == F(17, 16) > 1
result = {
    "all_assertions_passed": True,
    "A": [1, 2], "m": 2, "gamma": "1/2", "C": 8,
    "F_W_norm": "17/16", "rho": "15/16",
    "orders_verified": "0..64", "samples": rows,
    "scope": "Sanity check of the power bound when W-norm(F)>1; general proof is analytic.",
}
path = Path(__file__).with_name("audit_32_power_results.json")
path.write_text(json.dumps(result, indent=2) + "\n")
print(json.dumps({k: v for k, v in result.items() if k != "samples"}, indent=2))


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: round3/audit_32_power_results.json
==============================================================================

{
  "all_assertions_passed": true,
  "A": [
    1,
    2
  ],
  "m": 2,
  "gamma": "1/2",
  "C": 8,
  "F_W_norm": "17/16",
  "rho": "15/16",
  "orders_verified": "0..64",
  "samples": [
    {
      "k": 0,
      "support_size": 1,
      "W_norm": "1",
      "bound": "1"
    },
    {
      "k": 1,
      "support_size": 5,
      "W_norm": "17/16",
      "bound": "45/16"
    },
    {
      "k": 2,
      "support_size": 9,
      "W_norm": "241/256",
      "bound": "1125/256"
    },
    {
      "k": 4,
      "support_size": 17,
      "W_norm": "44577/65536",
      "bound": "455625/65536"
    },
    {
      "k": 8,
      "support_size": 33,
      "W_norm": "1442009025/4294967296",
      "bound": "43569140625/4294967296"
    },
    {
      "k": 16,
      "support_size": 65,
      "W_norm": "1555712027668084609/18446744073709551616",
      "bound": "216757475738525390625/18446744073709551616"
    },
    {
      "k": 32,
      "support_size": 129,
      "W_norm": "1879450254030630003824762207332577025/340282366920938463463374607431768211456",
      "bound": "2804359241280929767526686191558837890625/340282366920938463463374607431768211456"
    },
    {
      "k": 64,
      "support_size": 257,
      "W_norm": "2791145416792183741731244285936502601564928916248058151052410189817273857/115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639936",
      "bound": "240121081014520713795295968013485663795913982454521828913129866123199462890625/115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639936"
    }
  ],
  "scope": "Sanity check of the power bound when W-norm(F)>1; general proof is analytic."
}


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: round3/audit_34.md
==============================================================================

# Дополнительный независимый аудит подхода 34

18 октября 2026 года, UTC. Проверяющий: отдельный исследовательский
агент, автор 31–33. Проверен аналитический вывод для всех 0<p<1/2 из
`analysis_34_36.md`. Внешнее рецензирование и формальная машинная
верификация не выполнялись.

## Необходимое семейство норм

Если Re H>0 в диске и H(0)=k>0, то аналитическая ветвь log H
существует, |arg H|<pi/2. Поэтому

    Re (k/H)^(2p) >= cos(pi*p) |(k/H)^p|^2.

Среднее аналитической функции слева по каждой внутренней окружности
равно единице. Неравенство H²-нормы с sec(pi*p) выведено верно,
включая критический сдвиг: аргумент использует внутренние окружности
и не требует отсутствия граничных нулей.

## Hardy-норма обратного геометрического многочлена

H_N=(1-z^M)/(1-z), M=N+1, не имеет нулей внутри диска, а его
граничные нули просты и различны. Для p<1/2 сингулярности
|x-x_0|^(-2p) интегрируемы.

Для явного обоснования перехода к граничному интегралу можно разложить
H_N на конечное произведение (1-z/zeta_j) по его граничным корням.
При r>=1/2

    |1-r*e^(it)|^2 >= r*|1-e^(it)|^2.

Это даёт интегрируемую мажоранту для квадратов модулей H_N(r*e^(ix))^(-p):
конечное произведение граничных особенностей, каждая из которых имеет
порядок 2p<1. Следовательно, доминированная сходимость и монотонность
радиальных H²-средних оправдывают равенство H²-нормы указанному
граничному интегралу. То же рассуждение обосновывает H²-принадлежность
(1-z)^(-p), используемую для коэффициентов b_n.

## Знаки и абсолютная сходимость

Интегральное представление s^p для 0<p<1 применено корректно.
Мажоранта min(4t,1)t^(-p-1) интегрируема у нуля и бесконечности.
Каждый ненулевой коэффициент e^(-2t)e^(2t*cos x) строго положителен,
поэтому каждый a_n при n!=0 строго отрицателен.

Положительные биномиальные коэффициенты c_j функции (1-z)^(-p)
образуют l2-последовательность при p<1/2. Формула

    b_n=sum_j c_j c_(j+|n|)>0

следует из H²-коэффициентов и Коши; её ряд конечен по величине.

Отрицательность a_n и сходимость пуассоновских средних h_p в нуле
дают монотонным предельным переходом

    2*sum_(n>=1)|a_n|=a_0.

Таким образом, абсолютная сходимость ряда h_p здесь доказана,
а не предположена. Его можно интегрировать против h_(-p)(Mx) в L1.
Остаточная сумма sum_j a_(jM)b_j абсолютно сходится, поскольку
|b_j|<=b_0, и строго отрицательна уже из первого слагаемого.

## Константа и все показатели одновременно

Бета-интеграл

    mean |1-e^(ix)|^(2q)=Gamma(1+2q)/Gamma(1+q)^2, q>-1/2,

имеет правильную нормировку. Формулы отражения дают точно

    a_0 b_0 = tan(pi*p)/(pi*p).

Так как 0<pi*p<pi/2, неравенство sin(pi*p)<pi*p действительно
превращает эту константу в строго меньшую, чем sec(pi*p).

В итоге утверждение

    ||H_N^(-p)||_(H²)^2 < tan(pi*p)/(pi*p) < sec(pi*p)

доказано для каждого N>=1 и каждого 0<p<1/2. Оно не основано на
интерполяции конечного списка проверенных показателей p.

Отрицательное значение исходной единичной cosine-суммы при
x=3*pi/(2N+1) и его линейная нижняя оценка также имеют правильные
константы. Для N>=2 реальная часть H_N действительно бывает
отрицательной, несмотря на прохождение всего указанного семейства норм.

## Результат аудита

Обязательных математических исправлений не найдено. Одновременная
проверка именно семейства (34.1) недостаточна для точечной
положительности. Это не исключает более сильные семейства условий,
учитывающие фазу, совместные зависимости или иные нормы.


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: round3/audit_34_36.md
==============================================================================

# Внутренняя проверка подходов 34–36 основным участником

18 октября 2026 UTC. Проверяющий не является автором analysis_34_36.md.
Прочитаны доказательства и проверочный скрипт; скрипт выполнен повторно,
все рациональные утверждения прошли. Внешнее рецензирование и формальная
машинная верификация не проводились.

## 34. Необходимые обратные нормы и их недостаточность

Сектор Re H>0 даёт |arg H|<pi/2 и нужное направление неравенства
Re(k/H)^(2p)>=cos(pi*p)*|k/H|^(2p). Среднее аналитической функции на
каждой внутренней окружности равно её значению 1 в нуле. Поэтому
полученная H2-оценка верна даже при нулях на границе.

Для H_N=(1-z^(N+1))/(1-z) все нули простые и на окружности; при p<1/2
особенности квадратов модуля обратной степени интегрируемы. Знаки
коэффициентов a_n<0 получаются из интегральной формулы дробной степени:
мажоранта min(4t,1)*t^(-p-1) интегрируема, так что смена порядка
интегрирования оправданна. Положительные коэффициенты b_n являются
автокорреляцией коэффициентов (1-z)^(-p), принадлежащих l2.

Знак всех ненулевых a_n и пуассоновский предел h_p(0)=0 действительно
дают абсолютную суммируемость: 2*sum|a_n|=a_0. Поэтому произведение
с интегрируемым h_(-p)((N+1)x) можно интегрировать почленно. Все
ненулевые вклады отрицательны. Формулы бета-интеграла и отражения
гамма-функции дают a_0*b_0=tan(pi*p)/(pi*p)<sec(pi*p).

Таким образом, это одновременная проверка всех p в (0,1/2), не вывод
из четырёх рациональных показателей скрипта. Пробный сдвиг k=1 нельзя
путать с настоящим K(A_N); именно их различие опровергает предполагаемую
достаточность семейства норм.

## 35. Изменение меры и рациональный сертификат

Дифференцирование Z корректно, поскольку f непрерывна и ограничена
на компактной окружности. Знаки G'=-E_beta f и G''=Var_beta f верны.
Интеграл дисперсии не превосходит K; вариационный принцип проверяется
неотрицательностью относительной энтропии.

Код независимо вычисляет интегральные моменты как постоянные
коэффициенты целочисленных Laurent-степеней. Остаток экспоненты степени
40 при |beta*f|<=2 не больше 9*2^41/41!, а дополнительные множители
|f| и f^2 увеличивают ошибки не более чем в 4 и 16 раз.
Знаковые условия для трёх интегралов проверены перед интервальным
делением. Нижняя оценка дисперсии вычитает максимально возможный
квадрат среднего, верхняя — минимально возможный; направления верны.
Итоговый точный интервал (646/1000,647/1000) воспроизведён.

Контрпример опровергает только b=1,v=1/4. Более слабые абсолютные
постоянные не исключены. Непосредственное сравнение плотностей даёт
лишь (1-exp(-2N*beta))/4, что не решает задачу.

## 36. Дробное направление и целый шаг

Формула правой производной максимума проверена на компактном множестве
контактов. Контактов конечное число, поскольку непостоянный
тригонометрический полином имеет конечное число нулей. Одновременное
приближение фаз позволяет выбрать новую частоту сколь угодно большой,
поэтому она может не принадлежать исходному набору.

Для f_t=(1-t/N)f_A+t*cos(bx) сумма амплитуд действительно сохраняется,
но коэффициенты становятся дробными и число ненулевых частот обычно
увеличивается. Это открыто оговорено. Отрицательная правая производная
обеспечивает улучшение только при достаточно малом положительном t;
размер такого t из доказательства не оценивается.

В примере {1,2}->{1,3} независимо проверены производная -25/16,
факторизация f_(1/2)+1=(y+1)(2y^2-y+1/2) и значения K(0)=9/8,
K(1/2)=1, K(1)=2. Поэтому начальный дробный спуск не оправдывает
полный бинарный обмен.

## Заключение

Ошибок в заявленных ограниченных выводах не обнаружено. Все три
подхода сохраняют различие между исходной гипотезой, необходимыми
условиями и вспомогательными амплитудными ослаблениями.


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: round3/audit_37_39.md
==============================================================================

# Внутренняя проверка подходов 37–39 основным участником

18 октября 2026 года, UTC. Прочитаны constructions_37_39.md и полный
проверочный скрипт constructions_37_39.py. Скрипт повторно выполнен,
все точные проверки прошли. Проверяющий не является автором этих файлов.
Внешней научной рецензии и формальной машинной верификации не было.

## 37. Циклическая поправка и сертификат между узлами

Для представителей совершенного разностного множества S в [0,v-1]
каждая ненулевая разность по модулю v встречается ровно один раз.
Положительные обычные разности A выбирают ровно один элемент каждой
пары {a,v-a}. Поэтому J_v-1=sum_(a in A)(z^a+z^(v-a)), а
(1-z^v)*sum_(a in A)z^(-a) точно заменяет z^(v-a) на z^(-a).
Это доказывает записанную Laurent-формулу на всей окружности.

Из k+2f_A=|P_S|^2 следует K<=k/2. Значение -1/2 вне нулевого
узла на сетке из v корней единицы нельзя переносить на промежутки.
Уточняющая поправка зануляется именно на этой сетке.

В точке глобального минимума производная f равна нулю. Ближайший
узел Q-сетки удалён не больше чем на pi/Q, а |f''|<=sum(a^2).
Остаток Тейлора второго порядка даёт заявленную границу pi^2*sum(a^2)/(2Q^2).
При интервальных узловых значениях направления обеих границ K верны.

Код использует рациональные интервалы для pi из формулы Мэчина и
знакочередующихся рядов арктангенса. Косинусы контролируются полиномом
Тейлора и остатком, включая ошибку рационального аргумента. Сертификаты
для v=7,13,31 воспроизведены. Они утверждают ровно три конкретных
непрерывных интервала K, не асимптотику всех совершенных разностных множеств.

Взвешенное тождество Фейера из обсуждения препринта Bu et al. имеет
корректную нормировку и явно приписано источнику. Полная статья этим
внутренним аудитом не рецензировалась; дальнейшее бинарное округление
не следует автоматически из проверки взвешенной леммы.

## 38. Бесконечное разреженное семейство

Рекурсия P_m=P_(m-1)+z^(2^(m-1))*P_(m-2) соответствует двум
непересекающимся случаям старшего бита. Число допустимых строк равно
F_(m+2), включая ноль. Для фиксированного r-битового префикса b
с последним битом e число продолжений равно F_(m-r+2-e).

Формула Бине даёт предельный вес phi^(-r-e), а сумма модулей ошибок
весов не больше 4*tau^(m-r+1), tau=phi^(-2). Проверено, что это
общая ошибка вероятностей, без лишнего множителя числа префиксов.
Разница между a/2^m и началом его префиксного интервала меньше 2^(-r),
поэтому ошибка косинуса с аргументом 6*a/2^m не больше 6*2^(-r).

Для r=10 ровно 144 допустимых префикса. Рациональные интервалы для
sqrt(5), степеней phi и косинусов воспроизводят записанный интервал
[-0.05914652,-0.05914651]. Он строго ниже -59/1000. При m>=20
tau<2/5 даёт общую верхнюю границу

    -59/1000+6/1024+4*(2/5)^11
      =-1324321321/25000000000 < -1/20.

Это оценка Re P_m/F_(m+2) при x=6/2^m. После удаления нулевой частоты
f_A=Re P_m-1 и N=F_(m+2)-1, так что K(A_m)>N/20 сохраняется со
строгим знаком. Контроль хвоста един для всех m>=20: здесь действительно
доказано утверждение о бесконечном семействе. Плотность стремится к нулю
из phi<2. Другие автоматы этим результатом не исключены.

## 39. Проекция тора, моменты и конечная группа

Для целочисленного вектора v ограничение F(vx) является одномерной
суммой с частотами |<a_j,v>|. Отсутствие новых отношений длины <=r
гарантирует как допустимость частот, так и равенство моментов до r.
Для каждого ненулевого целочисленного вектора вероятность ортогональности
равномерному v из целой коробки не больше обратной длины стороны:
после фиксации остальных координат остаётся не больше одного решения.
Суммарная оценка вероятности через (2r+1)^N верна.

Разбиение пространства N фаз на M^N ячеек обеспечивает одну ячейку
меры не меньше M^(-N). Её перевод к максимуму неотрицательного
g=N-F даёт g>=max(g)-eps/2. На торе перевод сохраняет меру; тот же
аргумент применим к ограниченной одномерной подгруппе. Следовательно,
при записанном r максимум каждой функции лежит между общей L^r-нормой
и этой нормой плюс eps. Ошибка сравнения максимумов равна eps, не 2eps.
Односторонность K_1<=K_d следует непосредственно из ограничения области.

Для трёх векторов (1,0),(0,1),(1,1) проверено тождество для квадрата
модуля суммы трёх экспонент, точное значение K_d=3/2, проекция
{1,m,m+1} при m>=2 и оценка
3/2-2*pi^2/(9m^2)<=K<=3/2. Равенство K=3/2 происходит ровно
при m=1 по модулю 3. Пример m=2 действительно создаёт короткое
отношение и изменяет третий момент.

У характера конечного порядка p два дополнительных слагаемых +/-p
в биномиальном разложении cos^p дают отличие момента ровно 2^(1-p).
Значит, перенос результатов конечной группы в настоящий тор требует
дополнительного аргумента. Проекционная теорема такого аргумента не даёт.

## Итог

Ошибок в указанных выводах не найдено. Проверки различают всю окружность
и конечную сетку, исходные единичные коэффициенты и вспомогательные веса,
конечные эксперименты и доказанную оценку для всех m>=20. Ни один из
этих результатов не объявляется общим решением Чоулы или установленной
новизной относительно математической литературы.


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: round3/audit_40.md
==============================================================================

# Независимый внутренний аудит подхода 40

18 октября 2026 года, UTC. Проверку выполнил другой исследовательский
агент, автор подходов 31–33. Это внутренний математический аудит,
не внешнее рецензирование и не проверка формальным ассистентом доказательств.

Прочитаны полностью `phase_dilation_40.md` и
`phase_dilation_40_checks.py`. Скрипт повторно выполнен успешно;
воспроизведены десять точных тождеств остатков, включая отрицательные
Laurent-степени и рациональные действительные/мнимые коэффициенты.

## Один рациональный фактор

У единственного Laurent-фактора крайняя разность степеней имеет ровно
одно произведение коэффициентов в автокорреляции; оно ненулевое.
Поэтому степень H_m=1 действительно вынуждает ширину фактора равняться
одному, независимо от его исходного сдвига. Сокращение к Q=a+bz корректно.

Из b*conj(a)=1 получаются |b|^2=1/|a|^2 и рациональное
t=|a|^2>0. Квадратное уравнение t^2-2mt+1=0 и заключение об
иррациональности sqrt(m^2-1) верны для каждого целого m>=2.
Рассуждение охватывает все гауссовы рациональные коэффициенты, а не
только действительные, и не зависит от выбора внешнего фактора.

Пример m=1 корректно исключён из утверждения: там существует фактор
1+z. Для m>=2 отсутствие одного фактора не мешает указанному разложению
|1+z|^2+(2m-2)|1|^2 с целыми коэффициентами.

## Изменение арифметики одного фактора после дилатации

Для 1+2iz+z^2 коэффициент при частоте один равен 2i-2i=0,
коэффициент при частоте два равен единице, постоянный коэффициент
равен 1+4+1=6. Поэтому точное тождество из раздела 40.3 верно.
Оно относится к гауссовым целым коэффициентам; существование одного
действительного рационального фактора этим примером не утверждается.

## Суммы любого конечного числа факторов

Обратный перенос через остатки степеней modulo L корректен и для
отрицательных степеней: целочисленное деление с остатком 0,...,L-1
даёт однозначную запись. После усреднения перекрёстные члены разных
остатков исчезают, а множитель 1/L не создаёт нового знаменателя
коэффициентов факторов. Он сокращается точным ортогональным
тождеством для конечных характеров.

Поскольку z^L пробегает всю окружность, результат действительно
является представлением исходного H(w), а не утверждением на
ограниченной сетке. Коэффициенты и их полная энергия сохраняются.
Эквивалентность верна отдельно для каждого положительного целого q,
поэтому равенство минимальных знаменателей и сохранение отсутствия
представления следуют без дополнительных предположений.

Этот же перенос используется как лемма в подходе 33 после сжатия
коэффициентных носителей. В тех записях он обозначен как общий шаг,
а не отдельное независимо подсчитанное достижение.

## Заключение аудита

Ошибок в заявленных ограниченных результатах не обнаружено. Статусы
точно различают один фактор и произвольную конечную сумму факторов.
Полученная инвариантность не даёт абсолютной границы знаменателя
и не решает гипотезу Чоулы.


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: round3/clarification_game13.md
==============================================================================

# Уточнение к прежнему подходу 13: область разрешённых частот

18 октября 2026 UTC. Это дополнение к ранее проверенному подходу,
оно не считается ещё одним новым пунктом сверх номеров 31–40.

В полном первоначальном доказательстве constructive.md область игры
правильно ограничена частотами 1,...,2N. В кратком русском указателе
это ограничение было опущено. Сейчас указатель уточнён. Само доказательство
первоначальной конечной игры изменения не требует.

## Общая конечная формула

Пусть игрок выбирает случайное N-элементное множество из {1,...,M-1},
где M>=2N. Время выбирается против математического ожидания суммы,
а не после наблюдения реализованного множества. Значение такой игры:

    inf_law(A) max_x E[-f_A(x)] = N/(M-1).

Для верхней оценки возьмём вероятности включения

    p_a = (2N/(M-1))*(1-a/M),   1<=a<M.

Их сумма N, а максимальная вероятность 2N/M<=1. Случайное округление
накопленных сумм с одним равномерным сдвигом U из [0,1) даёт именно
N-элементное множество с этими вероятностями включения:

    S_a=sum_(j<=a) p_j,
    b_a(U)=floor(S_a+U)-floor(S_(a-1)+U).

Каждое b_a есть 0 или 1, сумма равна N, среднее равно p_a. Поэтому

    E f_A(x) = N/(M-1)*(F_M(x)-1) >= -N/(M-1),

где F_M — неотрицательное ядро Фейера. Для обратной оценки равномерное
распределение времени по M-1 нетривиальным M-м корням единицы даёт
каждому разрешённому косинусу среднее -1/(M-1), а каждой сумме —
-N/(M-1). Это завершает доказательство точного значения.

Прежний результат 1/2 получается при M=2N+1.

## Неограниченная область частот

Если разрешены все положительные целые частоты и фиксировано только N,
инфимум смешанной игры равен нулю: верхние оценки N/(M-1) стремятся
к нулю, а среднее по времени любой ожидаемой суммы равно нулю.

Инфимум не достигается. У любой вероятностной смеси N-элементных
множеств вероятности включения p_a удовлетворяют sum p_a=N. Поэтому
ожидаемый Fourier-ряд сходится абсолютно и равномерно, задаёт непрерывную
функцию со средним ноль и значением N в точке 0. Она должна принимать
строго отрицательное значение. Значит, её максимальная глубина
положительна, хотя может быть сколь угодно близка к нулю.

Это свойство ослабленной игры, не контрпример к Чоуле: математическое
ожидание имеет дробные амплитуды, а максимум берётся после усреднения.
Исходная задача допускает выбор времени после выбора конкретного набора.

Вывод проверен приведёнными точными тождествами. Численного поиска для
него не требуется. Новизна не заявляется.


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: round3/constructions_37_39.md
==============================================================================

# Подходы 37–39: точное устранение aliasing, разреженный автомат и случайное кодирование тора

18 октября 2026 года, UTC. Это проверяемые математические записи для
исследовательского журнала. Общее доказательство Чоулы и контрсемья с
K/sqrt(N)->0 не получены. Новизна утверждений не установлена.

Для конечного непустого множества различных положительных целых частот A
используются f_A(x)=sum cos(ax), N=|A| и K(A)=-min f_A.
Все интегралы по окружности и торам нормированы до вероятностной меры.

## 37. Сначала вычислить ошибку подъёма циклического спектра, затем контролировать весь круг

### 37.1 Что изменено по сравнению с предыдущими попытками

Ранее уже установлено, что значений на корнях единицы недостаточно.
Здесь проверяются два дополнительных механизма: точная алгебраическая
формула поправки между циклической и обычной группой частот и алгоритм,
который превращает достаточно частую сетку в **сертификат непрерывного
минимума** с явно доказанной погрешностью.

Дополнительно прочитан первичный препринт Bu et al.,
*A half-constant upper bound for Chowla's cosine problem*, 12 October 2026:
https://arxiv.org/html/2610.17160v1 .
Его лемма 3.2 уже содержит корректный подъём взвешенного Singer-спектра
через ядро Фейера с равномерной ошибкой sqrt(q). Это результат авторов
препринта, а не новый вывод настоящего исследования. Проверка данной
леммы изложена в 37.5; весь препринт здесь независимо не верифицирован.

### 37.2 Точная Laurent-поправка

Пусть S subset {0,...,v-1}, |S|=k — совершенное циклическое разностное
множество: каждый ненулевой остаток modulo v имеет ровно одно
представление s-t, s,t in S. Тогда v=k(k-1)+1 нечётно.

Положим

\[
P_S(z)=\sum_{s\in S}z^s,\qquad
A=\{|s-t|:s,t\in S,\ s\ne t\},\qquad
J_v(z)=\sum_{r=0}^{v-1}z^r.
\]

Разности A попарно различны как неориентированные положительные
разности; |A|=k(k-1)/2=(v-1)/2. Более точно, A содержит ровно один элемент
из каждой пары {a,v-a}, 1<=a<v. Поэтому имеет место точное тождество
Laurent-полиномов

\[
\boxed{
P_S(z)P_S(z^{-1})
=k-1+J_v(z)+(1-z^v)\sum_{a\in A}z^{-a}.
}
\]

Проверка: J_v=1+sum_{a in A}(z^a+z^{v-a}); последний множитель заменяет
каждое z^{v-a} на z^{-a}. Никакого предельного перехода здесь нет.

На нетривиальном v-м корне единицы последняя поправка и J_v исчезают:

\[
f_A(2\pi j/v)=-1/2\quad(1\le j<v).
\]

Между этими точками поправка не равна нулю. Грубая общая оценка её
модуля равна 2N|sin(vx/2)| и может иметь порядок N. С другой стороны,
правильное тождество на **всей** окружности

\[
k+2f_A(x)=|P_S(e^{ix})|^2\ge0
\]

всегда даёт K(A)<=k/2. Совместно эти факты показывают, где содержится
реальная информация: квадратная идентичность действует непрерывно,
а равенство -1/2 только на циклических характерах.

### 37.3 Сертифицированное сгущение сетки

Для любого допустимого A обозначим S_2=sum_{a in A}a^2 и

\[
m_Q=\min_{0\le j<Q}f_A(2\pi j/Q).
\]

Тогда

\[
\boxed{m_Q-\frac{\pi^2S_2}{2Q^2}\le\min_x f_A(x)\le m_Q.}
\]

Доказательство: у точки глобального минимума x_* производная равна нулю.
Ближайший узел находится на круговом расстоянии не более pi/Q.
Поскольку |f_A''|<=S_2, формула Тейлора даёт
f_A(узел)<=f_A(x_*)+S_2*pi^2/(2Q^2). Второе неравенство следует из
включения узлов в окружность.

Если каждое значение на сетке вычислено интервалом [l_j,u_j], то

\[
-\min_j u_j\le K(A)\le
-\min_j l_j+\frac{\pi^2S_2}{2Q^2}.
\]

Это настоящий контроль промежутков между узлами; сеточный минимум
не подменяет непрерывный. Если max A<=v, то S_2<=Nv^2. Для ошибки не
больше eps*sqrt(N) достаточно

\[
Q\ge\frac{\pi}{\sqrt{2\,\mathrm{eps}}}\,vN^{1/4}.
\]

Эта достаточная частота сетки не объявляется оптимальной.

### 37.4 Фактические точные проверки

Проверены три конкретных совершенных разностных множества:

| v | S | N | Сертифицированный интервал для K(A) |
|---:|---|---:|---|
| 7 | {0,1,3} | 3 | [1.31555040, 1.31561630] |
| 13 | {0,1,3,9} | 6 | [1.97221293, 1.97313065] |
| 31 | {0,1,3,8,12,18} | 15 | [2.84260376, 2.84960659] |

Для каждого множества проверены все циклические разности и все
коэффициенты Laurent-тождества целыми числами. Непрерывные интервалы
получены на сетке Q=1024 с добавлением доказанной ошибки второй
производной.

Косинусы вычисляются рациональными интервалами: pi ограничивается через
точное тождество Мэчина и остатки знакопеременных рядов arctan; затем
используется многочлен Тейлора для cos степени 36 с остатком и
липшицевой оценкой для неопределённости аргумента. Float не участвует
в сертификатах. Конечные проверки ничего не утверждают об асимптотике
всех Singer-множеств.

### 37.5 Проверка границы с опубликованным подходом

В обозначениях препринта v=q^2+q+1, |S|=q+1,
c=(v-1)/2, L=c+1 и w(n)=1-|n-c|/L. Проверено:

\[
\sum_{n=0}^{v-1}w(n)e^{i(n-c)y}=F_L(y),
\]

где F_L — неотрицательное ядро Фейера. При дискретном Fourier-разложении
взвешенного Singer-выражения абсолютные величины коэффициентов равны
F_L(y+2*pi*j/v). Их сумма по всем j точно равна v, потому что спектр
F_L лежит в |a|<L<v. Все ненулевые Fourier-коэффициенты индикатора
Singer-множества имеют модуль sqrt(q). Отсюда действительно следует
равномерная ошибка не больше sqrt(q), как в лемме 3.2.

Это не оправдывает прямой перенос невзвешенного сеточного равенства.
После введения w(n) амплитуды не единичные; возвращение к нужному классу
в препринте требует последующих отдельных конструкций. Их полное
доказательство не заявлено проверенным в этом блоке.

**Итог 37:** корректная формула поправки и воспроизводимая непрерывная
сертификация получены. Нового общего lower bound через sqrt(N) нет.

## 38. Разреженный положительный автомат: запрет соседних единиц

### 38.1 Конструкция, избегающая положительной плотности прежних масок

Пусть B_m — все числа 0<=a<2^m, в двоичной записи которых нет двух
соседних единиц. Положим A_m=B_m\{0}. Это допустимое множество
положительных целых частот с единичными коэффициентами.

Если F_0=0, F_1=1 — числа Фибоначчи, то

\[
|B_m|=F_{m+2},\qquad N_m=F_{m+2}-1.
\]

Плотность N_m/2^m стремится к нулю. Поэтому прежнее объяснение через
плотную положительную маску и ядро Дирихле автоматически неприменимо.

Для P_m(z)=sum_{a in B_m}z^a точная рекурсия имеет вид

\[
P_0=1,\quad P_1=1+z,\quad
P_m=P_{m-1}+z^{2^{m-1}}P_{m-2}\quad(m\ge2).
\]

Это положительная transfer-рекурсия: старший бит либо 0, либо 1 с
обязательным следующим нулём. Все частоты остаются различными.

### 38.2 Проверяемая цель и результат

Проверялась возможность малых отрицательных значений для этой разреженной
конструкции. Получено обратное строгое утверждение:

\[
\boxed{K(A_m)>N_m/20\qquad\text{для каждого }m\ge20.}
\]

Следовательно, K(A_m)/sqrt(N_m)->infinity. Это исключает всю данную
бесконечную семью как контрпример к Чоуле, хотя плотность частот нулевая.

### 38.3 Префиксные вероятности

Рассмотрим равномерное число a из B_m и нормированное X_m=a/2^m.
Пусть задан допустимый префикс длины r, рассматриваемый от старшего
бита к младшему; его числовое значение равно b, а последний бит e равен
0 или 1. Число допустимых продолжений равно F_{m-r+2-e}. Поэтому

\[
\Pr(\text{префикс }b)=\frac{F_{m-r+2-e}}{F_{m+2}}.
\]

Положим phi=(1+sqrt(5))/2 и tau=phi^{-2}. По формуле Бине предельная
вероятность этого префикса равна

\[
p_b=\phi^{-r-e},\qquad \sum_b p_b=1.
\]

При m>=r действительные вероятности удовлетворяют

\[
\sum_b|\Pr_m(b)-p_b|\le4\tau^{m-r+1}.
\]

Действительно,
F_n=phi^n(1-(-tau)^n)/sqrt(5). После деления дроби на p_b её отклонение
от 1 не больше
(tau^{m-r+1}+tau^{m+2})/(1-tau^{m+2})<=4 tau^{m-r+1}; затем суммируем
с весами p_b. Не используется независимость битов.

### 38.4 Точная отрицательная точка

Берём r=10 и настоящий одномерный аргумент x_m=6/2^m. После фиксации
префикса b остающийся хвост X_m отличается от b/2^r не больше чем на
2^{-r}. Так как |cos u-cos v|<=|u-v|,

\[
\frac{\Re P_m(e^{ix_m})}{F_{m+2}}
\le \sum_b p_b\cos(6b/2^{10})
+\frac6{1024}+4\tau^{m-9}.
\]

Для 144 допустимых десятибитовых префиксов вычислен **рациональный
интервальный сертификат**

\[
\sum_b p_b\cos(6b/1024)
\in[-0.05914652,-0.05914651]
\subset(-\infty,-59/1000).
\]

Сертификат ограничивает sqrt(5) двумя рациональными числами, проверяя
их квадраты, затем возводит интервалы phi в отрицательные целые степени
и ограничивает каждый косинус рядом Тейлора с остатком. Ни одна
приближённая десятичная оценка не используется как предположение.

Поскольку tau<2/5, при m>=20 получаем

\[
\frac{\Re P_m(e^{ix_m})}{F_{m+2}}
< -\frac{59}{1000}+\frac6{1024}+4(2/5)^{11}
=-\frac{1324321321}{25000000000}<-\frac1{20}.
\]

Наконец f_{A_m}(x_m)=Re P_m(e^{ix_m})-1 и N_m=F_{m+2}-1.
Следовательно, f_{A_m}(x_m)<-N_m/20, что доказывает заявленное
утверждение для всех m>=20. Отдельный поиск всех минимумов не требуется.

### 38.5 Ограничение вывода

Причина неудачи здесь установлена для конкретного фрактального
распределения частот: его косинусное преобразование отрицательно при
масштабированном аргументе 6. Это не доказывает, что все разреженные
автоматы или все положительные transfer-рекурсии имеют линейный провал.
Тем более это не общий результат для всех множеств A.

## 39. Случайное целочисленное кодирование многомерных волн с контролем ошибки

### 39.1 Точный смысл многомерной постановки

Пусть a_1,...,a_N — ненулевые векторы Z^d, попарно различные с точностью
до знака. Рассматривается действительная функция на полном торе

\[
F(t)=\sum_{j=1}^N\cos\langle a_j,t\rangle,\qquad
K_d=-\min_{t\in\mathbb T^d}F(t).
\]

Для целого вектора v берём b_j=|<a_j,v>|. Если b_j положительны и
попарно различны, это допустимый одномерный набор, причём его сумма
точно равна F(vx). Поэтому всегда K_1<=K_d. Свободные фазы вдоль
одномерного движения этим равенством не назначаются.

Проверяемая дополнительная цель — получить количественную гарантию
K_1>=K_d-eps для случайного **целого** кодирующего вектора. Доказательство
ниже развивает моментное приближение из подхода 8 в другом направлении;
преемственность отмечена, новой независимой теорией оно не объявляется.

### 39.2 Теорема о вероятности и диапазоне частот

Пусть 0<eps<=1, 0<delta<1 и

\[
M=\lceil4\pi N/\mathrm{eps}\rceil,\qquad
r=\lceil4N^2\log M/\mathrm{eps}\rceil,\qquad
B\ge\frac{(2r+1)^N}{\delta}.
\]

Выберем v равномерно в {1,...,ceil B}^d. С вероятностью не меньше
1-delta набор b_j=|<a_j,v>| состоит из N различных положительных целых
чисел и удовлетворяет

\[
\boxed{K_d-\mathrm{eps}\le K(\{b_j\})\le K_d.}
\]

Если D=max_j||a_j||_1, то max b_j<=D ceil B. Оценка B огромна;
практическая эффективность не утверждается.

### 39.3 Доказательство: исключить только конечное число гиперплоскостей

Для любого h in Z^N с ||h||_1<=r положим s_h=sum_j h_j a_j.
Если s_h!=0, вероятность <s_h,v>=0 не больше 1/ceil B: при фиксации
всех координат v, кроме одной с ненулевым коэффициентом, остаётся не
больше одного допустимого значения этой координаты. Всего h не больше
(2r+1)^N. Оценка объединения даёт вероятность отсутствия всех таких
новых отношений не меньше 1-delta.

На этом событии не возникают нулевые частоты или совпадения со знаком:
они соответствовали бы отношениям ||h||_1<=2. Имеются также ровно те
же постоянные коэффициенты в r-й степени

\[
g(t)=N-F(t)\ge0
\]

на многомерном торе и её одномерном ограничении. Следовательно, их
нормы L^r в степени r совпадают точно.

Остаётся равномерное приближение максимума через L^r. Разобьём каждую
из N фаз на M полуинтервалов. В прообразе некоторой из M^N ячеек
лежит множество E меры не меньше M^{-N}. Выберем t_0 in E и перенесём
E на t_*-t_0, где g(t_*)=G=max g. Все фазовые отклонения от t_* теперь
не больше 2*pi/M, поэтому g>=G-eps/2 на множестве той же меры. Отсюда

\[
(G-\mathrm{eps}/2)M^{-N/r}\le\|g\|_r\le G,
\]

а поскольку G<=2N,

\[
0\le G-\|g\|_r
\le\mathrm{eps}/2+2N^2\log M/r\le\mathrm{eps}.
\]

Это верно и для многомерной функции, и для одномерного ограничения.
Общая L^r-норма помещает два максимума в один интервал длины eps;
разность максимумов равна разности K. Включение одномерного движения
в тор даёт второе неравенство и завершает доказательство.

### 39.4 Точный тест, обнаруживающий ошибку «любой код сохраняет минимум»

Возьмём векторы (1,0),(0,1),(1,1). На полном торе

\[
3+2(\cos x+\cos y+\cos(x+y))=|1+e^{ix}+e^{-iy}|^2,
\]

поэтому K_2=3/2, с равенством при x=y=2*pi/3.
Проекция v=(1,m), m>=2, даёт допустимый набор {1,m,m+1}.

Для всех m

\[
\frac32-\frac{2\pi^2}{9m^2}\le K(\{1,m,m+1\})\le\frac32.
\]

Чтобы проверить нижнюю оценку, выберем x=(2*pi/3+2*pi*k)/m так, чтобы
его круговое расстояние от 2*pi/3 было минимальным. Оно равно нулю,
если m=1 modulo 3, и равно 2*pi/(3m) иначе. При x=2*pi/3+eta и
mx=2*pi/3 modulo 2*pi сумма точно равна -1/2-cos eta. Используем
cos eta>=1-eta^2/2.

Равенство K=3/2 имеет место точно при m=1 modulo 3, что следует из
условия равностороннего треугольника для трёх единичных векторов в
квадратной идентичности. Например, m=2 даёт {1,2,3}, для которого
непрерывный минимум из сертификата 37 строго меньше по глубине 3/2.

Моментный тест также видит потерю: третий момент полной двумерной
суммы равен 3/2, а третий момент её ограничения {1,2,3} равен 9/4.
Это следствие нового короткого отношения 2*1-2=0, которого не было
между векторами (1,0) и (0,1). Значения проверены точным извлечением
постоянных коэффициентов.

### 39.5 Почему этот перенос не превращает конечную группу в тор

Теорема применяется к векторам Z^d и интегрированию по непрерывному
тору. Она не переносит без изменений отношения конечной группы.

Пусть один характер конечной группы имеет порядок p>=2. Для Haar-меры
его p-й косинусный момент отличается от момента cos(bx), b — любое
положительное целое, ровно на

\[
\boxed{2^{1-p}.}
\]

Доказательство: раскрываем cos^p=((z+z^{-1})/2)^p. На непрерывном торе
выживает только нулевая степень; в конечной группе дополнительно
выживают степени +p и -p, каждая с коэффициентом 2^{-p}. Например,
при p=3 моменты равны 1/4 и 0. Поэтому сохранение всех моментов до
порядка p при замене нетривиального torsion-характера одной целой
ненулевой частотой невозможно.

Это ограничение переноса, а не контрпример Чоуле. Оно объясняет, почему
Singer-сетку из 37 нельзя объявить полным тором в доказательстве 39.

**Итог 39:** количественное кодирование настоящих торических конструкций
доказано; произвольный код может уменьшить глубину минимума, а отношения
конечной группы требуют отдельного контроля. Источник общего sqrt-bound
или контрсемьи самим кодированием не создан.

## Воспроизводимость и границы проверки

Выполнен `constructions_37_39.py`; результаты сохранены в
`constructions_37_39_results.json`. Все точные assertions прошли.
Проверены Laurent-коэффициенты, интервальные сеточные сертификаты,
144 взвешенных префикса, точные рекурсии Фибоначчи и моменты проекций.
Общие утверждения о всех m в 38 и вероятности в 39 опираются на
приведённые доказательства, а не на конечную выборку.

Внешняя научная рецензия и проверка в Lean/Coq не проводились.


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: round3/constructions_37_39.py
==============================================================================

"""Exact, reproducible checks for Chowla research mechanisms 37-39.

All certificates use integers and fractions. Any optional floating-point
values are display only. The code does not infer an asymptotic theorem
from finitely many examples; the accompanying note gives the proofs.
"""
from fractions import Fraction as F
from collections import Counter
from math import factorial
from pathlib import Path
import json


def floor_frac(x):
    return x.numerator // x.denominator


def ceil_frac(x):
    return -((-x.numerator) // x.denominator)


def rounded_interval(lo, hi, scale=10**8):
    return [str(F(floor_frac(lo*scale), scale)),
            str(F(ceil_frac(hi*scale), scale))]


def arctan_interval(x, terms=16):
    s = sum(((-1)**j * x**(2*j+1) / (2*j+1) for j in range(terms)), F(0))
    nxt = (-1)**terms * x**(2*terms+1)/(2*terms+1)
    return min(s, s+nxt), max(s, s+nxt)


def pi_interval():
    a, b = arctan_interval(F(1, 5))
    c, d = arctan_interval(F(1, 239))
    lo, hi = 16*a-4*d, 16*b-4*c  # Machin's exact identity
    scale = 10**14
    return F(floor_frac(lo*scale), scale), F(ceil_frac(hi*scale), scale)


def cos_interval(xlo, xhi, order=18):
    assert 0 <= xlo <= xhi <= 6
    x = (xlo+xhi)/2
    s = sum(((-1)**j * x**(2*j)/factorial(2*j)
             for j in range(order+1)), F(0))
    # Taylor degree 2*order+1 has zero final odd coefficient.
    err = x**(2*order+2)/factorial(2*order+2) + (xhi-xlo)/2
    return max(F(-1), s-err), min(F(1), s+err)


def fibonacci(n):
    a, b = 0, 1
    for _ in range(n):
        a, b = b, a+b
    return a


def no_adjacent_words(r):
    return [j for j in range(1 << r) if j & (j >> 1) == 0]


def constant_moment(vectors, degree):
    d = len(vectors[0])
    coeff = {tuple([0]*d): F(1)}
    for _ in range(degree):
        nxt = Counter()
        for u, c in coeff.items():
            for v in vectors:
                for sign in (-1, 1):
                    w = tuple(u[i]+sign*v[i] for i in range(d))
                    nxt[w] += c/2
        coeff = dict(nxt)
    return coeff.get(tuple([0]*d), F(0))


def run():
    result = {"scope": "Three specified mechanisms, not a general Chowla solution"}
    pl, pu = pi_interval()
    assert F(333, 106) < pl < pu < F(355, 113)

    # 37: exact cyclic differences and Laurent alias polynomial.
    qgrid = 1024
    cosgrid = []
    for j in range(qgrid//2+1):
        cosgrid.append(cos_interval(2*pl*j/qgrid, 2*pu*j/qgrid))
    samples37 = []
    for q, s in [(7, [0,1,3]), (13, [0,1,3,9]), (31, [0,1,3,8,12,18])]:
        k = len(s)
        moddiff = Counter((a-b) % q for a in s for b in s if a != b)
        assert moddiff == Counter({j: 1 for j in range(1, q)})
        a = sorted({abs(x-y) for x in s for y in s if x != y})
        assert len(a) == k*(k-1)//2 == (q-1)//2
        assert set(a).isdisjoint({q-x for x in a})
        assert set(a) | {q-x for x in a} == set(range(1, q))
        lhs = Counter(x-y for x in s for y in s)
        rhs = Counter({j: 1 for j in range(q)})
        rhs[0] += k-1
        for x in a:
            rhs[-x] += 1
            rhs[q-x] -= 1
        assert {i:c for i,c in lhs.items() if c} == {i:c for i,c in rhs.items() if c}

        gridlo, gridhi = [], []
        for j in range(qgrid):
            intervals = [cosgrid[min((x*j) % qgrid, qgrid-(x*j) % qgrid)] for x in a]
            gridlo.append(sum((v[0] for v in intervals), F(0)))
            gridhi.append(sum((v[1] for v in intervals), F(0)))
        ml, mh = min(gridlo), min(gridhi)
        second = sum(x*x for x in a)
        derr = pu*pu*second/(2*qgrid*qgrid)
        lower, upper = -mh, -ml+derr
        # Square identity gives the further exact global upper bound k/2.
        upper = min(upper, F(k,2))
        assert lower > F(1,2)
        samples37.append({
            "modulus": q, "Singer_representatives": s,
            "positive_difference_set": a, "N": len(a),
            "original_nontrivial_grid_value_exact": "-1/2",
            "alias_identity_verified_as_Laurent_coefficients": True,
            "certified_sampling_grid_size": qgrid,
            "grid_node_for_negative_upper_interval": min(range(qgrid), key=lambda j:gridhi[j]),
            "sum_frequency_squares": second,
            "continuous_K_rational_outer_interval": rounded_interval(lower, upper),
            "continuous_K_display_only": [float(lower),float(upper)],
            "sampling_error_upper_bound": rounded_interval(F(0),derr)[1],
        })
    result["37"] = {"pi_interval": [str(pl),str(pu)],
                    "cos_Taylor_degree": 36, "samples": samples37}

    # 38: an interval certificate for the stationary ten-bit prefix sum.
    rootlo = F(2236067977499789,10**15)
    roothi = F(2236067977499790,10**15)
    assert rootlo**2 < 5 < roothi**2
    phil, phiu = (1+rootlo)/2, (1+roothi)/2
    r = 10
    words = no_adjacent_words(r)
    slo, shi = F(0), F(0)
    masslo, masshi = F(0), F(0)
    for word in words:
        exponent = r+(word & 1)
        wl, wh = phiu**(-exponent), phil**(-exponent)
        masslo += wl
        masshi += wh
        cl, ch = cos_interval(F(6*word,2**r), F(6*word,2**r))
        products = [wl*cl, wl*ch, wh*cl, wh*ch]
        slo += min(products)
        shi += max(products)
    assert masslo <= 1 <= masshi
    assert shi < F(-59,1000)
    tail = F(6,2**r)
    horizon = 4*F(2,5)**11
    bound = F(-59,1000)+tail+horizon
    assert bound < F(-1,20)
    assert phil**(-2) < F(2,5)
    # Exact finite word recursion and counts, not an asymptotic inference.
    recursion_checks = []
    p0, p1 = [0], [0,1]
    for m in range(2,21):
        pm = p1 + [(1 << (m-1))+j for j in p0]
        assert len(pm) == fibonacci(m+2)
        assert all(j & (j >> 1) == 0 for j in pm)
        assert len(set(pm)) == len(pm)
        if m <= 14:
            assert sorted(pm) == no_adjacent_words(m)
        recursion_checks.append({"m":m,"N_positive_frequencies":len(pm)-1})
        p0,p1=p1,pm
    result["38"] = {
        "prefix_length":r, "allowed_prefixes":len(words),
        "sqrt5_interval": [str(rootlo),str(roothi)],
        "prefix_cosine_sum_outer_interval": rounded_interval(slo,shi),
        "prefix_sum_strictly_less_than": "-59/1000",
        "tail_error_bound":str(tail),
        "finite_horizon_error_for_m_ge_20":str(horizon),
        "combined_rational_upper_bound":str(bound),
        "proved_for_every_m_ge_20": "K(A_m)>N/20; N=F_(m+2)-1",
        "exact_recursion_checks":recursion_checks,
    }

    # 39: extra short relations and genuine one-dimensional restrictions.
    v = [(1,0),(0,1),(1,1)]
    comparisons = []
    for m in [2,4,5,8,11]:
        one = [(1,),(m,),(m+1,)]
        equality_count = 0
        moments = []
        for degree in range(1,min(m+2,8)):
            left,right = constant_moment(v,degree),constant_moment(one,degree)
            if left==right:
                equality_count +=1
            moments.append({"degree":degree,"torus_moment":str(left),"restricted_moment":str(right)})
        lower = F(3,2)-2*pu*pu/(9*m*m)
        if m % 3 == 1:
            lower = F(3,2)
        comparisons.append({"projection_vector":[1,m],"positive_frequencies":[1,m,m+1],
                            "exact_K_if_m_mod3_eq1":"3/2" if m%3==1 else None,
                            "certified_K_lower_bound":rounded_interval(lower,lower)[0],
                            "exact_K_upper_bound":"3/2", "moments":moments})
    assert constant_moment(v,3)==F(3,2)
    assert constant_moment([(1,),(2,),(3,)],3)==F(9,4)
    torsion=[]
    from math import comb
    for p in [2,3,5,7]:
        finite = sum(F(comb(p,j),2**p) for j in range(p+1) if (p-2*j)%p==0)
        circle = F(comb(p,p//2),2**p) if p%2==0 else F(0)
        assert finite-circle==F(1,2**(p-1))
        torsion.append({"character_order":p,"degree":p,
                        "finite_group_cos_moment":str(finite),
                        "continuous_integer_cos_moment":str(circle),
                        "exact_difference":str(finite-circle)})
    result["39"]={"projection_examples":comparisons,"torsion_obstruction":torsion,
                  "theorem_scope":"Moment-preserving random projection of integer-lattice torus characters; see note for probability and errors"}

    out=Path(__file__).with_name("constructions_37_39_results.json")
    out.write_text(json.dumps(result,ensure_ascii=False,indent=2)+"\n")
    print(json.dumps({"all_exact_checks_passed":True,"results":str(out),
                      "37_K_intervals":[(x["modulus"],x["continuous_K_rational_outer_interval"]) for x in samples37],
                      "38_prefix_interval":result["38"]["prefix_cosine_sum_outer_interval"],
                      "38_combined_bound":str(bound)},ensure_ascii=False,indent=2))


if __name__=="__main__":
    run()


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: round3/constructions_37_39_results.json
==============================================================================

{
  "scope": "Three specified mechanisms, not a general Chowla solution",
  "37": {
    "pi_interval": [
      "314159265358979/100000000000000",
      "15707963267949/5000000000000"
    ],
    "cos_Taylor_degree": 36,
    "samples": [
      {
        "modulus": 7,
        "Singer_representatives": [
          0,
          1,
          3
        ],
        "positive_difference_set": [
          1,
          2,
          3
        ],
        "N": 3,
        "original_nontrivial_grid_value_exact": "-1/2",
        "alias_identity_verified_as_Laurent_coefficients": true,
        "certified_sampling_grid_size": 1024,
        "grid_node_for_negative_upper_interval": 211,
        "sum_frequency_squares": 14,
        "continuous_K_rational_outer_interval": [
          "822219/625000",
          "13156163/10000000"
        ],
        "continuous_K_display_only": [
          1.3155504065326784,
          1.3156162932503113
        ],
        "sampling_error_upper_bound": "6589/100000000"
      },
      {
        "modulus": 13,
        "Singer_representatives": [
          0,
          1,
          3,
          9
        ],
        "positive_difference_set": [
          1,
          2,
          3,
          6,
          8,
          9
        ],
        "N": 6,
        "original_nontrivial_grid_value_exact": "-1/2",
        "alias_identity_verified_as_Laurent_coefficients": true,
        "certified_sampling_grid_size": 1024,
        "grid_node_for_negative_upper_interval": 187,
        "sum_frequency_squares": 195,
        "continuous_K_rational_outer_interval": [
          "197221293/100000000",
          "39462613/20000000"
        ],
        "continuous_K_display_only": [
          1.972212937010831,
          1.9731306448633341
        ],
        "sampling_error_upper_bound": "91771/100000000"
      },
      {
        "modulus": 31,
        "Singer_representatives": [
          0,
          1,
          3,
          8,
          12,
          18
        ],
        "positive_difference_set": [
          1,
          2,
          3,
          4,
          5,
          6,
          7,
          8,
          9,
          10,
          11,
          12,
          15,
          17,
          18
        ],
        "N": 15,
        "original_nontrivial_grid_value_exact": "-1/2",
        "alias_identity_verified_as_Laurent_coefficients": true,
        "certified_sampling_grid_size": 1024,
        "grid_node_for_negative_upper_interval": 148,
        "sum_frequency_squares": 1488,
        "continuous_K_rational_outer_interval": [
          "35532547/12500000",
          "284960659/100000000"
        ],
        "continuous_K_display_only": [
          2.84260376979696,
          2.849606586640471
        ],
        "sampling_error_upper_bound": "350141/50000000"
      }
    ]
  },
  "38": {
    "prefix_length": 10,
    "allowed_prefixes": 144,
    "sqrt5_interval": [
      "2236067977499789/1000000000000000",
      "223606797749979/100000000000000"
    ],
    "prefix_cosine_sum_outer_interval": [
      "-1478663/25000000",
      "-5914651/100000000"
    ],
    "prefix_sum_strictly_less_than": "-59/1000",
    "tail_error_bound": "3/512",
    "finite_horizon_error_for_m_ge_20": "8192/48828125",
    "combined_rational_upper_bound": "-1324321321/25000000000",
    "proved_for_every_m_ge_20": "K(A_m)>N/20; N=F_(m+2)-1",
    "exact_recursion_checks": [
      {
        "m": 2,
        "N_positive_frequencies": 2
      },
      {
        "m": 3,
        "N_positive_frequencies": 4
      },
      {
        "m": 4,
        "N_positive_frequencies": 7
      },
      {
        "m": 5,
        "N_positive_frequencies": 12
      },
      {
        "m": 6,
        "N_positive_frequencies": 20
      },
      {
        "m": 7,
        "N_positive_frequencies": 33
      },
      {
        "m": 8,
        "N_positive_frequencies": 54
      },
      {
        "m": 9,
        "N_positive_frequencies": 88
      },
      {
        "m": 10,
        "N_positive_frequencies": 143
      },
      {
        "m": 11,
        "N_positive_frequencies": 232
      },
      {
        "m": 12,
        "N_positive_frequencies": 376
      },
      {
        "m": 13,
        "N_positive_frequencies": 609
      },
      {
        "m": 14,
        "N_positive_frequencies": 986
      },
      {
        "m": 15,
        "N_positive_frequencies": 1596
      },
      {
        "m": 16,
        "N_positive_frequencies": 2583
      },
      {
        "m": 17,
        "N_positive_frequencies": 4180
      },
      {
        "m": 18,
        "N_positive_frequencies": 6764
      },
      {
        "m": 19,
        "N_positive_frequencies": 10945
      },
      {
        "m": 20,
        "N_positive_frequencies": 17710
      }
    ]
  },
  "39": {
    "projection_examples": [
      {
        "projection_vector": [
          1,
          2
        ],
        "positive_frequencies": [
          1,
          2,
          3
        ],
        "exact_K_if_m_mod3_eq1": null,
        "certified_K_lower_bound": "2974027/3125000",
        "exact_K_upper_bound": "3/2",
        "moments": [
          {
            "degree": 1,
            "torus_moment": "0",
            "restricted_moment": "0"
          },
          {
            "degree": 2,
            "torus_moment": "3/2",
            "restricted_moment": "3/2"
          },
          {
            "degree": 3,
            "torus_moment": "3/2",
            "restricted_moment": "9/4"
          }
        ]
      },
      {
        "projection_vector": [
          1,
          4
        ],
        "positive_frequencies": [
          1,
          4,
          5
        ],
        "exact_K_if_m_mod3_eq1": "3/2",
        "certified_K_lower_bound": "3/2",
        "exact_K_upper_bound": "3/2",
        "moments": [
          {
            "degree": 1,
            "torus_moment": "0",
            "restricted_moment": "0"
          },
          {
            "degree": 2,
            "torus_moment": "3/2",
            "restricted_moment": "3/2"
          },
          {
            "degree": 3,
            "torus_moment": "3/2",
            "restricted_moment": "3/2"
          },
          {
            "degree": 4,
            "torus_moment": "45/8",
            "restricted_moment": "45/8"
          },
          {
            "degree": 5,
            "torus_moment": "45/4",
            "restricted_moment": "185/16"
          }
        ]
      },
      {
        "projection_vector": [
          1,
          5
        ],
        "positive_frequencies": [
          1,
          5,
          6
        ],
        "exact_K_if_m_mod3_eq1": null,
        "certified_K_lower_bound": "70613509/50000000",
        "exact_K_upper_bound": "3/2",
        "moments": [
          {
            "degree": 1,
            "torus_moment": "0",
            "restricted_moment": "0"
          },
          {
            "degree": 2,
            "torus_moment": "3/2",
            "restricted_moment": "3/2"
          },
          {
            "degree": 3,
            "torus_moment": "3/2",
            "restricted_moment": "3/2"
          },
          {
            "degree": 4,
            "torus_moment": "45/8",
            "restricted_moment": "45/8"
          },
          {
            "degree": 5,
            "torus_moment": "45/4",
            "restricted_moment": "45/4"
          },
          {
            "degree": 6,
            "torus_moment": "255/8",
            "restricted_moment": "513/16"
          }
        ]
      },
      {
        "projection_vector": [
          1,
          8
        ],
        "positive_frequencies": [
          1,
          8,
          9
        ],
        "exact_K_if_m_mod3_eq1": null,
        "certified_K_lower_bound": "73286527/50000000",
        "exact_K_upper_bound": "3/2",
        "moments": [
          {
            "degree": 1,
            "torus_moment": "0",
            "restricted_moment": "0"
          },
          {
            "degree": 2,
            "torus_moment": "3/2",
            "restricted_moment": "3/2"
          },
          {
            "degree": 3,
            "torus_moment": "3/2",
            "restricted_moment": "3/2"
          },
          {
            "degree": 4,
            "torus_moment": "45/8",
            "restricted_moment": "45/8"
          },
          {
            "degree": 5,
            "torus_moment": "45/4",
            "restricted_moment": "45/4"
          },
          {
            "degree": 6,
            "torus_moment": "255/8",
            "restricted_moment": "255/8"
          },
          {
            "degree": 7,
            "torus_moment": "315/4",
            "restricted_moment": "315/4"
          }
        ]
      },
      {
        "projection_vector": [
          1,
          11
        ],
        "positive_frequencies": [
          1,
          11,
          12
        ],
        "exact_K_if_m_mod3_eq1": null,
        "certified_K_lower_bound": "740937/500000",
        "exact_K_upper_bound": "3/2",
        "moments": [
          {
            "degree": 1,
            "torus_moment": "0",
            "restricted_moment": "0"
          },
          {
            "degree": 2,
            "torus_moment": "3/2",
            "restricted_moment": "3/2"
          },
          {
            "degree": 3,
            "torus_moment": "3/2",
            "restricted_moment": "3/2"
          },
          {
            "degree": 4,
            "torus_moment": "45/8",
            "restricted_moment": "45/8"
          },
          {
            "degree": 5,
            "torus_moment": "45/4",
            "restricted_moment": "45/4"
          },
          {
            "degree": 6,
            "torus_moment": "255/8",
            "restricted_moment": "255/8"
          },
          {
            "degree": 7,
            "torus_moment": "315/4",
            "restricted_moment": "315/4"
          }
        ]
      }
    ],
    "torsion_obstruction": [
      {
        "character_order": 2,
        "degree": 2,
        "finite_group_cos_moment": "1",
        "continuous_integer_cos_moment": "1/2",
        "exact_difference": "1/2"
      },
      {
        "character_order": 3,
        "degree": 3,
        "finite_group_cos_moment": "1/4",
        "continuous_integer_cos_moment": "0",
        "exact_difference": "1/4"
      },
      {
        "character_order": 5,
        "degree": 5,
        "finite_group_cos_moment": "1/16",
        "continuous_integer_cos_moment": "0",
        "exact_difference": "1/16"
      },
      {
        "character_order": 7,
        "degree": 7,
        "finite_group_cos_moment": "1/64",
        "continuous_integer_cos_moment": "0",
        "exact_difference": "1/64"
      }
    ],
    "theorem_scope": "Moment-preserving random projection of integer-lattice torus characters; see note for probability and errors"
  }
}


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: round3/denominators_31_33.md
==============================================================================

# Подходы 31–33: локальная арифметика, явный знаменатель и конечность факторов

18 октября 2026 года, UTC. Проверяемая исследовательская запись для статьи.
Новизна не установлена. Общего решения гипотезы Чоулы здесь нет.

## Общая постановка

Пусть A — набор N различных положительных целых чисел,
f_A(t)=sum_{a in A} cos(at), K(A)=-min_t f_A(t). Введём

\[
H(z)=2m+\sum_{a\in A}(z^a+z^{-a}),\qquad D=\max A,
\]

где m — положительное целое. Для положительного целого q рассматривается
точное равенство на окружности

\[
q^2H(z)=\sum_j|R_j(z)|^2,\qquad
R_j\in\mathbb Z[i][z,z^{-1}].\tag{*}
\]

Число факторов и их степени конечны, но заранее не ограничены.
При таком равенстве полная энергия коэффициентов факторов равна
E=2mq^2. Ранее, в подходе 26, доказано N<=2m^2q^2-m. Абсолютная общая
граница q при m=K+O(1) была бы достаточна для Чоулы; такая граница
по-прежнему не получена.

## 31. Локальная арифметика: что теряется при редукции по модулю

### 31.1 Проверяемые утверждения

Проверялись две разные гипотезы:

1. Некоторые A,m не допускают формального разложения (*) уже по модулю
   подходящего целого числа M, независимо от энергии предполагаемых факторов.
2. Локальная проверка по модулю не способна установить точное разложение,
   даже если сохранить точный верхний предел энергии E.

Оба утверждения в такой форме неверны. Без энергетического ограничения
локальное разложение всегда существует. При ограниченной энергии
достаточно большого модуля, напротив, достаточно для точного равенства.

### 31.2 Без ограничения энергии все модули проходят

Для любого M>=2 выберем 0<=c<M с
c congruent to 2m-2N modulo M. Тогда в формальном Laurent-кольце
(Z/MZ)[z,z^{-1}]

\[
H(z)\equiv\sum_{a\in A}|1+z^a|^2+
\underbrace{1^2+\cdots+1^2}_{c\text{ слагаемых}}\pmod M.
\tag{31.1}
\]

Действительно, постоянный коэффициент справа равен 2N+c, а каждый
нужный ненулевой коэффициент равен единице. Это работает уже при q=1
для любого A и любого положительного m, включая случаи, когда H
отрицателен в некоторых точках и никакого настоящего SOS нет.

Конечное число модулей можно объединить их общим кратным; (31.1) всё
равно работает. Подстановка любых корней единицы в соответствующие
остаточные кольца также сохраняет это формальное равенство.

Таким образом, одни только безбюджетные локальные проверки не создают
препятствия. В (31.1) энергия равна 2N+c, и она не обязана совпадать с
нужными 2m. Именно эта потеря недопустима при возвращении к (*).

### 31.3 С энергетическим ограничением один модуль становится точным

**Лемма.** Предположим, что Gaussian-целые конечные Laurent-факторы
R_j имеют общую энергию не больше E=2mq^2 и коэффициентно удовлетворяют
(*) modulo целого M, где

\[
\boxed{M>E+q^2.}\tag{31.2}
\]

Тогда (*) выполняется точно над целыми числами.

**Доказательство.** Пусть c_d — d-й коэффициент sum_j |R_j|^2.
Его постоянный коэффициент c_0 есть неотрицательная энергия и
0<=c_0<=E. Так как c_0 congruent to E modulo M и M>E, получаем c_0=E.
Для каждого d != 0 неравенство Коши или 2|uv|<=|u|^2+|v|^2 даёт

\[
|c_d|\le E.
\]

Целевой коэффициент t_d равен q^2 при d in A union (-A) и нулю иначе.
Поэтому

\[
|\operatorname{Re}c_d-t_d|\le E+q^2<M,
\qquad |\operatorname{Im}c_d|\le E<M.
\]

Обе целые величины кратны M и по модулю меньше M, следовательно,
равны нулю. Это относится ко всем коэффициентам, включая частоты,
отсутствующие в A. Лемма доказана.

Здесь редуцируются **коэффициенты**, а не показатели степеней.
Замена формального Laurent-кольца на циклическое кольцо z^L=1 без
контроля степеней может отождествить разные частоты и не оправдывается
этой леммой.

### 31.4 Статус

Получены точная граница (31.2) и формальные локальные разложения
(31.1). Первое требует сохранения исходной энергии и потому не
является бесплатным решением. Второе опровергает только безбюджетный
локальный механизм. Оно не исключает проверки с ограниченной энергией.

## 32. Явная рациональная факторизация без зависимости от max A

### 32.1 Проверяемое утверждение и результат

Можно ли получить общий знаменатель рационального SOS через N, m и
положительный зазор, полностью устранив максимальную частоту D?

**Да: ниже доказана явная оценка, не зависящая от D.** Она быстро растёт
с N и не даёт нужной абсолютной границы знаменателя.

Пусть 0<gamma=a/b<=1 — рациональное число и на всей окружности

\[
H\ge2\gamma.
\]

Пусть C>=2m+2N — любое положительное целое. Обозначим

\[
d=\lceil N/2\rceil,\quad
\rho=1-\gamma/C,\quad \theta=(1+\rho)/2,\quad
B(x)=\frac{3^d d!}{(1-x)^{d+1}}.
\]

Выберем целое R>=0, удовлетворяющее

\[
\left(\frac\rho\theta\right)^{R+1}
\le\frac{\gamma}{8C B(\rho)B(\theta)}.\tag{32.1}
\]

Такой R существует, поскольку 0<rho/theta<1. Тогда H допускает
конечное рациональное SOS с общим знаменателем

\[
\boxed{q=(4bC)^R.}\tag{32.2}
\]

Это верхняя граница существующего знаменателя, не утверждение о его
минимальности.

### 32.2 Норма Fourier-l1 и ограничение числа частот степеней

Для конечного Fourier-ряда G=sum_k g_k z^k положим
||G||_W=sum_k |g_k|. Эта норма субмультипликативна: коэффициенты
произведения являются свёрткой, поэтому ||UV||_W<=||U||_W||V||_W.

Введём

\[
F=1-(H-\gamma)/C.
\]

Поскольку 2gamma<=H<=2m+2N<=C, на окружности имеем
0<=F<=rho<1. Все частоты F лежат в {0} union A union (-A).
Поэтому частоты F^k являются числами sum_a h_a a, где
sum_a |h_a|<=k. Различных частот не больше (2k+1)^N независимо от
величины исходных a. Совпадения частот лишь уменьшают это число.

По Коши и Парсевалю, с вероятностной Haar-мерой на окружности,

\[
\boxed{\|F^k\|_W\le(2k+1)^{N/2}\rho^k
                         \le(2k+1)^d\rho^k.}\tag{32.3}
\]

Этот шаг заменяет потерю от максимальной частоты потерей от числа
исходных частот. Одна оценка супремума без подсчёта носителя не
обеспечила бы требуемый контроль коэффициентов.

### 32.3 Полный контроль биномиального хвоста

Пишем

\[
W=\sqrt{1-F}=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{1/2}{k}(-F)^k,
\qquad Q_R=\sum_{k=0}^{R}\binom{1/2}{k}(-F)^k.
\]

Модули биномиальных коэффициентов не превосходят единицы. Кроме того,

\[
(2k+1)^d\le3^d(k+1)^d
\le3^d d!\binom{k+d}{d},
\]

поэтому

\[
\sum_{k\ge0}(2k+1)^d x^k\le B(x)\qquad(0<x<1).
\]

Из (32.3) получаем абсолютную сходимость ряда в норме W и оценки

\[
\|W\|_W\le B(\rho),\qquad
T:=\|W-Q_R\|_W
\le B(\theta)(\rho/\theta)^{R+1}
\le\frac{\gamma}{8C B(\rho)}.\tag{32.4}
\]

Функция предела совпадает с положительным квадратным корнем, поскольку
биномиальный ряд также сходится равномерно на значениях 0<=F<=rho.
Здесь нет неявного предположения о независимости исходных фаз.

Поскольку H-gamma=CW^2,

\[
\|(H-\gamma)-C Q_R^2\|_W
\le C T(2B(\rho)+T)
\le\gamma/4+\gamma/64
<\gamma/2.\tag{32.5}
\]

Последняя оценка использует gamma<=1, C>=1 и B(rho)>=1.

### 32.4 Рациональные коэффициенты и точное поглощение остатка

F имеет действительные симметричные коэффициенты с знаменателем,
делящим bC. Для k>=1

\[
\binom{1/2}{k}(-1)^k
=-\frac{2\,\mathrm{Catalan}_{k-1}}{4^k}.
\]

Числа Catalan целые, следовательно, все коэффициенты Q_R лежат в
q^{-1}Z с q из (32.2). На окружности Q_R действителен, поэтому
Q_R^2=|Q_R|^2. Множитель C не требует извлечения иррационального
квадратного корня: C|Q_R|^2 — это сумма C одинаковых квадратов.

Остаток

\[
S=H-C|Q_R|^2=s_0+\sum_{a>0}s_a(z^a+z^{-a})
\]

имеет конечный носитель и коэффициенты в q^{-2}Z. Из (32.5)

\[
s_0-2\sum_{a>0}|s_a|
\ge\gamma-\|S-\gamma\|_W>\gamma/2>0.
\]

Следовательно,

\[
S=\left(s_0-2\sum_{a>0}|s_a|\right)
 +\sum_{a:s_a\ne0}|s_a|\,|1+\operatorname{sign}(s_a)z^a|^2.
\]

Каждый положительный вес имеет вид u/q^2 с целым u>0. Его можно
представить u одинаковыми квадратами с коэффициентами, делёнными на q.
Поэтому общий знаменатель остаётся q, **не q^2**. Это завершает точное
конечное разложение H и доказательство (32.2).

### 32.5 Универсальная по частотам граница при заданном N

Для любого A можно взять

\[
m=\lfloor K(A)\rfloor+2,\qquad\gamma=1,\qquad C=4N+4.
\]

Тогда m-K>1, то есть H>2; это зазор для H, а не для f отдельно.
Так как K<=N, имеем m<=N+2 и 2m+2N<=C. Все параметры (32.1)–(32.2)
теперь зависят только от N, а не от A или max A.

При этом

\[
B(\rho)=3^d d! C^{d+1},\quad
B(\theta)=2^{d+1}B(\rho),\quad
\rho/\theta=1-\frac1{2C-1}.
\]

Поэтому достаточно R=O(N^2 log(N+1)), а

\[
\log q=O\bigl(N^2\log^2(N+1)\bigr).
\]

Это доказанная частотонезависимая оценка существования, однако она
слишком велика, чтобы через N<=2m^2q^2-m получить масштаб sqrt(N).
Если бы вместо неё удалось получить q<=q_0 с абсолютной постоянной,
то m<=K+2<=3K (используется K>=1) дало бы
K>=sqrt(N)/(3 sqrt(2) q_0). Такого усиления не доказано.

## 33. Дискретная автокорреляция и явная конечная проверка знаменателя

### 33.1 Проверяемое утверждение

Можно ли при фиксированных A,m,q точно решить существование (*)
конечным поиском, если заранее разрешены любые степени факторов?

**Да.** Ниже выводится явный предел степени хотя бы одного разложения,
если разложение вообще существует:

\[
\boxed{\deg R_j\le
\bigl(\max(D+1,4)+1\bigr)^{E+N},\qquad E=2mq^2.}\tag{33.1}
\]

Утверждение относится к существованию ограниченного представителя.
Другие разложения той же H могут иметь неограниченные степени.

### 33.2 Коэффициентные конфигурации

У каждого ненулевого Gaussian-целого коэффициента квадрат модуля не
меньше единицы. Поэтому при энергии E общее число ненулевых
коэффициентов всех R_j не превосходит E; число ненулевых факторов также
не превосходит E. Каждый коэффициент лежит в конечном множестве
{u+iv: u,v целые, u^2+v^2<=E}.

Сдвиг каждого отдельного Laurent-фактора на моном |z|=1 не изменяет
его квадрат модуля. Поэтому сначала нормируем минимальную степень
каждого ненулевого фактора к нулю.

Введём отсортированный вектор v всех различных положительных степеней
факторов, добавив координаты для всех a in A и для числа 1. Пусть
число координат равно t. Так как у каждого фактора есть ненулевой
коэффициент при нулевой степени,

\[
t\le(E-1)+N+1=E+N.
\]

Равенство двух положительных разностей степеней задаётся целочисленным
отношением длины не больше четырёх. Совпадение разности с исходной
частотой a задаётся отношением длины не больше трёх. Поэтому сохранение
всех таких равенств и неравенств сохраняет все автокорреляционные
коэффициенты, включая компенсации до нуля на посторонних частотах.

### 33.3 Сжатие с исходными частотами в качестве якорей

Положим r=max(D+1,4). Для всех целочисленных h с ||h||_1<=r построим
систему относительно вещественного вектора x:

    h*x = 0, если h*v=0;
    h*x >= 1, если h*v>0;
    -h*x >= 1, если h*v<0.

Она осуществима: исходный целочисленный v ей удовлетворяет.
Система содержит x_i>=1 и x_{i+1}-x_i>=1. Минимизация sum_i x_i
имеет непустую ограниченную оптимальную грань; можно выбрать вершину
с t линейно независимыми активными строками. Эти строки целочисленны,
имеют l1-нормы не больше r, а правые части равны нулю или единице.

По правилу Крамера, умножение выбранной вершины на модуль её
ненулевого целочисленного определителя даёт положительный строго
возрастающий целочисленный вектор b, сохраняющий все нулевые и
ненулевые отношения. Неравенство Адамара для числителей Крамера даёт

\[
\max_i b_i\le(r+1)^t.\tag{33.2}
\]

Это тот же элементарный механизм сжатия отношений, который использован
в подходе 8; новым здесь является его применение к коэффициентным
носителям, с фиксированными арифметическими якорями A и последующим
возвращением исходного масштаба.

Пусть L=b_1 соответствует координате исходного числа 1. Для каждого
a in A отношение v_a-a v_1=0 имеет длину a+1<=D+1. Следовательно,
b_a=aL. Заменяя степени факторов по v->b, получаем с теми же
Gaussian-целыми коэффициентами точное равенство

\[
q^2H(z^L)=\sum_j|\widetilde R_j(z)|^2.
\]

Отсутствие новых равенств разностей гарантирует, что ненужные
компенсации не разрушились и новые ненулевые коэффициенты не возникли.
Полная энергия остаётся E.

### 33.4 Возврат исходного масштаба без изменения q

Используется лемма о дилатации из подхода 40; этот шаг не считается
отдельным независимым результатом. Разложим каждый вспомогательный
фактор по остаткам его степеней modulo L:

\[
\widetilde R_j(z)=\sum_{s=0}^{L-1}z^s S_{j,s}(z^L).
\]

Усреднение равенства по z->omega*z, omega^L=1, убирает перекрёстные
слагаемые с разными остатками. Получается

\[
q^2H(w)=\sum_{j,s}|S_{j,s}(w)|^2.
\]

Коэффициенты остаются Gaussian-целыми, энергия остаётся E, а их
степени не превосходят max b_i/L<=max b_i. Вместе с (33.2) это даёт
(33.1). Все исходные частоты A сохранены; группируются коэффициенты
вспомогательных факторов, а не заменяется постановка исходной задачи.

### 33.5 Почему нельзя ограничивать каждое исходное представление

Даже при фиксированных A,m,q и после нормировки минимальных степеней
существуют разложения произвольно большой ширины. Например,

\[
A=\{1,2,3\},\quad m=2,\quad q=2,
\quad P=1+z+z^3,\quad H=|P|^2+1.
\]

Для любого положительного L положим

\[
R_1=(1+z^L)P+(1-z^L),\qquad
R_2=(1-z^L)P+(1+z^L).
\]

Прямое тождество на окружности даёт

\[
|R_1|^2+|R_2|^2=4(|P|^2+1)=q^2H.
\]

При L>3 оба фактора имеют минимальную степень 0, максимальную L+3,
а общая энергия всегда E=16. Поэтому энергия не ограничивает ширину
данного представления. Теорема (33.1) утверждает существование другого
ограниченного представления, что этому примеру не противоречит.

### 33.6 Конечный алгоритм и границы результата

При фиксированных A,m,q предел (33.1), число коэффициентов <=E,
число факторов <=E и конечный список возможных Gaussian-целых
коэффициентов дают буквальный конечный перебор всех кандидатов.
Каждый кандидат проверяется точной автокорреляцией. Поэтому можно
в принципе установить как существование, так и несуществование
разложения с данным q, несмотря на исходно неограниченные степени.

Это не обещание практической скорости: пределы очень велики.
Приведённый демонстрационный код не выполняет весь такой перебор и
не объявляет вычисленным минимальный q для новых наборов.

Для строго положительного H подход 32 дополнительно ограничивает
один существующий q через N,m,зазор. В сочетании результаты дают
конечную процедуру поиска минимального знаменателя для данного
строго положительного H. Они не дают абсолютной границы q для всех N.

## Проверка и область выводов

Сопровождающий код выполняет точные целочисленные и рациональные
проверки локальных тождеств, биномиального построения, поглощения
остатка и конфигурации с неограниченной шириной. Демонстрационные
разложения с огромным числом одинаковых квадратов записываются
компактно: сохраняется целая кратность и сам фактор. Это точная форма
записи конечной суммы, а не замена весов исходной волны.

Доказанные утверждения являются ограниченными результатами о
представлениях положительных сумм. Все зависимости от N и зазора
указаны явно. Ни отсутствие контрпримера, ни конечность процедуры
не доказывают искомую оценку K>=c sqrt(N).

### Фактическое выполнение проверок

Файл `denominators_31_33_checks.py` выполнен успешно, все проверки
прошли. Результаты находятся в `denominators_31_33_results.json`.

- Для подхода 31 точно проверены десять формальных модульных
  представлений с явным сопоставлением фактической и требуемой энергии.
- Для подхода 32 полностью построено рациональное SOS при
  A={1}, m=2, gamma=1, C=6. Выбранный консервативный порядок R=153,
  общий знаменатель q=24^153 содержит 212 десятичных цифр. Проверены
  все целые коэффициенты, точное восстановление H, строгая диагональная
  доминантность остатка и энергия 2mq^2. Тот же q и тот же сертификат
  с пересчитанными показателями проверены при частоте 1 000 003.
  Эти примеры не объявляются оптимальными: для данного одночастотного
  H существует существенно более простое целочисленное разложение.
- Для универсальной формулы при N=1,2,7,16 точно подобраны достаточные
  порядки R=232,406,3675,17118 соответственно. Это проверки формулы
  верхней границы, а не вычисление минимальных знаменателей.
- Для подхода 33 проверено постоянство энергии E=16 у представлений
  с шириной до 10^15+10, существование короткого представителя степени
  три и сохранение знаков всех 681 отношения l1-длины не больше четырёх
  в конкретном сжатии пяти координат.

Ни один сертификат не использует арифметику с плавающей точкой или
проверку непрерывной неотрицательности только по сетке.


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: round3/denominators_31_33_checks.py
==============================================================================

"""Exact checks for routes 31--33; no unbounded search or float certificate.

The large repeated-square multiplicities in route 32 are recorded as
integers. This is an exact compressed notation for a finite square sum.
"""
from collections import defaultdict
from fractions import Fraction
from itertools import product
from math import factorial
from pathlib import Path
import json

HERE = Path(__file__).resolve().parent


def clean(p):
    return {k: v for k, v in p.items() if v}


def add(p, q, scale=1):
    r = defaultdict(int, p)
    for k, v in q.items():
        r[k] += scale * v
    return clean(r)


def multiply(p, q):
    out = defaultdict(int)
    for a, x in p.items():
        for b, y in q.items():
            out[a + b] += x * y
    return clean(out)


def norm_square(p):
    return multiply(p, {-a: x for a, x in p.items()})


def shift(p, L):
    return {a + L: x for a, x in p.items()}


def H_poly(A, m):
    return {0: 2 * m} | {a: 1 for a in A} | {-a: 1 for a in A}


def choose_R(N, C, gamma):
    d = (N + 1) // 2
    rho = 1 - gamma / C
    theta = (1 + rho) / 2
    B = lambda x: Fraction(3 ** d * factorial(d), 1) / (1 - x) ** (d + 1)
    threshold = gamma / (8 * C * B(rho) * B(theta))
    ratio = rho / theta

    def holds(R):
        return (pow(ratio.numerator, R + 1) * threshold.denominator
                <= pow(ratio.denominator, R + 1) * threshold.numerator)

    hi = 1
    while not holds(hi):
        hi *= 2
    lo = -1
    while hi - lo > 1:
        mid = (hi + lo) // 2
        if holds(mid):
            hi = mid
        else:
            lo = mid
    assert holds(hi) and (hi == 0 or not holds(hi - 1))
    return hi, {"d": d, "rho": str(rho), "theta": str(theta),
                "B_rho": str(B(rho)), "B_theta": str(B(theta)),
                "tail_ratio_threshold": str(threshold)}


def quantitative_square_demo(A, m, gamma, C):
    N = len(A)
    R, parameters = choose_R(N, C, gamma)
    b, a = gamma.denominator, gamma.numerator
    base = 4 * b * C
    q = base ** R
    H = H_poly(A, m)
    Fnum = {0: b * C + a - 2 * b * m} | {u: -b for u in A} | {-u: -b for u in A}

    # q*Q_R, using the exact Catalan/binomial coefficient identity.
    power = {0: 1}
    Qnum = {0: q}
    catalan = 1
    for k in range(1, R + 1):
        power = multiply(power, Fnum)
        Qnum = add(Qnum, power, -2 * catalan * base ** (R - k))
        numerator = catalan * (4 * k - 2)
        assert numerator % (k + 1) == 0
        catalan = numerator // (k + 1)

    assert all(Qnum.get(-u) == c for u, c in Qnum.items())
    residual = add({u: q * q * c for u, c in H.items()}, norm_square(Qnum), -C)
    positive_lags = {u: c for u, c in residual.items() if u > 0}
    constant_copies = residual.get(0, 0) - 2 * sum(abs(c) for c in positive_lags.values())
    assert constant_copies > 0
    error = sum(abs(Fraction(c) - (q * q * gamma if u == 0 else 0))
                for u, c in residual.items())
    assert error / (q * q) < gamma / 2

    # Verify exact reconstruction and energy without expanding multiplicities.
    reconstructed = {0: constant_copies}
    for u, c in positive_lags.items():
        reconstructed[0] += 2 * abs(c)
        reconstructed[u] = c
        reconstructed[-u] = c
    assert clean(reconstructed) == residual
    energy = C * sum(c * c for c in Qnum.values()) + constant_copies + 2 * sum(abs(c) for c in positive_lags.values())
    assert energy == 2 * m * q * q
    assert add(reconstructed, norm_square(Qnum), C) == {u: q * q * c for u, c in H.items()}

    return {
        "A": A, "N": N, "m": m, "gamma": str(gamma), "C": C,
        "R": R, "parameters": parameters, "q": str(q),
        "q_base": base, "q_exponent": R,
        "Q_support_size": len(Qnum),
        "Q_scaled_integer_coefficients": [[u, str(c)] for u, c in sorted(Qnum.items())],
        "constant_factor_copies": str(constant_copies),
        "two_term_factor_lag_and_signed_copy_count": [[u, str(c)] for u, c in sorted(positive_lags.items())],
        "error_W_norm": str(error / (q * q)),
        "exact_reconstruction_and_energy_verified": True,
    }


def main():
    result = {"arithmetic": "Integers and Fraction; no floating point certificates."}

    local = []
    for A, m in [([1], 2), ([1, 2, 3, 5, 6, 7, 8], 2)]:
        for M in [2, 3, 5, 7, 11]:
            c = (2 * m - 2 * len(A)) % M
            rhs = {0: c}
            for a in A:
                rhs = add(rhs, norm_square({0: 1, a: 1}))
            difference = add(rhs, H_poly(A, m), -1)
            assert all(x % M == 0 for x in difference.values())
            local.append({"A": A, "m": m, "M": M,
                          "constant_copies": c, "actual_energy": rhs[0],
                          "requested_energy": 2 * m,
                          "formal_modular_identity_verified": True})
    result["31"] = local

    # A={1}, m=2 has H=4+2*cos(x)>=2, so gamma=1 is rigorously valid.
    demo = quantitative_square_demo([1], 2, Fraction(1), 6)
    # Rescale the same exact coefficient identity to an arbitrarily high frequency.
    L = 1000003
    Q = {u * L: int(c) for u, c in demo["Q_scaled_integer_coefficients"]}
    q = int(demo["q"])
    residual = add({u: q * q * c for u, c in H_poly([L], 2).items()}, norm_square(Q), -6)
    assert residual[0] - 2 * sum(abs(c) for u, c in residual.items() if u > 0) > 0
    demo["same_q_exactly_verified_at_frequency"] = L
    uniform = []
    for N in [1, 2, 7, 16]:
        C = 4 * N + 4
        R, parameters = choose_R(N, C, Fraction(1))
        uniform.append({"N": N, "C": C, "R": R, "q_exact_power": [4 * C, R],
                        "parameters": parameters})
    result["32"] = {"complete_exact_demo": demo, "uniform_N_only_bounds": uniform}

    # A fixed-energy certificate can nevertheless have arbitrary width.
    A, m, q = [1, 2, 3], 2, 2
    P = {0: 1, 1: 1, 3: 1}
    H = H_poly(A, m)
    assert add(norm_square(P), {0: 1}) == H
    family = []
    for L in [13, 100003, 10 ** 15 + 7]:
        low = add(P, {0: 1})
        high = shift(add(P, {0: -1}), L)
        R1, R2 = add(low, high), add(low, high, -1)
        assert add(norm_square(R1), norm_square(R2)) == {u: q * q * c for u, c in H.items()}
        E = sum(c * c for poly in [R1, R2] for c in poly.values())
        assert E == 16
        family.append({"L": L, "degree": max(R1), "energy": E,
                       "coefficients_total": len(R1) + len(R2)})
    D, E, N = max(A), 2 * m * q * q, len(A)
    general_degree_bound = (max(D + 1, 4) + 1) ** (E + N)
    assert family[-1]["degree"] > general_degree_bound
    # A short alternative exists with the same denominator q.
    assert add(norm_square({u: 2 * c for u, c in P.items()}), {0: 4}) == {u: 4 * c for u, c in H.items()}

    # Check all short relation signs in one explicit compression of the example.
    big = [1, 2, 3, 10 ** 15 + 8, 10 ** 15 + 10]
    small = [1, 2, 3, 14, 16]
    checked = 0
    for h in product(range(-4, 5), repeat=5):
        if sum(abs(x) for x in h) > 4:
            continue
        x, y = sum(a * b for a, b in zip(h, big)), sum(a * b for a, b in zip(h, small))
        assert (x > 0) - (x < 0) == (y > 0) - (y < 0)
        checked += 1
    result["33"] = {"A": A, "m": m, "q": q, "energy": E,
                    "unbounded_width_family": family,
                    "general_existential_degree_bound": general_degree_bound,
                    "short_alternative_degree": 3,
                    "all_short_relation_signs_checked": checked}

    path = HERE / "denominators_31_33_results.json"
    path.write_text(json.dumps(result, ensure_ascii=False, indent=2) + "\n")
    print(json.dumps({"all_checks_passed": True, "result_path": str(path),
                      "exact_demo_R": demo["R"], "exact_demo_q_digits": len(demo["q"]),
                      "same_q_large_frequency": demo["same_q_exactly_verified_at_frequency"],
                      "N_only_q_bounds": [{k: v for k, v in x.items() if k != "parameters"} for x in uniform],
                      "short_relations_checked": checked}, indent=2))


if __name__ == "__main__":
    main()


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: round3/denominators_31_33_results.json
==============================================================================

{
  "arithmetic": "Integers and Fraction; no floating point certificates.",
  "31": [
    {
      "A": [
        1
      ],
      "m": 2,
      "M": 2,
      "constant_copies": 0,
      "actual_energy": 2,
      "requested_energy": 4,
      "formal_modular_identity_verified": true
    },
    {
      "A": [
        1
      ],
      "m": 2,
      "M": 3,
      "constant_copies": 2,
      "actual_energy": 4,
      "requested_energy": 4,
      "formal_modular_identity_verified": true
    },
    {
      "A": [
        1
      ],
      "m": 2,
      "M": 5,
      "constant_copies": 2,
      "actual_energy": 4,
      "requested_energy": 4,
      "formal_modular_identity_verified": true
    },
    {
      "A": [
        1
      ],
      "m": 2,
      "M": 7,
      "constant_copies": 2,
      "actual_energy": 4,
      "requested_energy": 4,
      "formal_modular_identity_verified": true
    },
    {
      "A": [
        1
      ],
      "m": 2,
      "M": 11,
      "constant_copies": 2,
      "actual_energy": 4,
      "requested_energy": 4,
      "formal_modular_identity_verified": true
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        5,
        6,
        7,
        8
      ],
      "m": 2,
      "M": 2,
      "constant_copies": 0,
      "actual_energy": 14,
      "requested_energy": 4,
      "formal_modular_identity_verified": true
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        5,
        6,
        7,
        8
      ],
      "m": 2,
      "M": 3,
      "constant_copies": 2,
      "actual_energy": 16,
      "requested_energy": 4,
      "formal_modular_identity_verified": true
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        5,
        6,
        7,
        8
      ],
      "m": 2,
      "M": 5,
      "constant_copies": 0,
      "actual_energy": 14,
      "requested_energy": 4,
      "formal_modular_identity_verified": true
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        5,
        6,
        7,
        8
      ],
      "m": 2,
      "M": 7,
      "constant_copies": 4,
      "actual_energy": 18,
      "requested_energy": 4,
      "formal_modular_identity_verified": true
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        5,
        6,
        7,
        8
      ],
      "m": 2,
      "M": 11,
      "constant_copies": 1,
      "actual_energy": 15,
      "requested_energy": 4,
      "formal_modular_identity_verified": true
    }
  ],
  "32": {
    "complete_exact_demo": {
      "A": [
        1
      ],
      "N": 1,
      "m": 2,
      "gamma": "1",
      "C": 6,
      "R": 153,
      "parameters": {
        "d": 1,
        "rho": "5/6",
        "theta": "11/12",
        "B_rho": "108",
        "B_theta": "432",
        "tail_ratio_threshold": "1/2239488"
      },
      "q": "14870308615391006933051896390356722169305726576546210684742907365933603744811844043831345349401669826340558220040869113025029091754142070521300933850880823000918776488881930418854056079385942416672604325700173824",
      "q_base": 24,
      "q_exponent": 153,
      "Q_support_size": 307,
      "Q_scaled_integer_coefficients": [
        [
          -153,
          "19480646559891247154271716787990536050776399277866670716320368474546423525543131285327696"
        ],
        [
          -152,
          "-9059657916481700693894027814343598701396220301788865249666178491266535241765212075278487216"
        ],
        [
          -151,
          "2096211230865462843124997869951622231568453615566453156659547552162306387360894826231667639440"
        ],
        [
          -150,
          "-321739180295450605246292675106649497573371871675810164334276878578928146027995366833939298356160"
        ],
        [
          -149,
          "36852176123164653848788189679531648976000683733557812423594115837933351601577046627596599322609440"
        ],
        [
          -148,
          "-3359954535673164858587767650629790744375953279813178715788952706039475783422689322538631674820344096"
        ],
        [
          -147,
          "254001077761428266634670551650793847767329904008376551539506433655075969931213436940841714233118871776"
        ],
        [
          -146,
          "-16375557881672221874154879023580321747227754344984185716172699174293015904408601538209543707489407763200"
        ],
        [
          -145,
          "919098158365641841507604616299071659163903632164083352734367385624104757604558079594715911407011724534800"
        ],
        [
          -144,
          "-45620953673955225740457387520290109612592227238359392931538891646749510861339687969142299017000094218633200"
        ],
        [
          -143,
          "2027638433556189775543884725725358016996364966855233754960435091189980489055715884051304723583708592626020240"
        ],
        [
          -142,
          "-81507418861956014954471079422600110915576637893680945494277881316284894843503243466984770985594188990201107840"
        ],
        [
          -141,
          "2987998148796013086497035861033148743101210410723791560051474963227375529546255565101826618780556044727122682400"
        ],
        [
          -140,
          "-100590849105385095506410175497253557171235751705767591579459072853500194781268929203861628950659123781197470133600"
        ],
        [
          -139,
          "3128246443335814890013033678131192032535594889079667956807963204439137717594231140681514136837434316647129317682400"
        ],
        [
          -138,
          "-90327747574535046909128242179720554987086188693052520897266684181168378378783038450727100093033774847708870649429952"
        ],
        [
          -137,
          "2432459258750909553677668863274396865305961779927971645697006761534770952093382614355888966338529891581005647597205472"
        ],
        [
          -136,
          "-61328997177320667708288730151922990675803860187318160881314021539491638000560306600517714439785079000806042035986006880"
        ],
        [
          -135,
          "1452711379261861506495232793321868578740563608255662579743225032760563601928904447900597819891279637820491531295549780320"
        ],
        [
          -134,
          "-32428019807173456764067584022358055849524266959119066018974293750235730422582601911607173501380627626616224822650113698880"
        ],
        [
          -133,
          "684046753989162144726602698523354968358270130243161989383672857713737372501326974648883589707310438938478788866554077486880"
        ],
        [
          -132,
          "-13669557694491604348968900266211422619348953737447504728150217846752315758998948782132854671766455458502567518361862076270240"
        ],
        [
          -131,
          "259360802516201956687980872766039441468154969811525736936015001589395252578978757367658779771285589424186580418413436885623520"
        ],
        [
          -130,
          "-4681937815285431182635887035669720788988454278095706943842944631566430825157711556744939752957085645520247232364152022059217280"
        ],
        [
          -129,
          "80562348545018923952586834364883113414900220197921239354988798935882032746905282748769777861210283040148591670185043500366597520"
        ],
        [
          -128,
          "-1323641702783369291397776633467784977757028117761371039518290323063498759688721159303754987530392418412942140890406837542615256048"
        ],
        [
          -127,
          "20798312394344826203287217388582333820677772233204363113162391862834682066568131712525229558614625361377131596408226692396320975248"
        ],
        [
          -126,
          "-312996944481008655926597008944763915155259499535142972148773043016792178244763196040173641952131628611805753405397602068952117872000"
        ],
        [
          -125,
          "4517464204795926337758627149656165143080697592941499226956300676786804951295423948860945059373352356413191230429904906055968627660000"
        ],
        [
          -124,
          "-62609240088375222800984315084221195967354748297890935129212830760040289743899707565341028458787239744258888474436396481648416145572000"
        ],
        [
          -123,
          "834219161740738119851268269911310844986329436697665715312362993528352215965279861943404170355153601892931194451920413151163128507356448"
        ],
        [
          -122,
          "-10697812753631964577192237601275120622307656496718116647159048976649346866599521677856768152143242232750600259885311954443043390902365248"
        ],
        [
          -121,
          "132168331433658142288516047610268245310878172323205847756704880746177125350297470187593051602417782226144325438476117168773152529275615520"
        ],
        [
          -120,
          "-1574686567096474337811360443169150710015951676686204269598730364837856898319024726911601589726593322880217820192847738308214355917120869280"
        ],
        [
          -119,
          "18108671416944770589308358293206624050914678678276400931673782011321566636229146423778326008093375563424931039362046078264423602374877391520"
        ],
        [
          -118,
          "-201174624842216401602415563350744478080115217432058463143389754413885770632350637532802827014599400245958363758461314939017757925817626267840"
        ],
        [
          -117,
          "2160733784498798557147124127797383900217697596643566667570620419178284335717616558601593718630958442210084039809259973899554201725496080208480"
        ],
        [
          -116,
          "-22454259617559062135329807332766722970997778578288660570079533713949736550926994083057567167856241252372182434502151147182921386663747907974880"
        ],
        [
          -115,
          "225930997564815072415557028356241671625174000934729830101946161985848197975512420311641486081925381053872407093374893613181772151810600692444320"
        ],
        [
          -114,
          "-2202552753962629201278432219736515621948998994188328679524040446928097524979824910908898802111485054978164912376151447010430733590872911535082880"
        ],
        [
          -113,
          "20817517803122331094426363885743829476711805755469065183979175001375258614010090654861883764762933248423599609672574803373329614005975356552778832"
        ],
        [
          -112,
          "-190874730125460439917201557372387098000922858464390274550504469038511102424153902363372232633652575733029548489923623585758945510767790405329540912"
        ],
        [
          -111,
          "1698777877845075996764346014129317627182055764384258617690098654547149181684713119475490182221377511167639687457649616485443452875645614234224686800"
        ],
        [
          -110,
          "-14683623255818135682969666683938934462970244150496310427959719156009711484887110199401775930163827330672716779873923497996025616728877739532613715200"
        ],
        [
          -109,
          "123329510235532878674628411387939004646499676153775102260075070494904575383330547411430034787683815040921954361024840715980458617581649773638769096800"
        ],
        [
          -108,
          "-1007062015370171388820796115255758714589749841642327278834886608323486837240727605897685864013115765878506726883515407142220560736006412904652997671840"
        ],
        [
          -107,
          "7998517612139741044654546459647052319348355336471760807461594495349246719108500840270537829517406930752166479220537546674536837698854918443898081115040"
        ],
        [
          -106,
          "-61819647967929625241021129221285981366169953217658259044656234748430877140664726253973231081315113568399221100821147264470588466117661674470203252804800"
        ],
        [
          -105,
          "465155907025351810752418854668308666812901567631558933380244190953336607034361298048752635730358346548451278109075073609740400921228168927189886918877200"
        ],
        [
          -104,
          "-3408858438953603465804029056567359625125737718884899752752621704976076244594661276567201185079794114171734005309276361672782230167651814598387352617354800"
        ],
        [
          -103,
          "24340747331617442970477389614365177562015316053797773868125009571292931525769519725979063688828747960365876055970571022368304382906508328431267977219115216"
        ],
        [
          -102,
          "-169411398061249615997184929185977474610318058769192405955595550349637952340487566703671789215617077909500241124440330379902488408363557046395433757460257536"
        ],
        [
          -101,
          "1149735619692091371869827260854871901897915568460583982740291444825995454016617789177620914544599738353736239013794095557758362149228179183012284981954733440"
        ],
        [
          -100,
          "-7611265536360477171507920788867603622011182409989520394192334782281286518959367844431958462158326998029966510822709092190885338531115557411012344279875852160"
        ],
        [
          -99,
          "49166646217963599307675761162274264448558307176420789091735153421602892362683278457599998245961972710185151982328798029430380602108932699133039652312984013440"
        ],
        [
          -98,
          "-310016776260791273050561696329167528198192752590804329293992155003039263070933472024000333594499919991547663267928667638830639705764822369234217215567577760256"
        ],
        [
          -97,
          "1908718606387850015599184668657097957220281489011708247463736853712093443747210486900016712282635286421940962418270466562526427852581269873739004984774457804736"
        ],
        [
          -96,
          "-11478294771927893657929502575083822474648325937033840157583465447481826993498363156957308830013664673125860119770709896698131099728585211277541008637670342785600"
        ],
        [
          -95,
          "67441002637181531243204011364727917371066536730085447628262799785250250122096045907431022708480490016501132716922086006917776194867239883481967917494964100158400"
        ],
        [
          -94,
          "-387266857563690516682957205452125353074833758838129590735045250375220827312224037707752509941633445574639098830372507869148835505087820235673373906502419359065600"
        ],
        [
          -93,
          "2174008108862526527495607703678830163180651635645374074568260842838276122193908834938966488818417983837486002771345933512777662986811883725657625599642613062505600"
        ],
        [
          -92,
          "-11934328389174103928218251948360945876917293620247845914177271348409118606484105574026100085381399434228795782748020362489703142530940154099242098957099581597116800"
        ],
        [
          -91,
          "64082462421187866028189361390196428572409677155529856748187443969520906666077536634558752901727618645870153712964397599276574861095120628717838449168083206704022400"
        ],
        [
          -90,
          "-336666839070605269752092167723923570870592916528272057428365082919326182793773397553319955447512181956496019163276541384664872440012409908598248973311606368489593600"
        ],
        [
          -89,
          "1730989468847494787114244069514207181168378877092433001706339546957355975379834641712352030672497830636042954695018893400363997614290759329219471756871663497529562400"
        ],
        [
          -88,
          "-8712286099998350755537587510062638836251679428602340254672502797411995669917946207642528052194041844284633414258731409119209772286815159472359311393335227244487206880"
        ],
        [
          -87,
          "42936049835592862736467636844612882840422148623624912573893654446584874594227297469475266699345787145185139259464065631027177522651421860148305393042656927562045272480"
        ],
        [
          -86,
          "-207238837356131525603946894469071082661729986744477493894607652353340676428444643249827450734977009127354775458676547538924562441262445602155294500464919745412030236800"
        ],
        [
          -85,
          "979906494236794674694059624769834525852903021202528387726764219598866915280687452502372776570662809353907501159839606337308471543878798453458745806321506696924298155200"
        ],
        [
          -84,
          "-4540112600776217331134371318041139943156626325668279095770982969458440655311517839271013031916470219925482252791547911114785810667016425205526311027462413157140797956800"
        ],
        [
          -83,
          "20616750123149365456130691745692885123568535319095116851064874594021998561078836820345829838824412065839278108773147115045012692112164610258763770688989551797220954376000"
        ],
        [
          -82,
          "-91779945051280257735098987246049853239165004951956515968890712564917570404413685394024013036400304017167372000307265622474095754806124871839406325009985790436361779993600"
        ],
        [
          -81,
          "400637320552096294533793294089642540647587332872058533447710239205277224379639360271196949738924429890491921359196934755992723250873586083279766259416731342667888914655200"
        ],
        [
          -80,
          "-1715271942582428590166782162082460845859652625457837613221818899446494514309603886864070536363094880786407249086437125739232324989422494256340391820689310007307264425952800"
        ],
        [
          -79,
          "7204349061772111671023780458916436087360978796691920082199373245859976178009290636126829529589074977689311297922489098785715075143165926220756734426432326845418319261695200"
        ],
        [
          -78,
          "-29692004576410411823010004388346045372498457562915661998447005029264113293431465667345413416910357423353891553940710817212259498094189049685711808013441085984285769334209280"
        ],
        [
          -77,
          "120107774918304933952127752185102334182409253036651271863073793579891488601772208816251534966925428199950970299451760917108077900560212396690880441363781052322305639631001280"
        ],
        [
          -76,
          "-476974079235164113290301446507706477705171853554154157909033398850430666905479487167443699332508482992314844778053655631066706492584577775436416749553186146458488198854952000"
        ],
        [
          -75,
          "1860019735656696998366679304547150614066228481510501516712922472668020488909631782139345726120996341702425492453838369031761967768992025589697670572502573181586682665059848000"
        ],
        [
          -74,
          "-7124408582316159798088019162481426311652328474655843539993501616520735857322036182186600544423868255135424789910526471354782097218859750544740181627189366437473024914083152000"
        ],
        [
          -73,
          "26810244437020972892521393332942953315384930497502726075137327616637674456795758349709776452851009421327024393516307087330481451996455826828397535173204175270906305362437444480"
        ],
        [
          -72,
          "-99149149500090069750514131664916520652975689372608395145749758296368860764447707708012958817971428746002697353192581319966337291062349365960294292719387883698299906206178260480"
        ],
        [
          -71,
          "360440038852386193674834057668412375291047264063811984196207025055116308150767840902188720791410149250707510423423788336247662077927606928643206811503721021835004596924220643200"
        ],
        [
          -70,
          "-1288418801196130646189986454831239785484830984788717614215373546385022793178438757823215611353702702217671005270723652496011596657338664825664286489239731469762598705413044124800"
        ],
        [
          -69,
          "4529920415902483949771649103224899143317557652424774383623130858068780197461069777385104322920103177209735490527532161378404848050333245502173113927728914872059547846448920603200"
        ],
        [
          -68,
          "-15670006039277670866312510950083443357494705687954778046627543317262224834817201759052477249786630990767278061156341546613206828052801633065843745434794322698344525185648335867200"
        ],
        [
          -67,
          "53350106867715184782577586658371834799905012575100349124926187775605995277718829174913126254380854756874757315072832829206587288760882915166378502596988937749129650946814571313600"
        ],
        [
          -66,
          "-178829502069550984992155901305876872077068649180091201987881904803901578036153918343336241327246614479246009271765124919526792829892278404839716195640799757098391562958192168492800"
        ],
        [
          -65,
          "590390867380780931711472882654480412080584636044664744396310533343943622200927797159058290732198589961041035659931736161314820316446483457332574582421447432603367830068815257959200"
        ],
        [
          -64,
          "-1920459292338037614805140571062600471396817074380623849064088260168127507157422414971681167080624538584570530291458622401280435507046042389488592778207428423208312790789658638072800"
        ],
        [
          -63,
          "6157643522649127210551216165412347404975460828012548157601423428553966273505553186092476750482109367045925717188795458409232427214280479623707848498433068965677237657955181931419424"
        ],
        [
          -62,
          "-19469660280523372451602766149653286542300947011494851645202291406601387119085906087454003888104361505216352900837869550904148070339338650285271171954555112722317944444406666954142464"
        ],
        [
          -61,
          "60735054818468988220055722731580702123247637840973114813946437875762485446262429486908965557992111650456699472795823069986103072985149993313730551948035164617743741513942828582554560"
        ],
        [
          -60,
          "-187013854631623365348851128372782308611180033930402044606508278411117649447863187037588851769952327967170044689216841981344863506571382515188763852204430226863414577199046156719531840"
        ],
        [
          -59,
          "568710809876727460381279252097647343909519534632615677305911289533957786114401086627125522707245630089441176601341136919604620140425913726929453652798412138194846612333914780490858560"
        ],
        [
          -58,
          "-1708980447933589397344775180047538413644048514435068862981777484225022575509433406815281679545381317594318351880763070936149978658196554642872170370015394456372727673843797325718387840"
        ],
        [
          -57,
          "5077734378264213105860393076790937373082365783836667602174900710976898581850170992622203498096812760525442908120067045855897597702182497436802948984450967623170960570265044558298535360"
        ],
        [
          -56,
          "-14926715614038226790455021500605175602705374428580450560071480819666897222699758216898943101817283490417364215000104488302007105659237482339147368008009024848503470808487483296506773440"
        ],
        [
          -55,
          "43441853506413817401180270083477533202178251325777097539052081543767180354600576786495313367913040973862169051827315752522737403566461958419876521883937033415174456514834801150307604160"
        ],
        [
          -54,
          "-125257568706962785845342949030173103561326477951239149669461561905197357904807409934940792903616157127346306427800829426523036744538062885859294893613256075296486298834048082431642861440"
        ],
        [
          -53,
          "358067298686055315800559368224718913451635152626957114914436093183222703045017695363767932884322798118361081537596594035480390279281811911368196379941236572216890189726593757015670572480"
        ],
        [
          -52,
          "-1015578497121955560102021434469128063873129335402038392054668570947711509164655566951653554356438990204902576017038028729599145700231798650694543952433811692814262845586313829449338695360"
        ],
        [
          -51,
          "2860094340771764667894162643809316986299807575036324619678229951413574285884185262672518423577654907146694163691782219796810860913490490361771497690655970699556852606743906089923420983360"
        ],
        [
          -50,
          "-8003840615203076021892994683721713362775393584478293941823505280438852571943748342343241463271558539510792187102165791948642563244974012151419445547372737099283010349698566918220806327040"
        ],
        [
          -49,
          "22274103691201503792891579046670486572464341026056712831839949621809124990455761784888485340156098352007383390433027988192978154871639413890368621933648835697147866372165888508173719203360"
        ],
        [
          -48,
          "-61689786097660936903812789326117101752932031830590578901124802545057125998635482263700615593309173014165332443543213818443208139767514052346562934803648882606971165498321114205739051790560"
        ],
        [
          -47,
          "170159200179237337968630314840409921167409943871801410178820246112326141923240201708339469247960016381976745163892701251619053658108077931673881091151747820161618657582094783414338911355680"
        ],
        [
          -46,
          "-467768159727688349561254626998158993159829322212269231668818421231371538935194129410306900508888988952216493211856331898192014632927063783638264294266492830189492461526866844542309034109440"
        ],
        [
          -45,
          "1282403641129668607708944978922910591844867692068208570666697221887322940698438900111987544335920252523079837196672776816682423955678854455750383380982635907851114626660329740277446198196160"
        ],
        [
          -44,
          "-3508342525311302320815220748614723406125628637946284249238045157298899487380580221530074039274357948682387945830824511791283105539043295175984409047719918814806059460249006279378763178981440"
        ],
        [
          -43,
          "9583025004083433845714509073770542911604314788625101335093046568940454911506701475739465703569993319941978290706775896357262162655640308980215886105451219877738273837249267795739240730064960"
        ],
        [
          -42,
          "-26148170077952521936944819092144098901612792833019687271376019857051605234910689432211039205577353679049292986293542982252710444535717420356260464606167742933539551557543495686436522583021440"
        ],
        [
          -41,
          "71302821189718247956061002943349783394994728115077707919660058681021884723920430289395698849049664704131005885845029824178949413935164942321756593412472221406707240387503293064353676083734560"
        ],
        [
          -40,
          "-194384773041806610353195412828899516773359308038807061090745180614386765780865152889284589029142325801768923738513767712451827015452403591230647013127737272064734056685605539659437056065375840"
        ],
        [
          -39,
          "529965465940492452743398023283879093177059864441386902575591551416413316130512868325249297401468120909874101378997154016042299052036615550144605901786140022419779786501267968770396161339270560"
        ],
        [
          -38,
          "-1445376637588930026530309925876404957493210982514227631134933819784528473134896059148677021902495852784807722453543566235310712538962986792982075058039348106838560436338492182042402429633116160"
        ],
        [
          -37,
          "3944231934964348054597209945357859307468990607048790787141478272066078519465263586711571081354630532664057632028817222229877198735736033197634931322910939488390064360012756932532086022034874880"
        ],
        [
          -36,
          "-10771501312772928699797244847507426332163860071061324963312794017410522382378193781750644535349764941139292272902131843392760214958380956585413947952262036025610613820550874755995321183123658240"
        ],
        [
          -35,
          "29443849889547252699181718806408883507600398514817034805671850639027023605122537228643298282934724098597363786942293340377908441769671810239831374385889281528639384806958031522315952436861007360"
        ],
        [
          -34,
          "-80571321918123184116410940502397847228418770136934594835390397997968915843620178585499991570102510705311811609741315305887633002080728090250781725385957972553985685322248067638690141384727434240"
        ],
        [
          -33,
          "220744799946585372270191842334527844043255908777772407605332766066903250015366448941389534380121754634213247904159178054564884790452368126784759506583849356695353855591514463440132776833635317760"
        ],
        [
          -32,
          "-605587929137781863077845941244495209472456248741509889730983368996360493482504124727193903737093286044097119843778966807398157433880236820821020016549302476366554695699058012940838838679747363840"
        ],
        [
          -31,
          "1663763381506173614025947570667051043804803697328874869612559256029018118173851941306424339119762340608691921171544993275788122617889978582330832128053702043599836961040128857945616828113300469760"
        ],
        [
          -30,
          "-4578092403293979322213135512483507924184486928807748161359409177593982264584277042466876041765675039484703493069915756913770745945556883028690600080518681664397631667939849075658988143967013360640"
        ],
        [
          -29,
          "12618535977324645148902012200343824741016829772308434604510468993570584016231443458710276046362562377237163635337612363213223230114857565064264625093654231937081618769754831126791308034540398261760"
        ],
        [
          -28,
          "-34843422679867239431713722550925823996693142008830984615781841840489585886036388657230214977427688418534582164456498575090609839247518621379648422092677513047111877496489964316972634316363947857408"
        ],
        [
          -27,
          "96400798536132058426018765874970904704466992536919976984596306108058301029400511936052862237645385431966385152089674243570494268525632373181565233874075664603265226627106588585065579366185809535488"
        ],
        [
          -26,
          "-267272864627887574993767803192469462050055198318265817413207502944314159167961693619317958789971575609912352402301296693644328981973934240563409285976308990578532773141945903199022264750795205621760"
        ],
        [
          -25,
          "742706422131441240095687791339001770693766727844733525878641735005548245583654813122832054443261502822531275873426921301603041988978912594084330752785403166251537886425918018270325037877733979126640"
        ],
        [
          -24,
          "-2068949683901908021131802654510438534805871089907311442078980843381550176559719723061741470093726629979792189446591410622941256660416074322376451988605930360627375905344317095201530590763473610671760"
        ],
        [
          -23,
          "5778909293435230533045540028634886635925674614148980385994521401512662979324430182902832219328929226913749716353751549911623118490300424286488211151498089632561076671426514513899655687065899556097328"
        ],
        [
          -22,
          "-16188632947170719471726255980632189218687182115092762942815861435230341403434428055292219097336066792804812840260276149701222596462909721686304354399145014564875687688333740376358656369383540974358848"
        ],
        [
          -21,
          "45494906902824718432796498150646837868924915000112207900470519852278956014566459241022073771672578621768132681908052352511963373647628431760608299746818668009561338753860192884944361849783385387659360"
        ],
        [
          -20,
          "-128304366392811148963450247696725542825580890453775432733804393550564312808727395880134030875139659633400946845384843803629912479720844695635299092270716315525671315904379615136434251781774306824467040"
        ],
        [
          -19,
          "363249828051316841227004531652097620667904982950015401417851130952544711238305321686410691486979780409394125261458753092580874781777522782414207562840988536638576239543180673242663191495509927315347360"
        ],
        [
          -18,
          "-1032857207045635113108678183361734017114052245674494018281189224625622834655146412564863807628108848730860458242333576345943203038390267914531936012254041397598880183086675845950346003292153605147772160"
        ],
        [
          -17,
          "2950964732769965643395363525237718686367163250240336683469579585203357483120951824916617420576533419549331728361335901904159997662320634999121126073701920210865774395063524425762786597590882179577512880"
        ],
        [
          -16,
          "-8476860886472926324474170347462185219749017919040735153966276951197930130063076045160615674625241920701081736382891054844414885815901065057455883605793546046902550843990231607164062951171037361425167440"
        ],
        [
          -15,
          "24499823488817906710257924373759572148144789310620511070935285916322016902552070070518105211210450681351913064056710015845602877990198841493299047790469070537966876586264434365162394519234566642653722160"
        ],
        [
          -14,
          "-71305470622801459306791352587069548997964923940621913293873819310967406858848396199181469024999935953094104641170990379230678193038599933868238763299060198961677247425652529921099790339321751728599821440"
        ],
        [
          -13,
          "209206600264540165854001609858041099993811094742937755294438262252380553143462159085287852738696601160945321870015172922889338890516783337136154089352490841441653843331938327199747260722196077746907052896"
        ],
        [
          -12,
          "-619576355452481885292900207338200576328904718329919482357001068550547544110899413238615178842265045457063323351873017706195294874358473993128698489696951676211544482724283230439603040377127771303953346336"
        ],
        [
          -11,
          "1855281875649557350444397565367472105281586719270660644902969913197370730281773438355857992800852575904703915486264856974151021430027981495574952081044893828900572042315826474109641744277255119159464157600"
        ],
        [
          -10,
          "-5629431311057837446486659555923406730758585430771023075578210200209914288848462411224388816751092541366835958270124540963623456336188497678182747775172164360619676274325947030145387739437641015400789806400"
        ],
        [
          -9,
          "17358493854549791193851488000309385733442441299652111785215961531574054392091990677400773000941053081691425040243418703623613790713258951010463202134601348262499103529611207293170595691811650881978317277600"
        ],
        [
          -8,
          "-54609374041165382093445023332211859712341309258172955538526448142823728196568921908299958719949182613339477980256256613155032991486742763637487030698296605770119940207494886780976824496352352447730876994080"
        ],
        [
          -7,
          "176264505441813855289399916265319841621685200331679957380915983318102916927339409405631703958539630734596899604495985718190465567892742414262567347381733043024022634352691364128494548534152753381715684392480"
        ],
        [
          -6,
          "-588613624532764529209453693790722564526579319498383378498770132341062098685750786846174196647089219345887193649350288907124160354810425488360431733634730515716759087201183112254089341790182389785436945361600"
        ],
        [
          -5,
          "2060680322395129152419236554007451361069405208757101078717739095624154066365115511179060096606567319596305376272625308166918562372391902585367095668120023126310855478912684021017463553823053800519252797282400"
        ],
        [
          -4,
          "-7738347507561634377635402550855833254638699677053453247452905309579308406690432634074593519755892641773759286486216645637273722850474572386342087057382264921157946038942075509663044754550390330473367873061600"
        ],
        [
          -3,
          "32610571327027164106698716098326074133126496331424812261843831354465736394786159591333992548306132709098020245722603549023614990202191476427132100689294220447809827589759247403455795048998725291146489594037664"
        ],
        [
          -2,
          "-172448385439478879559401609840739949039980967101434631962256715082689467111849563871263206096258440212823075181355228182930536186304241898778304138920752559047282772440811724104036020577329912628277074690134144"
        ],
        [
          -1,
          "1841106625984558068074741894638155637552174224161861663833037341537805427893589204708220495919966674418637286311862945308551926585502271061689450417318044556507485707935368946661934503557632264960426554100781360"
        ],
        [
          0,
          "10184397828709954862158035328752938550262287856643141266620432789322978387646520779020967963575908162429431661791225463077212193455908595024884538739569552014786776293665133988621640440287870981362414768486774960"
        ],
        [
          1,
          "1841106625984558068074741894638155637552174224161861663833037341537805427893589204708220495919966674418637286311862945308551926585502271061689450417318044556507485707935368946661934503557632264960426554100781360"
        ],
        [
          2,
          "-172448385439478879559401609840739949039980967101434631962256715082689467111849563871263206096258440212823075181355228182930536186304241898778304138920752559047282772440811724104036020577329912628277074690134144"
        ],
        [
          3,
          "32610571327027164106698716098326074133126496331424812261843831354465736394786159591333992548306132709098020245722603549023614990202191476427132100689294220447809827589759247403455795048998725291146489594037664"
        ],
        [
          4,
          "-7738347507561634377635402550855833254638699677053453247452905309579308406690432634074593519755892641773759286486216645637273722850474572386342087057382264921157946038942075509663044754550390330473367873061600"
        ],
        [
          5,
          "2060680322395129152419236554007451361069405208757101078717739095624154066365115511179060096606567319596305376272625308166918562372391902585367095668120023126310855478912684021017463553823053800519252797282400"
        ],
        [
          6,
          "-588613624532764529209453693790722564526579319498383378498770132341062098685750786846174196647089219345887193649350288907124160354810425488360431733634730515716759087201183112254089341790182389785436945361600"
        ],
        [
          7,
          "176264505441813855289399916265319841621685200331679957380915983318102916927339409405631703958539630734596899604495985718190465567892742414262567347381733043024022634352691364128494548534152753381715684392480"
        ],
        [
          8,
          "-54609374041165382093445023332211859712341309258172955538526448142823728196568921908299958719949182613339477980256256613155032991486742763637487030698296605770119940207494886780976824496352352447730876994080"
        ],
        [
          9,
          "17358493854549791193851488000309385733442441299652111785215961531574054392091990677400773000941053081691425040243418703623613790713258951010463202134601348262499103529611207293170595691811650881978317277600"
        ],
        [
          10,
          "-5629431311057837446486659555923406730758585430771023075578210200209914288848462411224388816751092541366835958270124540963623456336188497678182747775172164360619676274325947030145387739437641015400789806400"
        ],
        [
          11,
          "1855281875649557350444397565367472105281586719270660644902969913197370730281773438355857992800852575904703915486264856974151021430027981495574952081044893828900572042315826474109641744277255119159464157600"
        ],
        [
          12,
          "-619576355452481885292900207338200576328904718329919482357001068550547544110899413238615178842265045457063323351873017706195294874358473993128698489696951676211544482724283230439603040377127771303953346336"
        ],
        [
          13,
          "209206600264540165854001609858041099993811094742937755294438262252380553143462159085287852738696601160945321870015172922889338890516783337136154089352490841441653843331938327199747260722196077746907052896"
        ],
        [
          14,
          "-71305470622801459306791352587069548997964923940621913293873819310967406858848396199181469024999935953094104641170990379230678193038599933868238763299060198961677247425652529921099790339321751728599821440"
        ],
        [
          15,
          "24499823488817906710257924373759572148144789310620511070935285916322016902552070070518105211210450681351913064056710015845602877990198841493299047790469070537966876586264434365162394519234566642653722160"
        ],
        [
          16,
          "-8476860886472926324474170347462185219749017919040735153966276951197930130063076045160615674625241920701081736382891054844414885815901065057455883605793546046902550843990231607164062951171037361425167440"
        ],
        [
          17,
          "2950964732769965643395363525237718686367163250240336683469579585203357483120951824916617420576533419549331728361335901904159997662320634999121126073701920210865774395063524425762786597590882179577512880"
        ],
        [
          18,
          "-1032857207045635113108678183361734017114052245674494018281189224625622834655146412564863807628108848730860458242333576345943203038390267914531936012254041397598880183086675845950346003292153605147772160"
        ],
        [
          19,
          "363249828051316841227004531652097620667904982950015401417851130952544711238305321686410691486979780409394125261458753092580874781777522782414207562840988536638576239543180673242663191495509927315347360"
        ],
        [
          20,
          "-128304366392811148963450247696725542825580890453775432733804393550564312808727395880134030875139659633400946845384843803629912479720844695635299092270716315525671315904379615136434251781774306824467040"
        ],
        [
          21,
          "45494906902824718432796498150646837868924915000112207900470519852278956014566459241022073771672578621768132681908052352511963373647628431760608299746818668009561338753860192884944361849783385387659360"
        ],
        [
          22,
          "-16188632947170719471726255980632189218687182115092762942815861435230341403434428055292219097336066792804812840260276149701222596462909721686304354399145014564875687688333740376358656369383540974358848"
        ],
        [
          23,
          "5778909293435230533045540028634886635925674614148980385994521401512662979324430182902832219328929226913749716353751549911623118490300424286488211151498089632561076671426514513899655687065899556097328"
        ],
        [
          24,
          "-2068949683901908021131802654510438534805871089907311442078980843381550176559719723061741470093726629979792189446591410622941256660416074322376451988605930360627375905344317095201530590763473610671760"
        ],
        [
          25,
          "742706422131441240095687791339001770693766727844733525878641735005548245583654813122832054443261502822531275873426921301603041988978912594084330752785403166251537886425918018270325037877733979126640"
        ],
        [
          26,
          "-267272864627887574993767803192469462050055198318265817413207502944314159167961693619317958789971575609912352402301296693644328981973934240563409285976308990578532773141945903199022264750795205621760"
        ],
        [
          27,
          "96400798536132058426018765874970904704466992536919976984596306108058301029400511936052862237645385431966385152089674243570494268525632373181565233874075664603265226627106588585065579366185809535488"
        ],
        [
          28,
          "-34843422679867239431713722550925823996693142008830984615781841840489585886036388657230214977427688418534582164456498575090609839247518621379648422092677513047111877496489964316972634316363947857408"
        ],
        [
          29,
          "12618535977324645148902012200343824741016829772308434604510468993570584016231443458710276046362562377237163635337612363213223230114857565064264625093654231937081618769754831126791308034540398261760"
        ],
        [
          30,
          "-4578092403293979322213135512483507924184486928807748161359409177593982264584277042466876041765675039484703493069915756913770745945556883028690600080518681664397631667939849075658988143967013360640"
        ],
        [
          31,
          "1663763381506173614025947570667051043804803697328874869612559256029018118173851941306424339119762340608691921171544993275788122617889978582330832128053702043599836961040128857945616828113300469760"
        ],
        [
          32,
          "-605587929137781863077845941244495209472456248741509889730983368996360493482504124727193903737093286044097119843778966807398157433880236820821020016549302476366554695699058012940838838679747363840"
        ],
        [
          33,
          "220744799946585372270191842334527844043255908777772407605332766066903250015366448941389534380121754634213247904159178054564884790452368126784759506583849356695353855591514463440132776833635317760"
        ],
        [
          34,
          "-80571321918123184116410940502397847228418770136934594835390397997968915843620178585499991570102510705311811609741315305887633002080728090250781725385957972553985685322248067638690141384727434240"
        ],
        [
          35,
          "29443849889547252699181718806408883507600398514817034805671850639027023605122537228643298282934724098597363786942293340377908441769671810239831374385889281528639384806958031522315952436861007360"
        ],
        [
          36,
          "-10771501312772928699797244847507426332163860071061324963312794017410522382378193781750644535349764941139292272902131843392760214958380956585413947952262036025610613820550874755995321183123658240"
        ],
        [
          37,
          "3944231934964348054597209945357859307468990607048790787141478272066078519465263586711571081354630532664057632028817222229877198735736033197634931322910939488390064360012756932532086022034874880"
        ],
        [
          38,
          "-1445376637588930026530309925876404957493210982514227631134933819784528473134896059148677021902495852784807722453543566235310712538962986792982075058039348106838560436338492182042402429633116160"
        ],
        [
          39,
          "529965465940492452743398023283879093177059864441386902575591551416413316130512868325249297401468120909874101378997154016042299052036615550144605901786140022419779786501267968770396161339270560"
        ],
        [
          40,
          "-194384773041806610353195412828899516773359308038807061090745180614386765780865152889284589029142325801768923738513767712451827015452403591230647013127737272064734056685605539659437056065375840"
        ],
        [
          41,
          "71302821189718247956061002943349783394994728115077707919660058681021884723920430289395698849049664704131005885845029824178949413935164942321756593412472221406707240387503293064353676083734560"
        ],
        [
          42,
          "-26148170077952521936944819092144098901612792833019687271376019857051605234910689432211039205577353679049292986293542982252710444535717420356260464606167742933539551557543495686436522583021440"
        ],
        [
          43,
          "9583025004083433845714509073770542911604314788625101335093046568940454911506701475739465703569993319941978290706775896357262162655640308980215886105451219877738273837249267795739240730064960"
        ],
        [
          44,
          "-3508342525311302320815220748614723406125628637946284249238045157298899487380580221530074039274357948682387945830824511791283105539043295175984409047719918814806059460249006279378763178981440"
        ],
        [
          45,
          "1282403641129668607708944978922910591844867692068208570666697221887322940698438900111987544335920252523079837196672776816682423955678854455750383380982635907851114626660329740277446198196160"
        ],
        [
          46,
          "-467768159727688349561254626998158993159829322212269231668818421231371538935194129410306900508888988952216493211856331898192014632927063783638264294266492830189492461526866844542309034109440"
        ],
        [
          47,
          "170159200179237337968630314840409921167409943871801410178820246112326141923240201708339469247960016381976745163892701251619053658108077931673881091151747820161618657582094783414338911355680"
        ],
        [
          48,
          "-61689786097660936903812789326117101752932031830590578901124802545057125998635482263700615593309173014165332443543213818443208139767514052346562934803648882606971165498321114205739051790560"
        ],
        [
          49,
          "22274103691201503792891579046670486572464341026056712831839949621809124990455761784888485340156098352007383390433027988192978154871639413890368621933648835697147866372165888508173719203360"
        ],
        [
          50,
          "-8003840615203076021892994683721713362775393584478293941823505280438852571943748342343241463271558539510792187102165791948642563244974012151419445547372737099283010349698566918220806327040"
        ],
        [
          51,
          "2860094340771764667894162643809316986299807575036324619678229951413574285884185262672518423577654907146694163691782219796810860913490490361771497690655970699556852606743906089923420983360"
        ],
        [
          52,
          "-1015578497121955560102021434469128063873129335402038392054668570947711509164655566951653554356438990204902576017038028729599145700231798650694543952433811692814262845586313829449338695360"
        ],
        [
          53,
          "358067298686055315800559368224718913451635152626957114914436093183222703045017695363767932884322798118361081537596594035480390279281811911368196379941236572216890189726593757015670572480"
        ],
        [
          54,
          "-125257568706962785845342949030173103561326477951239149669461561905197357904807409934940792903616157127346306427800829426523036744538062885859294893613256075296486298834048082431642861440"
        ],
        [
          55,
          "43441853506413817401180270083477533202178251325777097539052081543767180354600576786495313367913040973862169051827315752522737403566461958419876521883937033415174456514834801150307604160"
        ],
        [
          56,
          "-14926715614038226790455021500605175602705374428580450560071480819666897222699758216898943101817283490417364215000104488302007105659237482339147368008009024848503470808487483296506773440"
        ],
        [
          57,
          "5077734378264213105860393076790937373082365783836667602174900710976898581850170992622203498096812760525442908120067045855897597702182497436802948984450967623170960570265044558298535360"
        ],
        [
          58,
          "-1708980447933589397344775180047538413644048514435068862981777484225022575509433406815281679545381317594318351880763070936149978658196554642872170370015394456372727673843797325718387840"
        ],
        [
          59,
          "568710809876727460381279252097647343909519534632615677305911289533957786114401086627125522707245630089441176601341136919604620140425913726929453652798412138194846612333914780490858560"
        ],
        [
          60,
          "-187013854631623365348851128372782308611180033930402044606508278411117649447863187037588851769952327967170044689216841981344863506571382515188763852204430226863414577199046156719531840"
        ],
        [
          61,
          "60735054818468988220055722731580702123247637840973114813946437875762485446262429486908965557992111650456699472795823069986103072985149993313730551948035164617743741513942828582554560"
        ],
        [
          62,
          "-19469660280523372451602766149653286542300947011494851645202291406601387119085906087454003888104361505216352900837869550904148070339338650285271171954555112722317944444406666954142464"
        ],
        [
          63,
          "6157643522649127210551216165412347404975460828012548157601423428553966273505553186092476750482109367045925717188795458409232427214280479623707848498433068965677237657955181931419424"
        ],
        [
          64,
          "-1920459292338037614805140571062600471396817074380623849064088260168127507157422414971681167080624538584570530291458622401280435507046042389488592778207428423208312790789658638072800"
        ],
        [
          65,
          "590390867380780931711472882654480412080584636044664744396310533343943622200927797159058290732198589961041035659931736161314820316446483457332574582421447432603367830068815257959200"
        ],
        [
          66,
          "-178829502069550984992155901305876872077068649180091201987881904803901578036153918343336241327246614479246009271765124919526792829892278404839716195640799757098391562958192168492800"
        ],
        [
          67,
          "53350106867715184782577586658371834799905012575100349124926187775605995277718829174913126254380854756874757315072832829206587288760882915166378502596988937749129650946814571313600"
        ],
        [
          68,
          "-15670006039277670866312510950083443357494705687954778046627543317262224834817201759052477249786630990767278061156341546613206828052801633065843745434794322698344525185648335867200"
        ],
        [
          69,
          "4529920415902483949771649103224899143317557652424774383623130858068780197461069777385104322920103177209735490527532161378404848050333245502173113927728914872059547846448920603200"
        ],
        [
          70,
          "-1288418801196130646189986454831239785484830984788717614215373546385022793178438757823215611353702702217671005270723652496011596657338664825664286489239731469762598705413044124800"
        ],
        [
          71,
          "360440038852386193674834057668412375291047264063811984196207025055116308150767840902188720791410149250707510423423788336247662077927606928643206811503721021835004596924220643200"
        ],
        [
          72,
          "-99149149500090069750514131664916520652975689372608395145749758296368860764447707708012958817971428746002697353192581319966337291062349365960294292719387883698299906206178260480"
        ],
        [
          73,
          "26810244437020972892521393332942953315384930497502726075137327616637674456795758349709776452851009421327024393516307087330481451996455826828397535173204175270906305362437444480"
        ],
        [
          74,
          "-7124408582316159798088019162481426311652328474655843539993501616520735857322036182186600544423868255135424789910526471354782097218859750544740181627189366437473024914083152000"
        ],
        [
          75,
          "1860019735656696998366679304547150614066228481510501516712922472668020488909631782139345726120996341702425492453838369031761967768992025589697670572502573181586682665059848000"
        ],
        [
          76,
          "-476974079235164113290301446507706477705171853554154157909033398850430666905479487167443699332508482992314844778053655631066706492584577775436416749553186146458488198854952000"
        ],
        [
          77,
          "120107774918304933952127752185102334182409253036651271863073793579891488601772208816251534966925428199950970299451760917108077900560212396690880441363781052322305639631001280"
        ],
        [
          78,
          "-29692004576410411823010004388346045372498457562915661998447005029264113293431465667345413416910357423353891553940710817212259498094189049685711808013441085984285769334209280"
        ],
        [
          79,
          "7204349061772111671023780458916436087360978796691920082199373245859976178009290636126829529589074977689311297922489098785715075143165926220756734426432326845418319261695200"
        ],
        [
          80,
          "-1715271942582428590166782162082460845859652625457837613221818899446494514309603886864070536363094880786407249086437125739232324989422494256340391820689310007307264425952800"
        ],
        [
          81,
          "400637320552096294533793294089642540647587332872058533447710239205277224379639360271196949738924429890491921359196934755992723250873586083279766259416731342667888914655200"
        ],
        [
          82,
          "-91779945051280257735098987246049853239165004951956515968890712564917570404413685394024013036400304017167372000307265622474095754806124871839406325009985790436361779993600"
        ],
        [
          83,
          "20616750123149365456130691745692885123568535319095116851064874594021998561078836820345829838824412065839278108773147115045012692112164610258763770688989551797220954376000"
        ],
        [
          84,
          "-4540112600776217331134371318041139943156626325668279095770982969458440655311517839271013031916470219925482252791547911114785810667016425205526311027462413157140797956800"
        ],
        [
          85,
          "979906494236794674694059624769834525852903021202528387726764219598866915280687452502372776570662809353907501159839606337308471543878798453458745806321506696924298155200"
        ],
        [
          86,
          "-207238837356131525603946894469071082661729986744477493894607652353340676428444643249827450734977009127354775458676547538924562441262445602155294500464919745412030236800"
        ],
        [
          87,
          "42936049835592862736467636844612882840422148623624912573893654446584874594227297469475266699345787145185139259464065631027177522651421860148305393042656927562045272480"
        ],
        [
          88,
          "-8712286099998350755537587510062638836251679428602340254672502797411995669917946207642528052194041844284633414258731409119209772286815159472359311393335227244487206880"
        ],
        [
          89,
          "1730989468847494787114244069514207181168378877092433001706339546957355975379834641712352030672497830636042954695018893400363997614290759329219471756871663497529562400"
        ],
        [
          90,
          "-336666839070605269752092167723923570870592916528272057428365082919326182793773397553319955447512181956496019163276541384664872440012409908598248973311606368489593600"
        ],
        [
          91,
          "64082462421187866028189361390196428572409677155529856748187443969520906666077536634558752901727618645870153712964397599276574861095120628717838449168083206704022400"
        ],
        [
          92,
          "-11934328389174103928218251948360945876917293620247845914177271348409118606484105574026100085381399434228795782748020362489703142530940154099242098957099581597116800"
        ],
        [
          93,
          "2174008108862526527495607703678830163180651635645374074568260842838276122193908834938966488818417983837486002771345933512777662986811883725657625599642613062505600"
        ],
        [
          94,
          "-387266857563690516682957205452125353074833758838129590735045250375220827312224037707752509941633445574639098830372507869148835505087820235673373906502419359065600"
        ],
        [
          95,
          "67441002637181531243204011364727917371066536730085447628262799785250250122096045907431022708480490016501132716922086006917776194867239883481967917494964100158400"
        ],
        [
          96,
          "-11478294771927893657929502575083822474648325937033840157583465447481826993498363156957308830013664673125860119770709896698131099728585211277541008637670342785600"
        ],
        [
          97,
          "1908718606387850015599184668657097957220281489011708247463736853712093443747210486900016712282635286421940962418270466562526427852581269873739004984774457804736"
        ],
        [
          98,
          "-310016776260791273050561696329167528198192752590804329293992155003039263070933472024000333594499919991547663267928667638830639705764822369234217215567577760256"
        ],
        [
          99,
          "49166646217963599307675761162274264448558307176420789091735153421602892362683278457599998245961972710185151982328798029430380602108932699133039652312984013440"
        ],
        [
          100,
          "-7611265536360477171507920788867603622011182409989520394192334782281286518959367844431958462158326998029966510822709092190885338531115557411012344279875852160"
        ],
        [
          101,
          "1149735619692091371869827260854871901897915568460583982740291444825995454016617789177620914544599738353736239013794095557758362149228179183012284981954733440"
        ],
        [
          102,
          "-169411398061249615997184929185977474610318058769192405955595550349637952340487566703671789215617077909500241124440330379902488408363557046395433757460257536"
        ],
        [
          103,
          "24340747331617442970477389614365177562015316053797773868125009571292931525769519725979063688828747960365876055970571022368304382906508328431267977219115216"
        ],
        [
          104,
          "-3408858438953603465804029056567359625125737718884899752752621704976076244594661276567201185079794114171734005309276361672782230167651814598387352617354800"
        ],
        [
          105,
          "465155907025351810752418854668308666812901567631558933380244190953336607034361298048752635730358346548451278109075073609740400921228168927189886918877200"
        ],
        [
          106,
          "-61819647967929625241021129221285981366169953217658259044656234748430877140664726253973231081315113568399221100821147264470588466117661674470203252804800"
        ],
        [
          107,
          "7998517612139741044654546459647052319348355336471760807461594495349246719108500840270537829517406930752166479220537546674536837698854918443898081115040"
        ],
        [
          108,
          "-1007062015370171388820796115255758714589749841642327278834886608323486837240727605897685864013115765878506726883515407142220560736006412904652997671840"
        ],
        [
          109,
          "123329510235532878674628411387939004646499676153775102260075070494904575383330547411430034787683815040921954361024840715980458617581649773638769096800"
        ],
        [
          110,
          "-14683623255818135682969666683938934462970244150496310427959719156009711484887110199401775930163827330672716779873923497996025616728877739532613715200"
        ],
        [
          111,
          "1698777877845075996764346014129317627182055764384258617690098654547149181684713119475490182221377511167639687457649616485443452875645614234224686800"
        ],
        [
          112,
          "-190874730125460439917201557372387098000922858464390274550504469038511102424153902363372232633652575733029548489923623585758945510767790405329540912"
        ],
        [
          113,
          "20817517803122331094426363885743829476711805755469065183979175001375258614010090654861883764762933248423599609672574803373329614005975356552778832"
        ],
        [
          114,
          "-2202552753962629201278432219736515621948998994188328679524040446928097524979824910908898802111485054978164912376151447010430733590872911535082880"
        ],
        [
          115,
          "225930997564815072415557028356241671625174000934729830101946161985848197975512420311641486081925381053872407093374893613181772151810600692444320"
        ],
        [
          116,
          "-22454259617559062135329807332766722970997778578288660570079533713949736550926994083057567167856241252372182434502151147182921386663747907974880"
        ],
        [
          117,
          "2160733784498798557147124127797383900217697596643566667570620419178284335717616558601593718630958442210084039809259973899554201725496080208480"
        ],
        [
          118,
          "-201174624842216401602415563350744478080115217432058463143389754413885770632350637532802827014599400245958363758461314939017757925817626267840"
        ],
        [
          119,
          "18108671416944770589308358293206624050914678678276400931673782011321566636229146423778326008093375563424931039362046078264423602374877391520"
        ],
        [
          120,
          "-1574686567096474337811360443169150710015951676686204269598730364837856898319024726911601589726593322880217820192847738308214355917120869280"
        ],
        [
          121,
          "132168331433658142288516047610268245310878172323205847756704880746177125350297470187593051602417782226144325438476117168773152529275615520"
        ],
        [
          122,
          "-10697812753631964577192237601275120622307656496718116647159048976649346866599521677856768152143242232750600259885311954443043390902365248"
        ],
        [
          123,
          "834219161740738119851268269911310844986329436697665715312362993528352215965279861943404170355153601892931194451920413151163128507356448"
        ],
        [
          124,
          "-62609240088375222800984315084221195967354748297890935129212830760040289743899707565341028458787239744258888474436396481648416145572000"
        ],
        [
          125,
          "4517464204795926337758627149656165143080697592941499226956300676786804951295423948860945059373352356413191230429904906055968627660000"
        ],
        [
          126,
          "-312996944481008655926597008944763915155259499535142972148773043016792178244763196040173641952131628611805753405397602068952117872000"
        ],
        [
          127,
          "20798312394344826203287217388582333820677772233204363113162391862834682066568131712525229558614625361377131596408226692396320975248"
        ],
        [
          128,
          "-1323641702783369291397776633467784977757028117761371039518290323063498759688721159303754987530392418412942140890406837542615256048"
        ],
        [
          129,
          "80562348545018923952586834364883113414900220197921239354988798935882032746905282748769777861210283040148591670185043500366597520"
        ],
        [
          130,
          "-4681937815285431182635887035669720788988454278095706943842944631566430825157711556744939752957085645520247232364152022059217280"
        ],
        [
          131,
          "259360802516201956687980872766039441468154969811525736936015001589395252578978757367658779771285589424186580418413436885623520"
        ],
        [
          132,
          "-13669557694491604348968900266211422619348953737447504728150217846752315758998948782132854671766455458502567518361862076270240"
        ],
        [
          133,
          "684046753989162144726602698523354968358270130243161989383672857713737372501326974648883589707310438938478788866554077486880"
        ],
        [
          134,
          "-32428019807173456764067584022358055849524266959119066018974293750235730422582601911607173501380627626616224822650113698880"
        ],
        [
          135,
          "1452711379261861506495232793321868578740563608255662579743225032760563601928904447900597819891279637820491531295549780320"
        ],
        [
          136,
          "-61328997177320667708288730151922990675803860187318160881314021539491638000560306600517714439785079000806042035986006880"
        ],
        [
          137,
          "2432459258750909553677668863274396865305961779927971645697006761534770952093382614355888966338529891581005647597205472"
        ],
        [
          138,
          "-90327747574535046909128242179720554987086188693052520897266684181168378378783038450727100093033774847708870649429952"
        ],
        [
          139,
          "3128246443335814890013033678131192032535594889079667956807963204439137717594231140681514136837434316647129317682400"
        ],
        [
          140,
          "-100590849105385095506410175497253557171235751705767591579459072853500194781268929203861628950659123781197470133600"
        ],
        [
          141,
          "2987998148796013086497035861033148743101210410723791560051474963227375529546255565101826618780556044727122682400"
        ],
        [
          142,
          "-81507418861956014954471079422600110915576637893680945494277881316284894843503243466984770985594188990201107840"
        ],
        [
          143,
          "2027638433556189775543884725725358016996364966855233754960435091189980489055715884051304723583708592626020240"
        ],
        [
          144,
          "-45620953673955225740457387520290109612592227238359392931538891646749510861339687969142299017000094218633200"
        ],
        [
          145,
          "919098158365641841507604616299071659163903632164083352734367385624104757604558079594715911407011724534800"
        ],
        [
          146,
          "-16375557881672221874154879023580321747227754344984185716172699174293015904408601538209543707489407763200"
        ],
        [
          147,
          "254001077761428266634670551650793847767329904008376551539506433655075969931213436940841714233118871776"
        ],
        [
          148,
          "-3359954535673164858587767650629790744375953279813178715788952706039475783422689322538631674820344096"
        ],
        [
          149,
          "36852176123164653848788189679531648976000683733557812423594115837933351601577046627596599322609440"
        ],
        [
          150,
          "-321739180295450605246292675106649497573371871675810164334276878578928146027995366833939298356160"
        ],
        [
          151,
          "2096211230865462843124997869951622231568453615566453156659547552162306387360894826231667639440"
        ],
        [
          152,
          "-9059657916481700693894027814343598701396220301788865249666178491266535241765212075278487216"
        ],
        [
          153,
          "19480646559891247154271716787990536050776399277866670716320368474546423525543131285327696"
        ]
      ],
      "constant_factor_copies": "221126078316971417978566778417380917818419719111159242168822930807069399650470284174242751507775330227422388354995595979246150747092772153699656789181491684638644563071379481374772547236755308905853963027316574243469427001165940715540251838561449417799095454756812698989872631783826322623663376508206346595971925994839960818175662692212968746052505604612955128382634082439799092310930368227027118646669129064011608814782976",
      "two_term_factor_lag_and_signed_copy_count": [
        [
          1,
          "29419320053597115074396217871688049012171358737846930580108096934358432920161116958661919069052175656266171266974009066297924900390505118358756888856565307323797178480743906339072402101053891274477277051082542128518297397331170477707378967354635193832379594132790364921075682316665786767878230841733738902653935131856507841189518786983544165706940806407852462609041393729451165939786238634823315085447195648"
        ],
        [
          2,
          "-28722212792335587937162607964139718298313541647117440659487487028985385058254497607177130783462988036911601732758137126414969346404086927706762660402153529699330784117164512700519607856634603430539094771128799416724080841478737003162298433000197505381348155020780727664166804952878499274334945577758231113497530261720149794152469571805176689176839142071005630453110753757176472533339922412746484884211366400"
        ],
        [
          3,
          "27596859350315026920076211977462487323756632611396050780010656378616934751882372208718058631261284963613583426144230745432509567651609348451013001184808871142586861632546845521999351123850542480483571401361639325433445380672234511285723510174657547757749476189149913445203684035549591883183171744752240395024358829466462819276478214131062828220687403472841019053076526058620197503417593119600905233846681600"
        ],
        [
          4,
          "-26095006665738087367626611652793392613609593576976779466377399775097669932285578796209388947470354137637008404599064948028144274654153670443959053962640269944446557883379472249698640193609163143997247289571942236699306198966653143138130013177218934707912234977774849313195337857962490728653024431912974105735525996509266794765061416902730131541631288507554815111062463024217289103450855539002862978350166016"
        ],
        [
          5,
          "24283452602185610691728390185317586063533336071538132330654064149598003164786941265958368797668850352131811757318943339078039618203357345192734115423205983301725681160617467492703813780669449073061704758324757193043893417505318358446950272880031229077349623443731840850756029777524573123531505486646717354928338776091500843085616934913956057753474554179338944130524969150120336035801650710486029346856108032"
        ],
        [
          6,
          "-22239130745701758052958156127165348769719778804721118325932714712629749263013258778139223639372210539442176325473672225231425201277424209594294570471892412574069621290679550816514654199024335567721467396020680959110611602027133538450546348378538085795573676332764687346369156109298033092467594034955126922684060908014283995699307500768228765145750106170599740165389432278385470605004972997256625016180304896"
        ],
        [
          7,
          "20043724004319720924671011689912424016682169237162995069285957677869842954077448518113719012328956602958282920709468440543871581902792470030916104699615929328914863370832613634560974438007813310020840220089036923107469756966260016925032308675369777379975576196878085181744763437344465729545632269847993440547787873369513927721985513589238632375569324719861690867904963066469779775262562265718316923871692800"
        ],
        [
          8,
          "-17778328865046381288826790913256075689748014987630964628981718017946710830453520813344181881248296064495543215860678470228572957829643137224449327457112360049764059209441390447943637411179228501830384494492405959280542900477283348570161631163184553130854484669132758079060742871246779146521344981872513085491654549613474670323280493604905088029145681774321895838209457175453482350642661562120912079611827200"
        ],
        [
          9,
          "15518647259611902510269728300946408493944152273408754205560152148949197210781554322285552910496597518502289298673192193070770899529041316708520916889812809514059531823145406154242901786331461757990592854925661127423217979395456051509746515185531596087034911621784290930550663078372773006925224645893886138189838214150289394732838655636525651232325342414540443580990009464897824580411560777568207461981054976"
        ],
        [
          10,
          "-13331084789634759430380302732785685134205813426544762800888837702932884518531540879995654755264960462239094792282113612857611128296923886036342362665013607698718852304530068940946545097179796275203950924181501232062975503354426799350648526400311216127450860263811307839638052640194832697487972051482479352658881417420700486849903362427086835037219987840506933229386542053212057195346488632130751361448440832"
        ],
        [
          11,
          "11270000477666397429671158583725099610543907690587612679436344133935945908964471844477303462767636041802033590341486769779852481813853382438112758266035336326104855503563034538743216459515942523704159691204103282832599936680333386398780074916787974656883702197833224910116428976569279109894559129861895859304030460635322037917022157071422995598457580994547846485439108138562703289522364941910859524764020736"
        ],
        [
          12,
          "-9376205638302084099853233979598331985861695313226001877633361102111462698492248669170908477544373070203484150761120157797421573641119193799987650171406515444999054344040838866250910670802852917960852788433809350238640896479634920261102657745407104267326103325582801820453766685475063988204404585280956479196847733746563293537593057470177497550579077388418760661538623503561370871047021019027851878138521600"
        ],
        [
          13,
          "7676668971948087062157485774644635314940499592426862613982000864538318868793323445806669425585388242260742328120012143245194502902903938964644862848854390376407762351333047534077202039394503817727547378603329302875248074465147524704411455997318642220633737675069112551580302713467784769395706207163695299461120287825034802059845684848703163783622071665411200991377220362040961698220916884400265682995302400"
        ],
        [
          14,
          "-6185268984326993865978495068279192337088999020068796725748686670711891844532170052127945053338496030835593856756703781036191552656553505274268828374796606593174338094973386507755021872838416170069509931047780190578132916049519296482681239118604867769360995621494965497886549640015546039488791316666277016746502637453656245249877402989426099249488833323429868582389141053178450840766799411399809333585140736"
        ],
        [
          15,
          "4904354798626805649272248764031271983654446894791942674563751757084862821564570350784337221101413679561034382525526222448827244264428006010889850044433476074223223006804533670892754552172616676953329619201105833564118515020960381635527676370334737405031616662932322429523900774825197359877775349967620408303743139944054055634625061155455482188039212099695210773701078285880959992347634289193834908646725632"
        ],
        [
          16,
          "-3826836939167164074810918330610559698900575777856726013361796599149083698908880806169763180728976497910024893054781884698453410412810387681883513401521780026520902017421615197559853572188292093201485009358742134395820367685024557488433793663908580569493572884463243146813376060982309698405405796428900714401265040614967816021176218818048049977839146418034462995607745558766601736384099150261712476238949376"
        ],
        [
          17,
          "2938528796460582874425897637584480932374673518672359643371642420359100781649546327625228200107004142946224535564425609575464776192584619835015700743522304082865108585796942051581697392983982283637584895277366091119315736105798201167987102510022139731702168606336971407364068861524328626482153621724168951434824724207696146508437769640169970157193376276434782342255243974605557321588807252710045691268864000"
        ],
        [
          18,
          "-2220490205570409863651273751590411369440536161407409435057354345790178533702219758647826689441849296385667793908278848411758816075529267951324646800991784900476725174050974257212357772082172361762004414660037253267771632595481340707557208590918192303975708307469970744563509162819520444079997523624420545262489341325096281148452755425616205260042052491776705175316498104316126202725836579215400479028096000"
        ],
        [
          19,
          "1651176777309582620325435120394980114400953995043380964683422154542451112756834953909157523128549204611428463467624839849803763277858207504877657013713025151763805086210986552997921046103326736102109938495069314920745439398859744926734189840207709300386601546414132474408447164254432707820630766470174902294433404841964316702089321304452540355142851383753923423224590054162612592454885085085950870207901696"
        ],
        [
          20,
          "-1208261283079226459039739969266672588634854575675339944303975966325364787359815499559492524887619447457131139197739308481062568044237703271680578402814341175251055137740816650307796508909587023532861389937754835772788721676575102597945711352193589155051112995192828696770200917974218065847062942057312062902225749365881043618364347177151985219015521004569394333911649133410569513399432587409760560180549632"
        ],
        [
          21,
          "870056418579950367744956532249429955888407358338685553537387767025494418521443638270799760995419043370825524471746046720972686379387703011816235105958452965004781766186766500277920678364941095431469719775643070930342887236236246176404892622956218432640779582187676575535178676710548558883318096954960423407558865175205115240816860567761962240167494627972663344568771387876910590612591498142994548044681216"
        ],
        [
          22,
          "-616523821665979520666215438263359571795509841188106172208755959353657212854455978336856212441670399976446122889635368751196902201831888686945498771149380414261900001037444857541665486358249376103994526294633311511984766305250068189866784407808137875431818323241596897844662906099828547092114910111582850874818066229784552439287700968227687365914888783883694952279800092886770044918632393895685797069900800"
        ],
        [
          23,
          "429897355760927027144661152304134994418510847311306729819850209880156368317797509391612725462182246545435672032086578830321610378204516783257789546887549538523183909268584739011589830899295323630192664235010003331659621785989533431940161794575900050249534685180563440826073219303185718174978253716281963850211115017850772248883188525899434854432224628714315136001724266471657258636752771039862467334707200"
        ],
        [
          24,
          "-294977372052200994518974556648183579388279641974580472050876869222970969045640149528508265582607447572305899618252991453543238881565599883851040325355254955336405401154465682886666952186713265505006121913250961690892239058904533654301202754638774887311122797757109915601033259378527738647886353858963368038230057579205778122775345366656060494531828122787115944027787163831912711340551741673153809155501056"
        ],
        [
          25,
          "199167375622095105331813802471282012520325181800406870264319909060894571941804292741182785556715847783309961530597299315786986744866776962893403891171923460812853914272022106624406048390274782788641173059386809634989366695619245579546801485956266049530628414697803380801155369169796564365464237880004999122017319539426778002859601455180029510622440091564378342726054363300659790938296386463415259051128832"
        ],
        [
          26,
          "-132327423707470444096679294116295283656084991037077307139815804206354402780164308630875026184553442262620761320848426889767000600700453455219473540926126093383814697047535597099579520362439006882745928403929743567005098807082999784614322889909748292122254588484202910508978330237142174655207210769551979502683322474806454955665494743454975604217181633126616975790986499189518872825017399392094320916755456"
        ],
        [
          27,
          "86512791808487144835170408922913162482019772837413328164023794902074881379906585250752175385956110197470905854543481013088015952339402839085646168300370028106173441987906715351881557081453646395028528993630529716741000478934399142753802537373800765268771819191569380430245557776691515602374047146950653506430826051469569700316171320256231455993156831924705024472242530189541437966602812932789176900403200"
        ],
        [
          28,
          "-55655280146335637403819348671457281444020501267679072047723138555583443216371566911085558526977528695547824762624885236382044875311876174029840829310540625992402305968266913205322473027994311823323179011520388241006816321235757487044387580198717092970553323292167107880411911011342501185930158607590534592303803255560020037976730476135508127785200174353280845535904477270628407083929386918367764585164800"
        ],
        [
          29,
          "35230995065869926826487283460501611527097981658747412110916322839984443690932994027396097955258606839570019154173956952561011230265658106428704969322227632060375389276115451566882498957830918229400799116003685032533249468123439331772738296735993764047062487499003942293559034886308325541660539087582103199588328999115005559649112592044474534153968110994684728028935959792905511159611270349498706574114816"
        ],
        [
          30,
          "-21944872020788667415288666296699724000591710723591688493094899250340923707783595986093276822126264593520024326896692565712305333916328816059363055331069491518822884550806736239576920926096733932070871862353626081150574750891659072409215620791470193127639065845621235084110993029460061368206980115563450652900399075043582153926109861899730160889495764604215410366357564818796506579156836771921735756421632"
        ],
        [
          31,
          "13450182484582802566204306828385405668207568379082008373277519971152813267699842368073640102977421766758374548464899646812948170402267316781091986048508664786395803450885011133233580585898817260526839873450155053182611824396098920404581147001730347121537736043966489439818175726087837476902242707738375036537734527290508042620459937700582784649764323040332363516548280181968417943429527614417045887364096"
        ],
        [
          32,
          "-8111627163377618517175949494568181009230433113866721604355625148136224076315790813558887324178983490931262201167362846245095935632326735531496805603044077237308189370928328543428846504881271156942692407163990172185480843431561744153312830617157613498976041440042658726439782871214645360208019680524775918369530255957334496401858993102919931413920065452266573825453312912270383754449139043359741445312000"
        ],
        [
          33,
          "4813606239503024787872262705843991003450383452050126313956921153861729064223096636949870269270356668098745500403494094904227055354264409742548397944189079754117033864270937925227699028095319502529292403751951642811249529513502798337209747834168681035881790932645587301436023903497557022427000047108535663683169355470799116020580234464210889714945946486970335925004102594958550115348424306553877523328000"
        ],
        [
          34,
          "-2810700017006948904541657156544804872999196767271446178754605346288213084997556880434371758207183686942042942297516820692164510174178080591530320896300624354182982680556735846354824928709345494308667484407616083542721499308549672212875248478267493044536371045488971242678763559783737724908773359546317101720589516989129116714877775939042279949967802029330151678707237633497049036516783341421076581689856"
        ],
        [
          35,
          "1614875110546845071043873892549897845234460498397339481176293211952129304148209356954163800307044998639584793944143573485829200878368859399483110854748422862374228598318524293754288629063089531007421347659993128995898599985635000814995516694420938925768079238609216269248486032660730260347024030797345173877512658370396865956074906926600462878880258570821668423299392056161787091360626296630764822945792"
        ],
        [
          36,
          "-912943157228740118440898933127505746079438988160694641648399446495058341835196551734106021318808402934792809639296657191567013701885576753985024567452279999360260417694875766077572365523632613951346887506027408328615436427417676391996684963859421144962434650749319964653476962413995661692198666503457464601801671866032204181409197076012469789989076053882985270446134530292418186939503530680843271970816"
        ],
        [
          37,
          "507843082286767291155783871346031302798496296727015687409338673152720923924761935084618010081662817138699923993383508437018685909588984798710605868061206760558547999634790410435526835391151394821383074641824887870688586561741294825628424155134914649209398228419664224132992938781998064747801355085404079112454464988141550743589789711351718771710049996318935980682375101555916569359198037541523214950400"
        ],
        [
          38,
          "-277970020677149526489162780278963882012933312178406988948320719424795209708951685191683199386368062785882600774904553900600063493170034923569742271490586179285659046637146750246852276728269503314565445661334452180359925625562064592771162717735726524968527024274683102359756421448072287993422231533650332397762088983728871725712382651337390660497645575202120134288017964957128685190105622428476531993600"
        ],
        [
          39,
          "149710313692500500367651558406288046399102241353075654068776055350383881331546439381840952887728628919234403403474031766684726776470161388011544733137853762630648473155753449451056800718932064900192511756716333485062939555003567224540050699134345676396265383584361424163170331190758602618000325168106357082116211315339993209293375518657260077071322850838624882739533799020457001379236966137299711420416"
        ],
        [
          40,
          "-79340486161564496491314074077089022153347694490540592929381392343821945216253933804986789216913605461621745861640774021069108308871593758335598834594688709194343876015643151973933676305269807878400255531874103336307535168045520972221003518765400591634502990913654784475136719657915049608634677336513345873477508184533704901559569287808055552274542680217425200489492306361661028498916446146750471201792"
        ],
        [
          41,
          "41374515883057267129008781310739419402383275777691267829174486997087412920532044177368495115050230092739201181649803528258116084329819955798369057280065149178314558759494951358373716482115653149897684916909316623845882040719647595934671393293779716395746534386449041876276473320445093784423086661016693164468512725753047825090575622113020018369556350851838710723033444152622906457576038931618973894656"
        ],
        [
          42,
          "-21231136778571794680561643280447401702187746501663566443017049548599473586916428691631724159030439293151867264285800061140481948135899633870876182361709504636610402762041867888918208487689935411417431977228057702091274361387101469492623910285717958782840032498500636251546844359845450286674010495945164015506996147587286108434713032921472377051860739560489439761162836276993963133051022641453812659200"
        ],
        [
          43,
          "10720750887275496041431822962384157866046458141641351993015287655279486985592868551913893807191547234748887932097937334354381397385166928237313549464366912892841560526573392308931483084418846370466277058113550276363711887350354910756180681694565642143288842629723618558490089183066789064728625094403595106417988594152973663152843670876703223017670261955811838605226367786512710158711645638546802380800"
        ],
        [
          44,
          "-5327219052815865473298796819257269682099004220796132940448871214203152772822234901148054647584069897426991498366175410225125858527176990781393288963927278303095327725791958698152086796731915090245029170205954807811529921932190957890601335317502961284541551636504049435456512355564515709699742093038748836673086471572634440298071201849095242965268260724540048605107654962371906333872264717300400183296"
        ],
        [
          45,
          "2605036550293006267465365258869378276462281861825025469849812393450001524267699938213327941710595969767246280510037028400698718446898478664929140210151002224274539057856988049555249384861007487451774353243892835302592139853328250163277780541582144573046424681227603254507368838125998461179586957685900016430401033228604602271235108979597865342428906843121528851538701095965332014207020584652966981632"
        ],
        [
          46,
          "-1253668521573994097529313616507913934966495247251867602140937922148281062024098256419437911841123340908648736546851775384151137899067958196287877985274796793062841944888824133346467112404687448131378454960316399060913620720206545997876252057174663386159044153588084437124131816176802011584304401640541360325252597709493785891956355830934883565528219458226655909128081744208147576590595129525963209216"
        ],
        [
          47,
          "593784252758975909494121887601891657307828063744666339103769252086563022094828079118437106264908528504069822799503403983741911081917924619211918991371359786598567334208630413019325001419196779959123518989820771318364942960105026119894588333475726836064933434720250912836365050702921673629318246221651406258289534951521873777819022420408819515486724444353921783835364697775511046750820282982100761600"
        ],
        [
          48,
          "-276807204033771164470048894155349907153118492089255446132833734909201614344409972417289046273756921391380656698823707865799039601357333061053030404014290831651467848659590393066261270515297780944081327161030753190735051578063260535223077777283793762422735100072470215371077841960993396975216393008143466890831770161923535044633159476059925147385974205188650854194008614333064280055548856801842726400"
        ],
        [
          49,
          "127016318086952015973538056151276680296151353872564752213666182588221802557844433261909406441517676665757994776424909900750577227337068016339805955425865206105218944259883726035623674884354392573192104595858813365208239757834914326543588325098960850811160840446572694986065998857197513862676894158938979734641928236107221074767890934364247637299848602274093236484440487334116385368852544730887740416"
        ],
        [
          50,
          "-57373515294638806618041420308985297970920416997506935610128143615256122020220222182103924360334284587496873829662803325756759830876278859132898270489375151589385161824881125799870068232863781348171782104710045385669803564415535716323073842964569789337215679585312816039368821224443855459190340786204374183102757605743886081513258970346304199276575888233179843104087346997072755718786316452509962752"
        ],
        [
          51,
          "25513863656768445090701155198165802563220934681687069412914621873417672937816045546265599671254405825005380448736864045275515783703242009184731330290098221780722834836448712014593096102135744240048175092457593677601449252595704540550250060936019139019891266211801546900520085070759132633477235714047580249914995727810325668072993358050316903264487787096417256525494985435367276904774592773013897216"
        ],
        [
          52,
          "-11171320430865484269192649886911052293770414946756688760647041717152820401136986630206800170732996894476327859181105782946720024782182586250647734874383213386471405152623775930666667465865037398509165151873821478506726702495871204020082061050946848191903399383793119434111633945019368175754288872730201946386056244360777969688450393791519576185260269118648400678169047903299352991504231337985638400"
        ],
        [
          53,
          "4816768997174648954465084848460499890717020835160185841702908492100547567700027891436803722225974991947752133960492549265111949386078913956063525708489352411891583969207259500252116774080129120843462818349832792787033084566402053294701152967862343307479556698967406507539208200859952306320440702163089258321177241048586304320714828349056186372446382038342877007360828774247603492060488239913369600"
        ],
        [
          54,
          "-2045501888154120282667846026603270465187964975825278860885523594164758447671619615062805903498295200209150188073745893394063802395480181380960476086440415797563811448382207046666945445416674861293576707965379234340353393164332757188215861556456426737025717437271978504714868586163995896344435386729876928257866041415409194998183592642264876268109700519126208687955486208734650602883211991623254016"
        ],
        [
          55,
          "855693397107735314492537481485346434276521524472859056946587649033170028488756002774093046367812794753514364067738276935483129802370924004849356213250809382406178156655861939187772284353416409044017747499354474148488675746475612188767637060214733193134758973680941263249598511862970664944765389785932806539412858748105382624470010407102819176976420954222284890187337856833169463713122369993080832"
        ],
        [
          56,
          "-352700183262992630655586246876164631004352232605126566232542810703710944555939077109612637238724100395518298243642957944273773511979327902600267570737680367023463442972029799047687249755673850604611398725990448632730741238634940633212262421208090466045412493168940109753826426339777577446804673408803698356007941981408663626576414152998554599945217928862465571515027568828438811120326337697693696"
        ],
        [
          57,
          "143275803341769915012434962122184881911448295157983121896973189662770401316885197480026480819645247808438776777255855059465845813025214163041653762186855237467979603968714556030142906307754791947398220453224652104342998171233938589911846666774652418227009604947496939044262939172327023096017670508628945286347108990629365635882682545530653321672572720072397829534913075874053149547710931934412800"
        ],
        [
          58,
          "-57378316758867144662972397581453310807870614743547671374136586200980898706276937078492251959455735469523228246174419160455842879105598886643817193902689298066957061134031355062582871044120809214545596811517347317026406996594829034008319698604442231898248699300309631487907584006496787206024496605974364240609626672982570884716621172421153033867829998356834384379341565824950390143372276103987200"
        ],
        [
          59,
          "22660982400271798727203598084496436139226680433921224341200261256875706092549277380317385199767848503309548550370630380314960208822711623655821171285016115675520590687129614239425304783717822159032654813306948801342970076294935706415427214304304698590164412100562444908348156892202507703320240013494978293089800661524609525544037622864220520120898173088754409903353493981431019670770552693129216"
        ],
        [
          60,
          "-8829507701886478958313139104219005215263969162064737170765061942044358754698348564217820516006181819917105637363951634165455755814832631892254284089907392563143324819220818280761210702441404272693205785961931612756862123252158379308907453270668571215997511416573729701030256186151671676142491709345281355095546660751791631626811768029688778611979308054369632803214800564832170315792188770189312"
        ],
        [
          61,
          "3395605890394031984267006209449883865262791101135579129653697646097151197585211312945947229841770316766952660137625690953392786808764187073049312895628635771006098428968252343896502981799075611431181907489847186870022786205117245686454585228441902665944956122871204716935649804305136634893541479978945503223470642591866391304273749808441175604821144429911213639020063592733367985412159208882176"
        ],
        [
          62,
          "-1289571382205578635575680270966856564308938864936523080594321225143592985829565532912411134323636260104375782168078054334400249443062214373589563105238379776766956272508119019759808996193673890253972961920718700625716731010324841187990202726558337291479974548325423506379893334942241007632053739536432596565852015561354551011385577945276160597155529587163822455379169960579604323037052467609600"
        ],
        [
          63,
          "483922458523068813435648595350727883406949771704469687972177873715643347256547500135110598752118700961986861723161314546151954806527431723633664864086231101169762147344912676566295615758199679291870097755225487882173503713004389290404869278778729804419523659470792329559926466956149135957318735838926253243711375203838086823540828615906826729097294186568032418483727543655301252807542441574400"
        ],
        [
          64,
          "-179554517265039167846548911025217301552150658863425903645280969339207514456564163866728277371877128851866783967119989422467945719355656418963762517562725305805058992370341197997024481038815107454918412923592428011104824787064418871194657261329090958936216983044364437620768022531918303979969273561226658551519703844719784423377198097959553877126623550960041930954417169066060636975355183333376"
        ],
        [
          65,
          "65921863855318524991586001825812178848489184687454957184525329160661227804321595128074448598165777425450427063176932074886467444915128602709847107094785219689682447258796114207376976583331727162212827602128674606308631251867459202338028737791753815939671182888665033400842552471670957555092725183737750778951474684002486259133342049577153013924603397026506372354190502200959927120079684698112"
        ],
        [
          66,
          "-23968053820952244858132447887371079815110176197061958921498294624128889317555535187656732246708255026620465370835384876583624697070597942290892620787774020760666086789223702112451813136264845659857054321183247205926770688405078347227701170216988858021817818367702212437169833834865113674884412662759504670680302568577677983163339401323894463351149051026711203264859419249739450446249841852416"
        ],
        [
          67,
          "8637700146263878571380465748226298062024152000391496304417810482635131386339546957433774345376030276206020398416068064354178295368387840989541198336887455697929010942343056554835968143722543402505761740400147681570150844306403337497317947608886314931278796877229522249921729291953342607846985549053761099323442057991523817596963452920207316610917229219209296714709641700786163131544297472000"
        ],
        [
          68,
          "-3088510656985171639357285371420633193459556219700508635536762551634472175179648205982486863444434293788656338580020398352650482292419590103528481151930433018950267081065872820036946501326889637876849940005439932169468237916046508015258809580148227819111296060891288019009901602723315524633514440271031479275491229442876285596765747374127096154771213188221655054756374725271355439444881408000"
        ],
        [
          69,
          "1096821532225313879199733071149115982018170445735431963549037932505305679563470499240139614237869106459127557272230567766717600094501995352588534946008460793316567619610635012974724641395028460705411120155751504251546646101583971991486266180360520079544049126709078463960598063448466285294826513421767828959790130371312823299503014280586289437124922418419919764965765299320676921488932929536"
        ],
        [
          70,
          "-387282691861076910740987409458192522795893218839031695807592884760140075158690028556099730908213979026865933255335558850713557078926494348633716741886832544959786757345419936874864447685093257265934670733698638068024006649930926099213874658725725491174593992897129233107397304070190710082057857305632349477906435840874221896583432665274925575160110248042745503136589924945005692424832499712"
        ],
        [
          71,
          "136114295824366105303670126368840732043476083055203270439409398033606227167303833095568581424697046901128430950356634378203034826571810226132832160751470491388641456160756700703329151974629647783976710386385888683930044924054079998997279095149158503705926382380478602838514393268488370520869915959160037720968077389318728236913319222358043254884044001297077905679031279067504853495356358656"
        ],
        [
          72,
          "-47669161907979700309689517908191385324958709171684733278692584967533770960881276178241286497047933411449464082474301125391375464290532220063978628137528850838978553657340867983765933250036733124552309484521609222078643278466322186162378820469138467736695931981981606350766547996080138398396085843634442421702724793664904616125761463549645783487401411589423713445330364695984911940580556800"
        ],
        [
          73,
          "16652754842168670543155123592183804572374097535370340201358488820266632516011440457147105836649766821785276031032550835680394271360370702496493674778116133558881575093221978235024187237883487987044026795804765883326693807563223174702578836516826044054586823748488641017206025087373599892273947818719910281353044032240689382614398227389761842713452166433947697615992687507852475560969011200"
        ],
        [
          74,
          "-5808626707951213739579818601263511428474854101064698199610635151017336589907155161586899406472312476298255569137679497764546389281484645087700168446319244151926772881148498333036372937694826426254629329329838323725827781314476601965340016003900542962121250008007596329511850722047107468649110738103592404334788307428925443267246840574390623327581430150188875660957668448559300746040426496"
        ],
        [
          75,
          "2024777034657777763396489314748198890349272891585481574458405798736929334524146576559055109236591900889026207400922378164022309216252408606149067973045396031939607348902200503303471244499599209239539178788967001675162675454861096507639845899517446345666681146445552616423776555502915806661328880376860084742651574808916908228833428845636298268697865968025327382720689905122354686891917312"
        ],
        [
          76,
          "-705857611358065283941011849879812612984716446786842495115936067413120961353231249133788360122352534240053564060074477560044527310874288002546660246976720675716337143028027392871984262273402070454225851133754104791085565534815999544403511813461096330222224172248668980566498970360777685554650418987265703266828729577846751034492364458192556069678151126775740831935659549187632227291037696"
        ],
        [
          77,
          "246233831663648875196802187506795543850712368232226679411643374772683316829071122951743277346422713420651049465596689186022153026913285175460937881878928992400231856924132673494781423923436472851394468916753751637970921380126781249000320268519774539578850524475045703090580044036658398366991961966069354449586319158818573927912951636954665826651933660833676378757650934663545800602419200"
        ],
        [
          78,
          "-85991512490904441282206886953391823443169197119359106355040743063300814502823218210348750509350853225076290350286268556183634985114700425879423138055179946182294838601165730482019214104938624641497321490210281944334356135182767795351075006282109881574050860319840507922867960225257733364806484425429226542159940206926216052452155882057827355080635500992653649402742915309857536689228800"
        ],
        [
          79,
          "30071916952076015237008408612615508780734856722223690102680201629718892668684991467140829775221658999503241014420273590410421957646433414097248762997157826928058903408786574793804238835722884761202057886089072256806973243002356496978893660945566309506049287506728913319659330747642605608477617338541475739084239237303746156365529484764844819264142332502528556178452688513343572740499456"
        ],
        [
          80,
          "-10532336922701807947997287503123244584308563265442599598727266890830211928668737386006216904323465628812482406898929956857349880555807442868399890469298813452564398715728311911411311817141937632431391244661797075898303591731037240421400708351634603342510074355630762702836920424798448998091188920646436399720792248634645568829005099143903327583967857776752379473002444329916644335731712"
        ],
        [
          81,
          "3694503626029202670639872724732720460158028998954753227875017084154743004612115957126308123011982145768036212179529915927240029834443211327995576138509661444151815847333406978825333316056530670751484190862494226770263736122153147223327156922566263990144383325314423680460116130366817649401168489030214482415080577061751631192395025849921083525064587666539268594815978308157973789812736"
        ],
        [
          82,
          "-1297850631021234729127154994462960328732401554542868091119587356944444026911052270028129358402716429612603403605465798096428417433074965294909181384671962011980005913178568089111902603522388412742857509417266470961858859750806020742183721469841946919906514015525616230586217767957129232144284084106522041983295792767213982752069565399986915484360173724438255537758766152062731042176000"
        ],
        [
          83,
          "456531747173710638173888564352450534069121723830062568262047879470627228116806802095064617178357063747232376282401038463164116295791036788533415983870127409766727983833043531367868516253438548534759707545488580467628019384029568962021848781563077918802171616153814896669626163157789618093130422394057933183870537857775112425862327012800650979265891183093813587425071989690345145344000"
        ],
        [
          84,
          "-160774126525029857159834373252677622826846543248340518308208681106209259757534812306550734215285943850666322008026942404368571873373959858929673190761061636947863066598614078371787145326523962491326363778195205162460548089884430760859739888051337996378782870709233945113308169814672874767474399114677443070056801065788235870395784097704850421942036124219875574498136094626671545225216"
        ],
        [
          85,
          "56672278026135884429248181405745425254911485363822336477088376550455869431525658244255771399409971856960613618961250284722566654568369231018984325169040378514512530972596703509693075664312821261618218033031456095855457993466265757943048466131992341468275128260294417766390480327700853808931593070773726487779091938474303684249653372617368713351035242685863823240362296261385551962112"
        ],
        [
          86,
          "-19991274137542421848343401265825946868402637216936506892506884884276678369302371152885509615251630129277281967554583149744715785427838459437138408607373080281070612742607813217349786503894031464202969956949381205702414801749585311585878916597906316589698365405967322747679725634603784032230692782805390747655549284587374035565530994452879113669148580340765420934336079667942563608576"
        ],
        [
          87,
          "7055558955813562455587729534037207455891416650083771827983720975597630318014539243048809204136052399749002820243578374980363859484066705127017923344075050089914771805894968403734162511742296314330422083490611841370084561907605992541803377971933735622424323640744681832169152513147052878236931802617995002012662733610258782721452464343909312954514127352306572388132012010518266982400"
        ],
        [
          88,
          "-2490874922502612254364127921463121592870070179011195497429411377190287615817162413673609982702019915160546193243100494660413975005310829992193021055780290821908981393257732484132000845264908978340140556621734541203700017342037339410170117756688870572091745609700534375807872043705774992629824018169349587454231929582398264831949831458942920684402773870247174104166114797170587801600"
        ],
        [
          89,
          "879456158442428847891751738852280497052589433180956731018513737948477668607720723819974929017463024429667351363384267030752049256263348478112555926909966920570383062199608344909342663706591101944940002355322494264613651626727219704561931539955188675892652945618631368370723036214415915819941631201935757137474184050958618201683550040250533543128910112961810456838943424279060606976"
        ],
        [
          90,
          "-310480716293891362945289581558818178863967417422188129343934725448323757350098897441392361685133677521676621059550642040199583932182707644424192755757183223616166535604676041276372856720819113691836740540796765374454666278628303476811325161260642688174078090396203276596426899713980563076107844596019228407079351022676280375942448120023401376509523476727659394942761246032794765312"
        ],
        [
          91,
          "109580543590772968224527294626754133791599770420263115024960362938246311288321740218354311798206594012412676179904684280046044211938461817353718286842672423505400532310179017879291838658913575759166905980972476085253704173844696286359744858901198817157290726492158144749763003375025053753996979882867556083134344268276344308899397922720178686061028009042821336450878324829805756416"
        ],
        [
          92,
          "-38657524278100647664453767877023693453051198599805848834437653457638083762013666428871692278043968479022313640307071953363714305032179316829525075664189899668353896519727517431140068353334078152837578398867154585520327733935162733237871953615376292671948235778227806053218010298757748569954415787618737288614864466267963997293440024937261828663960531367913514952378351755729715200"
        ],
        [
          93,
          "13628941677228196134523201801268259914229386595563431077553458070565015423489852821390247154727558329954270426205782169341185578493309478407169252382728207142180873281925729255372779621866106699072505098927802384344495182591465940005653748247469224789370225723666815303363189930019682385634475792709404360840244774259440360292693452442073639676917064397355785577552851979146444800"
        ],
        [
          94,
          "-4801147048643176827864470897658903618272047428581012323457535687940479155163338511165674402235056432986900444106966553934312564862033735717883203298002334073284329930467773325779740328702547790923726639939547922368973513367060477088410605584925831560938758732699635953610731662533336837869699895421718955662994727114014574715471059039333033927911956380246517992942335890082651136"
        ],
        [
          95,
          "1689704276805359490240086308034882156627053866200463323003657441620653557705330375550969058587620693388750268730052598116284923687158919672246472463877657470260086548282723304114205861212728685880267058477754191765877706428423396922290640359212457840168184632387183109832499092326076962226075481218095129150872522415503906086164333856399726195520808545866807159291845088258803712"
        ],
        [
          96,
          "-594001288355794238872072791964598905693757212063379249351874392068941437970784538883526304917379458491183706059093707654221557029342554947305939863223724510790695295229282520784400242229362243537759775319448673870336738895622706824763775636656749403483932041094498643587365328783228019525714207291619743066885668057473716041961092359990148778327636070492752452634369426844742656"
        ],
        [
          97,
          "208546462193308441595581016405441201754447017772837117313355860802289554389474359508018638657909354204205661135496934095285830556365878742030550589446067756573285409434167081492820959235191605196056295625755243496716715402491568201766593568772046801435458957833270798949979750743290535891910240756547428053651855368827550875343876173460030214056226854708938665347085546886809600"
        ],
        [
          98,
          "-73111213466905236244530220989031349309765196145091261178235544915880243290520027037501985569152933017937842692311581099590028271417724916466464747575523119259080009012902790794865711815757223942538095474524952080936106289276194182129140674128725086450558909374649720461559617153268023607721565405236634967495875834039435760417247725668971857317140467519855712947264484158438400"
        ],
        [
          99,
          "25589203419289770697560377366460405222683520290530871470096255423420966899523460472258602951648550718551417074419346328669376561935677778474112693881880829903288254082290547472348705721285627013780365101537489962693786907707762523933865884973039304124510680072236860081365820184452784391153440096222708731424828941693151237063006494258161519451801818441667049672549615349661696"
        ],
        [
          100,
          "-8940169714883872542892745263113150304531803550443703841410254676219784907197955172732748620232479769634361302671298755493463916421284555181157448219774314751548218549828629969428946882683225834095541169035259538761696833915353859849931944859536858275661354395529477570639913702525155302646279637787897328766204534500366706384563896983999630263913853010269778057169971696115712"
        ],
        [
          101,
          "3117268614398691535174611805488556816125281225099192418381275257058779298082031745200372518354818159053450974754662617571336226903285144248068388349553255431345950419465167314652960543599127515455996380966393715457392056562765985830782675419515496555040071345142939135843436199343943972330516178278650639891831735466927905221086565407287011163775684488006419403992212437303296"
        ],
        [
          102,
          "-1084586048072426192184405921961821472781724807603727875940408837438270093261414090058560802571380026500885721368781244335600998465506816897443897567375567955553988050160267600497745533304869920341241998904581554562880215202454128594930083258460737813722135388599531735448078701023683289646882685944607770974871318710821133164267647445738721903739653204556320916779896551782400"
        ],
        [
          103,
          "376474557349588064228777335344027976000876056592972182712531712817222697291053267429622574217849242383779677001901377612690787319128349353188074901743427288506244144037286670462547036032953098134026131463856051366440398005396615097862721978162116617659393623356192757354509845937036062658470665008184386227433309692364498906113027577904147935652649931200302941820227959705600"
        ],
        [
          104,
          "-130349190351759314807262099186422488048427296241207629785517224103092947995429511763769270821037435095498404624107280575527950081627361435448217094522402578905915645419933020361999348154291818324575009869643311251051951155367203995517685612846389473043926461300708641916268556419200016694677275577217136225742710628682817506714008166475189214836774975212228235652995012397056"
        ],
        [
          105,
          "45009094842738698465933262410055976817781089190550147755924428298821750929323664916636092791637557051926820204698237394035518062681160439004609940612242432488441443086942049114061787738448961992766987069881399368244139665762303904178357954323709478209736214670346974285917396856177978054866471019509280080471625010786715274220905227615737766471705908700462086310573709299712"
        ],
        [
          106,
          "-15496323146896576661327923008714638372135533760175881878355309183272451582598714696255587135922221035478120917981198896010023552928372999099314553094540957311463725191622539783578324219033338809206033890898715201725944313544450924735460757133355985798388994560580805604700473174479118119818913975068283595229801563455542431720375303894949346887633602954517812908316536948736"
        ],
        [
          107,
          "5318754783969722733025173893026732426719243748167956714911865869815339430923926002464920506776997126556777833954865943107180832891334883159699884467483545349595439566524755499195512601899929411112088426625435824596166162142688335014690303175533872510857778422729641473751459429750809516868042227264601557346990517627145359158537883576567230128637747327075426930079627468800"
        ],
        [
          108,
          "-1819533905534637303013176688458952950752863247601472539558447196335246405139383893171185023658591537871508050532206177237221271895698629172705001835958211250976885385184756659003198412421963058973389900883371952526772626278999807077924870562543307924047694650259213581978301200784962728789804384757757338477222480858105336517274889432665059609303256806140823175719599411200"
        ],
        [
          109,
          "620290173933272474499826151386053143453258251200861569712752330922404001111203150850331447131417641433511427342464901543830370307235013869489371721337680115460015160582947943952943483909423047389063939488154413454883906381233880509436248193775994968977845382109518867001052954212779922722210242887036396803143178697361301262706796844966735395310168328764480356967631036416"
        ],
        [
          110,
          "-210683177265007582156648715509035911995284069602008566673881998211998544288309001931693894950398815879165218014822340513597594144068368469625146653856980566900433439697574230527589322181084725058402265996030268097030484954780385153152094271183956637466568851297085791610569540442754925184309920774064228228100339542671566929403878855515853398448496803059089423597206464512"
        ],
        [
          111,
          "71282163470768454476420346262132736603669115721693548844991968684741610629578440612501073779288933181583116846342581466051498588774065603729569458753123396751363256531841257681506076683634205182131834469518003252267815973181827761030797741339113673316597481934634273883460072726886500081060824880566015533250283408561459485397828198312250413231090944724488729585844146176"
        ],
        [
          112,
          "-24019514498863223000570420428098109089665727270070569484082807369020002575105629211329801187325455436206055941954601935976831024379532646688911387865542084005598449210037178546335221872920344037734995162485478570093421669294490324998961452091876863241212743002487840657636248047699201454705156567186611098718976745445404494890794397002684514582510307179267121487544985600"
        ],
        [
          113,
          "8059291486393646677482828618913292123214665180111258228891276129779748823900350728190086135247289860481284650717733737132688401491649191888972464890940062909462918856831047958525885547046975061156214146753277692672555210431413847470506504468575599839121633584815312308332418604769446453903051104312499108713171386243264471457283692110578375897032377302139859768989798400"
        ],
        [
          114,
          "-2692133617830369682569604055517225778717796811554221514971397597816097455403727183773380980982257528533312309719636337755461196992462519696837289595732532014503690846115924434171874238711646189444391809106827353248397853275898698587287751791941560345410504537069117300162431113110862367049318957381675595585558636723036648585366622717511906786597237611118224405649688576"
        ],
        [
          115,
          "895122273288410214636235515956580066444211621171554954369233765123082093303881356571968338210286119367558953120107505792461435833851310008061844426183029320028481368703352641443071409473568070588642318056721109861486381971897953165394752281473070605687669783366537353766858690053202145091139040036039748762672515233253994707385182286165998146113808487903455978718093312"
        ],
        [
          116,
          "-296192643380323209042805365627975441676046108724997938226572424583116865131631285853879670586919875805769972418595783169624430080642388467653141889558927955082390342864067526210670926205424642493315299631258298609356814826174811111965020985319019354179217201765131934695320049412023491746873719548437877702497920176150916206120953601530134323909583197985112901958332416"
        ],
        [
          117,
          "97520041827692316589599897834409219293106077917686011416210614809982670096601648064581854827761623107217911092714474188007896908111818449651712596750916592476726914842738673704887750988192798374457675695930506413783923025833754530450961766190830747130101945962960155071829420976819020162626533110591537309866183018709314656978614660456410491787975712281054820307968000"
        ],
        [
          118,
          "-31942161480928225612409706764448407660076637301590108478144934401055317043949638617943352536423410266844527190320394161650892663353794671189242331780013369320807041107394159810625849478687747456511833656010906522245865655619603449757483559220982446784158291330311520096340660490030948582126951860145347846624639229294979217481324193795542371725458644766181048306432000"
        ],
        [
          119,
          "10406634481619795444850873869600472198104973522564855694192464230307703432644491694527946962883692910607598233097278617204899653714615698472798279334477211656632211063146150155341918276597623196488193849078468026930113474941107305142684384933309361351348295024796532850828937179542817787272199795833289238139735389253159141110210467188582817059529297957750692075073536"
        ],
        [
          120,
          "-3371773597864705770008334244058328492724202341497701157991017983854642646474365078029768905366120580514641331905361193654361430415028252363244518969552106596967193185753077629426188592169545280028603399868052423168390309046220588991968901315275151946288075103072964005494160403533199251715900113827778032575226766821334047422201505621769638338138708702561816161728512"
        ],
        [
          121,
          "1086267978796300427582798450581949221101945158779127739438996919652473674717089795837067286760156137814942527835623355895982901436300008815951550187469199950604482213346898566885172077259395597403368079311336076373502928078325908581464858676834299616605954139981895792494424111161474969312310116934342198855457923226511644807276587099009947614080156675056996918931456"
        ],
        [
          122,
          "-347917496909898574742477198796653508240026900936860809650514875089851626673781121502943570737892869196957977270697386882432357498768352714255490556337079763485487231441287893938149180948269895842062626950092447387899314640174505638268488933101202119297158536856557934959856403520066163828938037209342755657809966862069690223507778785402102232036894374999466166732800"
        ],
        [
          123,
          "110766508659628861180103953405747948054348496799652078259083976213817538362830177652898859013445718321559305005229716004961382614387822095319141087989834183230230775664811110326126897508185309219035188897802105067249605197066203332058740032436698151067680692892084322578606029188573881162409730845410859028863339364867755237072591089834902207226243790762187617075200"
        ],
        [
          124,
          "-35048360159189381985441392793645257658468633795992451476036480871947266917049322655191522128615334950214611504384989923516439260714864043166510594400033093540727375720958583828243694942567333643523473941578211665372138970440489397146479378447232251851518802559681983403404364968587333815192156915296417828976795518721610615585146357816327232414612199868509086294016"
        ],
        [
          125,
          "11020215077730673582637757146802628724450120329870833943291778263476405182791241197754449678834059142430344067624377948439064760852143527083236320894140793642922645882386562585910723011812662452953796298470150654222742945575950941839932960091462605329062387889719192362068911201185427914137977631600187344169262353091774193909621225249551966483183372735054413463552"
        ],
        [
          126,
          "-3442814414325539871882237486735248949754263826214150635358065193131140665130278927049125962317764212018476006785068675809810406777638525602503959219428045926069114925838748151303606088385238018010703724000262649588629461477821266506120684823988531499945574410424564371270663866114293037120519936074585595417720269363921786274991927562865113582057129598320201686016"
        ],
        [
          127,
          "1068509292024371102801688182101437834079294596214280501894180357507017418976411269370523599916223156817513927262708028786772654681213529707440156535896045479864836033230482920767318855405042363850661247459056853658910243201174099431526564860012805172778469662280682787963358302536858647825563673413259671268022867922287814566244436052536714986991389206887266355200"
        ],
        [
          128,
          "-329401838113178114686498130778641171531460745333551699836343713961199652421056971669985128195660365153099647472870100110340021402874992138770910479514368967771810713181368178802045421614166937681666761266407558400317553024300164798476745828924628337334359607572558494892097559588984533812362861634593116400204983822758169823370330359782081249806377295748690252800"
        ],
        [
          129,
          "100855711235448748140873620964232270875767793670562934614688188757212846949205807157159152999311267277773243318941761118403940145220546307484563936864203269303210625399269451071224400553825315930895813105425536172679512735843672987859371806017941950086979418536123395817077282255652737033579889583593956837239523354019829102160031994418276503220899770039573907456"
        ],
        [
          130,
          "-30665305325304670043179535728480215376116869868886853262630339919870806804962172026749671748373073287729192684750882866148079777860258627683906645849147427808906588859191857186375973332385879077443974431170280023965604262530146674507057583448579549820264631870678236298281242116419448132676734663582780450723313318028750550315653754449478003805825036652313664512"
        ],
        [
          131,
          "9257926507784716655767149939604905923109381029387744474591980353064175469951199268964998254623383411727708385678361946460672992173316353379847156854721543904521966341622143105642407511754370786102956268510539214753767684350890778808773920326081117551159824528904190549007019650532207889038716049861101044412628392372503592055341826292218371165037032782204993536"
        ],
        [
          132,
          "-2774909546763521775358383351381378866935924045694632644510819524778973274493464673577756721497406162992818063333279851585229475363713704779770415031314281254643493841191923550815005495837246639389384664731338285751061523309182130548122375368939456835578186368947752919915506169254619998275620101169009464195549780918928592438636655222169761653939017790579712000"
        ],
        [
          133,
          "825663855945997912674186545650255297697840376644846608347943212258442791111486758940585561696783999204749773788711519776864497141520717260882665655656067317460112627504869594303776351329225664584514826161648568608214174922955332916272825669999208674067013909317827660116852365515540674980315993826038677077065681898597528248145353055372173571519896584921088000"
        ],
        [
          134,
          "-243853678904186622199863173348600593402325518902263581886297636773392581604672440430238521791212099796019062154802761964522491120619154229253368200193475803124847698964050233299823616289036963990277988947177055266079843440200491929184639094462475435928861730299514477368209964982796970241213652006612401878040482425611147353290300230267130470653704055124822016"
        ],
        [
          135,
          "71479370436134732874669727875718417058275464011430794424908930199605179205189827598462611242037826327872184770569245400302202766803694519418821872183564195855322447594553359417784846485712216312736818266933771548791219658770616656674759192822989696235249097155359519716625395698816170594666477362200084592731694533866850826824404746257262696606759268001984512"
        ],
        [
          136,
          "-20792787481204143125799183980544431467704714278494966280887652328414762265323538574496926156820249936919872307283633790303560247580752719322392758360124508450498810210065685672669267553460999486033395890862055272076152918420777719829490338046835617549803174845494991231657940194385201536034734819761224955556578541557484762705396605058259694364704363243698176"
        ],
        [
          137,
          "6001805290462590571733674785379508506827180331328020824402901957184587772101474365858890500956536368675586584433796014946276735804831254868898750507036468507842908659186167066490196246777611326710544132199104351305577484725212038484015879298864079331505533415251282587468530041262805661194622390604694487510558884624103480749365682323130190094170886204518400"
        ],
        [
          138,
          "-1718882522252431125378506010125831042727170851026739015261505177848138887579156877082979024969882137900911219403272901250520727737038173125261734123232151423225324916008957746923769039758702266444888813605419536718740388629066489199956738540431704398963464419233457821561041207043486648319932724894085093901419874285498167404770245369589931918538140736665600"
        ],
        [
          139,
          "488387743671183100878929558987434680162783215443662046154245191027845161152047478743020809531087405341317783494018141244511621543208752388426567876052846462651451810308450225024624632493501791247453386953523490349376292159450140504040633078969809899520925914263567151449171745967087611209445413831748315265097127101607207145473535550914334094444026989387776"
        ],
        [
          140,
          "-137656880866890022219525473904834885834104412478390410487535384540647341331319888979197136185128222981238374073062520359561220857743539006723824497051161958373143363728845119458579982290482369509096787129864642796299321169258039162186816945741873244091687221981874422915605788467330998570325818900060285665272779046236795901110099967038021515403768775667712"
        ],
        [
          141,
          "38486388005911396919103297742506419301554933603619246663499664879604879447297729652625346777125975469627236965384306735640630830756339236620571240635314422482840883903227275746367739008389681117795768598225156947340457079159950335040711867123455246605199783296639233929732156023261622062717292131993823774492467243567056578474445531174449680193325775446016"
        ],
        [
          142,
          "-10672224381963835101022565817427938379835396055739794477574735172531506290432015737718446178833813436948552306487257511079644607747916651903116163907893376348609333199068456139119092544830242907304364316613630783264623778899411167395478604886721739884932926379506181498483736871899830209874613029547424137521844370976103699645735318048862593983358997811200"
        ],
        [
          143,
          "2934977639174551289970527271743002318011127363135916119224862864684461210167551587187349240052240784792938386983871585102939936938826498598549670480934908084762431228791152087271239789566706303496645116083998578065852830532816501579144827834194005293467144088275246958399346048922013387055097038091592602654327660424176627315174647342922221494011454668800"
        ],
        [
          144,
          "-800425874820661484845306460129911483534091442531348050757540262051268056193253950145968383036013393537378287872096909553121849144046297958853294104427451369435205705376567399830507321272349822386264618764208220161709683527175170057819050194340995663788847749291281380349417580929965945114236173866848724557678975590253357234921227762673901031550061428736"
        ],
        [
          145,
          "216455787027832865988281789357506752551190083347021162901315393939037791979560038161176903231297788852353068559439674513320085042768218244413345893037306356051875494787791554014791043245325545387110408859861753453375392397481952289179516709334298115831582852262583664610541768298990834387935921110547469728838069356055259988464020171322762670466274803712"
        ],
        [
          146,
          "-58038361149710310898616495006784855950663830035425676506277012421274353017702178762664516239284405385346326011543795899619638513528050735808331225371006458081603800443789872266066395740367221254668054802097804516955290548300016804168555445026201859830082901026014399864519426820166239941597295952314369646847319212960185751253889377678642830926079021056"
        ],
        [
          147,
          "15428574145688329448701269668887363696862523237581107941107104736047622452453372218732851908619120724549952568573593134943511747610918534555726599988838221393742496844352785999874623439118133147602811578055447615146794420624941077328941442374577774656616939616842598735073242958029382325271836891280617927533947814656238776360721310401372159222752665600"
        ],
        [
          148,
          "-4066012548361837900437805463137982149095721140166268052218989985098225756209202716713870457532605703124263683107479480868043766578310249272731694248738467186640588683059181036402894401110783886584324189711236332859679558398244153536702585732382523097129988948007345098897528589702664004280015212665504437072516326121895050850418836965682217693650022400"
        ],
        [
          149,
          "1062214245909000172735159041874651400241762229721820713688182326063228985441634470338443058704787489715332346078076109375572294605720372543767353132743533050008732223119003951832201318366438890700123181729082985792190507249892100692634631976964931879179625186696435117943643816165642650183497975984910140122173879889865834337340073268327110186489552896"
        ],
        [
          150,
          "-275058348845076418289979428851659603569424292261041579673968024723336040486692538504783180608333759707167146616135814161508415240748748293309875645403926193707484759306088361124114023910805852321595447081555950267560891442052810753673782333595463244310315913221355999232937401179119906221306884163996271173052797787600000306415789224674685895299110912"
        ],
        [
          151,
          "70595370483689810038245859768110893874918477578259504995545842783985560844673694796541105987022632219339438737961619599039215553470305511676181409505468857504653273685526863981396243466449349052184299004370013097274725074866975499507221173275629097981986743690161094552556420657866219720541468553371816048419207139949718717459895513119543111776055296"
        ],
        [
          152,
          "-17957099268819040591781062493471484290865785744915933507033962454181155398133562412844289546172452226365474885590430822848410962177800971367360304873176157606576653165742399254240256969244857269240564678128244642857149299104468561339593659298532806807534280183660921085966537252908733564076041733511974950335866201786505963476899294234902582113638400"
        ],
        [
          153,
          "4526630858759011200090822691811842623924903577565271759369620187280566919575559046766393539699643518971391509316240130049976037513041239575863218248543534192325802790354137987187709656524052944084626634286845297221831706424246520682698634619184224386084096632778969676483642545892605323783538633736012479845977314342843289279474807983081303744409600"
        ],
        [
          154,
          "-1130742469028616794731782558720035592246355718908760485052199624208461405706400359941771758736100489390155769444923806262620612034357542524532860160409083677571243253838917764576705467157987731977067060308352837932416834135793594969599744195788574032606579582091471191715437308713396375048266650907295026357292173437688723848600769708242501102790656"
        ],
        [
          155,
          "279880886431887024794942289210250494293743658427059607904459947853105298881077504874215060492654755852583459119159865254569618497896532838685410442935578176508885816171522123761547009784677306731620387851763148825550475144740569598789822573011775155356419228209403532991354968969742816360434537026928381867447240904321889299817324448605689396723712"
        ],
        [
          156,
          "-68639676586430526743867709819154050110843860938274740168593228534859143939175596393418083586981223366462760185945022995710308616330988534015773422164830141350772509733456074025612536887873453215520061570750821764456984628411906559739727243885610667227422036424844010726883339195338221506731868817959274636490795433628822143850625875786033507803136"
        ],
        [
          157,
          "16677906073210596459081337946789575310262773937995012426148193826023481125294100092304590421000368728858927636536953293169234537622285879218625071318419694128530437980097445000542935647385661334713200558797919000052414593798260048956351764329449419467508293484290920177281732266059144471708184709213201088933452727840249969928638688595448192204800"
        ],
        [
          158,
          "-4014618352160879461027851116836210167293111322967068762863286275098049973484506595145046350509374733580619549451096921141699841854099376525810426251480292370541539639266626996496879777486225150511364819971042842949728923400651285881391559025774503676640022904289098807925573373983051409734960089860377630900707021402080645188951158853367378355200"
        ],
        [
          159,
          "957317161105849771984895219438936707784874170047729200624419365126510501173870942618919703444042870353124545160464616284699772828364665438595898684533395618755242539054081504965174634083859980129770526159138330732515265429010689807627206222240719279349802905293950140955477453217402674013584209593257953651844184537014570309248424798174516672512"
        ],
        [
          160,
          "-226125150166098410044805795813935818427991244459561589332597653059470372427470179015761668576599665960005684240195003944860073125220534713797120588948380009189444162999320750705160314294205587692052519574875083333181488083343565429360164750552840710581188200159874144893130006208060772010218643827510739129405266779274207507375794412160066038784"
        ],
        [
          161,
          "52904928833418906356379077724457364715010795552681693579019335143473277861588381712363561504298033815944488767183642337793974091589786435280582730127848162876745551000390777739364399711168248372339826271163028494690797902340395853910961929265186544139398204438125999769845726860292814112437209661214106454271394218861903230872161460258741778432"
        ],
        [
          162,
          "-12259439054837503323885529826549799365164770977131835041559398625908520555375093106679306001063311898064816764507217674328715766756904864870373348676501846239691124275705474830010443490143175192941304323076841919853183402017682992581244375619493546604317567520884393677059066771646694756604296713555539299523959242146983626420091093021225600000"
        ],
        [
          163,
          "2813489823940481841462887655609458733560997112095036044239794980397627423256153869024637143968722975584456187006367529011038576130315964444854069209114907581539884166218041589547907406952193002123269875598011709444999904391240629314089480214735020837784466663800614343998728399765441935258605796054454922626407314252688802217441527392667648000"
        ],
        [
          164,
          "-639430834350940682047803231064263234723610832611535063857017716484068992349297287006930697307735955604755163155452554951861790862596033880853542331512520018534248685147280317046567606680886143386743700919913693418902005971401724301785083188960574329198662226074441352181563132675512956257774544641375995115536918129572509820585752201829875712"
        ],
        [
          165,
          "143909195857291991361437039000240013544566363533413618678079816365122974464898287885388522792497437105792806921755186367335433914221861473182865087760461233760635553876874634950636059128600697516102856007975470995165742935646350190414716306599084899381604607404769042752782399033283489531096941098085619154602435649380393730782742446485356544"
        ],
        [
          166,
          "-32070341585234530786644025582938767784732272090256876467332238703585299897341189960716051769861805847235827093582638851622961956894269568865342773972569794668558501681422981600965755691951730149510790933179150258785508545191785568280606140806603650595006135071173600078417633951095052464815059792058772543825347530052959628656407316657723392"
        ],
        [
          167,
          "7076394615785919772021509810273569534198944360024449787008979554076234612722553027972994646568275077746089910187444645314113775146946574846377021475403937432612444321056021830871378026585741095989852171633118489674895613773084977845577667823890479782552568174606913888644307608650730333904237744383156498074936315382752546306047537014067200"
        ],
        [
          168,
          "-1545920924801966443880453126001488443199502961908880029967199340073656723713671015735854595361030021257940258428495992397473447155741584033940075478522573721049499742692333361102421645284341306612675382713626317537777771906954496611731910607305992561892634272706042000413582607802756964553699896258963025065138994838090092312328978973132800"
        ],
        [
          169,
          "334350995771324433171794973356734389877299455371583036571612617573158443018153067046972227560910997850249154153197475382394876522475060270562618800830523412140322102812909318117426631994352906482934169190123258452838101044070865740933662205209999851210184756236889295541105954533008200439925747364314100600524209535226233450660341988069376"
        ],
        [
          170,
          "-71586541055909679038978028598724267120801148529441995555015593514077269093664914720313911397367916617864162043029964291537036765348710247608014211402000738712701996364077221698669921848054427731227944085693718642027937045795679094199068577131167553639524435408844795299090520772315810862652860390621543867321671351856807029572499487188992"
        ],
        [
          171,
          "15172138077280351556777873607691423254141768666758373082605170849048555530681505174865573113376513260630370325920032858186093122510811872848756605763992460268364090781093109037381153305343769199796039848445893654009399914174468970343426652176480209411506855245881472963655307177755235735722472553120562870231111416757500851617711122128896"
        ],
        [
          172,
          "-3182892720729273453086021585509279793110958388419838887389989518738561292283235267228894263963709080613540373505093069755709814386585647224280673764931177797538560049304205503966818090516314817519994487311804370466636248795545912593404349960406837611220572070943678327564125385197113248170183225650992349731181489607980841394377543577600"
        ],
        [
          173,
          "660891363064399489764173977439767261748359852388049715713361914342741940574994998118456417014963264712636624262483146199553468818034103387870334668593824448448481771102768567703905156190894294311244330408961500409155583109392681896666370799526202666683973192421475849803796169336985110887309169558831701374126969181271322469162091110400"
        ],
        [
          174,
          "-135813813626954895642800095197026851998040566756072204335890516995793310473399999382069496274524264881299179552283378046798997708948328403055854924912421133713394347084262100820915550548581748573562964768569316034713766676296579369802921970924389394520502936903075650817402498979395721273812286830243482722767575611536778221027405237248"
        ],
        [
          175,
          "27620809045527684579885641524603312228962348191289480064975411613083690274677655049209108343094685372531688942604670851253945990743104721903408400179976206359416305868497489219858164695984878806233703855495279202847438245552614424777371672860467918641393652621720792503208643104123366127497818717397907835146930331317841198414216185856"
        ],
        [
          176,
          "-5558787334099465996247544485202477114051959689577861454145246570398436971314886438471735762970875175184001292047620448554472495090294997509854147408000811860235479785711940039054010068248337949821984362158668205878916554588693852401649096828515763437328981859622773180869769116447259363472267312257102029860439165248163096193782043648"
        ],
        [
          177,
          "1106999401302739818481088275481794160308159467564025010857017241452076024220480322451003573808274871958412082950879666401626216691589404262206980724194102855051719811599530248200247494275629722128986069309784446824722319758669452116192784504192249472008812706408641711065755056833360568231053397730406952629616394520476676761635686400"
        ],
        [
          178,
          "-218127603312777721723294208015967411399113884980576056191674058818171293194530165773020224076022941829679788849850182391201584193667147961472312316164056039236809084834145309535325106515166058850345136216876189269290851053728373678034148870625182318517300378913459565651144939105826197999665076782056688595636665263110606735035161600"
        ],
        [
          179,
          "42524754943614579193729911981704589474887234287274875976838227121509339078394786056923526439915631823674206628524617472194897254708558040166286527314770829341671392309812884128063824986532854373275558538688949450989468183351456016339279782270718398954607932382233787358299662738914705686540414606439557323539022849296610011416969216"
        ],
        [
          180,
          "-8201867768302333954920501575362599751862184584706604267555646239236841641515936804702567367756361520580258605054345245684413097183170128836920817409549740461806199031245225993392478538737749932931517286128316821843011717613658582251836061698065388042976884706055153695900414743807967120109478397742322549425130597185389358134239232"
        ],
        [
          181,
          "1564930328313660605440482100762248117931969724905741870966739368680758784551154814820041516251371302413264114450318128473617605598836088645723148658974508353864573212142122000184625099715425531370962110958225131209147275607209954343914889062024694046065092554852520034707520489363145268588745274018526256051371685700368761707216896"
        ],
        [
          182,
          "-295365543285365293849543348355378061728660394728742579289935000800176107449420689654895507696118192087656779788524617858496485025732164245468284100516806734483103252953151766809836927233811694203266302806660695130150919076038075432370416726160652852426140795302094227533940363960242073601387639077255199579674898291288215365324800"
        ],
        [
          183,
          "55141455084235164555601371653727979419071544511589752530041274411441193164287048262532165876987662840924307221856223190025240885147720868768268305018502594256846799655266586564838896588748823183511874407910222557477988369054265776192831097221206473359736467358904429025089079072439099528735647295457202593573799142962515691315200"
        ],
        [
          184,
          "-10181713405838024106826000397237975185733816907653765467297991052610583867126166305369745340646741599651580600275834885211211964818159593644964277054299866500432388417972906972454170707482095374314788417709488766545467177422151799670189737869113999147776132637005979495386387122377721992429998366909392768373544566659409922985984"
        ],
        [
          185,
          "1859337079047775388934539138186089156239031310022003028696250661789218192062740304187797098413037789619546334199946564974300176182902859917522344366878457298512160266470186726903206126018455814998782445197373244351544042647093498101812164624716724018627759020364554551728492459656420033283279999169687626014144767486938342924288"
        ],
        [
          186,
          "-335784022752982668429225786362812628137734135999179039008507407270696322844467922179115580911605066045439097252115327063781768837214576975945633144200375354457636035707019629892895940321047207990781653851336305456810931084723390363086707478220630495271997646682773203023576692012313038758074964942129620814621067852528118657024"
        ],
        [
          187,
          "59964776971827337585439678528972962329833305522286978211789892228797605586299756990830013694378554926762994275638317671631515532669020451705684159934952754918648991617232394881714095397837706309878296140102596304219932021479544975991677386665936459705360661715916698075837255304099272658667765258246736360956213829266173132800"
        ],
        [
          188,
          "-10588538010221751379216309905257144962132557336967787145061352575899651480494957992625829753626576376330022318856227605560050374477665684933247637018817399375417954455777312082135252325794059234933740771232212237424265223803289734278022980768893671238924102096868551825060530621773753206727460963779324226427763331412466483200"
        ],
        [
          189,
          "1848622563486222272529505801134669356648638523060758410910460719061937289670669135488738277474133300592109532613125113292485594650820708562695672844856548156476410580065778868310707506474450989176793839901056438192152416149512106439325527848601939768153368219516131984139508255870424286437354411689827821840130554979754573824"
        ],
        [
          190,
          "-319081370546939175151965486593391693398615776152449091218158110213512555582876735604423273445381441917002462059870146149336610320974861518853118629663074982911465526814925654960809260302301215265865994126924473024317522961409411664235998145282056109667506332880257752598876134170762186580900905161843545729617952479519705088"
        ],
        [
          191,
          "54445707281923793355945371931883653940900564445938500888573224787933414412213983988213137284932432227856368307910230202103499341881238325236335719154656509382726145765713718939562114821968269551021342959832232650493219467401605954442733167266441063416003624520449102221804936876392506135016795537766994521236610500207734784"
        ],
        [
          192,
          "-9183377377200915586186010223043781779506530202957515885392388535965106983338177226987395659400865046242160792860164486359348695036577351232758692272979635120158407700993384759705909862567527129569416271287979766822861957953888187241260630064902013605471861331872246015390219198636790575882059011414811541161161736128665600"
        ],
        [
          193,
          "1531034365991131121709536645678072371125773400369864946209635996785628247310194382831576044963786199735103048151004891708596019639021272810799825752929994219273553498193384049407613502875462711313155925620085932319600628507157576037924524780198243094984850595174301004496916028435504966323238667702748686068862396173414400"
        ],
        [
          194,
          "-252277086879739843786754422325251043276001472718617512022065258369671731233322277229005316466047276575483179905134768751334215969572488738005645026030094085186034666307356614928639709171816520646750577119779453423527183585817042593478599583254123296424864784531305060307069698636627656367523784045590170958644244043237376"
        ],
        [
          195,
          "41081582967166989515555382458314954432979981196358849710928797003376610104262069813360022969733705637617113596790140453320535692611651149512581260703522247711783223962683321212860576702959434592570292700023309079676301829312116549010503273516083597154586035373448947022828482760934949771670273134188883263924121537544192"
        ],
        [
          196,
          "-6610870228676872021637352263561990629017209386317621475492833016647539119419343202780587068434194901979795503355229766657833004999305254631375686231532590124254453529869792570622454001832985276953423079533688542374546154419124380692413537330300537530190122059106502406449758226205683411024707916317867999163930001719296"
        ],
        [
          197,
          "1051180398853206091986600094739794109253231724009071947802605940915717631951548871818088340643078157090105723116881814707411706707035247730013586936375686590436747115561489708786061387669115786778490453801376467066266205300290783819327191138404822862426054910383602522833739781999168925452268439259185306182849868595200"
        ],
        [
          198,
          "-165145797808134651696502833814521181893405703349669596867689828649167240014343128600829146151888411628073757718406384511633988909310416651419320602512144215530253548162119532584207952671701032586818901417176782890247944423328524411338762830576312133717452589649223486099959778675670807707028203916516301472179972812800"
        ],
        [
          199,
          "25632640989663319954513683715247022839364459734494068137618254633668266532931205694901593009266938850962251216230080626542605343501062425333683112091129485125545089001698270197114834694732478833466135410085172234318662639410307314723290611175577633610557560037651179506183129389271609334827125579583800622988207136768"
        ],
        [
          200,
          "-3930230566310743952539287495728807631483496667307504064902210041867128557035066119783972667957944128216733430312102496593914707940233580808758847075418138978487819651236496639829398482762557744885612038562471097342360827613249232187448952763321072166983830713184793902589713210687779685952109838940761200048935325696"
        ],
        [
          201,
          "595256586589294995923236384882493858540357749228615742017179912852248283166289302002417657750267533399549434570645302790532142737347922734049132681080416622813753218132529478244954085184822243262321091409095973557522559287947360052832560527067547626119646272345740747693512323761521819880485305217021523312717242368"
        ],
        [
          202,
          "-89045894638077155866832330591559818607506544338945161323525143780480880877234163310721617304466296158843627027958612872533553165999404303292856331384485288107924275739198775099466928703492224181709037357041645551130508682694766440371408915033197836591103456268152787024971815380466327479538526574385629708467916800"
        ],
        [
          203,
          "13155532470864628980612374047924006012686044366783403698207883847250554443327726702390871998178396049155749624939214029531114914470930982410739765827736265092571334171561055448256123854713268730033271122578293812002317096376156183395884768146870193492510324877098022696445244530590247092715004139756068991937331200"
        ],
        [
          204,
          "-1919324560552347446706591170408902808667606602089556869740363776311211355079905490361300865393790864078014929881097000923147668174651750798579367141496657983634834936146238279276671814340619036170238477133847108336620719450925863091508433515303819956159975466538083863081848388390942013826558559587553527680638976"
        ],
        [
          205,
          "276499128735110624184822422852171183386804261228060586768527512180760639215050810774803008033219567193128042614998492810686589435306778816062234014338385958868038062683697693685570176054005285535966257583895421190240542421557308306358574509189913222805882381923890183001400293970584055585908297801831462329597952"
        ],
        [
          206,
          "-39328158626065613920059781696506675896535238821749577624655358651411332620775831578240962785249715360069800694823325545918447366459373708706175363339753155285889068694596039861687494256445145328616943965336577684508637622386904000548989769070907389594504304125897787369580757407800761038679788522034776765113856"
        ],
        [
          207,
          "5522507590865391428594053248294489714635489539723947981815406888720080577547139069423061659438168599563972716924490311161452857983650641045035232662422737832529910668955557260995765701036483566164669521044783585328948711927473573537285764053994755166825616427080692679681145983181044529488017377701482460902400"
        ],
        [
          208,
          "-765507499830244133283720700575613991051681984314520211517082557689243443984618808670793197622064124028470211526754036926222647078658301708990908159326826146692944500444161334007503952198928547367143082914670209146257232625312488856709213111008224604263542099379486770167215227469063845301567481862271454937600"
        ],
        [
          209,
          "104736901186880835340284066567397881873920149937933883210782198687914344441710082900307476156374925090363081004841084291241802273395535065550445738633590500169157480368746115441579272695170284910561893360385591158940820849851819379651856443291345349546354431464261413598773629685224141837113867741480514737152"
        ],
        [
          210,
          "-14143047223736003535564628460347868145185681709708660107155188650739896804065948752158462609724334008577405575362053962686689173845141850521493825012598694511144880402150649103539734073246343958553563123857258573469975415960439035689293132141365608059065011930553958941103952249398839875341385329984665624064"
        ],
        [
          211,
          "1884665269813618911349663152163917707212769956122665027822866188639096449783427843567585834555317885344195095803666225541520734977930402469009635104264578336476518183939144489549186118179902752661069546833038314810380138116119447403659601767568517839037410497340969323048325158483456374770600803842988675072"
        ],
        [
          212,
          "-247814930166764739182671263930117394440379071716397204353488843813623981865486168695586806014082188806282419371616378212216026674541820314349592489180459201411282937428172071054108951101382983935737392158546758292877167769433139629075496700578709942706163472815170871013193650439687922500558365752252262400"
        ],
        [
          213,
          "32149616300373889927029219921160323799703441834196204859584121549407283826886246040817111246353806274267181490180143302560177672145552127627003692046377359117254818016416204938000892399851007718584859578254965772954856381485935803883431159667362888871058016601503657126016658275829584539957778419068825600"
        ],
        [
          214,
          "-4114634814752641366789734451816434856843759939613231111831444836268650404289334805810985611196651857124919778418321805479364886575069993789309700780727388607619816858581785535862117926277398796593918007373437537210537813687927985220528470798271934433352838634569292558720204507988335129830579326029908992"
        ],
        [
          215,
          "519451540931363501524682692773120559982834902950005996109549338526410492407621006443092175359001243973524007736260120786553440387088131712066609857806928741323747872006359787129811976081331611579737078328614090969722285978498514563854014397852128587004878089682746909766120000350961502552425546023778304"
        ],
        [
          216,
          "-64679554947245852424643421202061117700987754403440648169107081296456476979327108939222984876865769473775978550191636083920328466577447051037609379892689933011508752823322591581656577270414283738455435379622458156392350272684327234792009558215359765926689013913051360806510763832782296657106672588905472"
        ],
        [
          217,
          "7942297472847186101861654977103000556019915872746152763427072920572522865195346262695126830694115941199145681781879892919177892710325530001199630867256634420057823489937690291854165890199569572058093108292867366755011984865804865817083453044494330184474808025769595652494794255028888374686705466316800"
        ],
        [
          218,
          "-961679102227506490276934086111538478062733902062204674805399726250255193629003902097046938339767360926128495496427240335278017400409067504554696556530681293159768904957617831169957382656390204811616119701559026916074395318676101457489363643028469270655825815579811223792757441882929518621047982003200"
        ],
        [
          219,
          "114806292247667599572493658995178647009451263841623041898095862454501011649886055223809372996136331855444714146245925141889276310035517859142054919324495393064698378025976718356864833275549027176189760006487747359622935272548837151132523861110416584876838053185907917288810030929943917102550962774016"
        ],
        [
          220,
          "-13511328189276536828645056223356639919794786428413329620066694347812611944415435555989718177306838724160140280782467105378370392555890418273211781065310335766501181739939029568649475180048459730955613608781883498443013339277737148678503949091549898118086451410280301739415895646616605808006062415872"
        ],
        [
          221,
          "1567369247930667291508006298540423701649927832217789288175520988481417205066335210515265140672528167167351987979365618534570646722576479146038630782095864930931682152950680756134224997584621765608246238947452888664176923856332967157749971315558371074868778284392059699242958403764910340278808027136"
        ],
        [
          222,
          "-179195995020865308589528280704674397938614619399532124623467866559033153858210834066418780655181675825580751156374358728136004989144118358325101434682177441415712512220931182872699544676006434816967289517436838845277506314431038439302409806842230922374319276440859367205333353050660213281406912000"
        ],
        [
          223,
          "20188794335882963454836991900210846577914758324434055916267526853170904298561857878091603089146514415990963198628647643832093978662335407536600775594335840158687991692528536619890456740372593344584004894216886282943859900837086618554505773532351061822272716021883188414516909039147030263933056000"
        ],
        [
          224,
          "-2241081080450891024980479081362782613674670468347133259375073141500050382207985814958095626477982214186209439514100469877089830503410647838715389868622416922499594033450147791558374192157948643948716747172754945977298592901025397230205625722389711672733893265952973791454117166421944472034361856"
        ],
        [
          225,
          "245080286816913437486821434184070373630875185980675007966480851628535248483733496159666987411173682912804351742658296834596449672863483932021712370624465365027342777762688366633870045727831030961153415289448895804594197202653464690300843260198220781718767454151123900469497214753515738262828032"
        ],
        [
          226,
          "-26399750127475912974467772160501046887002887058158871990952387269556391521164213919215623879203176461599723400255776191276322582389153335804405499290772750434210725383597987511335120484292414247181910898000355929317204562324164316401806002292539877074930971151390568112838021331813638681171456"
        ],
        [
          227,
          "2800704542485266591554461173619432220118467839231018530142617794308724437973975293261940095647992899192801337885074641222873160540120484715847569362614359319655890755329654154383251809250985429114767474120003024828754582106132536450682783928639068408922282225280084362172211150196286238720000"
        ],
        [
          228,
          "-292579970079160317711622087028837522088631557426770425065365497338258035743570793671955960744511146416861831309136995629252092933248850821181229276747995387190098530008662691098568951471380619522067086323825216514817827224642446332203548777476711031776672050102368653650536287687496985088000"
        ],
        [
          229,
          "30092880894787347406541132031284055494669822326958924795266065198783919868115747753158931936193309311416788799440741453919035273214140041583483601136797990451390629289162831000992187864646015715680033285722930054859866259476380885131073345531137027454792615671123924814924939130785382875136"
        ],
        [
          230,
          "-3046878301133233074167769271105023695699693367190128442926878591707062109603924865143778568120161385520285392930543838318613100136382880065652262107787044974518312402039562508925409634256749472637576754805394458648090059579219451550554259550913439548456628820195696199373902374158770179072"
        ],
        [
          231,
          "303631660752347724520240759891074206674696821254926115889275477384812877608198448528305825612890420816452580793345491969385399757381244773397372371712364252295509713777397224691251168127621277997210864367211077317688479718631623874409397372288206504065639702444123398514753052292343433216"
        ],
        [
          232,
          "-29775984057458636210391059984359196655486452860168533013206435989319810304831887569595140752377810155124775435539539598593897788067401450715324347844829139490745331117808173580466106938421546866165088308595146182048744034737639879325822527037485987039753271623288396834443490112866227200"
        ],
        [
          233,
          "2873007941007183688367509991469776575761109074728983803218875938812822824358968497472580033976363027030205212172843885872864183461946182870957907398775553910550655486523176261191912821758711202987054285934901367493451547879207471537640079567664950335372767522730000515046716318948812800"
        ],
        [
          234,
          "-272697774088774883631112751779609245404782872812928904507348059932049123524766702209632681176287874146966022702250362643720738339149276633726161825603174795833729430233470309206911611691950601890382418654723280307586117064289407179132145384995315204985225644116018378561193512429925376"
        ],
        [
          235,
          "25457788782946314490700039343409482310549579911095007125100755657288903044710050636107936390644172446715765648697769570430571980423423497484394521736176004323254382903567434916932895355856490871150085671778863375387412456946708824386646377124861998009821535725106931602957983726252032"
        ],
        [
          236,
          "-2337071905606861408416102124044487916413206150712313217747937632809807954439267376474301983563889678554778741280314277307078210222654981350852518103146458865893201144290901268357437210893904834373013422705407026206777049838135654794343327960891257296806674913916642727829514110068736"
        ],
        [
          237,
          "210936340825594043926643524962533744345481779697927981680237100913329934837550763028424795783454804614498580310880565620367027279041434752760455222616474308562470528804064390960088146185530350943330228190649513415820627478673925193399611064950612785537998138542314996712076023091200"
        ],
        [
          238,
          "-18714224708418174933695014498054816620314919791617790393111205825704485198539412219830475561423459928567823877003083555911228639342509768381862982811162613904628696361619233951777658599215552604730778956291853037625714536046163032524448323982266833110133706971291914789160621132800"
        ],
        [
          239,
          "1631713687710205518220852131384377717385630981662686696836571773272998414103334376644743898322236049905371231176295021942746070538655002360708895090688730217657734721188117772769649312392575790914122298952222386563318165748935108185125002516428905907560798113373896723702573889536"
        ],
        [
          240,
          "-139789854571497106587437930923679135792150814585636255947488711422290190048657459091843769490765719665704299837895226890940277589259052299874225834331291347372805941322306128177170243973900703618339419102951168767612861824553108978512222948854735279667269219898832863889152556032"
        ],
        [
          241,
          "11764460354636834056764490488855479165702011727413684200917234968353710138577684718860351674650941437205044668603193913112758414721684127798552603386021995295708806618721930436183204616180982659355163848242000475522737774897758710635807052577410278606793869449302469405727307776"
        ],
        [
          242,
          "-972378095091816338380534877080044513044407332544443060095412163177807309590655108904912080705865715221359563931820417427627123653446057009907304187897898663536325221509862154766219207257206150457539181114653299039162774103392933291953559026057310113207203970756455062774758400"
        ],
        [
          243,
          "78915839063007499265260741774958844262538686434630578555180277247545752052704873522122324814441314305848082034758693150072954314174517603612369830054318181568060276027743638800328668109544254430896942612022527653006436213290899693503547415564505453346643489006941571293081600"
        ],
        [
          244,
          "-6287165224825549238430899035196833150722080118016078169173390838655945180658651425939222401476570466940823336962893571467559706397047608355965417897898490454269814898021626920760770985416178717810258786892864533404354271473409822489896522361301554096495189175573639446460416"
        ],
        [
          245,
          "491586215833107152539447995763427922902710106994677506450963644761414275773327436025628206323735771084057388251044356772004107409667189674441582129747659961727281024601360376875238079021255320574973719181628999096437665862455874308673723693671906506775024358787742772662272"
        ],
        [
          246,
          "-37712692668711776005147421859954521489292410234916904770932137444354417659856863256296601843528905544714544688627639692595994765315893132580564975492781891154785805960354760415051548549525395412878566720410694270859193416115831696242531086093640671543940369505152485415936"
        ],
        [
          247,
          "2837942400649577171606368443488517575827143087280897356955798606912320228010131112586878412727784129552765254109879566311522988749024208754162214772718840418441633961946288299794254117723265251875573464051768113561226981631287738531114651772571747126207365882854668646400"
        ],
        [
          248,
          "-209425254807470015522765858155058128130863707722678946053387623077863199064378290560447549710719898705616469090946231094270439990209530373183492229272796409166143486811431075883454557665857787527659108546629002259830157823796756714136767923973840235631915005547108121600"
        ],
        [
          249,
          "15150993207890562586522044628126883111392559365568157607617524873791862086344103129690567306800231401694160178065201374058599897787212294472342389476595857997500921774982345464006431531794611464042498816121168765575743338959888240838565114423609617326371517001132021760"
        ],
        [
          250,
          "-1074267731265620196046129163261138048512307910006594522530559445486120449785585379326830115472168546967206405479396716699448389941823151436243182162049526290594189821526932997356415551644476979945209593784725002848301766958707792083730426185871954366255669799748715520"
        ],
        [
          251,
          "74629678537419300081396050831562199499146371509499194104040025063457483235095541797645861605078222438328577625557082620399130561134824748591036727861995388110601278906962320589165236498837390433232526515456001328848843195981627320398144705869492771266962260412661760"
        ],
        [
          252,
          "-5078104688516541634361398627637334998752173220407573364844323362885516380934760398454028364488128932438003105302806925819210804329781087250528304962551392987305528584330448954922628192561193842148783494032999054121658845306467678288132786729722439182616663757721600"
        ],
        [
          253,
          "338330473067718412951544108127805389300232105753977219516017009119563656770969605475862440217685167029646103446029772070460941326719681799357533273646974530899900718903716656000853787669883159060368550683951591422269803819436940644165668021461537418539771539046400"
        ],
        [
          254,
          "-22063934274634299482601524555059868700144040614253631320825474600314361574125357611041918027852132946030934654375019465954101455793130957616915527230006495738831621663331739236042364120304848876431896073319163870476820090320146710083900233572288352574061945499136"
        ],
        [
          255,
          "1407908670700681350728386241178665727797689494177569068461418094473477405379701959024308941813957226810002208550281652996071627343340851949164110075371277674634475328346861841986822981453665263557159189196256964404107243955960830535679435850001915467288038556672"
        ],
        [
          256,
          "-87873316332157339169841463782107420755182656410109491464481959095810112006750220437825145160863177549521222132774604799185216618199697654114241035462825695275665651081116851826216044872525277943763591742099621856415022435533594084704288066110847909128266287616"
        ],
        [
          257,
          "5362477872315761906345434352758140009457849952305017366462156905339519057277214272295308634426498217817534374888555932710895440892591871457383832955152845021628497445505104780097318461170100507154266422598089331723212521216243371280382995998598283787324441600"
        ],
        [
          258,
          "-319836619260409017763738759356157111662784731517341247751245224310925414139737223421713076754648984593865793773412028045487457660190491298248796696399684431140393030826500482458042641629930607447690704334997828118114270231039930134424114968289449349512998400"
        ],
        [
          259,
          "18636574459211215560757555631229144651441981887151939887770614628095036309398424912959745017763796175316506212106686140151839344546689533419291842722770973623609408656771000754188031859032604008377701626921055567107454285751431129567726814886774765070729216"
        ],
        [
          260,
          "-1060456013090717986319663131883969218038645757265106639544662431830212973593661741948606105847589995880550862342676206635546496130412951678772620749914398200953025081744798605245014438917366437034736265586082311533964709094777987018494145259878913830490112"
        ],
        [
          261,
          "58899719791191686260672663155546579958866782977376062164941927657101550765438686609736357483821779930998939164352272388783776725080358858262171284623048478179667888031450158197511854923335363095598023279771385026201582730114799261280833352751221100773376"
        ],
        [
          262,
          "-3191717818799936108767463375483096401614494637366645716079567594589653992663523179459002714884419606006776122424417081534614165697222282816159066764222138057372204701454244818196779238738046804842864245208519958932903187223059483724597695789022865228800"
        ],
        [
          263,
          "168660701934187970779891354332955427459221086200009363376383708195995586813213991656797824119029090315838764888639374281382685121667517119826715393730882263984847259373136015858763606565254087163963238759389242818094820187534259655915005844741538355200"
        ],
        [
          264,
          "-8686785124096175497375647111966855464756236494117955435028365957604214947991450019715238822326086294582248420284523778120706125617262945953323335592489037626462963082431814326675086957564388877554083663702599024467933430876688206882185723236126718976"
        ],
        [
          265,
          "435839975332776578800028217476438437897999336650421320063606143614907820740554604454200494493876708887014579834881631872915190964639397722732912602079043502478101681067758598645391159314639813357808037737156063787996372040713298837306344278348838912"
        ],
        [
          266,
          "-21289897734737532985235666560147475918688240389143582647976134168067123269014960918648933850351913114762736449019571057861494296450493089215494492479045629260906104218300803283804726528060046227604175332082288879683147423099189440634532568152841216"
        ],
        [
          267,
          "1011910692078368470230926853929445980987237992906580750062752884139334283133393139077874381176600715772388860912213227786293032693435828574457800239175207973336759422945193017785985909998099342419371592722285789094214869914754020938163401115340800"
        ],
        [
          268,
          "-46769569062128109394587662651666032930339735643365705112894813594340092501023846669175917267480938786051867912125699831267556025188182714098571465140003127565911579876092524643643609294404601427989037134590020848805551844071560657473202421299200"
        ],
        [
          269,
          "2100649035839832119252749981952534792014898797393741173696298938863875499705360107057749705081634406427663302141528419371500672082034682654732593163294353479963209174608248029272725158669085235849596066646356735989128350664509475810347281903616"
        ],
        [
          270,
          "-91624942657406034103642528688464408684097567315041565257881740057952610356149867206481994869671383420168994198916725648633597606655187825284809232530649561995252959921899369025473777952286935038084996833372834011335609179968024317435360719872"
        ],
        [
          271,
          "3878186320277179869522054658432769640410569063396437937275435498811225356423859876495405381592408587785324025520545130376842004481141919907933471429077862981251053987574814671712111333790017042456013734227151749179432280450416494923607361536"
        ],
        [
          272,
          "-159171435206614081076209378790727816437650623183198306846751540905170780548367390828799631095170190836068947764688933463261108175914543531393689599446066672277341804731783247489648784405710796262300842703183929105371642399789518819907200000"
        ],
        [
          273,
          "6329515033128496243858912697833245682286508434864470221468482895602722882957161079381321225661985001765815092179116991917554823936515711618397404803374175429294318250135543319191466646246444127777205211615873241221689564749217659774208000"
        ],
        [
          274,
          "-243652423767988529366648528208070410629711137756716204135206107255319276695489770085995298999269678842303813453636516780685879818854125214565454200009167706386508286036934440331710204808177682470179020305354632468556967388201291332330496"
        ],
        [
          275,
          "9071290070491593383455612281888067122375455894418880151646476074945150685680475789303801286113004081376468151384305674216228515963688589225801780775686571649100708491011305622699273204938819192061490951085667369806227117377415535398912"
        ],
        [
          276,
          "-326319536007311642830035726800971024425317131004815593532382853346292176134189215137475807518675660609721790713019930275566946361404755827782123432596021304215074726772210570602421263372509814356321110751520883422945907167348877264896"
        ],
        [
          277,
          "11330332343806501927710450499976313091675210650328145940748336046537353028462282988372702357436871161381845798434108753835744521853266726800733700896548677032534959637306431877293962664876936645815860823612664369099068165827925504000"
        ],
        [
          278,
          "-379303601075017042471651247424524266559113232801428972544880538211250745781781484272398608307917333409230269134334312772414313762206776524739811535479810637707166232253441543594844777009901845291726365950992749613911438587905664000"
        ],
        [
          279,
          "12228165919927650195292700057648538625235983378507767797333722755611484326121099009974771059277861381681002092743661176594157226301399700793360396000357716694126127459551499111044208130350852059521664174900498017534329678180468736"
        ],
        [
          280,
          "-379152065272201535934485746890007737259908557596873702181273200802623499122793294644948961028589403619379229865297580048125952664546392168263616926748437543875205326342803297312833535246268009466501770136283869814734285945603072"
        ],
        [
          281,
          "11291434834836096899126078241165847851014439934861479877132780252300625110191718425302105263851978088037009514171475341421614084635558200029658726234250090092941175751977797097000771445915476491191286388149184425659556268271616"
        ],
        [
          282,
          "-322498370967882714302563177157783602057119791902467644090967849014994824237031647305989478676754017268107857186329081271215188261061070017166634424990451465167541235897425656336852968313764580363944177527288413898009711795200"
        ],
        [
          283,
          "8819727801626260607560621362539236535682239826489521292743166367065477197771562931351205504494011151914296037725366418272042754203705018950805127611258420936922009895385383576403006937581155831885457532141872598137144524800"
        ],
        [
          284,
          "-230557613731675522139835309877040412161261581935003338618459581724104953358852958840341342543054094980421306012850234716518810394127017237227735097741494485149516118711480680265733503806553787404949321456689630919895814144"
        ],
        [
          285,
          "5750169402242813618329216610638344069870156116400573578765387640436111086508571188746537268633563684483957390744690495805045256369892010769263642361440738723705153699277062926520608164960884031017675497367162596901060608"
        ],
        [
          286,
          "-136540807322003630876918628866195320198747669636098572975466872217661552676420581317744250547136601805754086909725080561440807225493149715514768001372147008015763377482704513257188073355118349665615869245316449680797184"
        ],
        [
          287,
          "3079931363899571428767820053290841371093108063409778820972229156910810481738091257645242285610128318888595960893800461324540891671202643639854454925193904935246896074104520213638297499859008450674068150265881147622400"
        ],
        [
          288,
          "-65831122495594877068184732134419193046878857483772440551227563173785633915076512783010996632290210389878631992039712993393125981409485313793490898587704266617043155551102095659923753418744200103469235790600829913600"
        ],
        [
          289,
          "1329628852269745106790113174386737022412131970211973269435203885165463951749081885391741716610956216709822876417568712771596559773134384888634034031045252769071051266810687075248935341236820746576411005494868378624"
        ],
        [
          290,
          "-25298691480743216241948812008119665090717574050141074562749003224943224811096584661779415786562576150067643896500551715887726645064512661767276041771583105288398719706380138289330937889099660396774710448044236288"
        ],
        [
          291,
          "451887977136438154837824763260351894420191319322234081963655358997193103887862555644461310073837575380778408946565722982457200017979503544048826120566578024270441295370489558566604130325635420193001461163433984"
        ],
        [
          292,
          "-7547981448037923401742572697972369621574073581853717808661617683458927861652257774057338519887260877115884494616719290480889589120382561968989522896902206336105435022486961459715514646718235600265340050432000"
        ],
        [
          293,
          "117372313280942180157818800393711884972243201859502252998350812926859517179907921361388598264662542321099713235637404675000034348086367774083547540138743846200120418327243588411476619424709946315164115968000"
        ],
        [
          294,
          "-1690502581218798429250834820038214669778990684932792957523550001524276648694457328542940885349953906197748599138399166043703692410389279057317353473567507914958613902075336232688058356753106836961734132736"
        ],
        [
          295,
          "22418467053645497153105733658660958125242626566604902059588752741378623613814984656365565438260098581035635209151083862365827451910251435226577328260071790539393384922780073531986513575981476155044083712"
        ],
        [
          296,
          "-271838785048583197934290697433098393277018964578030339493937298327938390994298292703876318230654125908311938593606128088385053714563384123323521429664782285870132211570958108285824583129700163245075456"
        ],
        [
          297,
          "2989029645498403413609208266920592720866595700230909508117572364819752425151529080133599234158777520655115572353864749241856229283692197583708627602533345966361708811234758929183735168885901325260800"
        ],
        [
          298,
          "-29505263417708888189782478462500082192832804914246124287157675438314129667004898539833321250498296296264144905567050089629103570017051509775890992803588589299396515039105282211597971188510655667200"
        ],
        [
          299,
          "258241592413153412210677837026984421931088592077121246877242681561783223857658863124634355843519018168392602816937673046651042010393212134737510399688286515532547982264026054038793849586652393472"
        ],
        [
          300,
          "-1972753673635630280641486706344947520763459390160792739973880354675468160841074218870082169073177578612685807938583717147634427865059556805609631516697159266307001509206255843966085436654454784"
        ],
        [
          301,
          "12885065748783966960514539538065982429672758808430989828627361114168568352187909174275883368976619917774216642110568170390707984070762150788987884465378529849994897244075473755660230673027072"
        ],
        [
          302,
          "-69957622704329946402923459952027360194487767127904619815034951948738412008337013062776681081683663791293977772765767119002794737552674632793296888984610962310639202996481764936042235891200"
        ],
        [
          303,
          "303103727137595279369751535595516991506772140452963906061057611496322950108987529390391476287367139022457886036675078854336624369249749779499050225448851523876243672093871248695891276800"
        ],
        [
          304,
          "-982491010622393407845868113518098917463206956804735511277487404933617423941833920996701848967914961862014900594533076246518088851587867674296652263939950968074687423606646446939746816"
        ],
        [
          305,
          "2117855925894008956148569822056182810207750418735315121707428066635234451938938113860772583386822921792595593629104811050811246058834646467142548702357622726758049968431340480812032"
        ],
        [
          306,
          "-2276973542348416092599748270503869023769802562136923072666647875605785267993365581954163536246504386760470875184045324946583379659175866951751052978839282699991090745476628010496"
        ]
      ],
      "error_W_norm": "524920659359885412799320393008140234410967938250174244788617155919885596478394296103489599573887347183544053933460120988294280459495212735440613813390903004463948307182932111099489868542581158917578291058711717851934399848496799214650560156570406751143527176400245041601640837516860607151553842606990222026407076644486850913307869871834649613419485690471349482490170945681029479601420462131500244140625/197479136585658870023260292256902102070324884632682008069439067153009041562891984713130942975285445899491824575893490538551024533699209882160954312940262165149639939713607138644284609233797296429395758647792517975765326938353530013978977153493467459951495532488095360589176850154865920970669493194667746293329423615129113043107436071546137168013356063734971437374274006907430639311222715983028911483002434519516053504",
      "exact_reconstruction_and_energy_verified": true,
      "same_q_exactly_verified_at_frequency": 1000003
    },
    "uniform_N_only_bounds": [
      {
        "N": 1,
        "C": 8,
        "R": 232,
        "q_exact_power": [
          32,
          232
        ],
        "parameters": {
          "d": 1,
          "rho": "7/8",
          "theta": "15/16",
          "B_rho": "192",
          "B_theta": "768",
          "tail_ratio_threshold": "1/9437184"
        }
      },
      {
        "N": 2,
        "C": 12,
        "R": 406,
        "q_exact_power": [
          48,
          406
        ],
        "parameters": {
          "d": 1,
          "rho": "11/12",
          "theta": "23/24",
          "B_rho": "432",
          "B_theta": "1728",
          "tail_ratio_threshold": "1/71663616"
        }
      },
      {
        "N": 7,
        "C": 32,
        "R": 3675,
        "q_exact_power": [
          128,
          3675
        ],
        "parameters": {
          "d": 4,
          "rho": "31/32",
          "theta": "63/64",
          "B_rho": "65229815808",
          "B_theta": "2087354105856",
          "tail_ratio_threshold": "1/34856377305871210027941888"
        }
      },
      {
        "N": 16,
        "C": 68,
        "R": 17118,
        "q_exact_power": [
          272,
          17118
        ],
        "parameters": {
          "d": 8,
          "rho": "67/68",
          "theta": "135/136",
          "B_rho": "8223766590609335632527360",
          "B_theta": "4210568494391979843854008320",
          "tail_ratio_threshold": "1/18836942486339240497644546016949524960625287588793548800"
        }
      }
    ]
  },
  "33": {
    "A": [
      1,
      2,
      3
    ],
    "m": 2,
    "q": 2,
    "energy": 16,
    "unbounded_width_family": [
      {
        "L": 13,
        "degree": 16,
        "energy": 16,
        "coefficients_total": 10
      },
      {
        "L": 100003,
        "degree": 100006,
        "energy": 16,
        "coefficients_total": 10
      },
      {
        "L": 1000000000000007,
        "degree": 1000000000000010,
        "energy": 16,
        "coefficients_total": 10
      }
    ],
    "general_existential_degree_bound": 19073486328125,
    "short_alternative_degree": 3,
    "all_short_relation_signs_checked": 681
  }
}


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: round3/phase_dilation_40.md
==============================================================================

# Подход 40. Менять фазу фактора и растягивать частоты ради рациональных коэффициентов

18 октября 2026 UTC / 17 октября America/Chicago.
Исходный класс: f_A(x)=sum_{a in A}cos(ax), A — конечное непустое множество
различных положительных целых частот, N=|A|, K(A)=-min_x f_A(x).
Цель остаётся K(A)>=c*sqrt(N) с одной абсолютной c>0.

## 40.1. Проверяемые необычные механизмы

У обычного спектрального фактора можно менять выбор взаимно обратных
корней и общую фазу, сохраняя квадрат его модуля на окружности. Кроме
того, замена всех частот a на L*a не меняет K. Проверяем две возможности:

1. Можно ли выбором фаз и корней всегда сделать ОДИН точный спектральный
   фактор рациональным, а затем ограничить его общий знаменатель?
2. Можно ли общим целочисленным растяжением частот уменьшить минимальный
   знаменатель, если разрешено произвольное конечное число факторов?

Это отличается от №26: там целочисленная сумма любого числа квадратов
опровергнута примером из семи частот. Здесь проверяется один рациональный
фактор с любым знаменателем и действие растяжения частот на все суммы
квадратов. Подстановка z=e^{ix}; рациональные комплексные коэффициенты
понимаются как Q(i), то есть обе компоненты рациональны.

## 40.2. Один рациональный фактор может не существовать ни при каком знаменателе

**Утверждение.** Для каждого целого m>=2 полином

    H_m(z)=2m+z+z^(-1)

строго положителен на окружности, но не существует Laurent-полинома
Q с коэффициентами в Q(i), для которого H_m=|Q|^2.

**Доказательство.** Пусть крайние ненулевые коэффициенты Q имеют показатели
r и s, r<=s. Fourier-коэффициент |Q|^2 при частоте s-r равен произведению
двух крайних коэффициентов с сопряжением и не равен нулю. Поэтому из
степени H_m=1 следует s-r=1. После умножения на моном z^(-r) можно
записать Q=a+bz, где a,b ненулевые гауссовы рациональные числа.

Сравнение коэффициентов даёт

    |a|^2+|b|^2=2m,    b*conj(a)=1.

Положим t=|a|^2. Число t положительно и рационально, |b|^2=1/t, поэтому

    t^2-2m*t+1=0,    t=m +/- sqrt(m^2-1).

Для целого m>=2 число m^2-1 лежит строго между (m-1)^2 и m^2. Его
квадратный корень иррационален: рациональный квадратный корень целого
обязан быть целым. Получено противоречие. Любой выбор общей фазы и
взаимно обратных корней уже охвачен этим аргументом. Доказательство завершено.

При этом конечное разложение с ЦЕЛЫМИ коэффициентами существует:

    H_m(z)=|1+z|^2 + (2m-2)*|1|^2.

Последний член означает 2m-2 одинаковых квадратов. Следовательно,
невозможность одного рационального фактора не означает невозможность
рациональной или даже целочисленной суммы квадратов. Для самого набора
A={1} имеем K=1; он не является контрпримером к Чоуле.

## 40.3. У одного фактора растяжение действительно может изменить арифметику

Показателен точный пример при m=3:

    6+z+z^(-1)             не имеет одного фактора над Q(i);
    6+z^2+z^(-2)=|1+2iz+z^2|^2.

Второе тождество следует и непосредственно:

    1+2i*e^(ix)+e^(2ix)=e^(ix)*(2*cos x+2i),
    |1+2i*e^(ix)+e^(2ix)|^2=4*cos^2 x+4=6+2*cos(2x).

Таким образом, представимость одним рациональным фактором не инвариантна
относительно общего целочисленного растяжения частот. В обоих случаях
число исходных частот равно одному и K=1. Это иллюстрирует, почему нельзя
заменять вопрос о произвольной сумме квадратов вопросом об одном факторе.

## 40.4. Для произвольного числа факторов знаменатель инвариантен

Пусть m — одно и то же положительное целое, а q — положительное целое.
Разрешаем любое конечное число Laurent-факторов с коэффициентами в
(1/q)*Z[i], произвольных степеней.

**Теорема.** Для каждого целого L>=1 эквивалентны:

    2m+2f_A(x)   допускает такую сумму квадратов со знаменателем q;
    2m+2f_(L*A)(x) допускает такую сумму квадратов со знаменателем q.

**Прямое направление.** Подставить z^L вместо z во все факторы.

**Обратное направление.** Пусть H(z^L)=sum_j |Q_j(z)|^2. Разложим
показатели каждого вспомогательного фактора по остаткам modulo L:

    Q_j(z)=sum_(r=0)^(L-1) z^r Q_(j,r)(z^L).

Для Laurent-показателей используется обычное целочисленное деление с
остатком от 0 до L-1. Все коэффициенты Q_(j,r) сохраняют знаменатель q.
Усредним тождество по заменам z на omega^s*z, где omega — примитивный
L-й корень единицы и 0<=s<L. Левая часть неизменна. В правой части
перекрёстные члены разных остатков исчезают:

    (1/L)*sum_s omega^(s*(r-r')) = 1 при r=r', иначе 0.

Следовательно, на окружности

    H(z^L)=sum_(j,r) |Q_(j,r)(z^L)|^2.

Переменная w=z^L пробегает всю окружность. Значит,

    H(w)=sum_(j,r)|Q_(j,r)(w)|^2,

с тем же q. Доказательство завершено.

Если q_min(A,m) — наименьший общий знаменатель среди таких разложений,
то при его существовании строго

    q_min(L*A,m)=q_min(A,m).

Если разложения вообще не существует, эквивалентность сохраняет и это
свойство. При m>K существование ранее доказано в №26. Поскольку
K(L*A)=K(A), равенство применимо и к выбору m=floor(K)+1, и к
выбору m=floor(K)+2 с дополнительным положительным запасом.

Формула использует разбиение вспомогательного сертификата по остаткам;
исходная гипотеза и исходная сумма волн не заменяются задачей о свободно
регулируемых амплитудах или фазах.

## 40.5. Что установлено и чего не следует

Оба предложенных коротких пути к ограничению знаменателя закрыты в
точном указанном смысле. Один рациональный фактор может отсутствовать
даже для одной исходной частоты. Общее целочисленное растяжение частот
вообще не меняет минимальный знаменатель произвольной суммы квадратов.

Это даёт полезное нормирование для дальнейшего поиска: общий делитель
частот можно убрать, сохранив и K, и q_min. Ограничения знаменателя
через N или абсолютной константой отсюда не получено. Теорема Чоулы
не доказана и не опровергнута. Новизна этих вспомогательных утверждений
не устанавливалась.

Точные коэффициентные проверки приведены в phase_dilation_40_checks.py.
Конечные примеры дополняют приведённые общие доказательства и не
используются вместо них.


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: round3/phase_dilation_40_checks.py
==============================================================================

"""Exact public certificate checks for approach 40; standard library only."""
from collections import defaultdict
from fractions import Fraction as F
from math import isqrt
from pathlib import Path
import json


# A pair of Fractions represents a Gaussian rational coefficient.
def add(a, b):
    return a[0] + b[0], a[1] + b[1]


def conjugate(a):
    return a[0], -a[1]


def multiply(a, b):
    return a[0]*b[0]-a[1]*b[1], a[0]*b[1]+a[1]*b[0]


ZERO = (F(0), F(0))


def norm_square(poly):
    result = defaultdict(lambda: ZERO)
    for j, a in poly.items():
        for k, b in poly.items():
            result[j-k] = add(result[j-k], multiply(a, conjugate(b)))
    return {k: v for k, v in result.items() if v != ZERO}


def sum_polynomials(polys):
    result = defaultdict(lambda: ZERO)
    for poly in polys:
        for k, v in poly.items():
            result[k] = add(result[k], v)
    return {k: v for k, v in result.items() if v != ZERO}


def residues(poly, L):
    result = [{} for _ in range(L)]
    for k, v in poly.items():
        quotient, remainder = divmod(k, L)
        result[remainder][quotient] = v
    return result


def main():
    # The no-single-factor proof is general in the note; these are exact examples.
    discriminants = []
    for m in range(2, 17):
        d = m*m-1
        assert (m-1)**2 < d < m*m
        assert isqrt(d)**2 != d
        rhs = norm_square({0:(F(1),F(0)), 1:(F(1),F(0))})
        rhs[0] = add(rhs[0], (F(2*m-2), F(0)))
        assert rhs == {0:(F(2*m),F(0)),1:(F(1),F(0)),-1:(F(1),F(0))}
        discriminants.append({'m':m,'m_squared_minus_one':d})

    factor = {0:(F(1),F(0)),1:(F(0),F(2)),2:(F(1),F(0))}
    assert norm_square(factor) == {0:(F(6),F(0)),2:(F(1),F(0)),-2:(F(1),F(0))}
    split = residues(factor,2)
    assert split == [{0:(F(1),F(0)),1:(F(1),F(0))},{0:(F(0),F(2))}]
    assert sum_polynomials([norm_square(p) for p in split]) == {
        0:(F(6),F(0)),1:(F(1),F(0)),-1:(F(1),F(0))}

    # Verify the whole coefficient identity including negative exponents and
    # nonintegral real/imaginary coefficients; no root-of-unity floating point.
    examples = [factor, {-7:(F(1,3),F(-2,5)), -2:(F(2,3),F(1)),
                        0:(F(-4,7),F(0)), 5:(F(1),F(3,2)),
                        11:(F(0),F(-1,5))}]
    receipts = []
    for index, poly in enumerate(examples):
        square = norm_square(poly)
        for L in (1,2,3,5,8):
            averaged_and_rescaled = {k//L:v for k,v in square.items() if k % L == 0}
            computed = sum_polynomials([norm_square(p) for p in residues(poly,L)])
            assert computed == averaged_and_rescaled
            receipts.append({'polynomial':index,'dilation':L,'identity_exact':True})

    result = {'all_checks_passed':True,'arithmetic':'integers and Gaussian rationals',
              'discriminant_samples':discriminants,
              'single_factor_dilation_example':True,'residue_identity_checks':receipts,
              'scope':'Exact coefficient identities; general proofs are in phase_dilation_40.md.'}
    target=Path(__file__).with_name('phase_dilation_40_results.json')
    target.write_text(json.dumps(result,indent=2)+'\n')
    print(json.dumps({'all_checks_passed':True,'residue_identities':len(receipts),
                      'result_file':str(target)}))


if __name__=='__main__':
    main()


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: round3/phase_dilation_40_results.json
==============================================================================

{
  "all_checks_passed": true,
  "arithmetic": "integers and Gaussian rationals",
  "discriminant_samples": [
    {
      "m": 2,
      "m_squared_minus_one": 3
    },
    {
      "m": 3,
      "m_squared_minus_one": 8
    },
    {
      "m": 4,
      "m_squared_minus_one": 15
    },
    {
      "m": 5,
      "m_squared_minus_one": 24
    },
    {
      "m": 6,
      "m_squared_minus_one": 35
    },
    {
      "m": 7,
      "m_squared_minus_one": 48
    },
    {
      "m": 8,
      "m_squared_minus_one": 63
    },
    {
      "m": 9,
      "m_squared_minus_one": 80
    },
    {
      "m": 10,
      "m_squared_minus_one": 99
    },
    {
      "m": 11,
      "m_squared_minus_one": 120
    },
    {
      "m": 12,
      "m_squared_minus_one": 143
    },
    {
      "m": 13,
      "m_squared_minus_one": 168
    },
    {
      "m": 14,
      "m_squared_minus_one": 195
    },
    {
      "m": 15,
      "m_squared_minus_one": 224
    },
    {
      "m": 16,
      "m_squared_minus_one": 255
    }
  ],
  "single_factor_dilation_example": true,
  "residue_identity_checks": [
    {
      "polynomial": 0,
      "dilation": 1,
      "identity_exact": true
    },
    {
      "polynomial": 0,
      "dilation": 2,
      "identity_exact": true
    },
    {
      "polynomial": 0,
      "dilation": 3,
      "identity_exact": true
    },
    {
      "polynomial": 0,
      "dilation": 5,
      "identity_exact": true
    },
    {
      "polynomial": 0,
      "dilation": 8,
      "identity_exact": true
    },
    {
      "polynomial": 1,
      "dilation": 1,
      "identity_exact": true
    },
    {
      "polynomial": 1,
      "dilation": 2,
      "identity_exact": true
    },
    {
      "polynomial": 1,
      "dilation": 3,
      "identity_exact": true
    },
    {
      "polynomial": 1,
      "dilation": 5,
      "identity_exact": true
    },
    {
      "polynomial": 1,
      "dilation": 8,
      "identity_exact": true
    }
  ],
  "scope": "Exact coefficient identities; general proofs are in phase_dilation_40.md."
}


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: round2/INDEX.md
==============================================================================

# Раунд 21–30: указатель результатов и воспроизводимость

18 октября 2026 UTC / 17 октября America/Chicago.
Состояние: десять механизмов проверены, единый журнал обновлён.
Общего доказательства или контрпримера к гипотезе Чоулы нет.

## Навигация

| Номера | Полная математическая запись | Основной результат |
|---|---|---|
| 21–23 | analysis_21_23.md | Неделимость критической плотности; транспортный и контактный контрпримеры |
| 24–26 | geometry_24_26.md | Квадратурное препятствие; нормовые контрмодели; граница через знаменатель фактора |
| 27–29 | constructions_27_29.md | Два асимптотических препятствия для положительных масок; нарушение положительности при дробных степенях |
| 30 | descent_30.md | Вполне упорядоченность значений при фиксированном N и границы этого результата |

Каждая запись называет проверяемую гипотезу или операцию, даёт математическое
обоснование и отдельно оговаривает, что именно из результата не следует.
Родство новых подходов с предыдущими, а также общий барьер у 27 и 28,
не скрывается. Нумерация относится к проверенным механизмам.

## Исполнимые проверки

Все команды выполняются из корня каталога исследовательских материалов.
Новые скрипты используют только стандартную библиотеку Python 3.

```bash
python3 round2/analysis_21_23_checks.py
python3 round2/geometry_checks.py
python3 round2/constructions_27_29.py
```

Последний скрипт отдельно обозначает обычные вычисления косинусов как
приблизительные sanity checks. Его строгие численные границы получены
рациональными неравенствами и целочисленными сравнениями. Геометрический
скрипт сертифицирует весь интервал y=cos(x) от -1 до 1; угловая сетка
для доказательства не используется. Первый скрипт выводит результат в
stdout; сохранённая копия находится в analysis_21_23_results.json.

## Повторная проверка основным участником

18 октября 2026 UTC все три скрипта повторно запущены с кодом завершения 0.
Выходы подтвердили:

- Все точные арифметические утверждения блока 21–23.
- Восемь интервалов положительности для A={1,2,3,5,6,7,8};
  1<K<2 и невозможность целочисленной суммы квадратов при m=2.
- Для конструкции 27 при N=32895: K>6770 и K>37*sqrt(N).
- Для конструкции 28 при N=32768: K>6951 и K>38*sqrt(N).

Последние два результата — нижние оценки K по предъявленной отрицательной
точке, а не вычисление глобального минимума. Асимптотическое расхождение
K/sqrt(N) к бесконечности доказывается отдельно аналитически для полных
семейств. Конечные вычисления не используются как доказательство этого
предела.

Математические проверки по блокам записаны в audit_21_23.md,
audit_24_26.md, audit_27_29.md и audit_30.md. Это внутренние проверки
исследования с участием ИИ, не внешняя научная рецензия. Приоритет не
установлен, формальная машинная верификация не проводилась.

## Исправления

В 23.2 уточнено: у неотрицательной функции в точке нуля порядок не ниже
двух, но не обязательно ровно два. Уточнение внесено до окончательной
сборки журнала; его происхождение сохранено в audit_21_23.md.

Вариант топологического подхода, обсуждавшийся как кандидат на номер 26,
не включён в число проверенных: для этого номера фактически разработана
и проверена арифметика знаменателей спектральных факторов.

## Граница результата

Условие ограниченного знаменателя в 26 остаётся недоказанным. Теорема 30
даёт структурное свойство при каждом фиксированном N, но не равномерную
по N нижнюю оценку. Ни один вспомогательный пример с неединичными
коэффициентами не представлен как контрпример в исходном классе.


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: round2/analysis_21_23.md
==============================================================================

# Подходы 21–23: свёрточная неделимость, транспорт и граничная интерполяция

Дата: 18 октября 2026 года, UTC.

Это проверяемые математические пояснения к исследованию, а не запись внутреннего процесса рассуждений. Общая гипотеза Чоулы не доказана. Новизна приведённых наблюдений не установлена. Под «опровержением подхода» ниже понимается опровержение точно указанного промежуточного утверждения, а не невозможность всего соответствующего направления.

## Обозначения и общая цель

Пусть A — конечное непустое множество различных положительных целых чисел, N=|A|,

\[
f(x)=\sum_{a\in A}\cos(ax),\qquad K=-\min_{x\in\mathbb T}f(x),
\qquad \mathbb T=\mathbb R/(2\pi\mathbb Z).
\]

Интегралы по окружности нормированы так, что интеграл постоянной 1 равен 1. Требуется одна постоянная c>0 с K≥c√N для всех A. Во всех утверждениях об исходной задаче сохраняются единичные амплитуды, нулевые фазы и неограниченные целые частоты.

Полезное элементарное наблюдение: K≥1. Действительно, если D=max A, усреднение неотрицательной функции K+f по сдвигам 2πj/D, 0≤j<D, даёт K+cos(Dx)≥0. Для D=1 это то же равенство без усреднения.

## 21. «Разделить вероятность на дробные шаги»: запрет свёрточных корней

### Проверяемая идея

Вместо деления волн на поднаборы преобразовать всю сумму в одно распределение вероятности

\[
u(x)=\frac{K+f(x)}K=1+2\rho f(x),\qquad \rho=\frac1{2K}.
\]

Попытаться представить это распределение как закон суммы нескольких независимых одинаково распределённых случайных сдвигов. Если корни существовали бы до сколь угодно малых шагов, появились бы инструменты непрерывных вероятностных процессов. Это дополнительный механизм после ранее изученной свёрточной эквивалентности; сама та эквивалентность здесь не считается новым результатом.

### Проверка 21.1: у критического распределения нет ни одного вероятностного корня порядка m≥2

Предположим, что существует вероятностная мера ν на окружности с

\[
\nu^{*m}=u\,dx/(2\pi),\qquad m\ge2.
\]

При соглашении \(\widehat\nu(n)=\int e^{-inx}\,d\nu(x)\) получаем

\[
\widehat\nu(n)^m=\widehat u(n).
\]

Вне конечного множества S={0}∪A∪(−A) правая часть равна нулю, следовательно, и \(\widehat\nu(n)=0\). По единственности коэффициентов Фурье конечных мер ν имеет плотность

\[
v(x)=\sum_{n\in S}\widehat\nu(n)e^{inx}.
\]

Поскольку ν — вероятностная мера, этот вещественный тригонометрический полином неотрицателен и имеет интеграл 1. Он не тождественно равен нулю; поэтому его множество нулей конечно. Отсюда для любого фиксированного x

\[
(v*v)(x)=\int v(y)v(x-y)\,dy/(2\pi)>0.
\]

Подынтегральное выражение положительно вне конечного множества. Более высокие свёрточные степени также всюду строго положительны: достаточно сворачивать положительную непрерывную функцию с вероятностной плотностью. Но u достигает нуля в каждой точке минимума f. Получено противоречие.

**Строгий результат:** критически сдвинутая косинусная сумма не имеет вероятностного свёрточного корня ни одного целого порядка m≥2. Возможные комплексные фазы коэффициентов корня доказательству не мешают. Не требуется предполагать, что корень симметричен или что его коэффициенты выбраны положительными.

### Проверка 21.2: даже после дополнительного положительного сдвига порядок корня ограничен

Рассмотрим более общую неотрицательную плотность

\[
w(x)=1+2\rho f(x),\qquad \rho>0,
\]

без требования, что она достигает нуля. Если ν является её корнем порядка m, его плотность v имеет тот же конечный спектр S. Для D=max A усреднение v по D равномерным сдвигам даёт

\[
\frac1D\sum_{j=0}^{D-1}v(x+2\pi j/D)
=1+2\operatorname{Re}(\widehat\nu(D)e^{iDx})\ge0.
\]

Следовательно, \(|\widehat\nu(D)|\le1/2\). Но \(|\widehat\nu(D)|=\rho^{1/m}\). Поэтому

\[
\boxed{\rho\le 2^{-m},\qquad m\le\log_2(1/\rho).}
\]

В частности, ни одна неравномерная вероятностная плотность с конечным спектром не может иметь корни всех целых порядков. Для произвольных, не обязательно равных ненулевых коэффициентов тот же аргумент использует абсолютную величину старшего коэффициента вместо ρ.

Оценка по m точна уже для одной частоты. При A={D} корень существует тогда и только тогда, когда ρ≤2^{-m}: при выполнении условия подходит

\[
v(x)=1+2\rho^{1/m}\cos(Dx).
\]

### Вывод и ограничение

Непрерывный вероятностный процесс с такими точными одинаковыми спектральными коэффициентами построить этим способом нельзя. Запрет корней даёт настоящий общий структурный факт, но он выполняется уже при N=1. Полученная оценка не содержит N и сама по себе не приводит к K≥c√N.

Здесь НЕ утверждается, что нельзя разложить u в свёртку двух разных произвольных мер. Доказан запрет одинаковых вероятностных корней, то есть ν^{*m}=u. Также не утверждается, что близость к делимому распределению невозможна.

## 22. «Сделать волну деформацией пространства»: транспортная карта окружности

### Проверяемая идея и точное преобразование

Вместо исследования амплитуды непосредственно зададим подъём отображения окружности

\[
T(x)=x+\frac1K\sum_{a\in A}\frac{\sin(ax)}a.
\]

Тогда

\[
T'(x)=1+\frac{f(x)}K=u(x)\ge0,
\qquad T(x+2\pi)=T(x)+2\pi.
\]

Поскольку u — неотрицательный ненулевой тригонометрический полином, интеграл u на любом непустом интервале положителен. Поэтому T строго возрастает и задаёт гомеоморфизм окружности. Замена переменной y=T(x) переносит меру u(x)dx/(2π) в равномерную меру dy/(2π).

По ортогональности синусов и косинусов,

\[
\|T-\mathrm{id}\|_2^2
=\frac1{2K^2}\sum_{a\in A}\frac1{a^2},
\qquad
\|T'-1\|_2^2=\frac N{2K^2}.
\]

Таким образом, гипотеза Чоулы равносильна одному общему верхнему пределу для энергии искажения \(\|T'-1\|_2^2\) именно этого класса транспортных карт.

### Проверяемый дополнительный шаг

Попробовать вывести контроль энергии искажения из малости перемещения T−id, монотонности, степени 1 и обратимости. Такая идея была бы особенно полезна после сжатия/переноса частот.

### Проверка 22.1: малое перемещение не контролирует отклонение производной даже в точном классе задачи

Пусть q — любое положительное нечётное число и

\[
A_q=\{q,q+2\}.
\]

Частоты различны, gcd(q,q+2)=1. В точке x=π оба косинуса равны −1, поэтому N=2 и K=2 точно. Получаем

\[
T_q(x)=x+\frac{\sin(qx)}{2q}
             +\frac{\sin((q+2)x)}{2(q+2)}.
\]

Для всех q

\[
\|T_q-\mathrm{id}\|_\infty
\le\frac1{2q}+\frac1{2(q+2)}<\frac1q\longrightarrow0,
\]

но

\[
\boxed{\|T_q'-1\|_2^2=\frac14.}
\]

Следовательно, не существует функции ω(s)→0 при s→0, которая для всех этих карт обеспечивала бы

\[
\|T'-1\|_2^2\le\omega(\|T-\mathrm{id}\|_\infty).
\]

Это точный контрпример к проверенному переходу, использующий единичные амплитуды и взаимно простые частоты. Он не сводится к растяжению одного набора общим множителем.

### Проверка 22.2: обратимость не означает равномерной гладкости обратного отображения

Уже при A={1}, K=1 имеем T(x)=x+sin x. В окрестности π,

\[
T(\pi+h)-\pi=\frac{h^3}{6}+O(h^5).
\]

Поэтому обратная карта имеет локальный характер кубического корня и не является липшицевой. Доказательство, предполагающее для всех критических T равномерную липшицевость T^{-1}, ошибочно уже на этой одной волне.

### Вывод и ограничение

Геометрическое преобразование корректно для всех наборов сразу. Оно превращает цель в точное ограничение энергии транспортной карты, однако использованные качественные свойства не дают такого ограничения. Контрпример 22.1 исключает переход «почти тождественное отображение ⇒ малая энергия производной»; он НЕ опровергает существование абсолютного верхнего предела для этой энергии. Последнее и есть нерешённый шаг, равносильный Чоуле.

## 23. «Использовать только точки касания»: граничная Pick-интерполяция

### Проверяемая идея

После критического сдвига положительная функция касается нуля. Возможно, аналитическая жёсткость в этих точках вынуждает большой K. В отличие от ранее проверенной общей H²-оценки преобразования Шура, здесь используются граничные значения, угловые производные и совместная матрица нескольких контактов.

Положим

\[
P(z)=\sum_{a\in A}z^a,\quad H(z)=K+P(z),
\quad S(z)=\frac{P(z)}{2K+P(z)}.
\]

В единичном диске Re H>0, следовательно, знаменатель S не обращается в ноль и |S|<1; S(0)=0. В точке контакта \(\zeta_j=e^{i\theta_j}\), где f(θ_j)=−K, введём

\[
Y_j=\sum_{a\in A}\sin(a\theta_j),\qquad
R_j=\sum_{a\in A}a\cos(a\theta_j).
\]

Так как f'(θ_j)=0, величина \(\zeta_jP'(\zeta_j)=R_j\) вещественна. Кроме того,

\[
P(\zeta_j)=-K+iY_j,\qquad
S(\zeta_j)=\frac{-K+iY_j}{K+iY_j}=:\alpha_j,
\quad |\alpha_j|=1.
\]

### Проверка 23.1: точная контактная производная и её ограничение

Прямое дифференцирование даёт

\[
d_j:=\frac{\zeta_j S'(\zeta_j)}{S(\zeta_j)}
=\boxed{\frac{-2KR_j}{K^2+Y_j^2}}.
\]

Это угловая производная функции Шура в данной точке. Граничная форма леммы Шварца даёт d_j≥1. Если m=min A, то S имеет нуль порядка m в начале координат, S=z^m B с |B|≤1, и угловая производная B неотрицательна. Поэтому d_j≥m. В исходных обозначениях получаем

\[
\boxed{-\sum_{a\in A}a\cos(a\theta_j)
\ge\frac{m(K^2+Y_j^2)}{2K}.}
\]

### Проверка 23.2: несколько точек контакта действительно дают положительную матрицу

Для любых различных контактов θ_1,…,θ_s матрица

\[
Q_{jj}=d_j,
\qquad Q_{jk}=\frac{1-\alpha_j\overline{\alpha_k}}
                         {1-\zeta_j\overline{\zeta_k}}
\quad(j\ne k)
\]

положительно полуопределена. Это необходимое граничное условие Неванлинны — Пика. Само по себе оно не является достаточным условием интерполяции при точно заданных производных; здесь используется только необходимая часть.

Эквивалентное необходимое условие можно вывести без преобразования S. Для Re H>0 ядро

\[
\frac{H(z)+\overline{H(w)}}{1-z\overline w}
=2\int_{\mathbb T}\frac{K+f(t)}
{(1-ze^{-it})(1-\overline w e^{it})}\,\frac{dt}{2\pi}
\]

является матрицей скалярных произведений. Его предел на контактах имеет диагональ −R_j и внедиагональные элементы

\[
\frac{i(Y_j-Y_k)}{1-\zeta_j\overline{\zeta_k}}.
\]

Добавление точки z=0 даёт диагональный элемент 2K и связи K−iY_j. Положительность двухточечного главного минора вновь даёт \(-R_j\ge(K^2+Y_j^2)/(2K)\). Обращение K+f в ноль порядка не ниже двух обеспечивает существование соответствующих граничных интегралов; точный порядок два здесь не предполагается.

Если группа контактов имеет одно и то же α_j=α, внедиагональные элементы Q равны нулю. Добавив z=0 к матрице Шура и взяв дополнение Шура, получаем

\[
\boxed{\sum_{j:\alpha_j=\alpha}\frac1{d_j}\le1.}
\]

В языке мер Кларка числа 1/d_j являются массами граничных атомов одной вероятностной меры. Последнее неравенство здесь уже доказано непосредственно матрицей, без необходимости использовать весь аппарат этих мер.

### Проверяемый дополнительный шаг

Естественная попытка извлечь из последнего неравенства Чоулу — доказать, что для некоторого общего значения α суммарная масса контактов с α_j=α не меньше cN/K². Тогда верхняя оценка 1 дала бы K≥√(cN). Нужно проверить, действительно ли большой частотный вес можно заменить числом частот. Для контактов с разными α верхняя оценка 1 этим аргументом не установлена.

### Проверка 23.3: универсальная нижняя оценка контактной массы ложна даже при N=2 и gcd A=1

Пусть

\[
A_D=\{1,D\},\qquad D\ge3\text{ нечётно}.
\]

Тогда K=2. Единственный контакт на окружности — θ=π: для достижения −2 оба косинуса должны равняться −1, а cos θ=−1 уже фиксирует θ=π. В этой точке

\[
Y=0,\quad R=-(D+1),\quad\alpha=-1,
\quad d=D+1.
\]

Следовательно, даже сумма по ВСЕМ контактам равна

\[
\boxed{\sum\frac1d=\frac1{D+1}\longrightarrow0,}
\]

тогда как N/K²=1/2 неизменно. Таким образом, никакая абсолютная c>0 не может обеспечить \(\sum1/d\ge cN/K^2\) для всех исходных наборов.

Это одновременно показывает, что граничная производная может быть неограниченной при фиксированных N, K и минимальной частоте 1. Исключение общего делителя частот препятствие не устраняет.

### Вывод и ограничение

Получены корректные общие контактные и многоточечные ограничения. Проверенный переход от контактных масс к числу частот опровергнут точной бесконечной семьёй. Для решения через этот аппарат требуется дополнительное использование всех коэффициентов P либо другой, пока недоказанный способ контролировать частотные веса. Неверность одной оценки контактной массы не исключает другие способы применения граничной интерполяции.

## Первичный источник и границы ссылок

Граничные ядра и матрицы сверены по первичному исследованию:

- V. Bolotnikov, A. Kheifets, *Boundary Nevanlinna–Pick interpolation problems for generalized Schur functions*, arXiv:math/0507481 (2005), введение, формулы (1.1)–(1.8): https://arxiv.org/pdf/math/0507481 . Там же явно различаются необходимые условия для точных производных и задача с верхними пределами производных.

Все специальные утверждения о множествах A, свёрточных корнях, транспортных картах и примерах выше снабжены собственными доказательствами в этом документе. Источник по интерполяции подтверждает применяемый стандартный аппарат, а не новизну или независимую внешнюю проверку настоящего исследования.

## Сводка трёх статусов

| ID | Точно проверенный механизм | Итог |
|---:|---|---|
| 21 | Извлечение вероятностных свёрточных корней | У критической суммы любые корни порядка ≥2 невозможны; у некритической суммы порядок ≤log₂(1/ρ). Количественной связи с N нет. |
| 22 | Контроль энергии через геометрию транспортной карты | Преобразование и энергетическая формула точны. Контроль производной малостью перемещения опровергнут допустимой бесконечной семьёй; общая энергетическая оценка остаётся эквивалентной Чоуле. |
| 23 | Контакты, угловые производные и матрица Пика | Точные ограничения выведены. Предложенная универсальная нижняя оценка контактной массы через N/K² опровергнута семейством {1,D}. |

Общий результат K≥c√N этим блоком не получен.

## Воспроизводимая проверка точной арифметикой

Файл `analysis_21_23_checks.py` выполнен успешно; вывод записан в `analysis_21_23_results.json`. Он использует только рациональные числа и точные операции в поле Q(i√15), без численных тригонометрических приближений.

Дополнительно к основным формулам проверены все четыре возможные ветви квадратного корня для критической плотности A={1,3}. Старший коэффициент допускает граничное равенство ρ=1/4, но каждая ветвь нарушает неотрицательность: точное отрицательное значение получается при cos x∈{−1,−1/2,1/2,1}.

Для двух контактов A={1,2} независимо получены K=9/8, d_1=d_2=3 и внедиагональный элемент матрицы Пика (21+3i√15)/32. Её собственные значения равны 9/4 и 15/4; после добавления начала координат дополнение Шура имеет собственные значения 3/2 и 5/2. Это проверка знаков, нормировок и граничной матрицы на полностью точном примере; общий статус результата опирается на доказательства выше, а не на конечную выборку.


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: round2/analysis_21_23_checks.py
==============================================================================

"""Exact-arithmetic checks for the specific formulas in analysis_21_23.md.

These checks support the displayed derivations. They do not prove Chowla's
conjecture, its negation, or a general theorem by testing finitely many sets.
Run with Python 3 using only the standard library.
"""

from fractions import Fraction as F
from itertools import product
import json


def chebyshev(n, y):
    if n == 0:
        return F(1)
    prev, cur = F(1), y
    for _ in range(1, n):
        prev, cur = cur, 2 * y * cur - prev
    return cur


# A probability density 1+cos(Dx) has coefficient 1/2 at +/-D.
# Its m-th convolution power has coefficient 2**(-m), exactly the sharp
# one-frequency divisibility threshold; the value of D does not enter.
root_thresholds = []
for m in (2, 3, 8, 31):
    rho = F(1, 2) ** m
    assert rho == F(1, 2**m)
    root_thresholds.append({"order": m, "rho": str(rho)})


# For A={1,3}, critical K=2 and rho=1/4. The top-coefficient bound alone
# permits a square root. All four possible Fourier branches nevertheless
# fail positivity; the points below give exact rational certificates.
square_root_branches = []
for s1, s3 in product((-1, 1), repeat=2):
    values = [(F(1) + s1*y + s3*chebyshev(3, y), y)
              for y in (F(-1), F(-1, 2), F(1, 2), F(1))]
    val, y = min(values)
    assert val < 0
    square_root_branches.append({
        "signs": [s1, s3], "cos_x": str(y), "density_value": str(val)
    })


# Coprime odd pairs give exactly K=2 and transport derivative energy 1/4,
# although the maximum displacement is bounded above by a number ->0.
transport_samples = []
for q in (1, 3, 101, 10001):
    bound = F(1, 2*q) + F(1, 2*(q+2))
    energy = F(2, 2*2**2)
    assert bound < F(1, q)
    assert energy == F(1, 4)
    transport_samples.append({
        "frequencies": [q, q+2],
        "K": 2,
        "sup_displacement_upper_bound": str(bound),
        "derivative_energy": str(energy)
    })


# Arithmetic in Q(i sqrt(15)) for the exact two-contact example A={1,2}.
# A pair (a,b) represents a+b*i*sqrt(15).
def add(z, w):
    return z[0]+w[0], z[1]+w[1]


def neg(z):
    return -z[0], -z[1]


def mul(z, w):
    return z[0]*w[0]-15*z[1]*w[1], z[0]*w[1]+z[1]*w[0]


def conj(z):
    return z[0], -z[1]


def norm2(z):
    return z[0]**2+15*z[1]**2


def div(z, w):
    p = mul(z, conj(w))
    d = norm2(w)
    return p[0]/d, p[1]/d


one = (F(1), F(0))
zeta = (F(-1, 4), F(1, 4))
alpha = (F(-11, 16), F(3, 16))
assert norm2(zeta) == norm2(alpha) == 1
off = div(add(one, neg(mul(alpha, alpha))),
          add(one, neg(mul(zeta, zeta))))
assert off == (F(21, 32), F(3, 32))
assert norm2(off) == F(9, 16)

K = F(9, 8)
y = F(-1, 4)
assert 2*y*y+y-1 == -K
R = y+2*chebyshev(2, y)
assert R == -2
Y_squared = F(15, 64)
d = -2*K*R/(K*K+Y_squared)
assert d == 3
# Q's eigenvalues are d +/- 3/4. Adding the origin is verified by the
# Schur complement Q - 11*, whose diagonal is 2 and off-diagonal modulus 1/2.
assert norm2(add(off, neg(one))) == F(1, 4)
two_contact_check = {
    "frequencies": [1, 2], "K": str(K), "angular_derivatives": [3, 3],
    "Pick_off_diagonal": "(21+3*i*sqrt(15))/32",
    "Pick_eigenvalues": [str(F(9, 4)), str(F(15, 4))],
    "origin_Schur_complement_eigenvalues": [str(F(3, 2)), str(F(5, 2))]
}


contact_mass_samples = []
for D in (3, 5, 101, 10001):
    K = F(2)
    R = F(-D-1)
    d = -2*K*R/(K*K)
    assert d == D+1
    # The augmented Schur Pick matrix is [[1,1],[1,D+1]].
    assert d-1 > 0
    contact_mass_samples.append({
        "frequencies": [1, D], "K": 2,
        "contact_mass": str(1/d), "N_over_K_squared": "1/2"
    })


print(json.dumps({
    "status": "all exact arithmetic assertions passed",
    "scope": "formula and explicit-counterexample checks, not proof by finite sampling",
    "one_frequency_root_thresholds": root_thresholds,
    "critical_square_root_branch_certificates": square_root_branches,
    "transport_samples": transport_samples,
    "two_contact_Pick_check": two_contact_check,
    "contact_mass_samples": contact_mass_samples,
}, ensure_ascii=False, indent=2))


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: round2/analysis_21_23_results.json
==============================================================================

{
  "status": "all exact arithmetic assertions passed",
  "scope": "formula and explicit-counterexample checks, not proof by finite sampling",
  "one_frequency_root_thresholds": [
    {
      "order": 2,
      "rho": "1/4"
    },
    {
      "order": 3,
      "rho": "1/8"
    },
    {
      "order": 8,
      "rho": "1/256"
    },
    {
      "order": 31,
      "rho": "1/2147483648"
    }
  ],
  "critical_square_root_branch_certificates": [
    {
      "signs": [
        -1,
        -1
      ],
      "cos_x": "1",
      "density_value": "-1"
    },
    {
      "signs": [
        -1,
        1
      ],
      "cos_x": "1/2",
      "density_value": "-1/2"
    },
    {
      "signs": [
        1,
        -1
      ],
      "cos_x": "-1/2",
      "density_value": "-1/2"
    },
    {
      "signs": [
        1,
        1
      ],
      "cos_x": "-1",
      "density_value": "-1"
    }
  ],
  "transport_samples": [
    {
      "frequencies": [
        1,
        3
      ],
      "K": 2,
      "sup_displacement_upper_bound": "2/3",
      "derivative_energy": "1/4"
    },
    {
      "frequencies": [
        3,
        5
      ],
      "K": 2,
      "sup_displacement_upper_bound": "4/15",
      "derivative_energy": "1/4"
    },
    {
      "frequencies": [
        101,
        103
      ],
      "K": 2,
      "sup_displacement_upper_bound": "102/10403",
      "derivative_energy": "1/4"
    },
    {
      "frequencies": [
        10001,
        10003
      ],
      "K": 2,
      "sup_displacement_upper_bound": "10002/100040003",
      "derivative_energy": "1/4"
    }
  ],
  "two_contact_Pick_check": {
    "frequencies": [
      1,
      2
    ],
    "K": "9/8",
    "angular_derivatives": [
      3,
      3
    ],
    "Pick_off_diagonal": "(21+3*i*sqrt(15))/32",
    "Pick_eigenvalues": [
      "9/4",
      "15/4"
    ],
    "origin_Schur_complement_eigenvalues": [
      "3/2",
      "5/2"
    ]
  },
  "contact_mass_samples": [
    {
      "frequencies": [
        1,
        3
      ],
      "K": 2,
      "contact_mass": "1/4",
      "N_over_K_squared": "1/2"
    },
    {
      "frequencies": [
        1,
        5
      ],
      "K": 2,
      "contact_mass": "1/6",
      "N_over_K_squared": "1/2"
    },
    {
      "frequencies": [
        1,
        101
      ],
      "K": 2,
      "contact_mass": "1/102",
      "N_over_K_squared": "1/2"
    },
    {
      "frequencies": [
        1,
        10001
      ],
      "K": 2,
      "contact_mass": "1/10002",
      "N_over_K_squared": "1/2"
    }
  ]
}


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: round2/audit_21_23.md
==============================================================================

# Независимая внутренняя проверка подходов 21–23

18 октября 2026 года, UTC.

Проверены `analysis_21_23.md`, `analysis_21_23_checks.py` и сохранённый
`analysis_21_23_results.json`. Проверяющий не является автором этих файлов.
Код повторно выполнен; все точные арифметические утверждения прошли.
Это отдельная проверка внутри данного исследования с участием ИИ,
а не внешняя экспертиза математиком, рецензирование или формальная
верификация в системе доказательств.

## Вердикт

Математических ошибок в заявленных выводах не найдено. Найдено одно
уточнение формулировки: при обосновании граничного интеграла в 23.2
достаточно и гарантируется обращение K+f в ноль **порядка не ниже двух**;
точный порядок два не следует из одной неотрицательности и не требуется.
Это редакционное уточнение, не изменение доказательства или результата.
Автору оно сообщено.

## 21. Свёрточные корни

### Конечность спектра корня

Из равенства мер nu^{*m}=u dx/(2*pi) следует
hat(nu)(n)^m=hat(u)(n) для каждого целого n. Если коэффициент u равен нулю,
единственный его комплексный корень равен нулю. Поэтому корень имеет
конечный спектр независимо от возможных фаз остальных коэффициентов.

Единственность коэффициентов Фурье конечных мер действительно
отождествляет nu с указанной тригонометрической плотностью v. Поскольку
v непрерывна, её неотрицательность почти всюду автоматически означает
неотрицательность в каждой точке.

### Строгая положительность свёртки

Ненулевой тригонометрический полином имеет лишь конечное число нулей на
окружности: после умножения на одну экспоненту это следует из конечной
степени обычного комплексного полинома. Для каждого x произведение
v(y)v(x-y) положительно вне объединения двух конечных множеств. Его
интеграл строго положителен.

Следовательно, v*v>0 всюду. Более высокие степени сохраняют строгую
положительность. Равенство мер здесь является равенством непрерывных
плотностей во всех точках; его нельзя спасти изменением значения u в
одной точке. Наличие хотя бы одного нуля критической плотности u
действительно исключает все одинаковые вероятностные корни m>=2.

### Ограничение rho<=2^{-m}

Поскольку все частоты лежат между -D и D, усреднение по сдвигам 2*pi*j/D
оставляет только частоты 0 и +/-D. Это верно также при D=1. Сохранившаяся
плотность имеет вид 1+2 Re(c e^{iDx}), поэтому неотрицательность равносильна
|c|<=1/2. Из |c|=rho^{1/m} следует ровно rho<=2^{-m}, с правильной
нормировкой Fourier coefficient=cosine coefficient/2.

Для одного D предъявленный корень неотрицателен при выполнении условия,
а свёртка возводит его ненулевой коэффициент в степень m. Поэтому
заявленная точность порога подтверждена. Существование корня при равенстве
для одночастотной некритической плотности не противоречит неделимости
критической плотности: при A={D} критическое rho равно 1/2, а не 2^{-m}.

Оговорка про запрет только **одинаковых** корней существенна и сохранена.
Доказательство не распространяется автоматически на свёртку двух разных
мер с взаимодополняющими нулевыми коэффициентами.

## 22. Транспортная карта

Проверены производная T'=u, степень один и обе нормированные L2-формулы.
Хотя T' может обращаться в ноль, она имеет положительный интеграл на
каждом непустом интервале. Поэтому T строго возрастает; существование
гомеоморфизма не требует строгой положительности T' в каждой точке.

Для нечётного q набор {q,q+2} действительно имеет gcd=1. В точке pi оба
косинуса равны -1, а сумма нигде не меньше -2, следовательно, K=2 точно.
Ортогональность даёт энергию производной 1/4, тогда как предъявленная
верхняя оценка перемещения стремится к нулю. Тем самым опровергнут именно
модуль непрерывности с omega(s)->0, а не гипотетическая абсолютная верхняя
оценка энергии. Это различие в исходном документе проведено верно.

Для T=x+sin x независимо проверено разложение
T(pi+h)-pi=h^3/6+O(h^5). Локальная нелипшицевость обратного отображения
следует непосредственно и не требует численного эксперимента.

## 23. Граничные производные и Pick-матрица

### Проверка знаков и нормировок

Из f'(theta_j)=0 действительно следует, что zeta_j P'(zeta_j)=R_j
вещественно. Дифференцирование
S=P/(2K+P) даёт S'=2K P'/(2K+P)^2. В контакте

    (2K+P)P=(K+iY)(-K+iY)=-(K^2+Y^2),

поэтому d=-2KR/(K^2+Y^2), с отрицательным знаком перед R, как в записи.
Утверждение d>=min A следует из S=z^m B и граничной леммы Шварца;
аналитичность у границы здесь обеспечена тем, что Re(2K+P)>=K>0.

### Положительные ядра

Для положительной вещественной части H=K+P проверена нормировка ядра:

    (H(z)+conj(H(w)))/(1-z*conj(w))
      =2 integral (K+f(t))/[(1-z*e^(-it))(1-conj(w)*e^(it))].

Радиальный предел на диагонали контакта равен -R, а не -2R.
В точке 0 диагональ равна 2K, и связь с контактом равна K-iY.
Соответствующий минор действительно даёт
-R >= (K^2+Y^2)/(2K).

Неотрицательная аналитическая функция K+f имеет у контакта нуль чётного
порядка не ниже двух. Поэтому деление на квадрат расстояния в указанном
граничном интеграле локально интегрируемо. Это уточняет фразу о
«квадратичном обращении в ноль» без изменения вывода.

Schur-ядро имеет граничную диагональ d и предъявленные внедиагональные
элементы. Для общего значения alpha последние действительно равны нулю.
После добавления 0 получаем положительную матрицу

    [[1, 1,...,1], [1, diag(d_1,...,d_s)]],

откуда sum 1/d_j<=1 по дополнению Шура. Эта запись матрицы означает
блочную структуру: нижний правый блок диагонален.

### Почему нельзя без доказательства суммировать по разным alpha

Простой дополнительный тест самого общего Schur-аргумента: возьмём
S(z)=z и любые s различных точек zeta_j окружности. Тогда alpha_j=zeta_j,
d_j=1, а всё ядро, включая точку 0, равно 1. Матрица из единиц
положительно полуопределена, но sum 1/d_j=s может быть сколь угодно большой.

Это **не** контрпример в конечном классе Чоулы: соответствующее P здесь
не является конечным полиномом нужного вида. Это точный контрпример к
выводу sum 1/d<=1 из одного Schur-ядра без условия общего alpha.
Исходный документ правильно не делает такого расширения.

### Контактная контрсемья и точный пример

Для A={1,D}, D нечётно, min f=-2 достигается только при theta=pi.
Проверены Y=0, R=-(D+1), d=D+1 и контактная масса 1/(D+1).
Число частот и K остаются 2, а общий делитель равен 1. Поэтому
предложенная нижняя оценка массы через cN/K^2 действительно невозможна.

Для A={1,2} независимо пересчитаны:

    cos theta=-1/4, sin theta=+/-sqrt(15)/4,
    K=9/8, Y=+/-sqrt(15)/8, R=-2, d=3,
    alpha=(-11+/-3i sqrt(15))/16.

Внедиагональный элемент Q равен (21+3i sqrt(15))/32 с точностью до
комплексного сопряжения при перестановке контактов. Его модуль 3/4;
после вычитания 1 модуль равен 1/2. Поэтому все четыре заявленных
собственных значения матрицы и дополнения Шура подтверждены.

## Итоговая граница подтверждения

Все три блока выдержали отдельную математическую проверку; точная
арифметика скрипта воспроизведена. Никакой вывод об общей оценке
K>=c sqrt(N) из этих блоков не получен. Структурная неделимость в 21,
контрпример к транспортному модулю в 22 и контактная контрсемья в 23
подтверждают именно ограниченные утверждения, заявленные авторами.


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: round2/audit_24_26.md
==============================================================================

# Проверка подходов 24–26 основным участником

18 октября 2026 UTC. Проверяющий не является автором geometry_24_26.md.
Прочитаны полные доказательства и geometry_checks.py; скрипт повторно
выполнен успешно. Это внутренняя математическая проверка в исследовании
с участием ИИ, не внешняя рецензия или формальная верификация.

## 24. Адаптивная квадратура

Комплексное обнуление всех частот действительно сохраняется после сдвига
аргумента к любому атому t0. Знаки в неравенстве
0>=N*w-K*(1-w) верны, поэтому K>=N*w/(1-w).

Квадрат суммы от j=0 до N содержит только разрешённые разности частот.
Его среднее по рассматриваемой мере равно N+1, а значение в атоме равно
(N+1)^2. Следовательно, w<=1/(N+1) для любого атома. Равномерная мера
на N+1 корнях единицы достигает границы и обнуляет все частоты от 1 до N.
Нижняя граница числа узлов следует из ограничения каждого положительного
веса и суммы весов, равной единице.

Результат не зависит от того, выбирались ли узлы заранее. Он опровергает
тяжёлый атом нужного масштаба и универсальные O(sqrt(N)) положительных
узлов, но не все способы применения квадратур.

## 25. Следы и циклотомическая норма

Условие p>2D+1 исключает ненулевые частоты, кратные p, в квадрате H,
а также обращение H в нуль на примитивном p-м корне по степени его
минимального многочлена. Норма положительна и целочисленна.

Первые два следа проверены независимо через сумму коэффициентов:

    sum alpha_k = 2m(p-1)-2N;
    sum alpha_k^2 = 4m^2(p-1)-8mN+2pN-4N^2.

Вычитание квадрата среднего даёт именно указанную дисперсию
2Np(p-1-2N)/(p-1)^2. Условия p и N обеспечивают её неотрицательность.

Для вспомогательного квадрата геометрической суммы норма равна единице
благодаря перестановке ненулевых остатков умножением на r. При p>2r
нет наложения частот, и нулевой коэффициент квадрата гамма равен
(2r^3+r)/3. Поэтому формула второго момента и предел отношения
mu2/mu1^2~2r/3 при p>r^4 корректны. Скрипт независимо подтверждает
частные нормы и следы через целочисленные матрицы умножения.

Контрмодель имеет треугольные коэффициенты и используется только против
общей арифметической леммы, не против гипотезы в классе единичных амплитуд.

## 26. Знаменатели суммы квадратов

Граница верна также для гауссовых целых коэффициентов. Для каждого такого
ненулевого r выполняется |r|>=1 и |r|<=|r|^2. При общей энергии
E=2m*q^2 сумма модулей всех положительных коэффициентов Фурье не больше
(E^2-E)/2. Это учитывает и внутренние повторения разностей, и компенсации
между разными факторами. Деление на q^2 даёт N<=2m^2*q^2-m.

Проверена целочисленная рекурсия Чебышёва в коде. Подстановка y=cos(t)
даёт приведённый полином степени 8. Формула перевода степенных
коэффициентов в базис Бернштейна использует множитель
C(k,j)/C(8,j), как требуется. Все 72 полученных рациональных коэффициента
положительны. Восемь соседних интервалов без пробелов покрывают [-1,1].
По свойству разбиения единицы для базиса Бернштейна это удостоверяет
положительность на всём интервале. Значение f(7/8)=-248147/131072
вычислено точно. Таким образом, 1<K<2, m=2 и противоречие 7<=6 строго.

Доказательство индивидуального рационального разложения корректно при
строгой положительности и вещественных рациональных симметричных
коэффициентах H. Можно выбрать вещественный внешний фактор H-delta;
приближение его конечного вектора коэффициентов рациональными числами
делает остаток близким к положительной константе по всем коэффициентам.
Строгая диагональная доминантность остатка открыта относительно такого
приближения. Разложение остатка в двухчленные квадраты точное. Поглощение
веса u/v в uv одинаковых квадратов с коэффициентами, делёнными на v,
сохраняет равенство и даёт конечное рациональное разложение.

Обычная теорема Фейера — Рисса сверена с первичным обзором Dritschel–Rovnyak:
https://uva.theopenscholar.com/files/james-rovnyak/files/p71.pdf .
Она не содержит используемого здесь дополнительного утверждения об общем
ограниченном знаменателе; такое утверждение в исследовании не доказано.

Переход от q<=q0 к K>=sqrt(N)/(2*sqrt(2)*q0) использует m<=K+1<=2K
и K>=1. Обратный переход от большого q_min к опровержению Чоулы не
заявляется. Новизна ни одного из частичных результатов не установлена.

## Заключение

Ошибок в заявленных ограниченных результатах не обнаружено. Подтверждены
общие формулы, точные контрпримеры к названным леммам и конечный рациональный
сертификат для семи частот. Общая гипотеза остаётся нерешённой в этой работе.


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: round2/audit_27_29.md
==============================================================================

# Independent internal audit of approaches 27–29

18 October 2026 UTC. Reviewer: a separate collaborating research agent,
author of approaches 24–26. This is an internal mathematical review, not
external peer review or formal proof-assistant verification.

## Material inspected and rerun

Read the complete files `constructions_27_29.md` and
`constructions_27_29.py`. Reran the script successfully. All assertions
passed; the exact rational receipts reproduced the stated bounds of
6770.037874... for approach 27 and 6951.037874... for approach 28 at m=16.
The floating-point trigonometric values are only sanity checks. The
claims below rely on the analytic proofs and exact rational comparisons.

## 27. Complementary positive masks

The recursion preserves coefficients in {-1,1}, has length L=2^m, and
gives |P_m|^2+|Q_m|^2=2L by the parallelogram identity. Evaluation at one
indeed gives P_m(1)=2^ceil(m/2). The positive mask contains zero before
correction, so the subtraction of one in

    (J_L+P_m)/2 - 1

is necessary and is present. Its cardinality is
(L+2^ceil(m/2))/2-1. Actual nonempty frequency sets are taken for m>=1;
m=0 is used only as the recursion base and a polynomial identity check.

I independently recomputed the two Dirichlet real parts at
theta=3*pi/(2L), alpha=theta/2:

    Re J_L(e^(i theta)) = (1-cot(alpha))/2,
    Re (e^(i theta) J_L(e^(i theta))) = -(1+cot(alpha))/2.

The first gives the claimed lower bound

    K >= cot(alpha)/4 - sqrt(L/2) + 3/4.

Since |P_m|/L -> 0 and cot(alpha)/L -> 4/(3*pi), the actual displayed
negative witness divided by L tends to -1/(3*pi). With N/L -> 1/2 this
proves liminf K/N >= 2/(3*pi) and therefore K/sqrt(N) -> infinity. This
asymptotic conclusion is proved for the entire explicit family; it is not
an extrapolation of the five finite examples. It does not identify the
global minimizing angle or prove that K/N itself converges to that constant.

The sum of four positive-mask squared moduli was also checked:

    |B_+|^2+|B_-|^2+|C_+|^2+|C_-|^2 = |J_L|^2+L.

Thus the returned off-zero coefficients are the triangular numbers L-d,
not binary coefficients. The note states this limitation correctly.

For L>=2, alpha<=3*pi/8<sqrt(2), so the lower estimate
cos(alpha)>=1-alpha^2/2 remains positive. Combining it with
sin(alpha)<=alpha yields

    cot(alpha)/4 >= L/(3*pi) - 3*pi/(32*L)
                 > 7*L/66 - 33/(112*L).

Both directions of the replacement pi<22/7 are correct, as is the ceiling
used to upper-bound sqrt(2L). At m=16 the exact integer comparisons establish
K>37*sqrt(32895).

## 28. Prouhet positive masks

The product of (1-z^(2^r)) has exactly the stated binary parity
coefficients. The shift from j to j+1 removes zero frequency. It preserves
all vanished power sums by the binomial formula. At power m the coefficient
of the first nonvanishing derivative is

    (-1)^m m! 2^(m(m-1)/2),

unchanged by the shift, because lower power differences vanish.

The factor z in the positive-mask generating polynomial is required;
it is present. The second Dirichlet real part above therefore applies,
and yields the correct constant +1/4 in the lower bound for K.

The signed correction satisfies

    |T_m(e^(i theta))|
       <= (3*pi/2)^m 2^(-m(m+1)/2).

I checked the exponent by multiplying 2^r*theta over r=0,...,m-1 and
using L=2^m. The bound tends to zero; both signs of the mask consequently
have the claimed continuous negative witness of order L. The inference
K/sqrt(N)->infinity for both complete families is valid. The note does not
confuse frequency power sums with distribution moments of f_A.

Replacing pi by 22/7 increases the modulus upper bound and decreases the
cotangent lower bound, as needed. The exact receipt at m=16 establishes
K>38*sqrt(32768).

## 29. Fractional coefficient powers

The complex Fourier coefficients of (1+2*cos(x))^2 are correctly taken as
3,2,1 at frequencies 0, +/-1, +/-2. This avoids a common factor-of-two
mistake between complex Fourier coefficients and cosine amplitudes.

Writing y=cos(x) gives the exact completed square

    H_p = 4*(y+2^(p-2))^2 + 3^p - 2 - 4^(p-1).

For 0<=p<=1 its center lies in [-1,1], so the formula is the true
continuous minimum. Its derivative is

    4^(p-1) * [4*log(3)*(3/4)^p - log(4)].

Because (3/4)^p>=3/4 on this interval, the bracket is at least
3*log(3)-log(4)=log(27/4)>0. Therefore the minimum is strictly negative
for every 0<=p<1 and equals zero at p=1. The endpoints, the p=1/2 value,
and the normalization against K({1,2})=9/8 are correct.

The failed operation includes powering the constant term. The note
correctly avoids claiming that the same example refutes flattening only
nonconstant coefficients with an unchanged constant: in this example
that alternative has minimum 1-4^(p-1)>=0.

## Audit conclusion

No mathematical error or needed change was found in the stated limited
conclusions. The two infinite-family obstructions in 27 and 28 and the
all-exponent obstruction in 29 are supported by proofs. They do not solve
Chowla's conjecture, do not exclude their entire parent research subjects,
and do not establish mathematical priority.


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: round2/audit_30.md
==============================================================================

# Независимая проверка подхода 30

Дата: 18 октября 2026 года, UTC.

Проверенный документ: `descent_30.md`.

**Заключение:** математической ошибки в изложенных утверждениях и доказательствах не обнаружено. Лемма об одностороннем пределе, вполне упорядоченность V_N, достижение минимума в произвольном непустом подклассе, правые зазоры и семейство {1,2,D} подтверждены в указанных пределах. Это отдельный внутренний математический аудит в рамках исследования с ИИ; внешняя экспертиза и формальная машинная верификация не выполнялись. Новизна не заявляется.

## 1. Подгруппы и их предел

Для каждого вектора положительных целых частот a^(j) множество

\[
H_j=\{t a^{(j)}\pmod {2\pi}:t\in\mathbb R\}
\]

является образом компактной окружности: отображение периодично с периодом 2π, даже если истинный период меньше. Следовательно, H_j — непустая компактная связная подгруппа T^N. Примитивность вектора частот, то есть gcd A_j=1, для этого не нужна.

Пространство непустых замкнутых подмножеств компактного метрического пространства компактно в метрике Хаусдорфа. Получив H_j→H вдоль подпоследовательности, видим, что H непусто и замкнуто. Если u,v∈H, существуют u_j,v_j∈H_j с u_j→u, v_j→v; тогда u_j−v_j∈H_j и u−v∈H. Поэтому H — подгруппа. Связность предела также сохраняется, но дальнейшему аргументу не требуется отдельно ею пользоваться.

## 2. Самый существенный переход: H_j⊂H при достаточно больших j

Пусть

\[
L(H)=\{h\in\mathbb Z^N:\ e^{i h\cdot\theta}=1\ \text{для всех }\theta\in H\}.
\]

Это подгруппа свободной абелевой группы Z^N, поэтому у неё есть конечный набор порождающих h_1,…,h_s. Избыточность набора не мешает; базис можно понимать как базис свободной абелевой группы L(H), а не как вещественный базис окружающего пространства.

Рассмотрим одно фиксированное h∈L(H). Для выбранной метрики тора отображение

\[
\chi_h(\theta)=e^{ih\cdot\theta}
\]

равномерно непрерывно. При H_j→H значения χ_h на H_j становятся равномерно близки к 1, поскольку χ_h тождественно равно 1 на H. В частности, при достаточно больших j образ χ_h(H_j) не содержит −1.

С другой стороны, для нашего конкретного H_j

\[
\chi_h(H_j)=\{e^{it(h\cdot a^{(j)})}:t\in\mathbb R\}.
\]

Если h·a^(j)≠0, этот образ равен всей окружности, в том числе содержит −1. Поэтому при достаточно больших j обязательно h·a^(j)=0.

Применяем это к КОНЕЧНОМУ набору порождающих h_1,…,h_s и выбираем общий порог j. Все порождающие, а значит, и все h∈L(H), аннулируют H_j. Для замкнутой подгруппы тора стандартная двойственность характеров даёт

\[
H=\bigcap_{h\in L(H)}\ker\chi_h.
\]

Следовательно,

\[
\boxed{H_j\subset H\quad\text{для всех достаточно больших }j.}
\]

Это не является неверным утверждением, будто Хаусдорфово сближение произвольных множеств автоматически даёт включение. Здесь включение обеспечивают целочисленные характеры, конечная порождённость аннулятора и свойство каждого H_j быть целой временной подгруппой.

Если L(H)={0}, предельная группа равна всему T^N и включение вообще автоматически. Поэтому случай пустого набора порождающих не создаёт исключения.

## 3. Предел максимумов и односторонняя лемма

Функция

\[
\Phi(\theta)=-\sum_{i=1}^N\cos\theta_i
\]

равномерно непрерывна на T^N. Если ω — её модуль непрерывности и δ_j=d_H(H_j,H), то

\[
\left|\max_{H_j}\Phi-\max_H\Phi\right|\le\omega(\delta_j)\to0.
\]

Поэтому из K(A_j)→v следует max_H Φ=v. Уже доказанное включение H_j⊂H даёт K(A_j)≤v вдоль выбранной подпоследовательности при больших j.

Здесь не делается замены исходной одномерной временной орбиты на произвольно выбираемые независимые фазы. Предельная группа H может иметь большую размерность, однако используется только её роль в пределе и включение исходных подгрупп.

## 4. Вполне упорядоченность и произвольные подклассы

Бесконечная строго убывающая последовательность K(A_1)>K(A_2)>… при фиксированном N ограничена снизу и имеет предел v. Каждый её член строго больше v. Односторонняя лемма утверждает противоположное для некоторой подпоследовательности. Поэтому такой последовательности нет.

Любое непустое подмножество V_N без наименьшего элемента позволило бы рекурсивно выбирать строго меньшие значения. Это противоречит предыдущему абзацу. Значит, V_N вполне упорядочено обычным порядком вещественных чисел.

Для произвольного непустого подкласса C допустимых наборов можно также дать прямое доказательство достижения инфимума. Положим

\[
v=\inf_{A\in C}K(A)
\]

и выберем A_j∈C с K(A_j)→v. Односторонняя лемма даёт K(A_j)≤v для некоторой подпоследовательности при больших j. Но определение инфимума даёт K(A_j)≥v. Значит, эти члены равны v и принадлежат тому же подклассу C.

Таким образом, топологическая замкнутость C НЕ нужна. Не требуется и принадлежность предельной многомерной группы H классу C. Минимум достигается одним из исходных наборов A_j, а не вводимым при предельном переходе новым объектом.

## 5. Зазор над каждым достижимым значением

Для v∈V_N подмножество \(\{w\in V_N:w>v\}\), если оно непусто, имеет наименьший элемент w_*. Тогда w_*−v>0 и в интервале (v,w_*) значений V_N нет.

Утверждение касается правого зазора над отдельным v. Оно не даёт общего размера зазоров для всех значений или всех N. Оно также не запрещает предельные точки, к которым значения подходят снизу.

## 6. Проверка точного семейства A_D={1,2,D}

Для каждого целого D≥3 частоты различны. Тождество

\[
\cos x+\cos2x=2(\cos x+1/4)^2-9/8
\]

сразу даёт f_{A_D}(x)≥−17/8 и K(A_D)≤17/8.

Равенство возможно лишь одновременно при cos x=−1/4 и cos(Dx)=−1. Второе условие даёт ζ=e^{ix}, ζ^{2D}=1. Поэтому ζ+ζ^{-1} является алгебраическим целым. Оно должно было бы равняться рациональному нецелому числу −1/2, что невозможно. Следовательно, K(A_D)<17/8 для каждого D.

Для α=arccos(−1/4) сетка нечётных кратных π/D имеет шаг 2π/D. Найдётся x_D с cos(Dx_D)=−1 и |x_D−α|≤π/D. Глобальная 1-липшицевость косинуса даёт

\[
f_{A_D}(x_D)
=-17/8+2(\cos x_D+1/4)^2
\le-17/8+2\pi^2/D^2.
\]

Итак,

\[
\boxed{17/8-2\pi^2/D^2\le K(A_D)<17/8.}
\]

Все знаки и постоянная 2π²/D² корректны. Для малых D нижняя оценка может быть слабой, но остаётся верной.

Поскольку каждое значение строго ниже 17/8, а последовательность сходится к 17/8, различных значений бесконечно много. Из этой оценки НЕ следует монотонность K(A_D) по D, и исходный документ её не заявляет. Не установлено также, достигается ли число 17/8 какими-то другими наборами из трёх частот; утверждение о недостижении относится только к данной семье.

## 7. Алгоритмические и общие границы результата

Если процедура выдаёт только строго улучшающие наборы при фиксированном N, она может выдать лишь конечное число таких улучшений. Однако она может бесконечно долго искать следующее улучшение после последнего найденного. Критерия распознавания глобального оптимума из доказательства не получено.

Отдельно не выведены:

- вычислимая общая граница числа улучшений;
- вычислимая граница времени ожидания следующего улучшения;
- явный предел частот для точного оптимального набора;
- количественный нижний предел правого зазора;
- равномерная связь минимумов при разных N.

Доказательство использует выбор Хаусдорфовой подпоследовательности и конечной базы аннулятора предельной группы. Наличие этих объектов доказано, но эффективная процедура их получения с нужными оценками не предъявлена. Поэтому сформулированная в исходном документе осторожность относительно алгоритма оправданна.

Контрмодель W_N={N^{1/5},N} корректно показывает, что одни свойства порядка не влекут положительность inf_N κ_N/√N. Она является логической моделью, а не косинусной контрсемьёй.

## Итог аудита

Подход 30 даёт подтверждённое в рамках данного математического аудита общее структурное утверждение при фиксированном N. Он не доказывает конечность V_N, не завершает точный конечный поиск алгоритмом остановки и не решает общую гипотезу Чоулы. Обязательных математических исправлений в `descent_30.md` не требуется.


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: round2/constructions_27_29.md
==============================================================================

# Approaches 27–29: complementary codes, power-sum cancellation, and support flattening

Research record, 18 October 2026 UTC. This document records mathematical
formulations, proofs, exact checks, and limitations suitable for a later
research article. It does not claim a solution to Chowla's conjecture or
mathematical priority. It is a scientific account of the checked arguments,
not a transcript of private deliberation.

## Target and evidence standard

For a nonempty finite set of distinct positive integers A, put

\[
f_A(x)=\sum_{a\in A}\cos(ax),\qquad
K(A)=-\min_{x\in\mathbb R}f_A(x),\qquad N=|A|.
\]

The target is one absolute c>0 such that K(A)>=c sqrt(N) for every A.
A counterexample construction must supply an unbounded sequence with
K(A)/sqrt(N)->0. Good behavior at finitely many sample points does not
certify this. The original unit coefficients and positive integer
frequencies are retained in the actual constructed sets below.

**Outcome:** approaches 27 and 28 produce admissible infinite families,
but a continuous negative witness proves that K/sqrt(N) tends to infinity
in both families. Thus these particular proposed counterexample families
fail asymptotically, not just at the finitely tested sizes. Approach 29
has an exact two-frequency obstruction for every fractional exponent
0<=p<1. None of these statements proves the general conjecture or excludes
all constructions inspired by the same subjects.

The two code constructions have different design premises. In 27 the
premise is cancellation of aperiodic autocorrelations between a pair of
polynomials. In 28 it is equality of increasing numbers of frequency
power sums between two sets. Their conversion to positive masks exposes
a related Dirichlet-kernel obstruction; that shared obstruction is made
explicit rather than presented as two independent general discoveries.

## 27. Complementary codes: erase unwanted correlations before removing signs

### 27.1 Proposed mechanism

Golay complementary pairs have signed coefficients but cancel all their
nonconstant autocorrelations when squared moduli are added. The proposal
was to exploit that exact cancellation, then convert the signs to 0/1
frequency masks, in the hope of producing an admissible positive cosine
sum with very small negative excursions.

Use the following completely explicit recursion:

\[
P_0(z)=Q_0(z)=1,
\]
\[
P_{m+1}(z)=P_m(z)+z^{2^m}Q_m(z),\qquad
Q_{m+1}(z)=P_m(z)-z^{2^m}Q_m(z).
\]

Both polynomials have length L=2^m and coefficients in {-1,+1}.
On |z|=1, the elementary parallelogram identity gives

\[
|P_{m+1}|^2+|Q_{m+1}|^2
=2(|P_m|^2+|Q_m|^2).
\]

Consequently

\[
\boxed{|P_m(z)|^2+|Q_m(z)|^2=2L},\qquad
|P_m(z)|\le\sqrt{2L}.
\]

These identities are proved by the displayed recursion; no numerical
flatness assumption is used.

### 27.2 Direct conversion to an admissible set

Write P_m(z)=sum_{j=0}^{L-1}p_j z^j and
J_L(z)=sum_{j=0}^{L-1}z^j. Since p_0=1, the positive mask with zero
frequency removed is

\[
A_m=\{j:1\le j<L,\ p_j=1\},\qquad
\sum_{a\in A_m}z^a=\frac{J_L(z)+P_m(z)}2-1.
\]

All retained coefficients are exactly 1 and every frequency is positive.
At z=1 the recursion has matrix [[1,1],[1,-1]], whose square is 2I.
It follows exactly that

\[
P_m(1)=2^{\lceil m/2\rceil},\qquad
N_m=\frac{L+2^{\lceil m/2\rceil}}2-1.
\]

Now choose a point in the continuous circle, not a DFT-grid certificate:

\[
\theta_L=\frac{3\pi}{2L},\qquad
\alpha_L=\frac{3\pi}{4L}.
\]

The finite cosine-sum identity gives

\[
\Re J_L(e^{i\theta_L})
=\frac12+\frac{\sin((L-1/2)\theta_L)}{2\sin(\theta_L/2)}
=\frac{1-\cot\alpha_L}{2}.
\]

Therefore

\[
f_{A_m}(\theta_L)
\le -\frac{\cot\alpha_L}{4}+\sqrt{\frac L2}-\frac34,
\]

and hence

\[
\boxed{K(A_m)\ge
\frac14\cot\!\left(\frac{3\pi}{4L}\right)
-\sqrt{\frac L2}+\frac34.}
\]

In fact the actual witness itself, divided by L, converges to
-1/(3*pi), because |P_m|/L tends to zero. Since N_m/L tends to 1/2,

\[
\frac{-f_{A_m}(\theta_L)}{N_m}\longrightarrow\frac{2}{3\pi},
\qquad
\liminf_{m\to\infty}\frac{K(A_m)}{N_m}\ge\frac{2}{3\pi}.
\]

Thus K(A_m)/sqrt(N_m)->infinity. This rules out the specific positive-mask
family as a counterexample to Chowla. It does not assert that the displayed
theta is a global minimizer or that K(A_m)/N_m has the same limit.

The same argument also applies to the negative mask, with its appropriate
constant term, and to Q_m: the bound |P_m|,|Q_m|<=sqrt(2L) cannot cancel
the order-L negative lobe introduced by J_L.

### 27.3 Does adding four positive masks restore the complementary miracle?

One can instead retain all four 0/1 polynomials

\[
B_\pm=(J_L\pm P_m)/2,\qquad
C_\pm=(J_L\pm Q_m)/2.
\]

Their squared moduli obey the exact identity

\[
|B_+|^2+|B_-|^2+|C_+|^2+|C_-|^2
=|J_L|^2+L
=2L+2\sum_{d=1}^{L-1}(L-d)\cos(dx).
\]

Nonnegativity survives, but the nonconstant Fourier coefficients are
L-d, rather than 0 or 1. This specific sign-removal operation reinstates
triangular multiplicities. Deleting those multiplicities is an additional
operation and does not follow from complementarity.

### 27.4 Reproducible evidence

The accompanying script verifies every aperiodic autocorrelation and
every coefficient of the four-mask identity for m=0,...,8 using integers.
It constructs five larger masks, at m=6,8,10,12,16, and supplies rigorous
rational lower bounds at theta_L.

For L>=2, alpha_L<sqrt(2), so
cos(alpha)>=1-alpha^2/2 and sin(alpha)<=alpha yield

\[
\frac14\cot\alpha_L\ge\frac{L}{3\pi}-\frac{3\pi}{32L}
>\frac{7L}{66}-\frac{33}{112L},
\]

where the final step uses pi<22/7. Hence the entirely rational quantity

\[
b_{27}(L)=\frac{7L}{66}
-\frac{\lceil\sqrt{2L}\rceil}{2}
+\frac34-\frac{33}{112L}
\]

is a strict lower bound for K(A_m). At m=16,

\[
L=65536,\quad N=32895,\quad
K(A_m)>\frac{1639845723071}{242221056}>6770,
\]

and integer comparison of squares proves K(A_m)>37 sqrt(32895).
The floating-point witness is approximately -6894.6886; this approximation
is only a sanity check and is not used to justify the rational certificate.

### 27.5 Source context and limitation

The established complementary-pair terminology and its polynomial
identity are described in Pantelimon Stanica, *A Boolean Functions View on
the Golay-Rudin-Shapiro Sequence*, author-hosted paper, equation (1.2):
https://faculty.nps.edu/pstanica/research/2020JCNT_RudinShapiroSeq.pdf .
The recursion and the obstruction above are proved explicitly here.
No novelty is asserted for these identities or consequences.

## 28. Prouhet cancellation: match more and more frequency moments

### 28.1 Proposed mechanism

Try to make the first m frequency power sums agree between two sets,
so that their signed difference is invisible to Taylor expansion to
increasing order. This is a different condition from cancellation of
autocorrelations in approach 27. Frequency power sums sum a^k must also
not be confused with distribution moments integral f_A(x)^k dx.

For L=2^m let

\[
t_j=(-1)^{s_2(j)},\qquad
T_m(z)=\sum_{j=0}^{L-1}t_jz^j
=\prod_{r=0}^{m-1}(1-z^{2^r}),
\]

where s_2(j) is the number of 1s in the binary expansion. Equivalently,
the sign word is replaced by its concatenation with its own negative
at each iteration.

The two positive-frequency sets are

\[
A_m^+=\{j+1:t_j=1\},\qquad
A_m^-=\{j+1:t_j=-1\}.
\]

Both have exactly N=L/2 terms. Shifting j to j+1 removes zero frequency
while preserving the power-sum equalities by the binomial formula.

### 28.2 Exact increasing-order cancellation

Each factor 1-z^(2^r) has a simple zero at z=1. Thus T_m has a zero of
order exactly m there. Applying (z d/dz)^k and evaluating at 1 gives

\[
\sum_{a\in A_m^+}a^k=\sum_{a\in A_m^-}a^k
\quad(0\le k<m).
\]

The first nonzero difference is exactly

\[
\sum_{a\in A_m^+}a^m-\sum_{a\in A_m^-}a^m
=(-1)^m m!\,2^{m(m-1)/2}.
\]

Indeed the leading coefficient at z=1 is
(-1)^m 2^{m(m-1)/2}(z-1)^m; lower derivative terms vanish.

### 28.3 Continuous witness: cancellation is too effective in the wrong term

The positive-frequency generating polynomial is

\[
\sum_{a\in A_m^+}z^a=\frac{z(J_L(z)+T_m(z))}{2}.
\]

Use the same explicit theta_L=3*pi/(2L), alpha_L=3*pi/(4L).
Because |1-e^(iu)|<=|u|,

\[
|T_m(e^{i\theta_L})|
\le\prod_{r=0}^{m-1}2^r\theta_L
=\left(\frac{3\pi}{2}\right)^m2^{-m(m+1)/2}
=:E_m.
\]

The right side tends to zero faster than exponentially in m.
For the shifted Dirichlet sum the exact formula is

\[
\Re(e^{i\theta_L}J_L(e^{i\theta_L}))
=\sum_{j=1}^{L}\cos(j\theta_L)
=-\frac{1+\cot\alpha_L}{2}.
\]

It follows that

\[
\boxed{K(A_m^+)\ge
\frac14\cot\!\left(\frac{3\pi}{4L}\right)
+\frac14-\frac{E_m}{2}.}
\]

The same inequality holds for A_m^- because the sign of T_m changes,
but its modulus bound does not. In particular,

\[
\frac{-f_{A_m^\pm}(\theta_L)}{N}
\longrightarrow\frac{2}{3\pi},\qquad
\frac{K(A_m^\pm)}{\sqrt N}\longrightarrow\infty.
\]

The mechanism of failure is precise. The signed polynomial has excellent
cancellation near z=1, but passing to an all-positive mask adds one half
of a Dirichlet polynomial. At the chosen scale the signed correction is
tiny and cannot cancel the Dirichlet negative lobe. Increasing the number
of matched powers does not repair this conversion.

This is not the previously tested product of positive cosine digit
polynomials. Here a signed substitution sequence is used to enforce
unbounded-order equal-power identities, and the target set is its binary
mask. The verified obstruction concerns this exact conversion.

### 28.4 Reproducible evidence

The script verifies with arbitrary-precision integers all power equalities
for m=1,...,10, including the stated first nonzero difference. It separately
generates the coefficient product to verify the sign formula.

At m=4,6,8,10,12,16 it also computes the exact rational witness bound

\[
b_{28}(L,m)=\frac{7L}{66}+\frac14-\frac{33}{112L}
-\frac12\left(\frac{33}{7}\right)^m2^{-m(m+1)/2},
\]

again using only pi<22/7. For m=16, N=32768, this yields
K(A_m^+)>6951 and K(A_m^+)>38 sqrt(32768), verified by rational and integer
comparisons. The floating-point witness is approximately -6953.8356,
recorded only as a sanity check.

### 28.5 Source context and limitation

The standard Prouhet-Tarry-Escott and generalized Thue-Morse context is
given by Ethan D. Bolker, Carl Offner, Robert Richman and Catalin Zara,
*The Prouhet-Tarry-Escott Problem and Generalized Thue-Morse Sequences*:
https://arxiv.org/abs/1304.6756 .
The required binary product, equal-power identities and continuous
negative witness are proved above, so the check does not depend on
importing an unstated theorem from that paper. No claim is made about
other automatic sequences or more elaborate encodings of matched powers.

## 29. Fractional Fourier powers: tropical removal of multiplicities

### 29.1 Proposed mechanism

Start with a nonnegative trigonometric polynomial whose Fourier
coefficients are nonnegative integers. Repeated frequencies appear as
coefficients greater than 1. For 0<p<1, replace each positive Fourier
coefficient c by c^p. As p tends to zero, every positive coefficient tends
to 1: this extracts the support and would erase multiplicity without
choosing individual copies. Applying the same operation to the constant
coefficient would also reduce the cost of the positivity certificate.

The crucial test is whether this operation preserves nonnegativity.
The answer is no, with a single exact example covering every p<1.

### 29.2 Exact obstruction for every fractional exponent

Use the nonnegative square

\[
H(x)=(1+2\cos x)^2=3+4\cos x+2\cos 2x.
\]

Its complex Fourier coefficients are c_0=3, c_{+/-1}=2, c_{+/-2}=1.
After the proposed coefficientwise power transform, the polynomial is

\[
H_p(x)=3^p+2\,2^p\cos x+2\cos 2x.
\]

Set y=cos x. Completing the square gives

\[
H_p(x)=4(y+2^{p-2})^2+3^p-2-4^{p-1}.
\]

For 0<=p<=1 the minimizing value y=-2^(p-2) lies in [-1,1], so the exact
continuous minimum is

\[
m(p)=\min_x H_p(x)=3^p-2-4^{p-1}.
\]

At p=1 the minimum is zero. On the whole interval 0<=p<=1,

\[
m'(p)=4^{p-1}\bigl(4\log3\,(3/4)^p-\log4\bigr)
\ge4^{p-1}(3\log3-\log4)>0,
\]

because 27>4. Therefore

\[
\boxed{\min_xH_p(x)<0\quad\text{for every }0\le p<1.}
\]

At p=1/2 the exact value is sqrt(3)-5/2<-3/4. At p=0, interpreting
zero coefficients as remaining zero, the support polynomial is

\[
H_0(x)=1+2\cos x+2\cos2x,
\qquad\min H_0=-5/4.
\]

This agrees with K({1,2})=9/8 after translating the normalization.

### 29.3 What is and is not excluded

The failed implication is precisely:
"nonnegative polynomial with nonnegative Fourier coefficients remains
nonnegative when every coefficient, including c_0, is replaced by its
fractional power."

This example does not refute every operation that flattens only the
nonconstant coefficients while keeping the original constant term. For
this particular example, keeping c_0=3 gives minimum 1-4^(p-1)>=0.
It also does not refute a corrected transformation with a quantified
additional constant term. Such a correction would need to be bounded
on the sqrt(N) scale to contribute to the target; no such general bound
was obtained here.

### 29.4 Evidence

The continuous minimum and all-p sign statement have exact analytic
proofs above. The script checks exact rational comparisons for p=0,
p=1 and p=1/2 and records eight floating-point samples only as sanity
checks. The conclusion for every p<1 is not extrapolated from samples.

## Reproduction, audit scope and article wording

Run:

    python chowla_research/round2/constructions_27_29.py

The script writes constructions_27_29_results.json next to itself. All
assertions passed on the recorded execution. No exact global minimum was
claimed for the large masks; their certificates establish single
negative values, which suffice to lower-bound K.

Appropriate article-level conclusions are:

1. The specified positive masks of the complementary recursion have
   continuous negative excursions of order their cardinality. They
   therefore fail as a proposed asymptotic counterexample family.
2. The specified Prouhet masks have the same failure despite equality of
   increasingly many frequency power sums.
3. Fractional coefficient powers do not preserve positivity, even for a
   fixed degree-two cosine polynomial and even for exponents arbitrarily
   close to one from below.

These are verified limited statements, not a claim that complementary
codes, automatic sequences, or positivity-preserving transforms cannot
contribute to another valid approach. External peer review and formal
proof-assistant verification have not been performed.


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: round2/constructions_27_29.py
==============================================================================

"""Reproducible checks for three specified Chowla research routes.

No global optimization or floating-point calculation is used as a proof.
Integer identities and Fraction lower bounds are certified by exact arithmetic.
Floating-point witness evaluations are explicitly labeled sanity checks.
"""
from __future__ import annotations

from fractions import Fraction
from math import ceil, cos, factorial, isqrt, log, pi, sqrt
from pathlib import Path
import json


def golay(m: int):
    p = q = [1]
    for _ in range(m):
        p, q = p + q, p + [-v for v in q]
    return p, q


def correlation(p, k):
    return sum(p[j] * p[j + k] for j in range(len(p) - k))


def ceil_sqrt(n: int) -> int:
    s = isqrt(n)
    return s if s * s == n else s + 1


def signed_tm(m: int):
    return [1 if j.bit_count() % 2 == 0 else -1 for j in range(1 << m)]


def frac_record(x: Fraction):
    return {"numerator": x.numerator, "denominator": x.denominator,
            "display_float_only": float(x)}


def largest_integer_ratio_bound(b: Fraction, n: int) -> int:
    """Largest integer t with b > t*sqrt(n), exact comparison."""
    if b <= 0:
        return 0
    t = isqrt(b.numerator * b.numerator // (b.denominator**2 * n))
    while t > 0 and b.numerator**2 <= t*t*n*b.denominator**2:
        t -= 1
    return t


def run():
    result = {"scope": "Checks of routes 27-29, not a general Chowla proof.",
              "27": {}, "28": {}, "29": {}}

    # Route 27: exact coefficient-level Golay and four-mask identities.
    identity_checks = []
    for m in range(0, 9):
        p, q = golay(m)
        l = len(p)
        assert l == 1 << m and len(q) == l
        assert p[0] == q[0] == 1
        assert set(p + q) <= {-1, 1}
        assert sum(p) == 1 << ((m + 1) // 2)
        assert sum(q) == (0 if m % 2 else 1 << (m // 2))
        masks = [[(1 + s*v)//2 for v in a]
                 for a in (p, q) for s in (1, -1)]
        for k in range(l):
            assert correlation(p, k) + correlation(q, k) == (2*l if k == 0 else 0)
            # Sum of four 0/1-mask squared moduli is |J_l|^2+l.
            assert sum(correlation(b, k) for b in masks) == (2*l if k == 0 else l-k)
        identity_checks.append({"m": m, "length": l,
                                "aperiodic_correlations_checked": l})
    result["27"]["exact_identity_checks"] = identity_checks

    # At theta=3*pi/(2*l), cot(alpha)/4 >= l/(3*pi)-3*pi/(32*l).
    # Use pi<22/7 and sqrt(2*l)<=ceil_sqrt(2*l): all quantities below rational.
    golay_witnesses = []
    for m in [6, 8, 10, 12, 16]:
        p, q = golay(m)
        l = len(p)
        a = [j for j in range(1, l) if p[j] == 1]
        n = len(a)
        assert n == (l + sum(p))//2 - 1
        b = (Fraction(7*l, 66) - Fraction(ceil_sqrt(2*l), 2)
             + Fraction(3, 4) - Fraction(33, 112*l))
        theta = 3*pi/(2*l)
        witness = sum(cos(j*theta) for j in a)
        assert -witness >= float(b) - 1e-8  # sanity only; rational proof is in note
        ratio_integer = largest_integer_ratio_bound(b, n)
        golay_witnesses.append({
            "m": m, "length": l, "N": n,
            "theta_exact_description": "3*pi/(2*length)",
            "certified_K_lower_bound": frac_record(b),
            "certified_K_over_sqrtN_strictly_greater_than_integer": ratio_integer,
            "negative_witness_float_sanity_only": witness,
        })
    result["27"]["witnesses"] = golay_witnesses

    # Route 28: shifted positive-frequency masks have equal power sums to m-1.
    tm_checks = []
    for m in range(1, 11):
        t = signed_tm(m)
        l = len(t)
        plus = [j + 1 for j, sign in enumerate(t) if sign == 1]
        minus = [j + 1 for j, sign in enumerate(t) if sign == -1]
        assert len(plus) == len(minus) == l//2
        for k in range(m):
            assert sum(a**k for a in plus) == sum(a**k for a in minus)
        first_difference = sum(a**m for a in plus) - sum(a**m for a in minus)
        assert first_difference == (-1)**m * factorial(m) * 2**(m*(m-1)//2)
        # Independently generate the product coefficient vector recursively.
        prod = [1]
        for _ in range(m):
            prod = prod + [-v for v in prod]
        assert prod == t
        tm_checks.append({"m": m, "length": l, "N_each": l//2,
                          "power_equalities_checked": m,
                          "first_nonzero_power_difference": first_difference})
    result["28"]["exact_power_sum_checks"] = tm_checks

    tm_witnesses = []
    for m in [4, 6, 8, 10, 12, 16]:
        t = signed_tm(m)
        l = len(t)
        n = l//2
        # |T_m(e^(i theta))| <= (3*pi/2)^m 2^(-m(m+1)/2).
        e = Fraction(33, 7)**m / 2**(m*(m+1)//2)
        b = Fraction(7*l, 66) + Fraction(1, 4) - Fraction(33, 112*l) - e/2
        theta = 3*pi/(2*l)
        witness = sum(cos((j+1)*theta) for j, s in enumerate(t) if s == 1)
        assert -witness >= float(b) - 1e-8  # sanity only; analytic bound is exact
        tm_witnesses.append({
            "m": m, "length": l, "N": n,
            "theta_exact_description": "3*pi/(2*length)",
            "certified_signed_polynomial_modulus_upper_bound": frac_record(e),
            "certified_K_lower_bound": frac_record(b),
            "certified_K_over_sqrtN_strictly_greater_than_integer": largest_integer_ratio_bound(b, n),
            "negative_witness_float_sanity_only": witness,
        })
    result["28"]["witnesses"] = tm_witnesses

    # Route 29: exact values at p=0,1 and p=1/2; analytic monotonicity covers all p.
    # At p=1/2, min = sqrt(3)-5/2 < 7/4-5/2 = -3/4.
    assert Fraction(7, 4)**2 > 3
    assert Fraction(7, 4) - Fraction(5, 2) == Fraction(-3, 4)
    assert 27 > 4  # guarantees 3*log(3)-log(4)>0 in the monotonicity proof
    result["29"] = {
        "original_nonnegative_identity": "(1+2*cos(x))^2 = 3+4*cos(x)+2*cos(2*x)",
        "fractional_coefficient_power_polynomial": "3^p+2*2^p*cos(x)+2*cos(2*x)",
        "exact_minimum_for_0_le_p_le_1": "3^p-2-4^(p-1)",
        "exact_minimum_p0": frac_record(Fraction(-5, 4)),
        "exact_minimum_p1": frac_record(Fraction(0)),
        "exact_minimum_p_half": "sqrt(3)-5/2 < -3/4",
        "all_fractional_p_0_le_p_lt_1_negative": "proved analytically in note, not inferred from samples",
        "float_sanity_samples_only": [{"p": p, "minimum": 3**p - 2 - 4**(p-1)}
                                      for p in [0, .125, .25, .5, .75, .875, .99, 1]],
    }
    path = Path(__file__).with_name("constructions_27_29_results.json")
    path.write_text(json.dumps(result, ensure_ascii=False, indent=2) + "\n")
    print(json.dumps({"all_assertions_passed": True,
                      "result_path": str(path),
                      "golay_largest_receipt": golay_witnesses[-1],
                      "thue_morse_largest_receipt": tm_witnesses[-1]}, indent=2))


if __name__ == "__main__":
    run()


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: round2/constructions_27_29_results.json
==============================================================================

{
  "scope": "Checks of routes 27-29, not a general Chowla proof.",
  "27": {
    "exact_identity_checks": [
      {
        "m": 0,
        "length": 1,
        "aperiodic_correlations_checked": 1
      },
      {
        "m": 1,
        "length": 2,
        "aperiodic_correlations_checked": 2
      },
      {
        "m": 2,
        "length": 4,
        "aperiodic_correlations_checked": 4
      },
      {
        "m": 3,
        "length": 8,
        "aperiodic_correlations_checked": 8
      },
      {
        "m": 4,
        "length": 16,
        "aperiodic_correlations_checked": 16
      },
      {
        "m": 5,
        "length": 32,
        "aperiodic_correlations_checked": 32
      },
      {
        "m": 6,
        "length": 64,
        "aperiodic_correlations_checked": 64
      },
      {
        "m": 7,
        "length": 128,
        "aperiodic_correlations_checked": 128
      },
      {
        "m": 8,
        "length": 256,
        "aperiodic_correlations_checked": 256
      }
    ],
    "witnesses": [
      {
        "m": 6,
        "length": 64,
        "N": 35,
        "theta_exact_description": "3*pi/(2*length)",
        "certified_K_lower_bound": {
          "numerator": 362687,
          "denominator": 236544,
          "display_float_only": 1.5332749932359306
        },
        "certified_K_over_sqrtN_strictly_greater_than_integer": 0,
        "negative_witness_float_sanity_only": -5.5853779961111885
      },
      {
        "m": 8,
        "length": 256,
        "N": 135,
        "theta_exact_description": "3*pi/(2*length)",
        "certified_K_lower_bound": {
          "numerator": 15517631,
          "denominator": 946176,
          "display_float_only": 16.400364202854437
        },
        "certified_K_over_sqrtN_strictly_greater_than_integer": 1,
        "negative_witness_float_sanity_only": -24.13974534472176
      },
      {
        "m": 10,
        "length": 1024,
        "N": 527,
        "theta_exact_description": "3*pi/(2*length)",
        "certified_K_lower_bound": {
          "numerator": 326831039,
          "denominator": 3784704,
          "display_float_only": 86.35577286889543
        },
        "certified_K_over_sqrtN_strictly_greater_than_integer": 3,
        "negative_witness_float_sanity_only": -101.92197365507126
      },
      {
        "m": 12,
        "length": 4096,
        "N": 2079,
        "theta_exact_description": "3*pi/(2*length)",
        "certified_K_lower_bound": {
          "numerator": 5899205567,
          "denominator": 15138816,
          "display_float_only": 389.6741704899511
        },
        "certified_K_over_sqrtN_strictly_greater_than_integer": 8,
        "negative_witness_float_sanity_only": -420.4269640102946
      },
      {
        "m": 16,
        "length": 65536,
        "N": 32895,
        "theta_exact_description": "3*pi/(2*length)",
        "certified_K_lower_bound": {
          "numerator": 1639845723071,
          "denominator": 242221056,
          "display_float_only": 6770.037874291986
        },
        "certified_K_over_sqrtN_strictly_greater_than_integer": 37,
        "negative_witness_float_sanity_only": -6894.688636913498
      }
    ]
  },
  "28": {
    "exact_power_sum_checks": [
      {
        "m": 1,
        "length": 2,
        "N_each": 1,
        "power_equalities_checked": 1,
        "first_nonzero_power_difference": -1
      },
      {
        "m": 2,
        "length": 4,
        "N_each": 2,
        "power_equalities_checked": 2,
        "first_nonzero_power_difference": 4
      },
      {
        "m": 3,
        "length": 8,
        "N_each": 4,
        "power_equalities_checked": 3,
        "first_nonzero_power_difference": -48
      },
      {
        "m": 4,
        "length": 16,
        "N_each": 8,
        "power_equalities_checked": 4,
        "first_nonzero_power_difference": 1536
      },
      {
        "m": 5,
        "length": 32,
        "N_each": 16,
        "power_equalities_checked": 5,
        "first_nonzero_power_difference": -122880
      },
      {
        "m": 6,
        "length": 64,
        "N_each": 32,
        "power_equalities_checked": 6,
        "first_nonzero_power_difference": 23592960
      },
      {
        "m": 7,
        "length": 128,
        "N_each": 64,
        "power_equalities_checked": 7,
        "first_nonzero_power_difference": -10569646080
      },
      {
        "m": 8,
        "length": 256,
        "N_each": 128,
        "power_equalities_checked": 8,
        "first_nonzero_power_difference": 10823317585920
      },
      {
        "m": 9,
        "length": 512,
        "N_each": 256,
        "power_equalities_checked": 9,
        "first_nonzero_power_difference": -24936923717959680
      },
      {
        "m": 10,
        "length": 1024,
        "N_each": 512,
        "power_equalities_checked": 10,
        "first_nonzero_power_difference": 127677049435953561600
      }
    ],
    "witnesses": [
      {
        "m": 4,
        "length": 16,
        "N": 8,
        "theta_exact_description": "3*pi/(2*length)",
        "certified_signed_polynomial_modulus_upper_bound": {
          "numerator": 1185921,
          "denominator": 2458624,
          "display_float_only": 0.482351510438359
        },
        "certified_K_lower_bound": {
          "numerator": 273809575,
          "denominator": 162269184,
          "display_float_only": 1.6873787631790889
        },
        "certified_K_over_sqrtN_strictly_greater_than_integer": 0,
        "negative_witness_float_sanity_only": -2.0758437511829917
      },
      {
        "m": 6,
        "length": 64,
        "N": 32,
        "theta_exact_description": "3*pi/(2*length)",
        "certified_signed_polynomial_modulus_upper_bound": {
          "numerator": 1291467969,
          "denominator": 246727835648,
          "display_float_only": 0.0052343829207925395
        },
        "certified_K_lower_bound": {
          "numerator": 114487492852511,
          "denominator": 16284037152768,
          "display_float_only": 7.030657801775535
        },
        "certified_K_over_sqrtN_strictly_greater_than_integer": 1,
        "negative_witness_float_sanity_only": -7.036154794062381
      },
      {
        "m": 8,
        "length": 256,
        "N": 128,
        "theta_exact_description": "3*pi/(2*length)",
        "certified_signed_polynomial_modulus_upper_bound": {
          "numerator": 1406408618241,
          "denominator": 396154108207169536,
          "display_float_only": 3.5501553287073725e-06
        },
        "certified_K_lower_bound": {
          "numerator": 716414565380523388639,
          "denominator": 26146171141673189376,
          "display_float_only": 27.400362427776773
        },
        "certified_K_over_sqrtN_strictly_greater_than_integer": 2,
        "negative_witness_float_sanity_only": -27.41167754229609
      },
      {
        "m": 10,
        "length": 1024,
        "N": 512,
        "theta_exact_description": "3*pi/(2*length)",
        "certified_signed_polynomial_modulus_upper_bound": {
          "numerator": 1531578985264449,
          "denominator": 10177243409102304582828032,
          "display_float_only": 1.504905526672024e-10
        },
        "certified_K_lower_bound": {
          "numerator": 73118212000147885920598401695,
          "denominator": 671698065000752102466650112,
          "display_float_only": 108.85577286882018
        },
        "certified_K_over_sqrtN_strictly_greater_than_integer": 4,
        "negative_witness_float_sanity_only": -108.89958273636252
      },
      {
        "m": 12,
        "length": 4096,
        "N": 2048,
        "theta_exact_description": "3*pi/(2*length)",
        "certified_signed_polynomial_modulus_upper_bound": {
          "numerator": 1667889514952984961,
          "denominator": 4183272368497600387055446701113344,
          "display_float_only": 3.987044992607064e-16
        },
        "certified_K_lower_bound": {
          "numerator": 120011789482875022706761662957531154015,
          "denominator": 276095976320841625545659482273480704,
          "display_float_only": 434.6741704899511
        },
        "certified_K_over_sqrtN_strictly_greater_than_integer": 9,
        "negative_witness_float_sanity_only": -434.8490499993682
      },
      {
        "m": 16,
        "length": 65536,
        "N": 32768,
        "theta_exact_description": "3*pi/(2*length)",
        "certified_signed_polynomial_modulus_upper_bound": {
          "numerator": 1977985201462558877934081,
          "denominator": 2894996550129418232606555038658322563912973079948558336,
          "display_float_only": 6.8324267998666e-31
        },
        "certified_K_lower_bound": {
          "numerator": 1328133223949018717267828026017998333337823176682253295672799,
          "denominator": 191069772308541603352032632551449289218256223276604850176,
          "display_float_only": 6951.037874291986
        },
        "certified_K_over_sqrtN_strictly_greater_than_integer": 38,
        "negative_witness_float_sanity_only": -6953.835563984246
      }
    ]
  },
  "29": {
    "original_nonnegative_identity": "(1+2*cos(x))^2 = 3+4*cos(x)+2*cos(2*x)",
    "fractional_coefficient_power_polynomial": "3^p+2*2^p*cos(x)+2*cos(2*x)",
    "exact_minimum_for_0_le_p_le_1": "3^p-2-4^(p-1)",
    "exact_minimum_p0": {
      "numerator": -5,
      "denominator": 4,
      "display_float_only": -1.25
    },
    "exact_minimum_p1": {
      "numerator": 0,
      "denominator": 1,
      "display_float_only": 0.0
    },
    "exact_minimum_p_half": "sqrt(3)-5/2 < -3/4",
    "all_fractional_p_0_le_p_lt_1_negative": "proved analytically in note, not inferred from samples",
    "float_sanity_samples_only": [
      {
        "p": 0,
        "minimum": -1.25
      },
      {
        "p": 0.125,
        "minimum": -1.150099088310803
      },
      {
        "p": 0.25,
        "minimum": -1.0374793776407814
      },
      {
        "p": 0.5,
        "minimum": -0.7679491924311228
      },
      {
        "p": 0.75,
        "minimum": -0.42759972423177006
      },
      {
        "p": 0.875,
        "minimum": -0.22583978663850746
      },
      {
        "p": 0.99,
        "minimum": -0.019010691976846905
      },
      {
        "p": 1,
        "minimum": 0
      }
    ]
  }
}


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: round2/descent_30.md
==============================================================================

# Подход 30. Запрет бесконечного строгого спуска при фиксированном числе частот

Дата: 18 октября 2026 UTC / 17 октября 2026 America/Chicago.
Статус: доказано общее частичное утверждение; равномерная по N оценка Чоулы
не получена. Новизна не заявляется. Это развитие компактностного результата
подхода 8, с другим проверяемым механизмом — строгим спуском значений.

## 30.1. Точная идея

При фиксированном N рассмотрим множество всех достижимых глубин

    V_N={K(A): A состоит из N различных положительных целых чисел}.

Попытаемся доказать, что каждая цепочка строгих улучшений
K(A_1)>K(A_2)>K(A_3)>... обязана закончиться. Затем проверим, следует ли из
этого запрета бесконечного спуска равномерная оценка K(A)>=c sqrt(N).

## 30.2. Лемма об односторонней сходимости

Лемма. Если A_j имеют одно и то же число частот N и K(A_j)->v, то существует
подпоследовательность, вдоль которой K(A_j)<=v для всех достаточно больших j.

Доказательство. Выпишем частоты каждого A_j в возрастающем порядке a^(j).
В торе T^N=(R/2pi Z)^N рассмотрим замкнутую связную подгруппу

    H_j={t*a^(j) mod 2pi: t in R}.

Компактность пространства непустых замкнутых подмножеств компактного
метрического пространства даёт сходящуюся по Хаусдорфу подпоследовательность
H_j->H. Предел H является подгруппой: для u,v in H приближаем их точками
u_j,v_j in H_j и используем u_j-v_j in H_j. H замкнута.

Её целочисленный аннулятор

    L(H)={h in Z^N: exp(i*h dot theta)=1 для каждого theta in H}

конечно порождён как подгруппа Z^N. Выберем конечную базу h_1,...,h_s.
По равномерной непрерывности характеров и сходимости Хаусдорфа образ
exp(i*h_l dot H_j) при больших j лежит в малой дуге около единицы.
Он одновременно является компактной связной подгруппой окружности, то есть
либо всей окружностью, либо {1}; первый случай исключён малой дугой.
Каждый h_l поэтому аннулирует H_j при больших j. Для конечного числа l
можно взять общий порог j.

Замкнутая подгруппа тора равна пересечению ядер своих аннулирующих
целочисленных характеров. Следовательно, H_j subset H при больших j.

Положим Phi(theta)=-sum_(i=1)^N cos(theta_i). Непрерывность Phi даёт

    max_H Phi = lim_j max_(H_j) Phi = v.

Из включения следует K(A_j)=max_(H_j) Phi<=max_H Phi=v. Лемма доказана.

Здесь не предполагается, что произвольная точка многомерного предельного
тора достижима на одной исходной временной орбите. Используется только
включение подгрупп и сходимость максимумов.

## 30.3. Теорема о строгом спуске

Теорема. V_N вполне упорядочено обычным порядком вещественных чисел:
каждое непустое его подмножество имеет наименьший элемент. В частности,
бесконечной строго убывающей последовательности значений K при фиксированном
N не существует.

Доказательство. Предположим, что K(A_1)>K(A_2)>... . Значения ограничены
снизу нулём и сходятся к v; каждый член строго больше v. Лемма даёт
подпоследовательность с K(A_j)<=v при больших j, противоречие.

Если непустое подмножество V_N не имело бы минимума, из каждого его элемента
можно было бы выбрать строго меньший, получая запрещённую последовательность.
Это доказывает вполне упорядоченность. QED.

Следствие 1. Для любого непустого подкласса допустимых N-элементных наборов
инфимум K внутри подкласса достигается некоторым его элементом. Подкласс
не обязан быть замкнут по какой-либо топологии.

Следствие 2. Если v in V_N и существуют большие значения из V_N, среди них
есть наименьшее w>v. Поэтому существует положительный зазор над v, в котором
других значений нет. Размер этого зазора данным доказательством не ограничен.

Следствие 3. Любая процедура, делающая только строгие улучшения K при
неизменном N, не может сделать бесконечно много таких улучшений. Это не
даёт алгоритму способ узнать, что текущий рекорд глобально оптимален:
очередной более хороший набор может ещё не быть найден, а гарантированной
вычислимой длительности поиска из доказательства не следует.

## 30.4. Точная проверка ложного усиления «значений конечное число»

Даже при N=3 возможны бесконечно многие различные значения, ограниченные
константой строго меньше N. Рассмотрим

    A_D={1,2,D}, D>=3,  L=17/8.

Имеем точное тождество

    cos x+cos 2x = 2(cos x+1/4)^2 - 9/8.

Поэтому K(A_D)<=17/8. Равенство потребовало бы одновременно cos x=-1/4
и cos(Dx)=-1. Второе условие означает, что exp(ix) — корень из единицы.
Тогда 2cos x=exp(ix)+exp(-ix) — алгебраическое целое. Рациональное число
-1/2 не может быть алгебраическим целым: если рациональное p/q в несократимом
виде удовлетворяет моническому целочисленному уравнению, умножение на q^d
показывает q|p^d, откуда q=1. Получено противоречие. Значит,

    K(A_D)<17/8  для каждого D>=3.

Пусть alpha=arccos(-1/4). Выберем x_D=(2k+1)pi/D, ближайшее к alpha.
Тогда |x_D-alpha|<=pi/D, cos(D*x_D)=-1. Из 1-липшицевости косинуса:

    f_(A_D)(x_D) = -17/8 + 2(cos x_D+1/4)^2
                 <= -17/8 + 2pi^2/D^2.

Следовательно,

    17/8 - 2pi^2/D^2 <= K(A_D) < 17/8.

Значения стремятся к 17/8 снизу и не достигают его в этой семье; поэтому
различных значений бесконечно много. Это не противоречит теореме: запрет
касается приближения к пределу сверху, то есть строгого убывания.
В частности, все эти значения лежат ниже 5/2<3.

## 30.5. Почему это всё ещё не общий ответ Чоуле

Смысл теоремы — отдельное утверждение для каждого фиксированного N. Оно не
даёт связи между минимумами kappa_N при разных N. Логический переход

    (для каждого N есть достигнутый минимум и положительные зазоры)
      => inf_N kappa_N/sqrt(N)>0

неверен без дополнительного математического аргумента.

Точная контрмодель к этому логическому переходу: абстрактные множества
W_N={N^(1/5), N}. Каждое W_N конечно, вполне упорядочено, имеет минимум
и зазоры; его минимум даже стремится к бесконечности. Но

    min(W_N)/sqrt(N)=N^(-3/10)->0.

Это абстрактные множества чисел, а не построенные косинусные суммы. Они
опровергают только попытку получить равномерную константу из одних свойств
порядка. Никакой контрсемьи к самой гипотезе здесь не получено.

## 30.6. Проверка, происхождение и научный статус

Компактностная основа — лемма о подгруппах тора из подхода8; здесь она
применена ко всем убывающим последовательностям значений, а не только к
последовательности, приближающей глобальный инфимум.

Все формулы контрсемьи A_D выведены выше точно. Никакой численный поиск
не нужен для доказательства существования бесконечно многих значений.
Исполнимый sanity-check отдельно помечается как дополнительная проверка,
не заменяющая доказательство.

Источники для математического контекста:
- Idris Mercer, Finite searches, Chowla's cosine problem, and large Newman
  polynomials: https://arxiv.org/abs/1709.06612 .
- D. Chatterjee, H. Lekharu, R. Shah, Dynamics of actions of automorphisms on
  the space of one-parameter subgroups of a torus and applications:
  https://arxiv.org/abs/2511.04111 .

Эти источники не представлены как внешнее подтверждение нашей теоремы.
Поиск приоритета ограничен; новое научное открытие не заявляется.


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: round2/geometry_24_26.md
==============================================================================

# Подходы 24–26: квадратуры, сопряжённые числа и арифметика квадратов

Дата: 18 октября 2026 года, UTC. Это проверяемые математические записи для
исследовательского журнала. Они не являются доказательством гипотезы Чоулы;
математический приоритет приведённых частичных утверждений не установлен.

## Постановка и обозначения

Во всех трёх подходах исходный объект неизменен:

\[
A\subset\mathbb Z_{>0},\qquad |A|=N,\qquad
f_A(t)=\sum_{a\in A}\cos(at),\qquad K(A)=-\min_t f_A(t).
\]

Все частоты различны, амплитуды равны единице, фазы равны нулю. Цель — одна
абсолютная постоянная \(c>0\), такая что \(K(A)\ge c\sqrt N\) для всех A.
Меры, алгебраические числа и факторы ниже являются инструментами проверки;
вспомогательные примеры с другими коэффициентами не называются
контрпримерами к исходной гипотезе.

## 24. Адаптивная положительная квадратура с тяжёлым атомом

### Проверяемая идея

Попытаться заменить непрерывную окружность малым числом адаптивно выбранных
точек с положительными весами. Если все исходные гармоники интегрируются
точно, то большой вес одной точки должен заставить остальные точки
компенсировать положительный пик \(f_A(0)=N\).

Проверялась конкретная универсальная лемма: для любого A существует
вероятностная мера \(\mu\), удовлетворяющая

\[
\int e^{iat}\,d\mu(t)=0\quad(a\in A),
\]

и имеющая атом веса хотя бы \(c/\sqrt N\), где c не зависит от A.
Достаточно было бы квадратуры с \(O(\sqrt N)\) узлами. Узлы здесь не
предписаны заранее, в отличие от прежней проверки фиксированных сеток.

### Верный перенос

Пусть \(\mu\{t_0\}=w>0\). Обнуление комплексных гармоник даёт

\[
0=\int f_A(t_0-t)\,d\mu(t)
  =Nw+\int_{t\ne t_0}f_A(t_0-t)\,d\mu(t)
  \ge Nw-K(A)(1-w).
\]

Следовательно,

\[
\boxed{K(A)\ge \frac{Nw}{1-w}.}\tag{24.1}
\]

Это утверждение верно для любого A, любой такой меры и любого её атома;
ни ограничение исходных частот, ни равномерность узлов не требуются.

Для полноты: квадратура с не более чем \(2N+1\) узлами существует. Нуль
лежит в выпуклой оболочке кривой
\(t\mapsto(\cos at,\sin at)_{a\in A}\subset\mathbb R^{2N}\), поскольку
он является её средним. В конечной выпуклой комбинации более чем \(2N+1\)
точек имеется аффинная зависимость. Изменяя веса вдоль этой зависимости,
можно сохранить их сумму и барицентр, пока один вес не станет нулём;
повторение уменьшает число узлов до \(2N+1\). Это даёт через (24.1) только
оценку \(K\ge1/2\).

### Точное опровержение нужной универсальной леммы

Возьмём допустимый набор \(A=\{1,\ldots,N\}\). Для любой меры,
обнуляющей все эти гармоники, и любой точки \(t_0\) рассмотрим

\[
Q(t)=\left|\sum_{j=0}^{N}e^{ij(t-t_0)}\right|^2\ge0.
\]

Его ненулевые частоты лежат в \(\pm A\), поэтому

\[
\int Q(t)\,d\mu(t)=N+1.
\]

Если в \(t_0\) расположен атом веса w, то

\[
N+1\ge wQ(t_0)=w(N+1)^2,
\qquad\boxed{w\le\frac1{N+1}.}\tag{24.2}
\]

Граница достигается равномерной мерой на \((N+1)\)-х корнях единицы.
Следовательно, минимальное число узлов равно \(N+1\), а максимально
возможный вес атома точно равен \(1/(N+1)\). Условие
\(w\ge c/\sqrt N\) для одной положительной c невозможно при больших N.

Это не связано с малым реальным провалом: для того же набора формула
Дирихле при \(t=3\pi/(2N+1)\) даёт

\[
K(A)\ge\frac{1}{2\sin(3\pi/(4N+2))}+\frac12
       \ge\frac{2N+1}{3\pi}+\frac12.
\]

Реальный провал имеет линейную нижнюю оценку, тогда как оптимизация
тяжёлого атома в (24.1) даёт лишь единицу.

### Более общее препятствие для узлов

Если множество целых чисел B обладает свойством
\((B-B)\setminus\{0\}\subset A\cup(-A)\), то аналогичная проверка с
\(\left|\sum_{b\in B}e^{ib(t-t_0)}\right|^2\) даёт для каждого атома
\(w\le1/|B|\). Это точно указывает, какая структура частот препятствует
построению квадратуры с тяжёлым атомом.

### Статус

Перенос (24.1) доказан; универсальный тяжёлый атом и универсальные
\(O(\sqrt N)\) узлов опровергнуты на допустимой бесконечной семье.
Это исключает конкретный механизм, а не все методы квадратур.

Первичный контекст общей теории положительных квадратур: C. Bayer,
J. Teichmann, *The proof of Tchakaloff's Theorem*,
https://arxiv.org/abs/math/0502473 . Доказательства (24.1)–(24.2) приведены
полностью и от этой ссылки не зависят.

## 25. Полная орбита Галуа: следы, нормы и положительные единицы

### Проверяемая идея

На корне единицы сумма с целыми коэффициентами становится алгебраическим
целым числом. Если сдвинутая волна положительна на всей окружности, то
положительны все его сопряжённые значения. Проверялось, удастся ли получить
масштаб \(\sqrt N\) из целочисленной нормы и следов всей орбиты Галуа.

### Точные формулы на исходном классе

Пусть \(D=\max A\), \(m\ge K(A)\) — положительное целое число,
\(p>2D+1\) — простое, \(\zeta=e^{2\pi i/p}\),

\[
H(z)=2m+\sum_{a\in A}(z^a+z^{-a}),\qquad
\alpha_k=H(\zeta^k),\quad1\le k<p.
\]

Все \(\alpha_k\) неотрицательны. На самом деле они положительны: если
\(H(\zeta^k)=0\), то ненулевой целочисленный многочлен \(z^D H(z)\)
степени \(2D\) имел бы корень с минимальным многочленом
\(\Phi_p(z)=1+z+\cdots+z^{p-1}\), степень которого больше \(2D\).
Для простого p неприводимость \(\Phi_p\) следует из критерия Эйзенштейна
после замены z на z+1.

Произведение всех \(\alpha_k\) — положительное целое: это норма
алгебраического целого, или, непосредственно, целочисленный результант
\(z^D H(z)\) и \(\Phi_p(z)\). Дополнительный множитель
\(\prod_{k=1}^{p-1}\zeta^{kD}\) равен единице. Поэтому

\[
\prod_{k=1}^{p-1}\alpha_k\ge1.
\]

Точное усреднение корней единицы даёт

\[
\sum_{k=1}^{p-1}\alpha_k=2m(p-1)-2N,\tag{25.1}
\]

\[
\sum_{k=1}^{p-1}\alpha_k^2
=4m^2(p-1)-8mN+2pN-4N^2.\tag{25.2}
\]

Действительно, для \(\beta_k=\alpha_k-2m\) сумма по всем p корням
\(\beta_k^2\) равна \(2pN\): в квадрате Laurent-суммы нулевая частота
возникает ровно \(2N\) раз, а частот, кратных p, кроме нуля нет.
Удаление k=0 вычитает \(4N^2\).

Из нормы и неравенства среднего арифметического и геометрического выходит
лишь

\[
2m-\frac{2N}{p-1}\ge1.
\]

Дисперсия сопряжённых чисел, напротив, равна

\[
\operatorname{Var}(\alpha)
=\frac{2Np(p-1-2N)}{(p-1)^2},\tag{25.3}
\]

и стремится к \(2N\) при p, стремящемся к бесконечности.

Достаточной была бы общая верхняя оценка дисперсии через квадрат среднего
для нужного класса. Простое распространение такой оценки на все вполне
положительные циклотомические целые числа оказывается неверным.

### Точный отрицательный тест: норма равна единице, дисперсия велика

Для \(1<r<p\) возьмём

\[
\gamma_k=\left|1+\zeta^k+\cdots+\zeta^{(r-1)k}\right|^2.
\]

Это положительные сопряжённые алгебраические целые. Их полная норма
равна **точно единице**:

\[
\prod_{k=1}^{p-1}\gamma_k
=\left|\prod_{k=1}^{p-1}
\frac{1-\zeta^{rk}}{1-\zeta^k}\right|^2=1,
\]

поскольку умножение на r переставляет ненулевые остатки по простому p.
При \(p>2r\) первые два средних равны

\[
\mu_1=\frac{pr-r^2}{p-1},\qquad
\mu_2=\frac{p(2r^3+r)/3-r^4}{p-1}.\tag{25.4}
\]

Если для каждого r выбрать простое \(p>r^4\), то

\[
\frac{\mu_2}{\mu_1^2}\sim\frac{2r}{3}\longrightarrow\infty.
\]

Следовательно, положительность всех сопряжённых, циклотомичность,
целочисленность и даже точная норма один не дают необходимого ограничения
на относительную дисперсию.

Во вспомогательном многочлене коэффициенты равны
\(r-|a|\), а не единице. Пример опровергает только указанное арифметическое
усиление и не опровергает гипотезу Чоулы. Для завершения пути пришлось бы
существенно использовать точный плоский спектр коэффициентов исходного H;
такое новое неравенство не доказано.

### Статус

Формулы (25.1)–(25.4) и нормовое препятствие доказаны. Матрицы умножения
в целочисленном базисе циклотомического поля независимо воспроизводят
нормы, следы и следы квадратов в приложенном коде. Более сильная лемма для
исходного класса 0/1 остаётся недоказанной. Этот подход использует
арифметику всей орбиты, а не предполагает, что минимум лежит на сетке.

## 26. Квантовать коэффициенты спектрального фактора

### Проверяемая идея

Неотрицательная тригонометрическая сумма допускает спектральную
факторизацию. Необычное дополнительное требование — добиться, чтобы
коэффициенты факторов лежали на одной фиксированной рациональной решётке.
Тогда каждый ненулевой коэффициент расходует минимальное количество
энергии, и число исходных частот можно ограничить.

Это отличается от прежних проверок степеней SOS, рангов матриц или
кратностей разностей: здесь ограничивается **арифметический знаменатель
коэффициентов факторов**. Ни степень, ни число факторов заранее не
ограничиваются.

### Лемма о фиксированном знаменателе: полный вывод

Пусть m и q — положительные целые и на всей окружности имеется конечное
разложение

\[
H(z)=2m+\sum_{a\in A}(z^a+z^{-a})
    =\sum_{j=1}^{s}|Q_j(z)|^2,\qquad
Q_j\in q^{-1}\mathbb Z[i][z,z^{-1}].\tag{26.1}
\]

Допускаются любые конечные Laurent-многочлены и любые знаки. В частности,
лемма включает факторы с действительными рациональными коэффициентами.
Положим \(R_j=qQ_j=\sum_k r_{jk}z^k\), где \(r_{jk}\in\mathbb Z[i]\),

\[
E_j=\sum_k|r_{jk}|^2,\qquad L_j=\sum_k|r_{jk}|,\qquad
E=\sum_j E_j=2m q^2.
\]

Последнее равенство следует из постоянного коэффициента (26.1).
Для каждого ненулевого гауссова целого \(|r|\ge1\), поэтому
\(|r|\le|r|^2\) и \(L_j\le E_j\).

Сумма модулей положительных Fourier-коэффициентов левой части
\(q^2H\) равна \(q^2N\). Для правой части неравенство треугольника даёт

\[
\begin{aligned}
q^2N
&\le\sum_j\sum_{k<\ell}|r_{jk}|\,|r_{j\ell}|\\
&=\frac12\sum_j(L_j^2-E_j)\\
&\le\frac12\left[\left(\sum_jE_j\right)^2-\sum_jE_j\right]
 =\frac{E^2-E}{2}.
\end{aligned}
\]

Тем самым

\[
\boxed{N\le2m^2q^2-m.}\tag{26.2}
\]

Все возможные компенсации между факторами учтены неравенством
треугольника. Утверждение не требует положительных коэффициентов Q,
ограниченной степени или ограничения на расстояние между частотами.

Если бы для каждого A с \(m=\lfloor K(A)\rfloor+1\) разложение (26.1)
существовало при одном ограниченном общем знаменателе \(q\le q_0\), то
\(N\le2q_0^2(K+1)^2\). Из известной элементарной границы \(K\ge1\)
следовало бы

\[
K(A)\ge\frac{\sqrt N}{2\sqrt2\,q_0}.
\]

Граница \(K\ge1\) может быть получена из обычного фактора
\(K+f_A=|P|^2\): произведение крайних коэффициентов P по модулю равно
\(1/2\), поэтому их суммарная квадратичная энергия не меньше единицы.

### Проверка q=1: маленький строгий контрпример

Для

\[
A_7=\{1,2,3,5,6,7,8\}
\]

введём \(y=\cos t\). Тогда

\[
2+f_{A_7}(t)=
1-4y-12y^2+40y^3+112y^4-96y^5-224y^6+64y^7+128y^8.
\tag{26.3}
\]

Его положительность на всём \([-1,1]\) подтверждена точными
рациональными коэффициентами в базисе Бернштейна. На каждом интервале
многочлен является выпуклой комбинацией своих коэффициентов Бернштейна;
в таблице указан наименьший из девяти коэффициентов.

| Интервал y | Минимальный коэффициент Бернштейна |
|---|---:|
| [-1,-3/4] | 3/8 |
| [-3/4,-1/2] | 3/2 |
| [-1/2,0] | 45/56 |
| [0,1/4] | 253/2048 |
| [1/4,1/2] | 87/512 |
| [1/2,3/4] | 1163/512 |
| [3/4,7/8] | 13997/131072 |
| [7/8,1] | 25799/262144 |

Все восемь интервалов покрывают область, и все указанные числа строго
положительны. Кроме того,

\[
f_{A_7}(t)\big|_{\cos t=7/8}
=-\frac{248147}{131072}<-1.
\]

Таким образом, строго доказано \(1<K(A_7)<2\), поэтому
\(m=\lfloor K\rfloor+1=\lceil K\rceil=2\), а H из (26.1) строго
положителен. При q=1 лемма потребовала бы

\[
7=N\le 2\cdot2^2-2=6,
\]

что невозможно. Значит, обычная неотрицательность не гарантирует конечную
сумму квадратов модулей даже с гауссовыми целыми коэффициентами и даже
если разрешить произвольные степени и число факторов.

Это отрицательный результат о целочисленной факторизации. Сам набор A7
не является контрпримером к Чоуле.

### Рациональная факторизация для каждого набора всё же существует

**Утверждение.** Если H — строго положительный на окружности
тригонометрический многочлен с действительными рациональными симметричными
коэффициентами, то H является конечной суммой \(|Q_j|^2\) с
\(Q_j\in\mathbb Q[z]\). Общий знаменатель может зависеть от H.

**Доказательство.** Выберем рациональное \(0<\delta<\min H\).
По теореме Фейера — Рисса \(H-\delta=|P|^2\). Фактор P можно выбрать с
действительными коэффициентами: корни вещественного взаимного
многочлена группируются в сопряжённые пары; выбор внешнего фактора
сохраняет эту симметрию. Эквивалентно, внешний фактор с положительным
постоянным коэффициентом единственен и совпадает со своим сопряжением.

Приблизим конечный вектор коэффициентов P рациональным вектором и
получим \(Q\in\mathbb Q[z]\). Коэффициенты \(|Q|^2\) непрерывно
зависят от этого вектора. Поэтому можно обеспечить, чтобы рациональный
остаток

\[
R=H-|Q|^2=r_0+\sum_{a=1}^{d}r_a(z^a+z^{-a})
\]

был настолько близок к константе \(\delta\), что

\[
r_0>2\sum_{a=1}^{d}|r_a|.
\]

Тогда точное тождество имеет вид

\[
R=\left(r_0-2\sum_a|r_a|\right)
 +\sum_{a:r_a\ne0}|r_a|\,|1+\operatorname{sign}(r_a)z^a|^2.
\]

Все веса положительны и рациональны. Любой вес \(u/v>0\), u,v целые,
можно поглотить в рациональные коэффициенты факторов, заменив один
взвешенный квадрат \((u/v)|S|^2\) на uv одинаковых квадратов \(|S/v|^2\).
То же относится к постоянному члену. Число слагаемых конечно, поэтому
получается требуемое рациональное разложение. Его коэффициенты обладают
конечным общим знаменателем. Доказательство завершено.

Для исходной задачи достаточно взять \(m=\lfloor K\rfloor+1\), чтобы
\(H=2m+2f_A\) был строго положителен. Таким образом, знаменатель
существует для каждого A, но общей верхней границы не доказано.

Если \(q_{\min}(A)\) — минимальный положительный общий знаменатель среди
таких конечных рациональных разложений при выбранном m, то (26.2) даёт

\[
\boxed{q_{\min}(A)\ge
\sqrt{\frac{N+m}{2m^2}}.}\tag{26.4}
\]

В частности, гипотетическая последовательность контрпримеров
\(K(A)/\sqrt N\to0\) потребовала бы \(q_{\min}(A)\to\infty\).
Обратное утверждение не установлено: большой необходимый знаменатель
сам по себе не опровергает Чоулу.

### Статус

Доказаны условная граница (26.2), невозможность q=1 на конкретном
допустимом наборе, существование рационального разложения для каждого
строго положительного H и необходимое увеличение знаменателя у
гипотетических контрпримеров. Новая достаточная лемма об абсолютной
границе знаменателя остаётся недоказанной.

Первичный источник использованной обычной спектральной факторизации:
M. A. Dritschel, J. Rovnyak, *The Operator Fejér–Riesz Theorem*,
введение, скалярная теорема и обсуждение внешнего фактора:
https://uva.theopenscholar.com/files/james-rovnyak/files/p71.pdf .
Источник гарантирует обычные факторы; дополнительное требование к
знаменателям не приписывается этой теореме.

## Вычислительное подтверждение

Файл `geometry_checks.py` выполнен успешно. Он:

1. точно проверяет коэффициентные тождества квадратурного препятствия;
2. вычисляет циклотомические нормы целочисленными матрицами умножения и
   методом Барейса, получая норму один у трёх проверенных примеров;
3. независимо сверяет следы и следы квадратов с (25.1), (25.2), (25.4);
4. строит (26.3) целочисленной рекурсией Чебышёва, а затем с нуля
   пересчитывает все 72 рациональных коэффициента Бернштейна;
5. проверяет точное отрицательное значение и противоречие 7>6.

Полный результат с рациональными числами находится в
`geometry_check_results.json`. Ни вычисление глобального минимума по
сетке, ни арифметика с плавающей точкой в сертификатах не используются.
Проверка кода дополняет общие доказательства, но не заменяет их и не
является внешним рецензированием.


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: round2/geometry_check_results.json
==============================================================================

{
  "arithmetic": "exact integers and Fraction; no floating point",
  "route24": [
    {
      "N": 1,
      "exact_optimal_atom": "1/2",
      "implied_K_bound": "1",
      "minimal_nodes": 2
    },
    {
      "N": 2,
      "exact_optimal_atom": "1/3",
      "implied_K_bound": "1",
      "minimal_nodes": 3
    },
    {
      "N": 7,
      "exact_optimal_atom": "1/8",
      "implied_K_bound": "1",
      "minimal_nodes": 8
    },
    {
      "N": 16,
      "exact_optimal_atom": "1/17",
      "implied_K_bound": "1",
      "minimal_nodes": 17
    },
    {
      "N": 64,
      "exact_optimal_atom": "1/65",
      "implied_K_bound": "1",
      "minimal_nodes": 65
    }
  ],
  "route25": {
    "norms_by_integer_multiplication_matrices": [
      {
        "p": 7,
        "r": 2,
        "norm": 1,
        "trace": 10,
        "trace_of_square": 26
      },
      {
        "p": 11,
        "r": 3,
        "norm": 1,
        "trace": 24,
        "trace_of_square": 128
      },
      {
        "p": 17,
        "r": 4,
        "norm": 1,
        "trace": 52,
        "trace_of_square": 492
      }
    ],
    "exact_dispersion_growth": [
      {
        "r": 2,
        "p": 17,
        "second_to_first_squared": "344/225"
      },
      {
        "r": 4,
        "p": 257,
        "second_to_first_squared": "176832/64009"
      },
      {
        "r": 8,
        "p": 4099,
        "second_to_first_squared": "360101505/66945124"
      },
      {
        "r": 16,
        "p": 65537,
        "second_to_first_squared": "45886386176/4293001441"
      },
      {
        "r": 32,
        "p": 1048583,
        "second_to_first_squared": "375470696085511/17591347193616"
      }
    ]
  },
  "route26": {
    "A": [
      1,
      2,
      3,
      5,
      6,
      7,
      8
    ],
    "N": 7,
    "m": 2,
    "polynomial_2_plus_f": [
      1,
      -4,
      -12,
      40,
      112,
      -96,
      -224,
      64,
      128
    ],
    "negative_witness_cos_x": "7/8",
    "f_at_witness": "-248147/131072",
    "strict_K_interval": [
      "1",
      "2"
    ],
    "global_positivity_certificate": [
      {
        "left_y": "-1",
        "right_y": "-3/4",
        "min_bernstein_coefficient": "3/8",
        "all_coefficients": [
          "1",
          "3/8",
          "67/112",
          "521/448",
          "1997/1120",
          "4145/1792",
          "9655/3584",
          "5973/2048",
          "1535/512"
        ]
      },
      {
        "left_y": "-3/4",
        "right_y": "-1/2",
        "min_bernstein_coefficient": "3/2",
        "all_coefficients": [
          "1535/512",
          "6307/2048",
          "1353/448",
          "10167/3584",
          "1441/560",
          "2039/896",
          "111/56",
          "55/32",
          "3/2"
        ]
      },
      {
        "left_y": "-1/2",
        "right_y": "0",
        "min_bernstein_coefficient": "45/56",
        "all_coefficients": [
          "3/2",
          "17/16",
          "45/56",
          "47/56",
          "11/10",
          "75/56",
          "39/28",
          "5/4",
          "1"
        ]
      },
      {
        "left_y": "0",
        "right_y": "1/4",
        "min_bernstein_coefficient": "253/2048",
        "all_coefficients": [
          "1",
          "7/8",
          "81/112",
          "249/448",
          "437/1120",
          "445/1792",
          "549/3584",
          "253/2048",
          "87/512"
        ]
      },
      {
        "left_y": "1/4",
        "right_y": "1/2",
        "min_bernstein_coefficient": "87/512",
        "all_coefficients": [
          "87/512",
          "443/2048",
          "607/1792",
          "1963/3584",
          "947/1120",
          "1095/896",
          "185/112",
          "67/32",
          "5/2"
        ]
      },
      {
        "left_y": "1/2",
        "right_y": "3/4",
        "min_bernstein_coefficient": "1163/512",
        "all_coefficients": [
          "5/2",
          "93/32",
          "367/112",
          "3193/896",
          "4157/1120",
          "13141/3584",
          "6077/1792",
          "5925/2048",
          "1163/512"
        ]
      },
      {
        "left_y": "3/4",
        "right_y": "7/8",
        "min_bernstein_coefficient": "13997/131072",
        "all_coefficients": [
          "1163/512",
          "8031/4096",
          "46421/28672",
          "144383/114688",
          "64403/71680",
          "36899/65536",
          "131587/458752",
          "30189/262144",
          "13997/131072"
        ]
      },
      {
        "left_y": "7/8",
        "right_y": "1",
        "min_bernstein_coefficient": "25799/262144",
        "all_coefficients": [
          "13997/131072",
          "25799/262144",
          "58111/229376",
          "36147/57344",
          "23327/17920",
          "8443/3584",
          "1747/448",
          "97/16",
          "9"
        ]
      }
    ],
    "integer_square_sum_N_upper_bound": 6,
    "integer_square_sum_impossible": true,
    "same_H_Galois_norm_at_p19": 15912121
  }
}


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: round2/geometry_checks.py
==============================================================================

"""Exact checks for research routes 24--26; no floating point certificates.

The mathematical statements and their quantifiers are in geometry_24_26.md.
All computations below use integers or fractions. The positivity certificate
is independent of a search over angles and certifies the entire interval.
"""
from collections import Counter
from fractions import Fraction
from math import comb, isqrt
from pathlib import Path
import json

HERE = Path(__file__).resolve().parent


def cosine_polynomial(A):
    """Chebyshev recurrence, ascending integer coefficients."""
    D = max(A)
    previous = [1] + [0] * D
    current = [0, 1] + [0] * (D - 1)
    total = [0] * (D + 1)
    wanted = set(A)
    for a in range(1, D + 1):
        if a in wanted:
            total = [u + v for u, v in zip(total, current)]
        nxt = [0] + [2 * v for v in current[:-1]]
        nxt = [u - v for u, v in zip(nxt, previous)]
        previous, current = current, nxt
    return total


def evaluate(p, x):
    y = Fraction(0)
    for a in reversed(p):
        y = y * x + a
    return y


def bernstein(p, left, right):
    """Exact coefficients of p(left+(right-left)t), in Bernstein basis."""
    n = len(p) - 1
    width = right - left
    powers = [sum(Fraction(p[i]) * comb(i, j) * left ** (i - j)
                  * width ** j for i in range(j, n + 1))
              for j in range(n + 1)]
    return [sum(powers[j] * Fraction(comb(k, j), comb(n, j))
                for j in range(k + 1)) for k in range(n + 1)]


def det_bareiss(matrix):
    a = [list(row) for row in matrix]
    n = len(a)
    sign, previous = 1, 1
    for k in range(n - 1):
        if a[k][k] == 0:
            pivot = next((i for i in range(k + 1, n) if a[i][k]), None)
            if pivot is None:
                return 0
            a[k], a[pivot] = a[pivot], a[k]
            sign = -sign
        current = a[k][k]
        for i in range(k + 1, n):
            for j in range(k + 1, n):
                numerator = a[i][j] * current - a[i][k] * a[k][j]
                assert numerator % previous == 0
                a[i][j] = numerator // previous
            a[i][k] = 0
        previous = current
    return sign * a[-1][-1]


def cyclotomic_matrix(coefficients, p):
    """Multiplication on Q[z]/(1+z+...+z^(p-1)), for prime p."""
    columns = []
    for shift in range(p - 1):
        cyclic = [0] * p
        for exponent, value in coefficients.items():
            cyclic[(exponent + shift) % p] += value
        columns.append([cyclic[k] - cyclic[p - 1] for k in range(p - 1)])
    return [list(row) for row in zip(*columns)]


def prime(n):
    return n >= 2 and all(n % d for d in range(2, isqrt(n) + 1))


def next_prime(n):
    n += 1
    while not prime(n):
        n += 1
    return n


def quadratic_trace(matrix):
    n = len(matrix)
    return sum(matrix[i][j] * matrix[j][i] for i in range(n) for j in range(n))


def main():
    receipt = {"arithmetic": "exact integers and Fraction; no floating point"}

    # Route 24: the squared geometric polynomial used to bound any atom.
    quadrature = []
    for N in [1, 2, 7, 16, 64]:
        coefficients = Counter(i - j for i in range(N + 1) for j in range(N + 1))
        assert coefficients[0] == N + 1
        assert sum(coefficients.values()) == (N + 1) ** 2
        assert set(coefficients) == set(range(-N, N + 1))
        assert all(coefficients[a] == N + 1 - abs(a) for a in coefficients)
        quadrature.append({"N": N, "exact_optimal_atom": str(Fraction(1, N + 1)),
                           "implied_K_bound": str(Fraction(N, N + 1) / Fraction(N, N + 1)),
                           "minimal_nodes": N + 1})
    receipt["route24"] = quadrature

    # Route 25: calculate full Galois norms/traces independently by matrices.
    norm_samples = []
    for p, r in [(7, 2), (11, 3), (17, 4)]:
        assert prime(p) and p > 2 * r
        coefficients = {a: r - abs(a) for a in range(-(r - 1), r)}
        matrix = cyclotomic_matrix(coefficients, p)
        norm = det_bareiss(matrix)
        trace = sum(matrix[i][i] for i in range(p - 1))
        trace2 = quadratic_trace(matrix)
        assert norm == 1
        assert trace == p * r - r ** 2
        assert trace2 == p * (2 * r ** 3 + r) // 3 - r ** 4
        norm_samples.append({"p": p, "r": r, "norm": norm,
                             "trace": trace, "trace_of_square": trace2})
    growth = []
    for r in [2, 4, 8, 16, 32]:
        p = next_prime(r ** 4)
        mu1 = Fraction(p * r - r * r, p - 1)
        mu2 = Fraction(p * (2 * r ** 3 + r) // 3 - r ** 4, p - 1)
        growth.append({"r": r, "p": p, "second_to_first_squared": str(mu2 / mu1 ** 2)})
    receipt["route25"] = {"norms_by_integer_multiplication_matrices": norm_samples,
                          "exact_dispersion_growth": growth}

    # Route 26: a small admissible polynomial with no integral square sum.
    A = [1, 2, 3, 5, 6, 7, 8]
    f = cosine_polynomial(A)
    g = list(f)
    g[0] += 2
    assert g == [1, -4, -12, 40, 112, -96, -224, 64, 128]
    endpoints = [Fraction(v) for v in ["-1", "-3/4", "-1/2", "0", "1/4",
                                      "1/2", "3/4", "7/8", "1"]]
    positivity = []
    for left, right in zip(endpoints, endpoints[1:]):
        b = bernstein(g, left, right)
        assert min(b) > 0
        positivity.append({"left_y": str(left), "right_y": str(right),
                           "min_bernstein_coefficient": str(min(b)),
                           "all_coefficients": [str(x) for x in b]})
    witness = evaluate(f, Fraction(7, 8))
    assert witness == Fraction(-248147, 131072) < -1
    N, m = len(A), 2
    assert N > comb(2 * m, 2)

    # Verify Galois trace formula on the same actual unit-coefficient example.
    p = 19
    H = {0: 2 * m} | {a: 1 for a in A} | {-a: 1 for a in A}
    matrix = cyclotomic_matrix(H, p)
    assert sum(matrix[i][i] for i in range(p - 1)) == (p - 1) * 2 * m - 2 * N
    assert quadratic_trace(matrix) == (p - 1) * 4 * m * m - 8 * m * N + 2 * p * N - 4 * N * N
    actual_norm = det_bareiss(matrix)
    assert actual_norm > 0
    receipt["route26"] = {
        "A": A, "N": N, "m": m, "polynomial_2_plus_f": g,
        "negative_witness_cos_x": "7/8", "f_at_witness": str(witness),
        "strict_K_interval": ["1", "2"],
        "global_positivity_certificate": positivity,
        "integer_square_sum_N_upper_bound": comb(2 * m, 2),
        "integer_square_sum_impossible": True,
        "same_H_Galois_norm_at_p19": actual_norm,
    }
    target = HERE / "geometry_check_results.json"
    target.write_text(json.dumps(receipt, indent=2) + "\n")
    print(json.dumps({"all_checks_passed": True, "positivity_intervals": len(positivity),
                      "route26_A": A, "route26_K_between": [1, 2],
                      "integer_square_sum_impossible": True,
                      "result_file": str(target)}, indent=2))


if __name__ == "__main__":
    main()


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: unconventional20/INDEX.md
==============================================================================

# Twenty unconventional approaches: completed research checkpoint

18 October 2026 UTC. This is an intermediate research record, not a claim to
have solved Chowla's conjecture or a claim of mathematical priority.

The target is K(A) = -min_x sum_{a in A} cos(ax) >= c sqrt(|A|), with one
absolute c>0 for every finite nonempty set of distinct positive integers.

## Checked inventory

| ID | Concrete route | Outcome | Detailed record |
|---:|---|---|---|
| 1 | Free noncommuting spectral edge | Exact edge-transfer candidate refuted by A={1,2}; weaker comparison unproved | physics.md |
| 2 | Fermionic determinants | Finite-rank shortcut and specified variance-subtraction inequality refuted | physics.md |
| 3 | Complex-temperature Lee-Yang zeros | Imaginary-zero premise refuted exactly by the third moment for A={1,2} | physics.md |
| 4 | Whole-wave heat flow | Proposed energy/minimum ratio control refuted by an infinite evolved family | physics.md |
| 5 | Brownian optional stopping | Scalar moments and quadratic variation insufficient; explicit stopped-process countermodel | physics.md |
| 6 | Gauss sums and CRT grids | Valid arithmetic partial estimate; any prebounded rational grid list defeated by an admissible family | arithmetic.md |
| 7 | Mahler measure and integer resultants | Precise sufficient lemma remains unproved; generic integrality shortcuts fail | arithmetic.md |
| 8 | Compress the full frequency vector | Fixed-N attainment and explicit arbitrary-accuracy bounded-frequency approximation proved in the notes and cross-audited | arithmetic.md, arithmetic_audit.md |
| 9 | Infinitesimal irrational detuning | Interchange of full-time infimum and zero-detuning limit refuted exactly | arithmetic.md |
| 10 | Complex continuation and winding area | Identities valid; direct transfer from area or exterior values refuted | arithmetic.md |
| 11 | One-sided prefix-floor rounding of Fejer weights | Eight targeted sizes checked; rational negative witness at N=131071; asymptotic route unresolved | constructive.md |
| 12 | Nonlinear reversal of time | Exact reversal and universal sublinear uniform-error reversal refuted | constructive.md |
| 13 | Randomized whole sets and minimax | Relaxed game value is exactly 1/2 for every N, losing the desired growing bound | constructive.md |
| 14 | Spin frustration and MaxCut | Genuine transfer valid; required uniform cut surplus equivalent in scale to the original target | constructive.md |
| 15 | Clip the wave and reset its coefficients | Projection positivity fails; mean-reset iteration converges to the unknown K(A) | constructive.md |
| 16 | Vanishing weak limit | Automatic energy contradiction false; concentrated weighted countermodel given | information.md |
| 17 | Information entropy | Shannon-to-second-moment inference false; exact Renyi-2 target remains equivalent to Chowla | information.md |
| 18 | Sparse uncertainty/Remez inequality | Frequency-independent but exponentially weak lower bound derived | information.md |
| 19 | Chebyshev and square certificates | Exact per-set positivity certificate valid; degree bound by term count alone fails before compression | information.md |
| 20 | Passive-filter logarithmic balance | Mean-log identity insufficient; exact zero-free family has linear negative excursions | information.md |

These are checks of specified constructions or implications. They do not
exclude entire mathematical fields. Weighted or stochastic countermodels
refute only the indicated relaxation, not the original unit-coefficient
conjecture. Finite numerical tests do not settle the asymptotic behavior of
approach 11.

## Verification receipt

The primary agent read the completed records and reran all three executable
check files successfully:

- physics_check.py: exact moments, determinant recurrence and Brownian
  countermodels, plus explicitly labeled floating-point sanity checks.
- arithmetic_checks.py: every assertion passed; exact relation moments and
  grid-residue checks, with trigonometric floats only as sanity checks.
- constructive_checks.py: all eight targeted samples reproduced; the final
  rational certificate proves K(A)/sqrt(131071) > 241/125 for its specified
  set, by certifying one negative value, not its global minimum.

Cross-audits were separate mathematical reviews within this AI-assisted
research. The physics author independently audited all of approach 8 and
the formulas in 11-20; the constructive author independently audited 1-5.
No external mathematician, journal peer review, or formal proof assistant
has certified the work. No novelty is asserted.

## Strongest surviving result and unresolved step

For fixed N and 0<eps<=1, set M=ceil(4*pi*N/eps) and
r=ceil(4*N^2*log(M)/eps). Every admissible A has an admissible B with
max(B)<=(r+1)^N and |K(A)-K(B)|<=eps. The original frequencies are unrestricted.

At eps=1, any hypothetical counterexample sequence can therefore be replaced
by one with max(A)<=exp(O(N log N)). N remains unbounded. There is no proved
uniform positive lower bound for K(A)/sqrt(N) from these arguments.

## Primary source context inspected by the primary agent

- Mercer, Finite searches, Chowla's cosine problem, and large Newman
  polynomials: https://arxiv.org/abs/1709.06612 . This concerns exact finite
  computation; the approximate compression above does not settle its
  general exact stopping problem.
- Shankar, A Log-Free n^(1/5) Bound for Chowla's Cosine Problem, preprint:
  https://arxiv.org/html/2609.05338v1 . It is source context, not verification
  of our partial propositions.
- Turan-Nazarov inequality, author-hosted Bownik-Speegle paper, Theorem 2.1:
  https://pages.uoregon.edu/mbownik/papers/51.pdf .
- Markov-Lukacs representation, Nie-Demmel, Theorem 2.2:
  https://mathweb.ucsd.edu/~njw/PUBLICPAPERS/TrnShapOptCoef.pdf .


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: unconventional20/arithmetic.md
==============================================================================

# Approaches 6–10: arithmetic, compression, detuning, and contour geometry

Research target throughout: for every finite set `A` of distinct positive integers,

\[
f_A(x)=\sum_{a\in A}\cos(ax),\quad N=|A|,\quad K(A)=-\min_x f_A(x),
\]

prove `K(A)>=c*sqrt(N)` with one absolute `c>0`, or construct an admissible
unbounded family with `K(A)/sqrt(N)->0`. No result below settles that target.
All circle integrals are normalized unless a different measure is displayed.

## 6. Quadratic Gauss sums as a probability measure biased toward negative phases

**Mechanism tested.** Use the Legendre symbol to place nonnegative probability
weights on prime roots of unity. Quadratic Gauss sums have square-root size, so
one might hope to make the expectation of the full cosine sum negative by
order `sqrt(N)` and hence obtain a negative point.

Let `p=1 mod 4` be prime, let `chi` be the Legendre symbol with `chi(0)=0`, and
for `s in {-1,1}` put

\[
\mu_s(k)=\frac{1-s\chi(k)}p,\qquad 0\le k<p.
\]

These are nonnegative and sum to one. The quadratic Gauss-sum identity gives

\[
\sum_{k=0}^{p-1}\mu_s(k)\cos(2\pi ak/p)
=\begin{cases}
1,&p\mid a,\\
-s\chi(a)/\sqrt p,&p\nmid a.
\end{cases}
\]

Writing `D_p=|{a in A:p divides a}|` and `S_p=sum_{a in A,p not dividing a}chi(a)`,
and selecting `s` optimally, proves the **valid partial estimate**

\[
K(A)\ge\frac{|S_p|}{\sqrt p}-D_p.
\]

It is useful when the frequencies have a strong common quadratic-residue bias.
It does not give a uniform estimate: a balanced character sum contributes zero,
and frequencies divisible by `p` contribute positively. For `p=3 mod 4`, the
unshifted quadratic Gauss sum is purely imaginary. The same real Legendre bias
then contributes zero to every nontrivial cosine coefficient; its square-root
magnitude cannot be treated as a negative real number.

**Actual coverage counterexample, including CRT.** Fix any finite collection
of denominators and let `L` be a common multiple. For `N>=3`, set

\[
A_L=\{L,2L,\ldots,(N-1)L,L+1\}.
\]

This set has `N` distinct positive frequencies and `gcd(A_L)=1`. At every tested
rational angle `x=2*pi*k/q` with `q` dividing `L`,

\[
f_{A_L}(x)=N-1+\cos x\ge N-2>0.
\]

If the collection consists of small primes, all CRT combinations have
denominator dividing their product, so choosing `L` divisible by that product
defeats the combined grid too. This obstruction applies to **every probability
measure supported on those angles**, not just the displayed Legendre weights.
It survives removing a common gcd.

**Status.** The Gauss-sum estimate is proved. Universal coverage by a fixed or
`N`-bounded list of small prime grids is false without a further structural
step: `L` can contain every prime on that list. Adaptive use of primes that
depend on the actual frequency arithmetic remains possible, but a uniform
bound from that strategy was not found.

**Primary source.** Keith Conrad, *Gauss and Jacobi Sums on Finite Fields and
Z/mZ*, Corollary 2.3 and the final appendix's explicit prime evaluation:
https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/gradnumthy/Gauss-Jacobi-sums.pdf .
The displayed probability estimate and CRT adversary are derived here from
that identity.

## 7. Arithmetic Mahler measure and resultants of the nonnegative polynomial

**Mechanism tested.** Put `m=ceil(K(A))`, `D=max(A)`, and form the Laurent polynomial

\[
H(z)=2m+\sum_{a\in A}(z^a+z^{-a}),\qquad F(z)=z^D H(z).
\]

On the unit circle `H=2m+2f_A>=0`. The ordinary polynomial `F` is monic,
reciprocal, integral, has constant term one, and has degree `2D`. Its noncentral
nonzero coefficients are exactly one. Let `M` denote multiplicative Mahler
measure. Jensen's inequality has the following direction:

\[
M(F)=M(H)=\exp\int\log H\le\int H=2m.
\]

Boundary zeros cause integrable logarithmic singularities, not a reversal of
this inequality. Thus the proposed **sufficient lemma**

\[
M(H)\ge c\sqrt N
\]

would imply `K(A)>=c*sqrt(N)/2-1`, which is asymptotically sufficient for Chowla.
The lemma for this exact unit-coefficient class was neither proved nor refuted.

**Actual arithmetic exceptions checked.** Integrality alone only guarantees
`M(F)>=1`. It cannot supply growth in the degree or in the total number of
coefficients for a general nonnegative integral cosine polynomial. For every
integer `n>=2`,

\[
H_n(z)=\left|1+z+\cdots+z^{n-1}\right|^2
=n+\sum_{a=1}^{n-1}(n-a)(z^a+z^{-a})
\]

is nonnegative on the circle and has `M(H_n)=1`: the underlying geometric sum
has only roots of unity and is monic. Its support grows without bound. For even
`n` the constant term already has the required form `2m`, but its offzero
coefficients vary, so **this example refutes the weighted relaxation, not the
unproved unit-coefficient lemma**.

There are root-of-unity exceptions even in the exact class. For `A={D}`, `m=1`,

\[
F(z)=z^{2D}+2z^D+1=(z^D+1)^2,
\]

so `M(F)=1` at arbitrarily large degree. The resultant with `z^(2D)-1` vanishes.
Consequently an argument that silently assumes nonzero resultants against
roots of unity is invalid.

There is also a universal obstruction to applying a nonreciprocal-polynomial
resultant shortcut: **every** `F` constructed above is reciprocal, so its
reciprocal polynomial is `F` itself and their resultant is zero. Results using
the separation of a polynomial from its reciprocal do not apply.

**Status.** The Mahler lower-bound target is a precise unproved sufficient
lemma. The generic extensions from integrality, root count, or a presumed
nonzero reciprocal resultant are false. No reverse Jensen estimate is used.

**Primary source.** Chris Smyth, *The Mahler measure of algebraic numbers: a
survey*, arXiv:math/0701397, especially the definition/Jensen formula and
Section 5.1 on the distinction between reciprocal and nonreciprocal polynomials:
https://arxiv.org/pdf/math/0701397 . The algebraic examples above are explicit
checks, not quoted theorems about the unresolved unit-coefficient class.

## 8. Frequency compression: exact attainment and an effective approximation

**Mechanism tested.** Replace a possibly enormous integer frequency vector by
a bounded vector that preserves its relevant additive relations. Then the
general frequency problem for fixed `N` might become a finite calculation.

### 8.1. A direct Freiman shortcut fails

Ordinary Freiman isomorphisms preserve equal-length additive relations. Even
preserving these at **every order** need not preserve a cosine minimum. Every
two-element set is Freiman-isomorphic, at every order, to every other
two-element set: equality of sums of `s` terms just says that each of the two
elements occurs the same number of times on both sides. But

\[
\min_x(\cos x+\cos 2x)=-\frac98,
\qquad
\min_x(\cos x+\cos 3x)=-2.
\]

The first identity follows by minimizing `2u^2+u-1` for `u=cos(x)`; the second
is attained at `x=pi`. A relation involving zero, or an unequal number of
positive terms on its two sides, matters for a real part.

Adding a fixed zero anchor repairs this particular issue but not exact
preservation at a fixed order. Given any fixed `s`, choose an even integer
`M>s`. The anchored sets `{0,1,M}` and `{0,1,M+1}` have no nontrivial equal-length
relations of order at most `s`, so the natural map is a Freiman `s`-isomorphism.
Nevertheless `{1,M+1}` has minimum `-2`, whereas `{1,M}` has minimum strictly
greater than `-2`: equality would require `x=pi mod 2*pi` and simultaneously
`Mx=pi mod 2*pi`, impossible for even `M`.

Thus no fixed relation order independent of the actual frequency data
preserves these minima **exactly**, already at `N=2`.

### 8.2. Proved existence: the optimal value at each fixed N is attained

**Proposition.** For every positive integer `N`,

\[
\kappa_N=\inf_{0<a_1<\cdots<a_N\atop a_j\in\mathbb Z}
\left[-\min_t\sum_{j=1}^N\cos(a_jt)\right]
\]

is attained by at least one tuple of distinct positive integers. An attaining
tuple may be chosen with gcd one.

**Proof.** Take an admissible minimizing sequence `a^(j)` and the compact
connected subgroups of the `N`-torus

\[
H_j=\{(a^{(j)}_1t,\ldots,a^{(j)}_Nt)\pmod{2\pi}:t\in\mathbb R\}.
\]

By compactness of the hyperspace of nonempty closed subsets of a compact
metric space, pass to a subsequence converging in Hausdorff distance to a
nonempty closed set `H`. This limit is a subgroup: approximate any two of its
points by points in `H_j`, subtract them, and pass to the limit. It is also
connected, although connectedness of the limit is not needed below.

For `h in Z^N` let `chi_h(theta)=exp(i*h dot theta)`. The annihilator

\[
L(H)=\{h\in\mathbb Z^N:\chi_h\equiv1\text{ on }H\}
\]

is a finitely generated subgroup of `Z^N`; choose a finite integer basis
`h_1,...,h_r`. For each such `h_i`, uniform continuity and Hausdorff convergence
imply that `chi_{h_i}(H_j)` eventually lies in a small arc around `1`. But
`H_j` is connected, so this image, a compact connected subgroup of the circle,
is either `{1}` or the whole circle. It must therefore be `{1}`. Taking a
maximum over the finitely many indices proves that all `h_i` annihilate `H_j`
for every sufficiently large `j`.

A closed subgroup of a torus is the intersection of the kernels of its
annihilating integer characters. Hence `H_j` is contained in `H` eventually.
For the fixed continuous function

\[
\Phi(\theta)=-\sum_{i=1}^N\cos\theta_i,
\]

Hausdorff convergence gives

\[
\max_H\Phi=\lim_j\max_{H_j}\Phi=\kappa_N.
\]

Eventual inclusion gives `max_{H_j}Phi<=kappa_N`. Conversely every `H_j` comes
from an admissible positive distinct integer tuple, so the definition of the
infimum gives `max_{H_j}Phi>=kappa_N`. Equality follows for sufficiently large
`j`; any such tuple attains the infimum. Dividing by its gcd does not change
the range of the cosine sum. QED.

**Scope.** This is exact existence, not an effective maximum-frequency bound.
The Hausdorff subsequence and the stage at which all relations stabilize give
no numerical stopping criterion. The proof does not assume that an arbitrary
point of the limit torus is realized by one time of a fixed original sum.

### 8.3. Proved effective approximation with controlled relation order

**Proposition.** Let `N>=1` and `0<epsilon<=1`, and set

\[
M=\left\lceil\frac{4\pi N}{\varepsilon}\right\rceil,
\qquad
r=\left\lceil\frac{4N^2\log M}{\varepsilon}\right\rceil.
\]

For every sorted positive distinct integer tuple `a` there is a sorted positive
distinct integer tuple `b` with

\[
\max_j b_j\le(r+1)^N,
\qquad |K(a)-K(b)|\le\varepsilon.
\]

Thus the extremal value for fixed `N` can be approximated to any prescribed
positive error by an explicitly bounded finite search. This does not provide
an exact stopping criterion or an asymptotic Chowla estimate.

**Step A: a uniform measure near an extremum.** Put `g_a=N-f_a` and
`G_a=max g_a=N+K(a)`, so `0<=g_a<=2N`. Partition each coordinate circle into `M`
half-open intervals of length `2*pi/M`. The map

\[
t\mapsto(a_1t,\ldots,a_Nt)\pmod{2\pi}
\]

partitions the time circle into at most `M^N` measurable cells. Some cell `E`
has normalized measure at least `M^(-N)`. Choose a point `t_0` in `E`. Every
`u=t-t_0` with `t in E` has each phase `a_j*u` at circle distance at most
`2*pi/M` from zero. Since cosine is 1-Lipschitz in the circular distance,

\[
|g_a(t_*+u)-g_a(t_*)|\le\frac{2\pi N}{M}\le\frac\varepsilon2,
\]

where `t_*` is a maximizing time. Translation preserves the measure of `E`.
Therefore

\[
\operatorname{meas}\{t:g_a(t)\ge G_a-\varepsilon/2\}\ge M^{-N}.
\]

**Step B: a sufficiently high moment approximates that extremum.** Let
`T_a=(int g_a^r)^(1/r)`. Then

\[
T_a\ge(G_a-\varepsilon/2)\exp(-N\log M/r),\qquad T_a\le G_a.
\]

Using `1-exp(-u)<=u` and `G_a<=2N` gives

\[
0\le G_a-T_a
\le\frac\varepsilon2+\frac{2N^2\log M}{r}
\le\varepsilon.
\]

**Step C: identify exactly which additive relations the moment needs.**
Expanding

\[
g_a(t)=N-\frac12\sum_{j=1}^N(e^{ia_jt}+e^{-ia_jt})
\]

shows that its `r`th moment is determined by the truth values of

\[
h\cdot a=0\quad(h\in\mathbb Z^N,\ \|h\|_1\le r).
\]

These include unbalanced signed relations; equal-length Freiman relations
without a zero anchor would not suffice.

**Step D: a small integer tuple preserving this finite data.** For every such
nonzero `h`, impose the following constraint on a real vector `v`:

- `h dot v=0` when `h dot a=0`;
- `h dot v>=1` when `h dot a>0`;
- `(-h) dot v>=1` when `h dot a<0`.

This finite rational polyhedron is nonempty because `v=a` is feasible.
It includes `v_i>=1` and `v_{i+1}-v_i>=1`, since `r>=2`. In particular, it is
pointed and lies in the positive orthant. Minimizing `sum v_i` and choosing
a vertex of the bounded minimizing face produces a vertex `v` of the
polyhedron. At it, `N` independent active constraints have integer coefficient
rows of `l1` norm at most `r` and right-hand sides zero or one.

Let `D_0` be the nonzero determinant of this integer constraint matrix. By
Cramer's rule, `b=|D_0|v` has integer coordinates and remains positive and
strictly increasing. Every relevant zero relation and nonrelation is preserved.
Each Cramer numerator is a determinant whose row Euclidean norms are at most
`sqrt(r^2+1)<=r+1`; Hadamard's inequality gives

\[
0<b_i\le(r+1)^N.
\]

Thus `T_b=T_a`. Step B places both `G_a` and `G_b` in the same interval
`[T_a,T_a+epsilon]`; their difference is at most `epsilon`, proving the claim.
QED.

The bound has the size `exp(O(N log(N/epsilon)))`, with the explicit constants
above. It is enormous as an algorithm, and bounding or approximating each
fixed `kappa_N` does not prove a lower bound uniform in `N`.

An asymptotic consequence is nevertheless useful. Set `epsilon=1`. If a
counterexample family with `N->infinity` and `K(A)/sqrt(N)->0` exists, then
another such family exists with `max(A)<=exp(O(N log N))`: replace each set
by its compressed approximation, whose error divided by `sqrt(N)` tends to
zero. Conversely a uniform square-root lower bound for all sets obeying this
explicit frequency bound would extend to all frequencies, first with an
additive error one and then, by adjusting the absolute constant for small
`N`, in the original form. The elementary bound `K(A)>=1/2` suffices for that
last adjustment: integrating `(f_A+K(A))*(N-f_A)>=0` gives
`N*K(A)>=int f_A^2=N/2`. This is a reduction of the general asymptotic
problem to an explicit growing search domain, not a solution of that problem.

**Actual checks and source/novelty boundaries.** The counterexamples in 8.1
are exact. As an additional check, `{1,6}` and `{1,7}` have identical cosine
moments through order six; at order seven the former has moment `7/64` and
the latter zero. This demonstrates precisely the first unbalanced resonance.

Yufei Zhao's MIT notes define the balanced Freiman data and explain the scope
of the Ruzsa modeling lemma:
https://live.ocw.mit.edu/courses/18-225-graph-theory-and-additive-combinatorics-fall-2023/mit18_225_f23_lec22-25.pdf .
For topology of compact spaces of torus subgroups, a primary reference is
D. Chatterjee, H. Lekharu, R. Shah, arXiv:2511.04111:
https://arxiv.org/abs/2511.04111 . The displayed two propositions are proved
in full here, rather than inferred from the abstract of that reference.

The primary Chowla reference inspected was Idris Mercer, *Finite searches,
Chowla's cosine problem, and large Newman polynomials*, arXiv:1709.06612:
https://arxiv.org/pdf/1709.06612 . It poses the challenge of exact finite
computation for general fixed `N` and treats small lengths. The proofs above
do not establish the exact effective reduction sought there. No novelty or
priority claim is made; the brief source search is not a literature-completeness
certificate.

**Status.** Two valid general partial facts: exact attainment for each fixed
`N`, and explicit approximation by bounded integer frequencies. Exact
preservation by a fixed-order Freiman shortcut is false. No square-root lower
bound follows yet.

## 9. Infinitesimal irrational detuning and independent phases

**Mechanism tested.** Replace integers `a_j` by `a_j+epsilon*alpha_j`, choose
rationally independent perturbed frequencies, and use density on the torus to
make all phases almost `pi`. Their full-time infimum is `-N`. Could sending
`epsilon` to zero transfer this to the original integer frequencies?

**Exact test of the interchange of limits.** Take

\[
f_0(t)=\cos t+\cos 2t,\qquad
f_m(t)=\cos t+\cos((2+\sqrt2/m)t),\qquad m\ge1.
\]

The two perturbed frequencies are rationally independent, so their continuous
torus orbit is dense. In particular,

\[
\inf_{t\in\mathbb R}f_m(t)=-2\quad\text{for every }m,
\qquad
\inf_{t\in\mathbb R}f_0(t)=-\frac98.
\]

Thus

\[
\lim_{m\to\infty}\inf_t f_m(t)=-2
\ne-\frac98=\inf_t\lim_{m\to\infty}f_m(t).
\]

The value `-2` is an infimum rather than an attained minimum for irrational
frequency ratio. There is no contradiction with continuity: on every fixed
finite window `|t|<=T`,

\[
|f_m(t)-f_0(t)|\le\frac{\sqrt2 T}{m}\longrightarrow0.
\]

More quantitatively, to reach a value below `-3/2`, a perturbed trajectory
must have `|t|>3m/(8*sqrt2)`, because the unperturbed minimum is `-9/8`.
The witness times necessarily escape every fixed window.

One can also exhibit such escaping times directly. Put `eta=sqrt(2)/m` and
choose an odd integer `n_m` closest to `1/eta`, so
`|eta*n_m-1|<=eta`. At `t_m=n_m*pi`,

\[
f_m(t_m)=-1-\cos\bigl(\pi(\eta n_m-1)\bigr)
\le -2+\frac{\pi^2\eta^2}{2}
=-2+\frac{\pi^2}{m^2}.
\]

Thus `t_m` has size `pi*m/sqrt(2)` and already gives values tending to `-2`.
This is a quantitative check of the limit-exchange failure, independent of
any numerical search for an irrational orbit.

For a general fixed choice of the `alpha_j`, rational independence should not
be asserted for every nonzero `epsilon`: exceptional relations can occur.
The explicit sequence above avoids that issue completely.

**Status.** Independent phases after detuning are a valid fact. The limit
exchange required to solve the integer-frequency problem is false, with an
exact two-frequency counterexample. Torus characters also give a short density
proof: a character annihilating the perturbed orbit would require
`h_1+(2+sqrt(2)/m)h_2=0`, so both integers vanish. Standard torus duality then
identifies its closure with the whole two-torus.

## 10. Complex time, winding, and the signed area of the image curve

**Mechanism tested.** Regard `P_A(z)=sum_{a in A}z^a` as a complex curve
`gamma(x)=P_A(exp(ix))`. Use its winding, large signed area, or continuation
to imaginary time to force a leftward excursion of order `sqrt(N)`.

**Exact geometric calculation.** Fourier orthogonality gives

\[
\mathcal A_{\rm signed}
=\frac12\int_0^{2\pi}\operatorname{Im}
   (\overline{\gamma(x)}\gamma'(x))\,dx
=\pi\sum_{a\in A}a.
\]

This is a **signed area counted with winding multiplicity**, not necessarily
the ordinary area inside a simple boundary. The curve can self-intersect.

The dilation test is decisive against identifying those notions. Replacing
`A` by `qA` leaves the image curve, `N`, and `K(A)` unchanged, but multiplies
the displayed signed area by `q`. Already `A={q}` traverses the same unit
circle `q` times, has winding number `q` and signed area `pi*q`, yet its
leftward excursion is always exactly one. Consequently a direct inference
`K >= c*sqrt(signed area)` is false, even for an eligible one-frequency sum.
The obstruction is not removed by requiring gcd one: `A={1,D}` has gcd one,
`K(A)<=2`, and signed area `pi*(D+1)` tending to infinity.
Dividing by a frequency parameter removes that contradiction but supplies
no new `sqrt(N)` estimate by itself.

The derivative energy is likewise degree-dependent:

\[
\int_0^{2\pi}|\gamma'(x)|^2\,dx=2\pi\sum_{a\in A}a^2.
\]

Applying an isoperimetric inequality to a curve with multiplicity requires the
corresponding hypotheses; substituting the signed area as ordinary enclosed
area is not valid. Argument-principle information counts zeros/winding and
does not quantify how far left the curve travels. It can even be undefined
for winding about zero if the curve passes through zero, unless a suitable
regularization is specified.

**Imaginary-time test.** For `0<rho<1`, harmonic extension gives

\[
\operatorname{Re}P_A(\rho e^{ix})
=\sum_{a\in A}\rho^a\cos(ax)
=(\text{Poisson kernel at }\rho)*f_A(x)\ge-K(A).
\]

Thus an interior negative point, if found, would be a valid boundary lower
bound. However the continuation introduces unequal decaying weights and
does not itself produce such a point. For imaginary time of the opposite
sign, `rho>1`, there is no such boundary implication. With `A={D}` one has
`min_x Re P_A(rho exp(ix))=-rho^D`, arbitrarily negative outside the circle,
although the original `K(A)=1`.

**Status.** The signed-area and Poisson-extension identities are valid partial
facts. The area-to-left-width inference and outside-to-boundary transfer are
false. Replacing a quantitative contour claim by zero-freeness would merely
return to the already refuted weaker shortcut; it is not a new solution.

## Verification scope

Each approach above has an actual analytical test: a proved estimate,
counterexample, or a complete partial theorem with proof. The companion
`arithmetic_checks.py` and `arithmetic_checks.json` provide small arithmetic
and numerical sanity checks, including exact integer moment coefficients.
They are not used as proofs of asymptotic statements. No external publication,
upload, human peer review, or formal proof-assistant verification is claimed.


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: unconventional20/arithmetic_audit.md
==============================================================================

# Independent audit of approach 8

18 October 2026. Reviewer: the agent responsible for approaches 1–5, independently of the author of arithmetic.md.

## Verdict

The two propositions in arithmetic.md §8.2–8.3 are correct as written:

1. For each fixed \(N\), the infimum of the cosine-minimum parameter over all positive distinct integer frequency tuples is attained.
2. For every \(0<\varepsilon\le1\), every such tuple has a positive distinct integer replacement bounded by \((r+1)^N\) and with its \(K\)-value within \(\varepsilon\), for the explicit \(M,r\) defined there.

Neither proposition supplies the uniform square-root estimate. The first also gives no effective exact frequency bound. No novelty claim has been verified.

## Exact attainment: checked logical dependencies

The hyperspace compactness step is valid because the ambient torus is compact. A Hausdorff limit of the orbit subgroups is a nonempty closed subgroup: limits of differences remain in the limit set.

Its annihilator is a subgroup of \(\mathbb Z^N\), hence has a finite integer basis. For every basis character, Hausdorff convergence forces its values on the approximating orbit subgroup into an arbitrarily small arc about 1. The orbit subgroup is connected, so its character image is either the trivial subgroup or the whole circle. Thus every basis character is identically one on every sufficiently late orbit subgroup.

Torus character separation then gives eventual inclusion \(H_j\subseteq H\). This is stronger than mere approximation and is the essential step. Character separation can also be justified through Haar measure: if a point annihilates every annihilator character, translation by that point leaves all Fourier coefficients of Haar measure on \(H\) unchanged, hence leaves the measure and its support unchanged.

The fixed continuous function \(-\sum\cos\theta_i\) has maxima continuous under Hausdorff convergence. Its maximum on \(H\) therefore equals the minimizing-sequence limit. Eventual inclusion gives an upper bound by that limit for the original tuples, and the definition of the infimum supplies the opposite inequality. Consequently the infimum is attained. Positivity and distinctness are retained because the attaining tuple is one of the original admissible tuples.

## Effective approximation: checked constants and arithmetic

**Heavy cell.** The phase map produces at most \(M^N\) measurable cells. A cell of measure at least \(M^{-N}\) exists. Subtracting any one point of that cell makes every coordinate phase smaller than \(2\pi/M\) in circular distance. Translating this difference set to a maximizing time preserves its measure. The resulting loss is at most \(2\pi N/M\le\varepsilon/2\). No simultaneous Diophantine approximation theorem, gcd assumption, or frequency cap is being used.

**Moment.** Since \(0\le g_a=N-f_a\le2N\),

\[
0\le G_a-\|g_a\|_r
\le\varepsilon/2+2N^2\log M/r
\le\varepsilon.
\]

The lower bound remains valid because \(G_a-\varepsilon/2>0\). Equal moments therefore put two maxima in the same interval of width \(\varepsilon\), not width \(2\varepsilon\).

**Relevant relations.** Every exponent in the expansion of \(g_a^r\) has the form \(h\cdot a\), with \(\|h\|_1\le r\). Preserving all zero/nonzero truth values for these vectors preserves the moment exactly. The construction actually preserves their signs as well.

**Polyhedral vertex.** The original integer tuple is feasible because any positive integer scalar product is at least 1. The constraints include \(v_i\ge1\) and \(v_{i+1}-v_i\ge1\), since the stated \(r\) is at least 2. Minimizing \(\sum v_i\) has a nonempty compact minimizing face: within any bounded objective sublevel every coordinate is bounded above and below. A vertex of that face is a vertex of the full polyhedron.

At a vertex there are \(N\) linearly independent active normals. Their entries are integers, their row \(\ell^1\) norms are at most \(r\), and their right sides belong to \(\{0,1\}\). If their matrix determinant is \(D_0\ne0\), then \(b=|D_0|v\) is integral by Cramer's rule. This positive scaling preserves order and all prescribed relations/nonrelations.

Each row of a Cramer numerator matrix has squared Euclidean norm at most \(r^2+1\): one old coefficient is replaced by 0 or 1. Hadamard therefore bounds every positive coordinate by \((r+1)^N\). There is no hidden coefficient depending on the original tuple.

## Additional quick audit of approaches 16–20

The Fejer \(L^2\) formula and the concentration countermodel in 16 are exact. The convexity bound in 17 correctly uses \(D_1\le D_2\), and its bounded-\(D_1\), unbounded-\(D_2\) example is valid. The measurable-set and supremum calculations in 18 correctly yield only an exponentially weak Remez bound. The two real-polynomial nonnegativity representations and the degree obstruction in 19 are correct. In 20, the closed-disk zero-free claim for \(2+z+\cdots+z^N\) follows from \(2=z+z^{N+1}\) and its equality case, and the Riemann-sum trough is correct.

These quick checks confirm the displayed mathematics; they do not constitute a new literature review or a proof of the full conjecture.


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: unconventional20/arithmetic_checks.json
==============================================================================

{
  "6": {
    "gauss_probability_exact_nonnegativity_and_mass": true,
    "gauss_formula_max_float_error": 1.329492071988625e-14,
    "adversary_N": 8,
    "adversary_L": 30030,
    "adversary_gcd": 1,
    "denominators_verified_exactly": [
      2,
      3,
      5,
      7,
      11,
      13,
      6,
      30,
      210,
      30030
    ],
    "grid_identity": "f(2*pi*k/q)=N-1+cos(2*pi*k/q)",
    "uniform_grid_lower_bound": 6
  },
  "7": {
    "weighted_cyclotomic_sizes_checked": [
      2,
      4,
      8,
      16,
      32
    ],
    "exact_identity": "H_n=sum_{j,k=0}^{n-1}z^(j-k)",
    "M_H_n": 1,
    "unit_class_boundary_exception": "z^D H=(z^D+1)^2 for N=1,m=1",
    "not_a_counterexample_to_unit_coefficient_Mahler_sqrt_lemma": true
  },
  "8": {
    "A": [
      1,
      6
    ],
    "B": [
      1,
      7
    ],
    "moments_A_orders_0_to_7": [
      "1",
      "0",
      "1",
      "0",
      "9/4",
      "0",
      "25/4",
      "7/64"
    ],
    "moments_B_orders_0_to_7": [
      "1",
      "0",
      "1",
      "0",
      "9/4",
      "0",
      "25/4",
      "0"
    ],
    "exact_first_difference_order": 7,
    "balanced_all_order_counterexample": {
      "A": [
        1,
        2
      ],
      "B": [
        1,
        3
      ],
      "K_A": "9/8",
      "K_B": "2"
    }
  },
  "9": {
    "explicit_detuned_witnesses": [
      {
        "m": 10,
        "time_over_pi_exact": 7,
        "f_value_float": -1.999501563827907,
        "proved_upper_bound_float": -1.9013039559891065
      },
      {
        "m": 100,
        "time_over_pi_exact": 71,
        "f_value_float": -1.9999173854909351,
        "proved_upper_bound_float": -1.999013039559891
      },
      {
        "m": 1000,
        "time_over_pi_exact": 707,
        "f_value_float": -1.9999998874645837,
        "proved_upper_bound_float": -1.999990130395599
      }
    ],
    "original_exact_infimum": "-9/8",
    "perturbed_exact_infimum": "-2",
    "uniform_finite_window_error_bound": "sqrt(2)*T/m"
  },
  "10": {
    "dilation_area_sanity_checks": [
      {
        "q": 1,
        "signed_area_over_pi": 1.0,
        "K_exact": 1,
        "same_image": "unit circle"
      },
      {
        "q": 5,
        "signed_area_over_pi": 5.0,
        "K_exact": 1,
        "same_image": "unit circle"
      },
      {
        "q": 17,
        "signed_area_over_pi": 17.0,
        "K_exact": 1,
        "same_image": "unit circle"
      }
    ],
    "inside_min_single_frequency": "-rho^D with rho<1",
    "outside_min_single_frequency": "-rho^D with rho>1",
    "boundary_K_single_frequency": 1
  }
}


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: unconventional20/arithmetic_checks.py
==============================================================================

"""Reproducible checks for approaches 6--10.

Integer/Fraction decisions are exact. Trigonometric floats are explicitly
sanity checks; the accompanying notes supply the mathematical proofs.
"""
import cmath
import json
import math
from fractions import Fraction
from pathlib import Path


def legendre(k, p):
    k %= p
    if k == 0:
        return 0
    return 1 if pow(k, (p - 1) // 2, p) == 1 else -1


def cosine_moments(a, max_order):
    # The integer Laurent polynomial Q is twice the cosine sum.
    q = {d: 1 for n in a for d in (n, -n)}
    power = {0: 1}
    ans = [Fraction(1)]
    for order in range(1, max_order + 1):
        new = {}
        for i, c in power.items():
            for j, v in q.items():
                new[i + j] = new.get(i + j, 0) + c * v
        power = new
        ans.append(Fraction(power.get(0, 0), 2 ** order))
    return ans


out = {}
errs = []
for p in (3, 5, 7, 13, 17, 29, 41):
    for s in (-1, 1):
        weights = [Fraction(1 - s * legendre(k, p), p) for k in range(p)]
        assert sum(weights) == 1 and min(weights) >= 0
        for a in range(2 * p):
            got = sum(float(w) * math.cos(2 * math.pi * a * k / p)
                      for k, w in enumerate(weights))
            expected = (1.0 if a % p == 0 else
                        -s * legendre(a, p) / math.sqrt(p) if p % 4 == 1 else 0.0)
            errs.append(abs(got - expected))
assert max(errs) < 1e-12
L = math.prod((2, 3, 5, 7, 11, 13))
N = 8
a = [j * L for j in range(1, N)] + [L + 1]
assert math.gcd(*a) == 1 and len(set(a)) == N
qs = (2, 3, 5, 7, 11, 13, 6, 30, 210, L)
for q in qs:
    assert L % q == 0
    assert [x % q for x in a] == [0] * (N - 1) + [1]
out['6'] = {'gauss_probability_exact_nonnegativity_and_mass': True,
            'gauss_formula_max_float_error': max(errs),
            'adversary_N': N, 'adversary_L': L, 'adversary_gcd': 1,
            'denominators_verified_exactly': qs,
            'grid_identity': 'f(2*pi*k/q)=N-1+cos(2*pi*k/q)',
            'uniform_grid_lower_bound': N - 2}

# Exact weighted cyclotomic exception coefficients.
for n in (2, 4, 8, 16, 32):
    corr = [sum(1 for j in range(n) if j + d < n) for d in range(n)]
    assert corr == [n - d for d in range(n)]
out['7'] = {'weighted_cyclotomic_sizes_checked': [2, 4, 8, 16, 32],
            'exact_identity': 'H_n=sum_{j,k=0}^{n-1}z^(j-k)',
            'M_H_n': 1,
            'unit_class_boundary_exception': 'z^D H=(z^D+1)^2 for N=1,m=1',
            'not_a_counterexample_to_unit_coefficient_Mahler_sqrt_lemma': True}

m6, m7 = cosine_moments((1, 6), 7), cosine_moments((1, 7), 7)
assert m6[:7] == m7[:7]
assert m6[7] == Fraction(7, 64) and m7[7] == 0
out['8'] = {'A': [1, 6], 'B': [1, 7],
            'moments_A_orders_0_to_7': [str(x) for x in m6],
            'moments_B_orders_0_to_7': [str(x) for x in m7],
            'exact_first_difference_order': 7,
            'balanced_all_order_counterexample':
                {'A': [1, 2], 'B': [1, 3], 'K_A': '9/8', 'K_B': '2'}}

witnesses = []
for m in (10, 100, 1000):
    epsilon = math.sqrt(2) / m
    k = round((1 / epsilon - 1) / 2)
    odd = 2 * k + 1
    assert odd % 2 == 1
    t = odd * math.pi
    # Reduction modulo the exact odd-multiple identity avoids large-angle error.
    value = -1 + math.cos(epsilon * t)
    upper = -2 + math.pi ** 2 / m ** 2
    assert value <= upper + 1e-12
    witnesses.append({'m': m, 'time_over_pi_exact': odd,
                      'f_value_float': value, 'proved_upper_bound_float': upper})
out['9'] = {'explicit_detuned_witnesses': witnesses,
            'original_exact_infimum': '-9/8', 'perturbed_exact_infimum': '-2',
            'uniform_finite_window_error_bound': 'sqrt(2)*T/m'}

area_checks = []
grid = 2048
for q in (1, 5, 17):
    signed_area = math.pi * sum(
        (cmath.exp(-1j * q * 2 * math.pi * k / grid)
         * (1j * q * cmath.exp(1j * q * 2 * math.pi * k / grid))).imag
        for k in range(grid)) / grid
    assert abs(signed_area - math.pi * q) < 1e-10
    area_checks.append({'q': q, 'signed_area_over_pi': signed_area / math.pi,
                        'K_exact': 1, 'same_image': 'unit circle'})
out['10'] = {'dilation_area_sanity_checks': area_checks,
             'inside_min_single_frequency': '-rho^D with rho<1',
             'outside_min_single_frequency': '-rho^D with rho>1',
             'boundary_K_single_frequency': 1}

target = Path(__file__).with_suffix('.json')
target.write_text(json.dumps(out, indent=2) + '\n')
print(json.dumps({'checks': list(out), 'all_assertions_passed': True,
                  'receipt': str(target), 'max_gauss_float_error': max(errs)}, indent=2))


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: unconventional20/constructive.md
==============================================================================

# Approaches 11–15: constructive, game and phase tests

## Scope and notation

The target throughout is the **general** Chowla cosine conjecture: for every finite nonempty set of distinct positive integers \(A\), with \(N=|A|\),

\[
f_A(\theta)=\sum_{a\in A}\cos(a\theta),\qquad
K_A=-\min_{\theta\in\mathbb T}f_A(\theta),
\]

does \(K_A\ge c\sqrt N\) hold with an absolute positive constant? Haar integrals on the circle are normalized to have total mass 1.

The tests below investigate five particular routes to that universal assertion or to its disproof. A small counterexample can disprove an alleged universal intermediate step, but does not solve the original conjecture. A targeted large-size sample of a proposed counterexample family does not determine its asymptotics.

| ID | Route | Precise outcome |
|---:|---|---|
| 11 | Prefix-floor, noise-shaped rounding of Fejér weights | Exact bounded-prefix and grid identities proved; specified construction has substantial negative witnesses in the tested range, including one rationally certified witness; asymptotic route remains unproved and undisproved. |
| 12 | Nonlinear measure-preserving time reversal | Exact universal reversal is false; uniform approximate reversal with sublinear error is impossible for an infinite admissible family. |
| 13 | Randomize whole sets and interchange minimax | Convexified game has exact value 1/2 for every cardinality N on frequencies 1,…,2N; this relaxation loses the property needed for a growing universal lower bound. |
| 14 | Spin frustration, MaxCut, magnetic gauge | Independent phase and all-negative-gauge shortcuts fail; full distance-graph cuts transfer correctly, but the required universal cut surplus is equivalent to Chowla up to constants. |
| 15 | Clip negative values and restore the spectrum | Exact spectral projection fails to preserve positivity; the natural clip-and-restore iteration converges to the original unknown K_A and gives no new bound in terms of N. |

Executable checks and complete rational certificate: `constructive_checks.py` and `constructive_check_results.json` in this directory.

## 11. One-sided sigma-delta rounding of a positive taper

### Exact candidate

For \(M\ge3\), set \(p_a=1-a/M\), \(1\le a<M\). Their cosine polynomial is

\[
g_M(\theta)=\sum_{a=1}^{M-1}p_a\cos(a\theta)
=\frac{F_M(\theta)-1}{2}\ge-\frac12,
\]

where \(F_M\) is the nonnegative Fejér kernel of integral 1. Let

\[
S_a=\sum_{j=1}^ap_j=a-\frac{a(a+1)}{2M},\quad S_0=0,
\qquad b_a=\lfloor S_a\rfloor-\lfloor S_{a-1}\rfloor\in\{0,1\}.
\]

The proposed set is \(A_M=\{a:b_a=1\}\), with

\[
N_M=\left\lfloor\frac{M-1}{2}\right\rfloor.
\]

The hoped-for counterexample mechanism is that the rounding error could be concentrated inside the positive spikes of \(g_M\), leaving \(K_{A_M}=o(\sqrt{N_M})\). The ordinary L² size of the rounding error does not by itself rule this out: it does not determine which side of zero carries its energy.

### Bounded-prefix identity and its actual scope

Put \(r_a=\{S_a\}\), so \(0\le r_a<1\), \(r_0=0\). The coefficient error is

\[
e_a=b_a-p_a=r_{a-1}-r_a,\qquad
\sum_{a=1}^je_a=-r_j\in(-1,0].
\]

With \(L=M-1\), its complex polynomial satisfies exactly

\[
E_M(z)=\sum_{a=1}^Le_az^a
=(z-1)\sum_{a=1}^{L-1}r_az^a-r_Lz^L.
\]

Hence

\[
|E_M(e^{i\theta})|\le2(M-2)|\sin(\theta/2)|+1.
\]

This controls the error by O(1) on angles of size O(1/M). It does not give a useful small bound on the entire circle, where the Fejér background can be close to −1/2. A bounded internal rounding state therefore does not automatically preserve a one-sided trigonometric bound. This is the exact point at which the intended noise-shaping argument needs an additional estimate.

For comparison with the technique, Daubechies and DeVore's stable sigma-delta work concerns coarse quantization and reconstruction of bandlimited functions. The present full-circle, one-sided coefficient-rounding requirement is an additional assertion, not a conclusion taken from that theory.

### A further exact identity, valid for every odd M

For odd \(M\), write \(N=(M-1)/2\). Direct calculation gives

\[
S_{M-a}=N-\frac{a(a-1)}{2M},\qquad
b_{M-a}=1-b_a\quad(1\le a<M).
\]

Thus the set selects one representative from every pair \(\{a,M-a\}\). At every nontrivial M-th root,

\[
\tag{11.1}
f_{A_M}(2\pi j/M)=-\frac12\qquad(1\le j<M).
\]

Proof: cosines of the paired frequencies agree on that grid, and the sum of all nonconstant M-th root characters is −1. This exact discrete flatness does not bound the values between grid points.

### Targeted check of the specified construction

No frequency-set enumeration or optimization is used here. The bits are computed from the exact integer numerator \(2Ma-a(a+1)\), then the single resulting polynomial is sampled on a uniform grid of 16M points.

| M | N_M | Most negative sampled value | Sampled −f/√N_M |
|---:|---:|---:|---:|
| 255 | 127 | −22.00691086 | 1.95279756 |
| 256 | 127 | −13.57664904 | 1.20473279 |
| 257 | 128 | −19.33590623 | 1.70906880 |
| 1024 | 511 | −34.17097612 | 1.51163499 |
| 4096 | 2047 | −64.27028114 | 1.42053284 |
| 16384 | 8191 | −147.70099541 | 1.63198048 |
| 65536 | 32767 | −320.97726526 | 1.77319269 |
| 262144 | 131071 | −698.23475275 | 1.92862661 |

The floating point values are not certified continuous minima. A negative value at one angle is already a lower-bound witness for K, so a separate exact evaluation was made at

\[
M=262144,\qquad \theta=2\pi\frac{2023809}{4194304}.
\]

Machin's formula encloses π rationally; Taylor remainders enclose the sine and cosine of this angle. A fixed-point complex recurrence with denominator \(Q=2^{100}\) then sums all selected terms. If the approximated unit complex number has error at most \(2/Q\), rounding each multiplication gives an error at exponent a at most \(6a/Q\), because

\[
R_{a+1}\le(1+2/Q)R_a+3/Q,
\qquad (1+2/Q)^a\le\frac1{1-2a/Q}\le2.
\]

Adding these rational error bounds and performing a squared rational comparison proves

\[
\tag{11.2}
\frac{K_{A_{262144}}}{\sqrt{131071}}>\frac{241}{125}=1.928.
\]

The certificate does not rely on trusting the FFT output; the FFT only chose the angle.

**Status.** The simple construction fails to hide negative excursions in the tested range, and its bounded-prefix property does not prove the desired global bound. Neither this finite range nor (11.2) disproves the asymptotic statement \(K_{A_M}=o(\sqrt{N_M})\), and no such asymptotic disproof is claimed. Other noise-shaped rounding rules remain outside this check.

## 12. Nonlinear reversal of time

### Candidate and exact obstruction

The candidate is a Haar-measure-preserving map \(T:\mathbb T\to\mathbb T\) such that \(f_A\circ T=-f_A\). It would make the whole value distribution symmetric and force its maximum and negative minimum to agree.

Every odd moment would then vanish. But for \(A=\{1,2\}\), exact multiplication of the Laurent polynomial with coefficients 1/2 at ±1,±2 gives

\[
\int f_A^3=\frac34\ne0.
\]

Thus no such measure-preserving T exists for this valid frequency set. Also

\[
f_A=2\left(\cos\theta+\frac14\right)^2-\frac98,
\]

so its range is \([-9/8,2]\). Any transformation, even one not preserving measure, obeys

\[
\|f_A\circ T+f_A\|_\infty\ge2-\frac98=\frac78.
\]

The same statement holds for the essential supremum, since f is arbitrarily close to its maximum on sets of positive measure.

### Why approximate reversal cannot universally have a small uniform error

For every A and every T,

\[
\tag{12.1}
\|f_A\circ T+f_A\|_\infty\ge N-K_A.
\]

There is an infinite admissible family for which the right side is linear in N. Take \(B=\{b^j:0\le j<m\}\), \(b\ge4\), and the set A of all positive differences of distinct elements of B. The differences are distinct: their b-adic valuation identifies the smaller exponent, and then their value identifies the larger one. Hence

\[
N=\frac{m(m-1)}2,\qquad
f_A(\theta)=\frac{\left|\sum_{j=0}^{m-1}e^{ib^j\theta}\right|^2-m}{2}\ge-\frac m2.
\]

Equation (12.1) gives uniform reversal error at least \(N-m/2\). A universal reversal with error o(N), and therefore one with error O(√N), is impossible.

For an L¹ version on A={1,2}, measure preservation and the third moment imply

\[
\frac32=\left|\int\big((f\circ T)^3+f^3\big)\right|
\le12\int|f\circ T+f|,
\]

so even the mean absolute error is at least 1/8. A weak mean-error estimate would in any event require a separate argument to control an extreme value.

**Status.** The proposed exact reversal and the uniform sublinear-error variant are disproved. Replacing one common time transformation by independently choosing each frequency's phase changes the feasible set and is not a reversal of this signal.

## 13. Minimax with randomized whole frequency sets

### Candidate

Allow the frequency player to randomize over all N-element subsets of \(\{1,\ldots,2N\}\), and interchange the order of the two players' optimizations. Expected payoffs depend only on the inclusion probabilities \(p_a\in[0,1]\), \(\sum p_a=N\). Convex minimax theorems apply to this mixed game, but this changes the deterministic optimization.

### Exact value of the relaxed game, for every N

Set \(L=2N+1\) and \(p_a=1-a/L\), \(1\le a<L\). These probabilities have sum N, and

\[
\sum_{a=1}^{L-1}p_a\cos(a\theta)=\frac{F_L(\theta)-1}{2}\ge-\frac12.
\]

This proves that the randomized frequency player can hold the worst expected negative value to at most 1/2.

It is achievable by randomizing **whole N-element sets**, not merely allowing a random cardinality. Put \(S_a=\sum_{j\le a}p_j\), choose \(U\) uniformly in [0,1), and define

\[
b_a(U)=\lfloor S_a+U\rfloor-\lfloor S_{a-1}+U\rfloor.
\]

Every bit is 0 or 1, their sum is exactly N, and \(\mathbb E b_a=p_a\).

For the opposite bound, let the time player use the uniform distribution on the L−1 nontrivial L-th roots. Each frequency \(1\le a<L\) has average cosine \(-1/(L-1)\). Thus for **every** N-element set A the time player's expected payoff is

\[
\frac{N}{L-1}=\frac12.
\]

We have proved exactly

\[
\tag{13.1}
\min_{\operatorname{law}(A),\ |A|=N}
\max_\theta\mathbb E[-f_A(\theta)]
=\frac12
\qquad\text{on the universe }\{1,\ldots,2N\}.
\]

By contrast, already for N=1 every deterministic singleton has negative minimum 1. More generally, the full conjecture concerns choosing the time after seeing the realized set, which involves \(\mathbb E[\max_\theta(-f_A)]\), not \(\max_\theta\mathbb E[-f_A]\).

**Status.** This exact relaxation cannot prove any growing lower bound in N. The finite-universe calculation is a universal-in-N obstruction to the proposed relaxation, not a replacement target. An additional rounding theorem that preserves a suitable negative witness would be necessary; equation (13.1) supplies no such theorem.

## 14. Spin frustration, MaxCut and magnetic gauge

### The invalid independent-phase and gauge shortcuts

A time orbit has unit spins

\[
v_n(\theta)=(\cos n\theta,\sin n\theta),\qquad
v_j\cdot v_k=\cos((j-k)\theta).
\]

Its complex phases satisfy all integer relations, in particular \(z_{j+k}=z_jz_k\). Arbitrarily optimized unit vectors or separate frequency phases need not satisfy these constraints. For A={1,2}, independent phases π,π give a relaxed sum −2, but \(z_2=z_1^2\) forbids this assignment and the true minimum is −9/8.

A sign gauge making every edge coupling negative would require \(\sigma_j\sigma_k=-1\) on every edge. Such signs exist exactly when the graph is bipartite: signs provide the two classes, and conversely any bipartition supplies signs. The distance graph for A={1,2} contains the triangle 0,1,2. Multiplying its three required equalities yields the contradiction 1=−1. Thus this gauge cannot be imposed for arbitrary A.

### Whole-graph cuts nevertheless give valid witnesses

It would be incorrect to dismiss every MaxCut approach because a cut is not a single time orbit. For a window of length L and signs \(s_0,\ldots,s_{L-1}\), define

\[
q(\theta)=\frac1{\sqrt L}\sum_{n=0}^{L-1}s_ne^{in\theta}.
\]

The density \(|q|^2\) is nonnegative and has integral 1. Orthogonality gives exactly

\[
\tag{14.1}
\int f_A|q|^2
=\frac1L\sum_{\substack{a\in A\\a<L}}\sum_{n=0}^{L-1-a}s_ns_{n+a}.
\]

Consequently a cut with a sufficiently negative right side really does imply an at least equally negative value of f at some time. This transfer is by a nonnegative average, not by rounding every vertex phase to one common time.

Let \(E_{A,L}\) be the number of edges of the distance graph on the window. Its sign energy is \(E_{A,L}-2\operatorname{Cut}(s)\). A universal surplus

\[
\operatorname{Cut}(s)\ge E_{A,L}/2+cL\sqrt N
\]

for an appropriate window and cut would prove Chowla via (14.1).

### The required surplus is itself equivalent to the target up to constants

Suppose θ* minimizes f. Choose a uniform phase Φ, then conditionally independent signs with means

\[
\mathbb E[s_n\mid\Phi]=\cos(n\theta_*+\Phi).
\]

For distinct indices,

\[
\mathbb E[s_ns_{n+a}]=\frac12\cos(a\theta_*).
\]

It follows that the expected sign energy per vertex is

\[
\frac12\sum_{\substack{a\in A\\a<L}}(1-a/L)\cos(a\theta_*)
\longrightarrow -K_A/2
\quad(L\to\infty).
\]

For every fixed A and sufficiently large L there is therefore a cut with sign energy per vertex at most \(-K_A/4\). Its surplus is at least \(LK_A/8\). Thus a root-scale Chowla bound implies the proposed root-scale distance-graph surplus, while (14.1) proves the converse, with changed constants.

The Goemans–Williamson semidefinite relaxation and rounding theorem concerns approximation to the optimum cut. It does not, by itself, establish this stronger absolute surplus over half of all edges for every integer distance graph.

**Status.** Two shortcuts are rigorously blocked, while the complete MaxCut route remains valid but has an unresolved universal estimate equivalent in scale to the original problem. No new surplus theorem is claimed.

## 15. Rectify negative values and restore the Fourier support

### Spectral projection does not preserve positivity

Let \(\mathcal P_A\) retain Fourier frequencies \(\{0\}\cup A\cup(-A)\). It is convolution by

\[
D_A=1+2f_A.
\]

For every nonempty A this kernel has a negative value. Indeed, if \(D_A\ge0\), then for any \(a\in A\),

\[
\int D_A(\theta)(1-\cos a\theta)=1-1=0.
\]

The integrand would be nonnegative, and \(1-\cos a\theta\) is positive except on a finite set, forcing \(D_A=0\) almost everywhere, contrary to its integral 1.

Positive approximate identities witness failure of positivity preservation. In fact,

\[
\mathcal P_A F_M
=1+2\sum_{\substack{a\in A\\a<M}}(1-a/M)\cos(a\theta)
\longrightarrow D_A
\]

uniformly. For M larger than all a, the error is at most \(2\sum_{a\in A}a/M\). Therefore a negative value of D survives the projection of a sufficiently narrow nonnegative Fejér kernel.

An explicit exact example is A={1,2} and

\[
F_4=1+\frac32\cos\theta+\cos2\theta+\frac12\cos3\theta\ge0.
\]

After projection,

\[
\tag{15.1}
(\mathcal P_{\{1,2\}}F_4)(2\pi/3)
=1-\frac34-\frac12=-\frac14.
\]

This failure also occurs directly after clipping a cosine sum: for A={1}, \(g=(\cos\theta)_+\) has mean 1/π and first cosine coefficient 1/2, so

\[
\mathcal P_{\{1\}}g=1/\pi+(1/2)\cos\theta
\]

is negative at π. Resetting the coefficient to 1 makes that negative value still smaller.

### Exact behavior of a natural alternating clip-and-restore rule

There is a general analysis of the iteration that clips negative values, then restores all the prescribed cosine coefficients to 1 while retaining the new mean. Starting with \(c_0\le K_A\), its successive functions are \(c_j+f_A\), where

\[
\tag{15.2}
c_{j+1}=\int(c_j+f_A)_+
=c_j+\int(-c_j-f_A)_+.
\]

For every A,

\[
c_j\uparrow K_A.
\]

Proof: the last integral makes the sequence nondecreasing. If \(c_j\le K_A\), then pointwise \((c_j+f_A)_+\le K_A+f_A\), so \(c_{j+1}\le K_A\). Let its limit be c*. The map on the right of (15.2) is continuous. If \(c_*<K_A\), continuity of f gives a set of positive measure where \(-c_*-f_A>0\), so the next increment is strictly positive, contradicting the fixed-point equation at the limit. Hence \(c_*=K_A\).

This produces a nonnegative function with unit coefficients only by allowing the constant term to rise to exactly the originally unknown threshold. If instead a constant c<K_A is fixed in advance, positivity and the prescribed spectrum are incompatible. Alternating projection cannot be assumed to converge to a feasible point when the intersection is empty. If the support itself is allowed to change among binary choices, that additional constraint is nonconvex and the usual convex projection conclusions do not apply.

**Status.** Positivity preservation is disproved exactly, and the natural mean-adaptive iteration is understood for every A. It recovers K_A but supplies no estimate of K_A as a function of N; such an estimate would require a new bound on the accumulated mean increments.

## Primary references inspected

- I. Daubechies and R. DeVore, *Approximating a bandlimited function using very coarsely quantized data: A family of stable sigma-delta modulators of arbitrary order*, Annals of Mathematics 158 (2003), 679–710: <https://annals.math.princeton.edu/2003/158-2/p09>.
- M. Sion, *On general minimax theorems*, Pacific Journal of Mathematics 8 (1958), 171–176: <https://msp.org/pjm/1958/8-1/pjm-v8-n1-p14-p.pdf>, especially its explicit convexity hypotheses.
- M. X. Goemans and D. P. Williamson, *Improved approximation algorithms for maximum cut and satisfiability problems using semidefinite programming*, JACM 42 (1995), 1115–1145: <https://math.mit.edu/~goemans/PAPERS/maxcut-jacm.pdf>.

The algebraic derivations and the certificates in this note are supplied in full and do not depend on treating these references as statements of Chowla's conjecture or of the missing intermediate estimates.

## Independent cross-audit of physics approaches 1–5

The author of this note independently read the completed `physics.md` and checked the decisive calculations. No mathematical error was found within the stated scope.

- **Lee–Yang step:** the partition function is entire of exponential type, has real coefficients and value 1 at zero. If every zero were imaginary, conjugate pairs cancel the genus-one exponential factors; the remaining factor is exp(aβ). Its derivative at zero forces a=0. The resulting evenness contradicts the exact third moment 3/4. The argument also covers a finite or empty zero set.
- **Determinant/Mahler step:** for A={1,2,3}, the factorization with α=(√7−1)/6 and c=(1+2√7)/6 gives h=8(cos θ−α)²(cos θ+c). The logarithmic averages give G(h)=c+√(c²−1). The exact value L²=(2528+952√7)/729 is less than 7, while G(h)²+6 exceeds 7. The factor 2 in F=2f and the squared geometric mean are consistent.
- **Other steps:** the free-tree counterexample, positive definiteness of every finite Toeplitz matrix, the heat-kernel tail and N^(3/2) ratio divergence, and the Brownian variance/quadratic-variation and zero-hitting assertions were checked algebraically. The stochastic countermodel is explicitly outside the binary polynomial class, so its scope is correctly limited to the proposed scalar inference.

This was an independent mathematical audit of the text, not a new formal Lean verification or a claim that the original conjecture has been resolved.


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: unconventional20/constructive_check_results.json
==============================================================================

{
  "purpose": "targeted examination of the single specified prefix-floor rounding construction",
  "rounding_samples": [
    {
      "M": 255,
      "N": 127,
      "grid": 4080,
      "j": 1912,
      "theta_over_2pi": "1912/4080",
      "sampled_value": -22.00691085959472,
      "sampled_negative_value_over_sqrt_N": 1.952797560340154,
      "value_at_pi_exact": 7,
      "bits_sha256": "45cd50ff4e098127a67ee7a8020a78d524e27c9220b5b9e6c2f0ec3833ca111c",
      "status": "floating point sampled value; not a global minimum certificate"
    },
    {
      "M": 256,
      "N": 127,
      "grid": 4096,
      "j": 1664,
      "theta_over_2pi": "1664/4096",
      "sampled_value": -13.576649040254768,
      "sampled_negative_value_over_sqrt_N": 1.2047327901928102,
      "value_at_pi_exact": 3,
      "bits_sha256": "acbd81a85f72d67d31327908849c9a0d8426432f1519f5696dfba2bf928d4484",
      "status": "floating point sampled value; not a global minimum certificate"
    },
    {
      "M": 257,
      "N": 128,
      "grid": 4112,
      "j": 1992,
      "theta_over_2pi": "1992/4112",
      "sampled_value": -19.335906227782765,
      "sampled_negative_value_over_sqrt_N": 1.7090688017565485,
      "value_at_pi_exact": -6,
      "bits_sha256": "858f01edcf039ae7be8084d2b6b643cf60b2af92cc70a3bba3b4bba037d634b1",
      "status": "floating point sampled value; not a global minimum certificate"
    },
    {
      "M": 1024,
      "N": 511,
      "grid": 16384,
      "j": 7667,
      "theta_over_2pi": "7667/16384",
      "sampled_value": -34.1709761236897,
      "sampled_negative_value_over_sqrt_N": 1.5116349861011529,
      "value_at_pi_exact": -5,
      "bits_sha256": "a78b7dbaad3253e3249fad7f6de1eecb97643435f6f9ce6eb672ff7ba14b8e13",
      "status": "floating point sampled value; not a global minimum certificate"
    },
    {
      "M": 4096,
      "N": 2047,
      "grid": 65536,
      "j": 26672,
      "theta_over_2pi": "26672/65536",
      "sampled_value": -64.27028113823496,
      "sampled_negative_value_over_sqrt_N": 1.4205328402963484,
      "value_at_pi_exact": -17,
      "bits_sha256": "31498f888741c6128dec9069cd1c1ab35b656148875b78de7a297e422f3726f9",
      "status": "floating point sampled value; not a global minimum certificate"
    },
    {
      "M": 16384,
      "N": 8191,
      "grid": 262144,
      "j": 111392,
      "theta_over_2pi": "111392/262144",
      "sampled_value": -147.7009954085504,
      "sampled_negative_value_over_sqrt_N": 1.6319804774951319,
      "value_at_pi_exact": 43,
      "bits_sha256": "df45deca32d3af1a0422b6ba327e46da713a4e0d75159eb32297a39394b54e3d",
      "status": "floating point sampled value; not a global minimum certificate"
    },
    {
      "M": 65536,
      "N": 32767,
      "grid": 1048576,
      "j": 413070,
      "theta_over_2pi": "413070/1048576",
      "sampled_value": -320.97726525949724,
      "sampled_negative_value_over_sqrt_N": 1.7731926887898208,
      "value_at_pi_exact": -137,
      "bits_sha256": "e1fc7317becb7f1cd52def3fe04eed5cbc54aa7459b052768bef86c572d0be76",
      "status": "floating point sampled value; not a global minimum certificate"
    },
    {
      "M": 262144,
      "N": 131071,
      "grid": 4194304,
      "j": 2023809,
      "theta_over_2pi": "2023809/4194304",
      "sampled_value": -698.2347527467812,
      "sampled_negative_value_over_sqrt_N": 1.92862660920069,
      "value_at_pi_exact": 3,
      "bits_sha256": "7227a186e0c84fb965837050aa69f2ab598ffd7c43c0d5e9a7c67983a8ee1e42",
      "status": "floating point sampled value; not a global minimum certificate"
    }
  ],
  "rational_value_certificate": {
    "M": 262144,
    "N": 131071,
    "j": 2023809,
    "grid": 4194304,
    "Q": "1267650600228229401496703205376",
    "C": "-1260007141646021631229272260010",
    "S": "138996572835493526588070818263",
    "fixed_point_sum": "-885117703419666298886051080502254",
    "sum_frequencies": 11453246122,
    "error_numerator": "68719476732",
    "value_lower": [
      "-442558851709833149443059899989493",
      "633825300114114700748351602688"
    ],
    "value_upper": [
      "-442558851709833149442991180512761",
      "633825300114114700748351602688"
    ],
    "certified_K_over_sqrt_N_greater_than": "241/125",
    "value_upper_decimal_for_display_only": -698.234752746781,
    "proof": "Machin/Taylor rational enclosure; fixed-point Euclidean error <=6a/Q; exact final squared rational comparison",
    "status": "certifies one value, not the continuous minimum and not an asymptotic claim"
  },
  "elementary_checks": {
    "A_1_2_third_moment_exact": "3/4",
    "projected_Fejer4_at_2pi_over_3_exact": "-1/4",
    "A_1_2_exact_negative_minimum": "9/8",
    "A_1_2_uniform_reversal_error_at_least": "7/8"
  }
}


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: unconventional20/constructive_checks.py
==============================================================================

#!/usr/bin/env python3
"""Targeted checks for approaches 11--15, not a search over frequency sets.

The rounding sequence is generated with exact integer arithmetic. FFT minima
are only sampled witnesses. One large-M sampled value is independently bounded
by a rational certificate using a Taylor-enclosed unit complex number and a
fixed-point recurrence with a proved accumulated error bound.
"""

import hashlib
import json
import math
from fractions import Fraction as F
from pathlib import Path

import numpy as np
from scipy.fft import rfft


def rounded_taper(M):
    a = np.arange(M, dtype=np.int64)
    floor_prefix = (2 * M * a - a * (a + 1)) // (2 * M)
    bits = np.diff(floor_prefix)
    assert np.all((bits == 0) | (bits == 1))
    assert int(bits.sum()) == (M - 1) // 2
    if M % 2:
        assert np.all(bits + bits[::-1] == 1)
    return bits


def sample_taper(M):
    bits = rounded_taper(M)
    coeff = np.zeros(M)
    coeff[1:] = bits
    grid = 16 * M
    values = rfft(coeff, n=grid).real
    j = int(values.argmin())
    N = int(bits.sum())
    return {
        "M": M,
        "N": N,
        "grid": grid,
        "j": j,
        "theta_over_2pi": f"{j}/{grid}",
        "sampled_value": float(values[j]),
        "sampled_negative_value_over_sqrt_N": float(-values[j] / math.sqrt(N)),
        "value_at_pi_exact": int(np.dot(bits, (-1) ** np.arange(1, M))),
        "bits_sha256": hashlib.sha256(bits.astype(np.uint8).tobytes()).hexdigest(),
        "status": "floating point sampled value; not a global minimum certificate",
    }


def atan_interval(q, terms):
    total = sum((F((-1) ** k, (2 * k + 1) * q ** (2 * k + 1))
                 for k in range(terms)), F(0))
    nxt = F((-1) ** terms, (2 * terms + 1) * q ** (2 * terms + 1))
    return min(total, total + nxt), max(total, total + nxt)


def pi_interval():
    # Machin identity plus alternating-series remainder bounds.
    alo, ahi = atan_interval(5, 64)
    blo, bhi = atan_interval(239, 20)
    return 16 * alo - 4 * bhi, 16 * ahi - 4 * blo


def nearest_fraction(x):
    return (2 * x.numerator + x.denominator) // (2 * x.denominator)


def nearest_ratio(n, d):
    return (2 * n + d) // (2 * d)


def unit_approximation(j, grid, Q):
    plo, phi = pi_interval()
    Qpi = 1 << 150
    pmid = F(nearest_fraction((plo + phi) * Qpi / 2), Qpi)
    x = F(2 * j, grid) * pmid
    xlo, xhi = F(2 * j, grid) * plo, F(2 * j, grid) * phi
    arg_error = max(abs(x - xlo), abs(x - xhi))
    terms = 32
    ct = sum((F((-1) ** k, math.factorial(2 * k)) * x ** (2 * k)
              for k in range(terms)), F(0))
    st = sum((F((-1) ** k, math.factorial(2 * k + 1)) * x ** (2 * k + 1)
              for k in range(terms)), F(0))
    ce = arg_error + abs(x) ** (2 * terms) / math.factorial(2 * terms)
    se = arg_error + abs(x) ** (2 * terms + 1) / math.factorial(2 * terms + 1)
    assert ce < F(1, 4 * Q) and se < F(1, 4 * Q)
    C, S = nearest_fraction(ct * Q), nearest_fraction(st * Q)
    # Each coordinate differs from the true cos/sin by < 3/(4Q),
    # so Euclidean error is < 2/Q.
    return C, S


def rational_value_certificate(row):
    M, j, grid, N = (row[k] for k in ("M", "j", "grid", "N"))
    bits = rounded_taper(M)
    Q = 1 << 100
    assert 4 * M <= Q
    C, S = unit_approximation(j, grid, Q)
    X, Y = Q, 0
    total = 0
    sum_frequencies = 0
    for a, bit in enumerate(bits, 1):
        X, Y = nearest_ratio(C * X - S * Y, Q), nearest_ratio(S * X + C * Y, Q)
        if bit:
            total += X
            sum_frequencies += a
    # Recurrence proof: R_{a+1} <= (1+2/Q) R_a + 3/Q, R_0=0.
    # Since (1+2/Q)^a <= 1/(1-2a/Q) <= 2 for a<=M,
    # R_a <= 6a/Q. Sum these absolute errors over the selected a.
    error_numerator = 6 * sum_frequencies
    lower = F(total - error_numerator, Q)
    upper = F(total + error_numerator, Q)
    ratio_witness = F(math.floor(row["sampled_negative_value_over_sqrt_N"] * 1000), 1000)
    assert upper < 0 and upper * upper > N * ratio_witness * ratio_witness
    return {
        "M": M, "N": N, "j": j, "grid": grid,
        "Q": str(Q), "C": str(C), "S": str(S),
        "fixed_point_sum": str(total),
        "sum_frequencies": sum_frequencies,
        "error_numerator": str(error_numerator),
        "value_lower": [str(lower.numerator), str(lower.denominator)],
        "value_upper": [str(upper.numerator), str(upper.denominator)],
        "certified_K_over_sqrt_N_greater_than": str(ratio_witness),
        "value_upper_decimal_for_display_only": float(upper),
        "proof": "Machin/Taylor rational enclosure; fixed-point Euclidean error <=6a/Q; exact final squared rational comparison",
        "status": "certifies one value, not the continuous minimum and not an asymptotic claim",
    }


def elementary_checks():
    f = {k: F(1, 2) for k in (-2, -1, 1, 2)}
    cube = {0: F(1)}
    for _ in range(3):
        nxt = {}
        for a, x in cube.items():
            for b, y in f.items():
                nxt[a + b] = nxt.get(a + b, F(0)) + x * y
        cube = nxt
    assert cube[0] == F(3, 4)
    projected_fejer_value = 1 + F(3, 2) * F(-1, 2) + F(-1, 2)
    assert projected_fejer_value == F(-1, 4)
    return {
        "A_1_2_third_moment_exact": str(cube[0]),
        "projected_Fejer4_at_2pi_over_3_exact": str(projected_fejer_value),
        "A_1_2_exact_negative_minimum": "9/8",
        "A_1_2_uniform_reversal_error_at_least": "7/8",
    }


def main():
    rows = []
    for M in (255, 256, 257, 1024, 4096, 16384, 65536, 262144):
        row = sample_taper(M)
        rows.append(row)
        print(json.dumps(row), flush=True)
    result = {
        "purpose": "targeted examination of the single specified prefix-floor rounding construction",
        "rounding_samples": rows,
        "rational_value_certificate": rational_value_certificate(rows[-1]),
        "elementary_checks": elementary_checks(),
    }
    target = Path(__file__).with_name("constructive_check_results.json")
    target.write_text(json.dumps(result, indent=2) + "\n")
    print(json.dumps(result["rational_value_certificate"], indent=2), flush=True)


if __name__ == "__main__":
    main()


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: unconventional20/information.md
==============================================================================

# Unconventional approaches 16–20: independent working checks

18 October 2026 UTC. These notes check concrete proposals, not entire areas of
mathematics. They do not prove or disprove Chowla's conjecture. No novelty is
claimed. All integrals use normalized Haar measure on the circle.

For a finite nonempty A subset Z_{>0}, write N=|A|,
f(x)=sum_(a in A) cos(ax), and K=-min f. The common target is K>=c sqrt(N).

## 16. Let a hypothetical counterexample disappear in a weak limit

**Idea.** Assume a counterexample sequence K_j/sqrt(N_j)->0 and rescale
u_j=f_j/sqrt(N_j). A nonnegative limiting wave of mean zero must vanish.
Perhaps this contradicts its fixed energy.

**Exact check.** We have

    integral u_j=0, integral u_j^2=1/2,
    u_j>=-k_j, where k_j=K_j/sqrt(N_j)->0,
    ||u_j||_1=2 integral (u_j)_- <=2k_j ->0.

Thus u_j really does vanish in L1 and in probability. But L2 energy need not
pass to this limit. Define the ordinary Fejer kernel

    F_M(x)=(1/M)|sum_(r=0)^(M-1) exp(irx)|^2

and v_M=sqrt(3)(F_M-1)/(2sqrt(M)). Then

    min v_M >=-sqrt(3)/(2sqrt(M)),
    ||v_M||_1 <=sqrt(3)/sqrt(M),
    ||v_M||_2^2=(2M^2-3M+1)/(4M^2) ->1/2.

Here integral F_M^2=(2M^2+1)/(3M), exactly. These are finite, smooth waves
whose energy survives in increasingly narrow positive peaks while the
function tends to zero in L1. The coefficients are fractional, not the
allowed equal coefficients. They refute the proposed weak-limit inference,
not Chowla. A successful concentration argument must retain the exact
coefficient quantization in the concentration profiles; that step is open.

**Status:** the automatic weak-limit contradiction is false. A quantitative
profile argument preserving the discrete spectrum remains undeveloped.

## 17. Treat the shifted wave as information and bound its entropy

**Idea.** The probability density q=1+f/K has an unusually rigid Fourier
spectrum. Perhaps a Shannon entropy bound limits the number of frequencies.

**Exact check.** Its second moment and order-two relative Renyi entropy are

    integral q^2=1+N/(2K^2),
    D_2(q)=log(1+N/(2K^2)).

A universal upper bound for D_2 on these particular densities is exactly
another formulation of Chowla. Shannon entropy D_1=integral q log q satisfies
D_1<=D_2, not the reverse inequality needed by this shortcut.

Even a uniform bound D_1<=1 does not control D_2 for positive smooth
densities. For integer M>=3 set epsilon=1/log(M) and

    q_M=(1-epsilon)+epsilon F_M.

By convexity of x log x,

    D_1(q_M)<=epsilon D_1(F_M)<=epsilon log M=1,

because 0<=F_M<=M and integral F_M=1. But exactly

    integral q_M^2
      =1+epsilon^2*((2M^2+1)/(3M)-1)
      ->infinity.

The Fourier coefficients in this countermodel taper; they are not a
Chowla counterexample. The failure shows why generic information bounds
cannot replace a theorem about the exact zero/one frequency support.

**Status:** the Shannon-to-energy inference is false. A universal Renyi-2
bound for the original densities is unproved and equivalent to the target.

## 18. Use an uncertainty principle to prohibit hidden narrow peaks

**Idea.** A sum with only N frequencies should not be able to hide its
negative excursion on a negligible set. Apply a sparse Remez inequality
whose constant does not depend on the maximum frequency.

**Checked theorem.** The Turan–Nazarov inequality for m distinct purely
imaginary exponential terms gives, for a measurable E in an interval I,

    sup_I |p| <= (C |I|/|E|)^(m-1) sup_E |p|,

with absolute C. Source: Nazarov's original article, and Theorem 2.1 of
Bownik–Speegle's author-hosted paper:
https://www.mathnet.ru/eng/aa397
https://pages.uoregon.edu/mbownik/papers/51.pdf

**Actual application.** Since integral f_+=integral f_-<=K, the set
E={f<=2K} occupies at least half the circle. On E, |f|<=2K. There are 2N
exponential terms in f and its supremum in absolute value is N. Therefore

    N <=2K(2C)^(2N-1),
    K >=N/[2(2C)^(2N-1)].

This is a valid frequency-independent estimate. Its exponential loss in N
makes it much weaker than even the elementary K>=1. Choosing a different
constant threshold changes constants, not this obstruction. No stronger
Remez-to-square-root transition has been proved here.

**Status:** valid but quantitatively insufficient. This does not rule out
other uses of uncertainty principles.

## 19. Remove the trigonometry and demand an algebraic square certificate

**Idea.** Set y=cos x. Then f(x)=p_A(y)=sum_(a in A) T_a(y), where T_a is
the Chebyshev polynomial. Nonnegativity of K+p_A on [-1,1] has a
sum-of-squares representation. Could a bounded-degree identity handle all
sets with N terms at once?

**Exact reduction.** For a polynomial of even degree 2d, nonnegativity on
[-1,1] is equivalent to

    K+p_A(y)=s(y)^2+(1-y^2)t(y)^2,
    deg s<=d, deg t<=d-1.

For odd degree 2d+1 the representation is

    K+p_A(y)=(1+y)s(y)^2+(1-y)t(y)^2,
    deg s,deg t<=d.

Theorem 2.2, Nie–Demmel, *Shape optimization of transfer functions*:
https://mathweb.ucsd.edu/~njw/PUBLICPAPERS/TrnShapOptCoef.pdf

The required ordinary polynomial degree depends on max A. A bound on this
degree depending on N alone cannot hold before frequency compression:
with N=1 and A={D}, the left-hand side 1+T_D has degree D, arbitrarily large.
For even D the exact certificate is

    1+T_D(y)=2 T_(D/2)(y)^2.

It needs only one square but that square has unbounded degree. Small rank
or a small number of squares therefore does not bound the original degree
or supply the desired relation between N and K.

**Status:** exact certification for a prescribed set remains valid. The
proposed fixed-degree universal shortcut is false. No coefficient-count
bound of the required strength follows just from the square representation.

## 20. Interpret the wave as a passive causal filter and invoke a waterbed law

**Idea.** With P_A(z)=sum_(a in A)z^a, the condition Re(K+P_A)>=0 gives a
positive-real response. Transfer-function identities may force negative
gain somewhere when too many unit taps are present.

**Exact calculation.** If Re P_A>=-K, then 2K+P_A has positive real part
and is zero-free on the closed disk. For

    T(z)=2K/(2K+P_A(z)),

log|T| is harmonic on a neighborhood of the closed disk and T(0)=1.
Consequently

    integral log|T(exp(ix))| dx=0.

This is the logarithmic balance one would try to use as a waterbed
constraint. However, zero-freeness alone already gives the identity,
without the required pointwise positive-real bound.

Take A={1,...,N} and put the candidate K=1, P=z+...+z^N. Then

    (1-z)(2+P)=2-z-z^(N+1).

The polynomial 2+P has no zero on the closed unit disk: strict triangle
inequality excludes the open disk, and equality on the circle forces z=1,
where 2+P=N+2>0. Thus the logarithmic balance holds for this constant K for
every N. Nonetheless, at x=3pi/(2N), a Riemann sum gives

    f_A(x)/N -> integral_0^1 cos(3pi t/2)dt =-2/(3pi).

The true K is therefore at least (2/(3pi)+o(1))N. The Bode-type mean-log
identity by itself cannot certify pointwise passivity or a square-root
bound. The positive-real pointwise condition retains the original problem.

**Status:** a precise logarithmic-balance shortcut is disproved. General
control-theoretic methods are not ruled out; they need an additional
constraint exploiting the exact unit impulse-response coefficients.

## Check summary

All five entries have a concrete mathematical check. Entries16,17,19,20
reject specific proposed implications; entry18 obtains only an insufficient
estimate. No square-root theorem, asymptotic Chowla counterexample, or new
general exponent is asserted.


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: unconventional20/physics.md
==============================================================================

# Unconventional approaches 1–5: exact checks of proposed mechanisms

Research checkpoint, 18 October 2026. These five approaches address the **general** Chowla cosine problem. A small or structured example below tests a proposed universal inference; no frequency subclass is substituted for the original problem.

Throughout,

\[
f_A(x)=\sum_{a\in A}\cos(ax),\quad N=|A|,\quad
K=-\min_x f_A(x),\quad F=2f_A,\quad L=2K,
\]

with normalized circle measure \(d\mu=dx/(2\pi)\). The target is \(N\le C K^2\) with one absolute constant for every finite nonempty \(A\subset\mathbb Z_{>0}\).

**Outcome:** none of these five attempts proves or disproves the general conjecture. Each has been checked beyond an analogy. Several specific transfers are rigorously false. Their failures do not prove that every possible refinement of the corresponding field is useless.

| ID | Proposed mechanism actually tested | Result |
|---|---|---|
| 1 | Transfer the free-group negative spectral edge to the commuting frequency operator | Exact transfer is false already for \(A=\{1,2\}\) |
| 2 | Obtain a particle/rank cutoff or a variance subtraction bound from full Toeplitz determinants | Cutoff and the tested determinant free-energy inequality are false |
| 3 | Apply a Lee–Yang imaginary-axis zero theorem to the one-angle partition function | Universal imaginary-axis property is false already for \(A=\{1,2\}\) |
| 4 | Control energy/minimum ratio by running the whole wave through heat flow | Natural flow-stable ratio fails by an unbounded factor |
| 5 | Force a large negative barrier using Brownian quadratic variation and optional stopping | Scalar martingale inference is false; the exact minimum barrier is almost surely not hit |

## 1. Free/noncommuting rotations and the Kesten spectral edge

### Exact candidate

On \(\ell^2(\mathbb Z)\), let \(U\) be the bilateral shift. The original self-adjoint operator is

\[
H_A=\sum_{a\in A}(U^a+U^{-a}),
\qquad
\inf\operatorname{spec}(H_A)=\min_x F(x)=-2K.
\]

Replace these commuting powers by the canonical left-regular generators \(V_1,\ldots,V_N\) of the free group:

\[
H_{\rm free}=\sum_{j=1}^{N}(V_j+V_j^*).
\]

Kesten's theorem gives

\[
\operatorname{spec}(H_{\rm free})
=[-2\sqrt{2N-1},\,2\sqrt{2N-1}].
\]

A proposed covering/quotient transfer would be

\[
\inf\operatorname{spec}(H_A)
\le \inf\operatorname{spec}(H_{\rm free}).
\tag{1.1}
\]

If true, this would give \(K\ge\sqrt{2N-1}\), much more than the desired order.

### Exact check and counterexample

For \(A=\{1,2\}\), write \(y=\cos x\). Then

\[
f_A(x)=2y^2+y-1
=2(y+1/4)^2-\frac98.
\]

Hence \(K=9/8\) and

\[
\inf\operatorname{spec}(H_A)=-9/4
>-2\sqrt3=\inf\operatorname{spec}(H_{\rm free}).
\]

Thus (1.1) is false **within the original torsion-free integer setting**. A counterexample in a finite group is unnecessary.

### Why the analogy fails

Kesten's quotient comparison concerns the **upper spectral edge/spectral radius**. Additional relations increase return probabilities and can increase that edge. They do not preserve spectral symmetry: the free tree is bipartite, while the relation \(1+1=2\) creates triangles in the quotient. The upper edge of \(H_A\) is always \(2N\); its growth tells us nothing sufficient about the negative edge.

The first quotient-comparison lemma and Theorem 3 were checked directly in Kesten's paper. The distinction between the two edges is present in the primary source, not an interpretation added to rescue the argument.

### Remaining mathematical candidate

A weaker transfer with an unknown absolute loss,

\[
-\inf\operatorname{spec}(H_A)
\ge c\,[-\inf\operatorname{spec}(H_{\rm free})],
\]

would suffice. No such transfer was proved. Establishing it would require controlling precisely the negative-edge effect of all additive relations; the free model alone has removed this information.

Primary source: [Kesten, Symmetric random walks on groups (1959), Lemma 3.1 and Theorem 3](https://sites.math.northwestern.edu/~auffing/papers/KRW.pdf).

## 2. Fermionic exterior powers and full Toeplitz determinants

### Exact construction

Put \(h=L+F\ge0\), and let

\[
T_m(h)=(\widehat h(j-i))_{0\le i,j<m}.
\]

These are the Gram matrices of the functions \(e^{ijx}\) in \(L^2(h\,d\mu)\). The fermionic squared volume is

\[
D_m=\det T_m(h)
=\frac1{m!}
\int_{\mathbb T^m}
\prod_{\ell=1}^m h(x_\ell)
\prod_{i<j}|e^{ix_i}-e^{ix_j}|^2\,d\mu^m.
\tag{2.1}
\]

Identity (2.1) follows directly by expanding both Vandermonde determinants and integrating the products: after the \(m!\) identical permutation terms are collected, the remaining sum is the determinant of the one-particle Gram matrix. Its Vandermonde factor is exactly the algebraic exclusion effect.

Two concrete proposed consequences were checked:

1. Reaching \(h=0\) somewhere should eventually collapse these volumes/ranks, giving an effective finite occupancy bound in terms of \(L\).
2. A natural variance subtraction for the geometric symbol average,
   \[
   G(h)^2+2N\le L^2,\qquad G(h)=\exp\!\int\log h\,d\mu,
   \tag{2.2}
   \]
   could turn exclusion plus the \(2N\) unit off-diagonal Fourier entries into a quadratic bound.

### Rank and integrality check: the proposed collapse is false

For \(A=\{1\}\), \(K=1\), \(L=2\), and

\[
h(x)=2+2\cos x
\]

vanishes at \(x=\pi\). Nevertheless, \(T_m(h)\) is the tridiagonal matrix with diagonal 2 and adjacent entries 1. Its determinants satisfy

\[
D_0=1,\quad D_1=2,\quad D_m=2D_{m-1}-D_{m-2},
\]

so

\[
D_m=m+1>0
\]

for **every** \(m\). The rank is \(m\), with no finite cutoff. This is an exact infinite sequence of full Toeplitz determinants.

More generally, a nonzero nonnegative trigonometric polynomial is positive except at finitely many points. For every nonzero polynomial \(p\),

\[
\int h|p|^2\,d\mu>0.
\]

Hence all the finite Toeplitz matrices remain positive definite even at the true minimum shift. The one-particle Hilbert space is still infinite-dimensional.

Integrality does not create the missing cutoff. At an integer shift \(\ell\ge L\), one only gets

\[
1\le\det T_m(\ell+F)\le\ell^m.
\]

At the actual critical shift, integrality need not hold at all. For example, the critical shift for \(A=\{1,2,3\}\), calculated below, is irrational.

### A new explicit determinant/variance candidate also fails

For \(A=\{1,2,3\}\),

\[
f_A(x)=4y^3+2y^2-2y-1,\qquad y=\cos x.
\]

Its global minimum on \([-1,1]\) occurs at

\[
\alpha=\frac{\sqrt7-1}{6},\qquad
K=\frac{17+7\sqrt7}{27}.
\]

This follows by checking the two derivative roots and the endpoints. With

\[
c=\frac{1+2\sqrt7}{6}>1
\]

the critical symbol factors exactly as

\[
h(x)=2K+2f_A(x)=8(\cos x-\alpha)^2(\cos x+c).
\]

The logarithmic averages can be evaluated without a numerical integral:

\[
\int\log|\cos x-\alpha|\,d\mu=-\log2,\qquad
\int\log(c+\cos x)\,d\mu
=\log\frac{c+\sqrt{c^2-1}}2.
\]

For the first identity, factor \(2(\cos x-\alpha)\) into two unit-circle linear factors. For the second, factor \(c+\cos x\) as a positive constant times \(|1+r e^{ix}|^2\), \(0<r<1\), and integrate its convergent logarithmic power series. Therefore

\[
G(h)=c+\sqrt{c^2-1}>1.
\]

But

\[
L^2
=\frac{2528+952\sqrt7}{729}
<7=1+2N<G(h)^2+2N.
\]

For an exact elementary check of \(L^2<7\), use
\(\sqrt7<8/3\), giving
\(2528+952\sqrt7<15200/3<5103=7\cdot729\).
Thus (2.2) is false. Numerically the two sides are approximately \(7.86067\) and \(6.92285\), but the displayed algebra, not that decimal comparison, proves failure.

### What exterior powers actually supply

The second elementary symmetric polynomial in the eigenvalues gives the valid inequality

\[
\operatorname{tr}(\wedge^2 T_m)
=\frac{m(m-1)}2L^2-
\sum_{\substack{a\in A\\a<m}}(m-a)\ge0.
\tag{2.3}
\]

The finite-index weights and the factor \(m(m-1)\) remain. As \(m\to\infty\) for a fixed \(A\), (2.3) does not become \(N\le CL^2\); its resulting lower bound for \(L^2\) tends to zero.

All exterior powers preserve genuine information, but no degree-free inequality extracting \(N\le CL^2\) from them was obtained. A weaker version of (2.2) with an unknown constant multiplying \(N\) remains an unproved candidate, not a consequence of exclusion. The exact counterexample only rejects the coefficient 2 and the proposed rank/integrality shortcuts.

## 3. Complex temperature, partition functions, and Lee–Yang zeros

### Exact candidate

Define the single-angle partition function

\[
Z_A(\beta)=\int e^{\beta f_A(x)}\,d\mu(x),\qquad \beta\in\mathbb C.
\]

It is entire of exponential type because \(|f_A|\le N\), and

\[
Z_A(0)=1,\quad Z'_A(0)=0,\quad Z_A''(0)=N/2.
\]

One candidate was to import the Lee–Yang imaginary-axis zero property, and use the resulting product formula to constrain the zero-temperature limit and hence \(K\).

The relevant limit is indeed

\[
K=\lim_{\beta\to+\infty}\frac{\log Z_A(-\beta)}{\beta}.
\tag{3.1}
\]

For completeness: the upper bound follows from \(f_A\ge-K\). For every \(\varepsilon>0\), continuity supplies a positive-measure neighborhood with \(f_A\le-K+\varepsilon\); integrating over it gives the matching lower exponential rate. Equation (3.1) by itself is just a reformulation.

### Exact analytic test: the universal zero-location premise is false

For \(A=\{1,2\}\), Fourier orthogonality gives

\[
Z_A'(0)=0,\qquad Z_A'''(0)=\int(\cos x+\cos2x)^3\,d\mu=\frac34.
\tag{3.2}
\]

Suppose all zeros of \(Z_A\) were purely imaginary. Real Taylor coefficients imply that the nonzero zeros occur in pairs \(it_j,-it_j\), with matching multiplicities. Hadamard factorization for an entire function of exponential type gives, after pairing,

\[
Z_A(\beta)=e^{a\beta}
\prod_j\left(1+\frac{\beta^2}{t_j^2}\right).
\tag{3.3}
\]

The product is convergent because an exponential-type entire function has
\(\sum_j |t_j|^{-2}<\infty\). The usual genus-one exponential factors cancel within each pair. The possible remaining polynomial in the exponential has degree at most one, and the constant is fixed by \(Z_A(0)=1\).

Differentiating (3.3) at zero and using (3.2) gives \(a=0\). Thus \(Z_A\) would be even, so \(Z_A'''(0)=0\), contradicting (3.2). This proves that \(Z_{\{1,2\}}\) has zeros **off** the imaginary axis. No numerical zero search is needed.

### Why the physical theorem does not transfer

The harmonics are all functions of the same angle. They are not independent spins with the required ferromagnetic pair interactions. In addition, \(\beta\) here couples to the full nonlinear observable \(f_A\), rather than to the standard magnetization variable in the usual circle theorem.

The Lieb–Sokal extension starts with a measure already possessing the Lee–Yang property and shows preservation under suitable ferromagnetic pair interactions. The pushforward of uniform angle under \(\cos x+\cos2x\) already fails that starting property, as the exact calculation proves.

### Remaining candidate

A genuinely new theorem controlling the off-axis zero configuration of this particular \(Z_A\), or a uniform bound such as

\[
Z_A(-c_1/\sqrt N)\ge e^{c_2}
\]

with fixed positive constants, would yield useful information. No such bound was established. The latter would imply \(K\ge(c_2/c_1)\sqrt N\) via \(Z_A(-\beta)\le e^{\beta K}\), so it must not be mistaken for an already-proved thermal identity.

Primary sources checked:

- [Lee–Yang, Statistical theory of equations of state and phase transitions II (1952)](https://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.87.410).
- [Lieb–Sokal, A general Lee–Yang theorem for one-component and multicomponent ferromagnets (1981)](https://link.springer.com/article/10.1007/BF01213009).
- [Hadamard, Étude sur les propriétés des fonctions entières (1893), scanned original](https://www.numdam.org/item/JMPA_1893_4_9__171_0.pdf).

## 4. Whole-wave heat flow, entropy, and the loss of binary data

### Exact evolution and identities

Evolve every frequency simultaneously:

\[
f_t(x)=\sum_{a\in A}e^{-a^2t}\cos(ax).
\]

Let \(K_t=-\min f_t\) and \(E(t)=\int f_t^2\,d\mu\). The heat kernel is positive, hence \(K_t\le K_0\) and \(K_0+f_t\ge0\). Parseval and differentiation give

\[
E(t)=\frac12\sum_{a\in A}e^{-2a^2t},
\quad
E'(t)=-2\int |f_t'|^2\,d\mu,
\quad
2\int_0^\infty\!\int|f_t'|^2\,d\mu\,dt=N/2.
\tag{4.1}
\]

For \(u_t=K_0+\varepsilon+f_t>0\), the entropy identity is

\[
\frac{d}{dt}\int u_t\log\frac{u_t}{K_0+\varepsilon}\,d\mu
=-\int\frac{|u_t'|^2}{u_t}\,d\mu.
\tag{4.2}
\]

It follows simply by integration by parts using \(\partial_t u_t=u_t''\), periodicity, and conservation of mass. Thus no uncertain entropy theorem is being assumed.

### Concrete candidate actually checked

A possible backward strategy needs a quantity retaining the desired variance/minimum relationship under smoothing. Test the natural claim that

\[
R(t)=\frac{E(t)}{K_t^2}
\]

is controlled by an absolute constant, or even by a constant multiple of \(R(0)\), along heat flows that begin with binary Fourier coefficients.

### Exact unbounded counterexample to that control

Take the actual unit-coefficient initial set \(A=\{1,\ldots,N\}\) and \(t=1/N\). The full circle heat kernel

\[
\Theta_t(x)=\sum_{n\in\mathbb Z}e^{-n^2t}e^{inx}
=\sqrt{\frac{\pi}{t}}\sum_{k\in\mathbb Z}
e^{-(x-2\pi k)^2/(4t)}
\]

is nonnegative. This identity can be verified by taking the Fourier coefficients of the periodic Gaussian. Hence

\[
\sum_{a=1}^{\infty}e^{-a^2/N}\cos(ax)\ge-\frac12.
\]

The omitted tail obeys

\[
\sum_{a=N+1}^{\infty}e^{-a^2/N}
\le e^{-N}\sum_{j=1}^\infty e^{-2j}
=\frac{e^{-N}}{e^2-1}.
\]

It follows that the finite, evolved wave satisfies

\[
K_{1/N}\le \frac12+\frac{e^{-N}}{e^2-1}.
\tag{4.3}
\]

At the same time,

\[
E(1/N)
=\frac12\sum_{a=1}^{N}e^{-2a^2/N}
\ge\frac{e^{-2}}2\lfloor\sqrt N\rfloor.
\tag{4.4}
\]

Thus \(R(1/N)\) is unbounded.

The failure relative to the initial value is even stronger. The Dirichlet identity at \(x=3\pi/(2N+1)\) gives

\[
K_0\ge
\frac{1}{2\sin(3\pi/(4N+2))}+\frac12
\ge\frac{2N+1}{3\pi}+\frac12.
\]

Since \(E(0)=N/2\), this yields \(R(0)=O(1/N)\), whereas
\(R(1/N)\ge c\sqrt N\). Consequently even a fixed-factor comparison of those ratios is false by a factor of order at least \(N^{3/2}\).

### What remains and what this does not show

The initial wave has a large trough and satisfies the conjectured lower bound comfortably. It is the proposed invariant through the **whole-wave transformation** that fails. The evolved coefficients \(e^{-a^2t}\) are no longer binary.

Keeping \(K_0\) fixed preserves positivity, but then (4.1)–(4.2) are valid for general nonnegative initial densities with arbitrarily concentrated peaks; they contain no established binary-specific reverse bound. A successful backward-flow proof must retain additional arithmetic information about the initial coefficients and quantify how it controls the complete trajectory. No such degree-free estimate was derived in this pass.

## 5. Brownian optional stopping for the analytic polynomial

### Exact martingale representation

Let

\[
P_A(z)=\sum_{a\in A}z^a,\qquad u(z)=\Re P_A(z).
\]

Let \(B_t\) be standard planar Brownian motion starting at zero, with generator \(\tfrac12\Delta\), and let \(\tau\) be its first exit from the unit disk. Then

\[
M_t=u(B_{t\wedge\tau})
\]

is a bounded stopped martingale. The exit angle is uniform, so

\[
\mathbb E M_\tau=0,\quad
\mathbb E M_\tau^2=N/2,\quad
-K\le M_t\le N.
\tag{5.1}
\]

The Cauchy–Riemann equations give \(|\nabla u|^2=|P_A'|^2\). Itô's formula/isometry therefore yields

\[
\mathbb E\langle M\rangle_\tau
=\mathbb E\int_0^\tau |P_A'(B_s)|^2\,ds
=N/2.
\tag{5.2}
\]

The proposed inference was that this much accumulated fluctuation forces a negative barrier of order \(\sqrt N\).

### Exact stopping countermodel with the same scalar data

Let \(W_t\) be ordinary one-dimensional Brownian motion starting at zero and stop it upon exiting \((-1/2,N)\), at time \(\sigma\). The terminal probabilities are

\[
\mathbb P(W_\sigma=N)=\frac1{2N+1},\qquad
\mathbb P(W_\sigma=-1/2)=\frac{2N}{2N+1}.
\]

Therefore, exactly,

\[
\mathbb E W_\sigma=0,\quad
\mathbb E W_\sigma^2=N/2,\quad
\mathbb E\langle W\rangle_\sigma=\mathbb E\sigma=N/2.
\]

These statements follow either from stopping \(W_t\) and \(W_t^2-t\), or by solving the elementary interval exit equations. This continuous martingale has the same mean, variance, upper bound and expected quadratic variation as (5.1)–(5.2), but its negative barrier is \(1/2\) for arbitrarily large \(N\).

Thus the proposed inference from those data is rigorously false. The countermodel is **not** asserted to arise from a binary-coefficient cosine polynomial.

### Analyticity alone does not fix the failure

For \(0<r<1\), consider the analytic function

\[
P_r(z)=\frac{rz}{1-rz}=\sum_{a\ge1}r^a z^a.
\]

Its boundary real part is half the Poisson kernel minus \(1/2\), and

\[
K_r=\frac{r}{1+r}<\frac12,\qquad
\int(\Re P_r)^2\,d\mu=\frac{r^2}{2(1-r^2)}\longrightarrow\infty.
\]

Hence even bounded analytic functions with positive Fourier coefficients at most one can exhibit precisely the rare-positive-exit mechanism. Finite truncations preserve it up to an arbitrarily small uniform error. Exact coefficient membership in \(\{0,1\}\), rather than positivity or an upper coefficient bound, must do essential work.

### A further exact barrier issue

Stopping \(u(B_t)\) at its **actual** global minimum \(-K\) does not produce a useful negative hitting event. The strong minimum principle gives \(u(z)>-K\) in the open disk. On the boundary, \(f_A(x)+K\) is a nonzero trigonometric polynomial and has finitely many zeros. A uniform exit angle hits that finite set with probability zero.

One can stop at a slightly higher negative level instead, but then the rare-positive-exit calculation still has to be controlled; optional stopping does not remove it.

### Precise remaining requirement

A useful new result would have to bound the Brownian occupation or positive-exit contribution by exploiting the exact binary Fourier coefficients, for example enough to force

\[
\mathbb E\int_0^\tau |P_A'(B_s)|^2\,ds\le C K^2.
\]

In light of (5.2), this displayed estimate is itself of the strength required to solve Chowla. It was not proved here, and labeling it a martingale inequality does not make it an available theorem.

Primary source for the stochastic integral/isometry used above:
[Itô, Stochastic Integral (1944), Theorem 2.1 and the final change-of-variables formula](https://www.jstage.jst.go.jp/article/pjab1912/20/8/20_8_519/_pdf).

## Verification record and scope

The file physics_check.py independently computes the small polynomial minima, exact signed-frequency moments, integer Toeplitz determinants through size 12, heat-flow energy bounds, and interval-exit moments using rational arithmetic where applicable. It ran successfully. Numerical values are cross-checks of the symbolic arguments, not proofs of a general assertion.

No external publication, upload, or message to third parties was made. The five approaches above supply concrete falsification tests and exact remaining requirements. The general Chowla conjecture remains unresolved.


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: unconventional20/physics_check.py
==============================================================================

"""Reproducible arithmetic checks for unconventional approaches 1--5.

These are checks on exact counterexamples and identities, not a search for a
proof of the general Chowla conjecture.
"""
import json
import math
from fractions import Fraction

import numpy as np


def integer_det(a):
    a = [row[:] for row in a]
    n = len(a)
    previous = 1
    for k in range(n - 1):
        pivot = a[k][k]
        assert pivot != 0
        for i in range(k + 1, n):
            for j in range(k + 1, n):
                numerator = a[i][j] * pivot - a[i][k] * a[k][j]
                assert numerator % previous == 0
                a[i][j] = numerator // previous
            a[i][k] = 0
        previous = pivot
    return a[-1][-1]


def signed_moment(a, power):
    counts = {0: 1}
    signed = a + [-v for v in a]
    for _ in range(power):
        updated = {}
        for old, multiplicity in counts.items():
            for frequency in signed:
                updated[old + frequency] = updated.get(old + frequency, 0) + multiplicity
        counts = updated
    return Fraction(counts.get(0, 0), 2**power)


out = {}
y = Fraction(-1, 4)
minimum = 2 * y*y + y - 1
assert minimum == Fraction(-9, 8)
out["1_free_transfer"] = {"commuting_F_min": str(2 * minimum),
                          "free_F_min": -2 * math.sqrt(3)}

dets = []
for m in range(1, 13):
    matrix = [[2 if i == j else int(abs(i-j) == 1)
               for j in range(m)] for i in range(m)]
    value = integer_det(matrix)
    assert value == m + 1
    dets.append(value)
out["2_critical_determinants"] = dets
out["2_irrational_K_A123"] = (17 + 7 * math.sqrt(7)) / 27

moments = [signed_moment([1, 2], r) for r in range(1, 5)]
assert moments[0] == 0 and moments[1] == 1 and moments[2] == Fraction(3, 4)
out["3_moments_A12"] = [str(v) for v in moments]

heat = []
for n in (16, 64, 256, 1024):
    a = np.arange(1, n + 1, dtype=float)
    energy = float(np.exp(-2 * a*a/n).sum() / 2)
    k_upper = 0.5 + math.exp(-n)/(math.e**2 - 1)
    k0_lower = (2*n+1)/(3*math.pi) + 0.5
    heat.append({"N": n, "flow_energy": energy, "flow_K_upper": k_upper,
                 "R_at_time_lower": energy/k_upper**2,
                 "R_initial_upper": n/(2*k0_lower**2)})
out["4_heat_counterexample"] = heat

stopping = []
for n in (10, 100, 1000):
    p = Fraction(1, 2*n+1)
    mean = p*n + (1-p)*Fraction(-1, 2)
    variance = p*n*n + (1-p)*Fraction(1, 4)
    assert mean == 0 and variance == Fraction(n, 2)
    stopping.append({"N": n, "positive_exit_probability": str(p),
                     "mean": str(mean), "second_moment": str(variance)})
out["5_optional_stopping_countermodel"] = stopping
print(json.dumps(out, indent=2))


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: GENERAL_RESEARCH_CHECKPOINT.md
==============================================================================

# General Chowla research checkpoint

18 October 2026 UTC. Intermediate working record. No general proof or
counterexample has been obtained. No novelty claim or external verification of
a new theorem is made. The application has not been changed.

## Target and scope

For every finite nonempty set A of distinct positive integers, put
f_A(x)=sum_{a in A}cos(ax), N=|A|, K(A)=-min_x f_A(x).
The target is one absolute c>0 with K(A)>=c sqrt(N), uniformly in both N and
the largest frequency. A disproof needs a sequence with N tending to infinity
and K(A)/sqrt(N) tending to zero. All amplitudes are exactly one and all phases
zero. Finite cyclic sampling, fractional amplitudes, signed coefficients, and
finite exhaustive searches do not resolve this target.

## General routes inspected in this pass

1. **Full neighborhood spectral certificate.** Positivity of 2K+2f_A gives
   both the odd and even blocks of the distance-graph Gram matrix on
   {0} union A union (-A). A universal negative eigenvalue of order sqrt(N)
   for this particular matrix would suffice, but is unproved and may be
   stronger than Chowla. Compressing the even block against the all-ones
   vector gives exactly the known Roth estimate.
2. **Damped analytic product.** For Q_delta(z)=product_(a in A)(1-delta z^a),
   ||Q_delta||_2^2 <= (1-delta)^(-2K). A uniform positive gap of this norm
   above one at delta=c0/sqrt(N) would suffice. Such a gap is not proved.
   An exponential/Laplace version has the same unresolved issue.
3. **Probability convolution law.** A nonnegative probability density mu in
   L1(T) satisfying mu*mu=rho mu+(1-rho)1 has Fourier coefficients exactly
   0 or rho off zero. Riemann-Lebesgue makes their support finite, so this
   formulation is exactly reversible to the original cosine problem.
   Bounding its support size by C rho^(-2) is equivalent to Chowla, not
   an independently established lemma.

## Verified reasons several proposed shortcuts fail

- A base-power Sidon difference family gives the sine-block spectrum
  k-2 (multiplicity k-1) and -2 (multiplicity (k-1)(k-2)/2). Its positive
  and negative spectral edges have no universal bounded ratio.
- The Bernoulli-Fejer construction gives actual sets A with T(A) of order
  N^2 and K(A)=O(sqrt(N log N)). Thus neither T<=C K N nor the analogous
  sine-block Frobenius estimate holds for all A. Root and spectral agent
  independently checked the counting, concentration, and constants.
- For every fixed moment-test degree d, there are genuine large cosine
  sums whose tests E[(f+L_d)p(f)^2]>=0 all hold for a constant L_d, for
  every polynomial p of degree at most d. Their first 2d+1 moments match
  a probability measure with uniformly bounded negative support. This
  concerns fixed-degree scalar-moment methods only, not arbitrary
  frequency-sensitive certificates or degree increasing with N.
- Adding a largest-frequency factor need not increase the damped product
  norm. A=1,...,100, delta=1/10, added frequency 140 gives an exact ratio
  less than 49/50. Root reran the integer-only certificate successfully.
- Fractional factor weights can destroy the proposed norm gap. Direct
  rounding to zero/one coefficients has an unavoidable L2 error of
  order sqrt(N), but this does not rule out all possible one-sided
  encodings or disprove Chowla.
- Stable spectral denominators and even a full Hardy H2 norm bound for
  the associated Schur transform do not imply the required pointwise
  positivity. The exact interval example is recorded in the notes.
- Connectedness of the circle does not replace absolute continuity:
  (1-rho)m+rho delta_0 satisfies the same convolution law with infinitely
  many nonzero Fourier coefficients. Fejer smoothing loses their exact
  zero/rho values.

These are obstructions to methods. None is a counterexample to Chowla.

## Source checks

The September 2026 preprint by Abhishek Shankar gives a general n^(1/5)
bound, using two analytic estimates from Bedert and an exact boundary
identity. It explicitly leaves the square-root exponent unresolved:
https://arxiv.org/html/2609.05338v1

Bedert's underlying version 3:
https://arxiv.org/html/2509.05260v3

The October 2026 OpenAI math catalogue was searched for cosine, Chowla,
Littlewood, Newman, and related terms. Its two-point multiplicative Chowla
result is a different problem. Its real-sign Littlewood results provide no
established transition to the zero/one cosine target here:
https://raw.githubusercontent.com/openai/math/main/CONTENTS.md

A specific integer-versus-modular-correlation error in the short Singer
flatness proof arXiv:2210.15480v2 was checked with S={0,1,3}, q=7. This
invalidates that proof step, not every possible flatness result. Numerical
Singer experiments in the companion files are explicitly uncertified and
are not used as asymptotic evidence.

## Detailed working records

- general_spectral/SPECTRAL_ATTEMPT.md
- general_fejer_barrier.md
- general_moments/moment_obstructions.md
- general_moments/product_route_audit.md
- general_moments/probability_convolution_audit.md
- general_factorization/FACTORIZATION_NOTES.md
- general_factorization/DAMPED_PRODUCT_NOTES.md
- general_factorization/exact_product_monotonicity.py
- general_factorization/exact_product_monotonicity.json

The earlier finite-search report and package predate these general-method
notes. Neither those finite results nor these method obstructions should be
described as a solution of the original universal conjecture.


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: README.md
==============================================================================

# Chowla cosine investigation — reproducible finite results

**The general Chowla conjecture was not solved.** This package proves a finite-universe optimum and records rigorous special cases and unsuccessful approaches. No mathematical novelty or outside peer review is claimed.

Read `REPORT_RU.md` for the complete Russian report. The exact finite theorem is that

`{1,2,3,4,5,6,7,8,10,11,13,14,15,16,17,21}`

uniquely minimizes `(-min_x sum(cos(a*x)))/sqrt(number of frequencies)` among all 4,194,303 nonempty subsets of `{1,...,22}`. Its negative minimum lies strictly between `2.4548327530` and `2.4548327531`.

## Verify

```bash
python3 -m pip install -r requirements.txt
python3 run_verification.py
```

Run ordinary Python without `-O`; the verification relies on assertions. The full verification was executed with Python 3.12.14 and NumPy 2.3.5 in about 15 seconds. SciPy is needed only for optional floating-point searches, not for the exact finite conclusions.

The runner recomputes and checks all three supplied polynomial certificates, proves their bounds independently with Bernstein subdivision, and performs the finite enumeration twice with different arithmetic constructions and enumeration algorithms. `verification_receipt.json` records the last successful run.

Analytical proofs and their scope are in `REPORT_RU.md`, `lower/`, and `counterexample/NOTES.md`. They are mathematical arguments audited within this investigation, not Lean-formalized proofs. Optional numerical searches and logs in `compute/` do not establish any additional general theorem.


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: REPORT_RU.md
==============================================================================

# Гипотеза Чоулы: результаты исследовательской попытки

Дата: 18 октября 2026 года, UTC.

## Статус

**Общая гипотеза не доказана и не опровергнута.** Получены и проверены конечный вычислительный результат, точное решение случая двух частот и несколько аналитических выводов для ограниченных классов. Новизна этих результатов в математической литературе не установлена. Моментная оценка ниже совпадает с уже известным следствием леммы Рота.

Главный проверенный результат: найден единственный лучший набор среди всех 4 194 303 непустых подмножеств частот от 1 до 22. Его непрерывный минимум заключён между точными рациональными границами. Две независимо написанные программы подтвердили полный перебор; положительность соответствующего многочлена проверена двумя различными математическими методами.

Это воспроизводимое вычислительное доказательство конечного утверждения. Внешняя экспертная рецензия и формальная проверка в Lean не проводились.

## 1. Какую именно задачу решали

Пусть \(A\) — непустое конечное множество **различных положительных целых** чисел, \(N=|A|\). Определим

\[
f_A(x)=\sum_{a\in A}\cos(ax),\qquad
K(A)=-\min_{x\in\mathbb R}f_A(x).
\]

Все амплитуды равны единице, начальные фазы равны нулю. Нулевую частоту, повторения, отрицательные или произвольные коэффициенты добавлять нельзя.

Гипотеза утверждает, что существует **одно абсолютное число \(c>0\)**, для которого

\[
K(A)\ge c\sqrt{|A|}\qquad\text{для каждого допустимого }A.
\]

Простыми словами: сколько бы одинаковых по амплитуде гармоник мы ни сложили, у суммы должен возникнуть достаточно глубокий отрицательный пик. Вопрос — насколько неизбежно растёт этот пик при увеличении числа гармоник. Такая формулировка задачи и её открытый общий случай обсуждаются в [1, 2].

Чтобы опровергнуть гипотезу, нужна последовательность наборов с

\[
|A_j|\to\infty,\qquad \frac{K(A_j)}{\sqrt{|A_j|}}\to0.
\]

Один удачный конечный набор этого не даёт. Доказательство для всех частот до фиксированного числа также не устанавливает утверждение для неограниченных частот.

## 2. Строгий конечный результат

Обозначим

\[
A_* = \{1,2,3,4,5,6,7,8,10,11,13,14,15,16,17,21\}.
\]

Это набор из 16 частот. Для него точно установлено:

\[
2.4548327530<K(A_*)<2.4548327531,
\]

следовательно,

\[
0.613708188250<\frac{K(A_*)}{\sqrt{16}}<0.613708188275.
\]

**Конечная теорема.** Среди всех непустых \(A\subseteq\{1,\ldots,22\}\) множество \(A_*\) — единственный минимизатор отношения \(K(A)/\sqrt{|A|}\). Для любого другого такого множества

\[
\frac{K(A)}{\sqrt{|A|}}\ge0.613708188275.
\]

Правая граница для победителя строгая, поэтому равенство показателей с другим набором исключено.

### Как доказаны границы непрерывного минимума

Подстановка \(t=\cos x\) превращает сумму в целочисленный многочлен

\[
P_A(t)=\sum_{a\in A}T_a(t),\qquad -1\le t\le1,
\]

где \(T_a\) — многочлен Чебышёва: \(T_a(\cos x)=\cos(ax)\).

Для \(U=2.4548327531\) точная последовательность Штурма показывает, что \(P_{A_*}+U\) не имеет корней на \([-1,1]\). Число перемен знака равно 10 на обоих концах; значения на концах положительны. Поэтому многочлен положителен на всём интервале и \(K(A_*)<U\).

Для \(L=2.4548327530\) точная подстановка

\[
t_0=\frac{4001706657}{5000000000}
\]

даёт \(P_{A_*}(t_0)+L<0\). Следовательно, \(K(A_*)>L\). Здесь используются рациональные числа без округления.

Дополнительная программа проверяет положительность другим способом: переводит многочлен в базис Бернштейна и последовательно делит интервал пополам. Получены 29 интервалов, полностью покрывающих область определения, на каждом из которых все коэффициенты строго положительны. Этот метод не использует цепочку Штурма. Коэффициенты самого многочлена также выведены другим тождеством.

### Как доказана оптимальность среди 4 194 303 наборов

Для каждого \(A\) достаточно предъявить хотя бы одну точку, где сумма достаточно отрицательна. Если \(u_{a,k}\) — гарантированная верхняя граница \(\cos(a x_k)\), то

\[
K(A)\ge -f_A(x_k)\ge-\sum_{a\in A}u_{a,k}.
\]

Поэтому конечная сетка может строго исключать конкурентов. Для противоположной оценки минимума победителя нужна проверка всего непрерывного интервала; она выполнена выше.

Первая программа строит интервалы косинусов через половинные углы и точную целочисленную арифметику. Она перебирает все подмножества кодом Грея на сетке из 4097 точек. Все наборы, кроме \(A_*\), получают достаточную нижнюю оценку отношения.

Вторая программа строит границы через рациональную формулу Мэчина для \(\pi\) и остаток ряда Тейлора. Она перебирает все подмножества через две таблицы по 11 элементов. Уже сетка из 513 точек оставляет единственное исключение — тот же \(A_*\); дополнительная проверка исключения на сетке из 4097 точек согласуется с первой программой.

Сравнения с квадратным корнем сведены к точным целым квадратам и округлению вверх. В решениях о прохождении порога числа с плавающей точкой не участвуют. Переполнение исключено: абсолютные значения сумм не превышают \(22\cdot2^{40}<2^{63}\).

### Что именно покрывает вычислительный поиск

| Проверка | Объём | Подтверждённый вывод |
|---|---:|---|
| Полный точный перебор частот до 22 | 4 194 303 непустых набора | Единственный оптимальный набор доказан |
| Независимый точный повтор того же перебора | Те же 4 194 303 набора | Конечное утверждение воспроизведено другим алгоритмом |
| Численный полный поиск частот до 24 | 16 777 215 непустых наборов | Найден тот же кандидат; отдельного точного доказательства оптимальности до 24 нет |
| Эвристические поиски с максимальной частотой до 128 | 4 560 000 предложенных замен, 60 перезапусков | Более низкого отношения не найдено; полноты поиска нет |

Области полных переборов пересекаются, поэтому их количества нельзя складывать как число разных исследованных множеств.

Дополнительно двумя методами подтверждены границы:

| Набор \(A\) | Строгий интервал для \(K(A)\) |
|---|---|
| \(\{1,2,4,6,7,8\}\) | \((1.5918323293,\ 1.5918323294)\) |
| \(\{1,2,3,4,5,6,8,9,10,11,14\}\) | \((2.1023812792,\ 2.1023812793)\) |

## 3. Полностью решённый случай двух частот

Для любых различных положительных целых \(a,b\)

\[
K(\{a,b\})\ge\frac98.
\]

Равенство достигается в точности для наборов \(\{d,2d\}\), где \(d\) — положительное целое. Это элементарный частный результат; новизна не заявляется.

**Доказательство.** Деление частот на их наибольший общий делитель не меняет минимум. Можно считать \(\gcd(a,b)=1\).

Если обе частоты нечётные, в точке \(x=\pi\) сумма равна \(-2\). Иначе одна частота нечётная, обозначим её \(o\), а другая чётная, обозначим её \(e\).

При \(o\ge3\) рассмотрим \(x_j=(2j+1)\pi/o\), \(0\le j<o\). Первый косинус равен \(-1\). Остатки \((e/2)(2j+1)\) пробегают все классы по модулю \(o\), поэтому в одной из точек второй косинус равен \(-\cos(\pi/o)\). Сумма не превосходит \(-3/2\).

При \(o=1,e\ge4\) в точке \(x=(e-1)\pi/e\) сумма равна \(-1-\cos(\pi/e)\le-1-\sqrt2/2\).

Остаётся \(\{1,2\}\). С подстановкой \(t=\cos x\) имеем

\[
\cos x+\cos2x=2\left(t+\frac14\right)^2-\frac98.
\]

Значение \(t=-1/4\) допустимо, поэтому минимум точно равен \(-9/8\). Во всех остальных разобранных случаях отрицательный пик строго глубже. Утверждение доказано.

## 4. Аналитическая оценка для большого частного класса

Пусть

\[
T=\#\{(a,b)\in A^2:a+b\in A\}.
\]

Пары считаются упорядоченными; случай \(a=b\) включён. Получена оценка

\[
K(A)\ge\frac{\sqrt{9T^2+8N^3}-3T}{4N}.
\]

После проверки литературы установлено, что это уже известное следствие леммы Рота, см. доказательство леммы 4.1 в [1]. Ниже приведён самостоятельно проверенный вывод в нашей нормировке.

Обозначим среднее по периоду через \(E\). Ортогональность косинусов даёт

\[
Ef_A=0,\qquad v=Ef_A^2=N/2,\qquad m=Ef_A^3=3T/4.
\]

Поскольку \(f_A+K\ge0\), при любом вещественном \(t\)

\[
0\le E[(f_A+K)(f_A-t)^2]=m+Kv-2tv+Kt^2.
\]

Подставляя \(t=v/K\), получаем \(K^2+(m/v)K-v\ge0\). Положительный корень этого квадратного выражения и есть указанная граница. Для любого фиксированного непустого \(A\) неравенство фактически строго: равенство заставило бы непрерывную непостоянную функцию \(f_A\) принимать только два значения.

**Полезное следствие.** Если ни одна частота не является суммой двух частот набора, то \(T=0\) и

\[
K(A)>\sqrt{N/2}.
\]

Для этого класса нужный порядок \(\sqrt N\) доказан. Вообще, если \(T\le C N^{3/2}\) с фиксированным \(C\), то

\[
K(A)\ge\frac{\sqrt{9C^2+8}-3C}{4}\sqrt N.
\]

**Оставшийся пробел:** при большом числе равенств \(a+b=c\) эта оценка слаба. Например, для \(A=\{1,\ldots,N\}\) имеем \(T=N(N-1)/2\), а правая часть стремится к \(2/3\). Это недостаток оценки: реальный отрицательный пик именно такого набора растёт гораздо быстрее. Перехода, который закрывает все наборы с большим \(T\), не получено.

## 5. Почему естественное размножение конечного примера не даёт контрпример

Была проверена идея многократно повторять удачный набор на разных масштабах частот. Для фиксированного \(A\), \(D=\max A\), \(B\ge2D+1\) положим

\[
S=\{0\}\cup A\cup(-A),\qquad q=2N+1,
\]

\[
C_m=\left\{\sum_{j=0}^{m-1}s_jB^j:s_j\in S\right\}\cap\mathbb Z_{>0}.
\]

Представления единственны: старшая ненулевая разность двух представлений не может быть погашена младшими. Поэтому

\[
|C_m|=\frac{q^m-1}{2},\qquad
1+2f_{C_m}(x)=\prod_{j=0}^{m-1}(1+2f_A(B^jx)).
\]

Для всех \(m\ge2\) доказано

\[
K(C_m)\ge\frac{(2K(A)-1)(1-\pi^2/64)q^{m-2}+1}{2}.
\]

Здесь \(K(A)>1/2\). Доказательство использует конкретную точку \(x=\theta_0/B^{m-1}\), где \(f_A(\theta_0)=-K(A)\): последний множитель отрицателен, а остальные близки к положительному максимуму. Погрешности их нормированных значений образуют суммируемый ряд.

Следовательно, при фиксированном исходном наборе

\[
\frac{K(C_m)}{\sqrt{|C_m|}}\longrightarrow\infty.
\]

Таким способом малый конечный коэффициент не превращается в коэффициент, стремящийся к нулю. Это доказанное препятствие для конкретной конструкции. Полное доказательство и его независимый аудит находятся в `counterexample/NOTES.md` и `lower/product_audit.md`. Новизна леммы не установлена.

Другой эксперимент проверил 2 097 130 комбинаций слоёв гиперкуба при размерностях до 20. Благоприятного сертификата не найдено. Этот эксперимент не исключает контрпример во всей соответствующей семье: минимум по независимым фазам даёт только нижнюю границу одномерной функции.

## 6. Что остаётся открытым и как это связано с BassPlus

В общей задаче остаётся разрыв между доказанными нижними оценками и желаемым порядком \(\sqrt N\). Работа [1] даёт показатель \(1/5-o(1)\); в октябрьской работе [2] приведена и оценка порядка \(N^{1/5}\) с абсолютной константой и указана связь с сентябрьским результатом Шанкара. Полное квадратнокоренное утверждение там остаётся гипотезой.

В [2] заявлена асимптотическая конструкция с

\[
\lambda(N)\le\tfrac12\sqrt N+O(N^{1/4}\sqrt{\log N}),
\qquad\lambda(N)=\inf_{|A|=N}K(A).
\]

Наш конечный коэффициент 0.613708 не улучшает эту асимптотическую конструкцию. Полное доказательство нового препринта не было независимо формализовано в этой работе; результаты литературы следует отличать от наших точных сертификатов.

В терминах звука числа в \(A\) можно понимать как номера гармоник: частоты \(a f_0\) при общем основном тоне \(f_0\). Изменение \(f_0\) меняет временной масштаб, но не найденные безразмерные минимумы. Это исследование формы суммы волн при одинаковых амплитудах и начальных фазах.

Отрицательное значение волны не означает «плохой звук» или уменьшение воспринимаемого баса. Полученные математические результаты сами по себе не задают фильтр или улучшение качества звучания BassPlus. Практическая проверка обработки реальной музыки потребует своей постановки с различными амплитудами, фазами и критериями качества.

## 7. Как воспроизвести подтверждённые вычисления

Распаковать архив, перейти в каталог `chowla_research` и выполнить:

```bash
python3 -m pip install -r requirements.txt
python3 run_verification.py
```

Не запускать Python с флагом `-O`: проверяющие программы используют `assert`. Интернет нужен только для установки отсутствующей зависимости NumPy; сами доказательные вычисления не обращаются к сети.

Пакет содержит готовые полиномиальные сертификаты. Программа заново выводит многочлены и цепочки Штурма, проверяет рациональные свидетели, выполняет независимую проверку Бернштейна и оба полных точных перебора. Она не принимает итог сертификата на веру. Последний успешный прогон в этой среде занял около 15 секунд; время зависит от компьютера.

Проверено с Python 3.12.14 и NumPy 2.3.5. SciPy нужен только для необязательного повторения исследовательских численных поисков. Эти поиски не используются для обоснования конечной теоремы.

| Файл в архиве | Назначение |
|---|---|
| `run_verification.py` | Единая команда всех точных вычислительных проверок |
| `verification_receipt.json` | Результат последнего прогона и версии среды |
| `compute/certificate_N16.json` | Полный рациональный сертификат главного набора |
| `compute/certify.py` | Точная полиномиальная арифметика и метод Штурма |
| `verify_bernstein.py` | Независимое доказательство положительности |
| `independent_bernstein_certificates.json` | Рациональные интервалы и коэффициенты Бернштейна |
| `compute/exact_grid.py` | Первый точный полный перебор |
| `counterexample/redteam_finite_check.py` | Второй точный полный перебор и независимая проверка цепочки Штурма |
| `counterexample/FINITE_AUDIT.md` | Обоснование корректности конечного перебора |
| `lower/lower_bound_audit.md` | Подробный вывод моментных оценок и их ограничений |
| `counterexample/NOTES.md` | Доказательство препятствия для произведений и разбор других попыток |
| `lower/product_audit.md` | Независимый аналитический аудит этого препятствия |

Остальные файлы содержат исходный численный поиск, его результаты и журналы. Они сохранены для прозрачности исследовательской попытки.

## Источники

1. Benjamin Bedert. *Polynomial bounds for the Chowla Cosine Problem*, arXiv:2509.05260v3, 24 июля 2026 года. Постановка, известные оценки и лемма Рота: <https://arxiv.org/html/2509.05260v3>.
2. Bryan Bu и соавторы. *A half-constant upper bound for Chowla’s cosine problem*, arXiv:2610.17160v1, 12 октября 2026 года. Препринт: <https://arxiv.org/html/2610.17160v1>.

Конечная теорема, её сертификаты, доказательство случая двух частот и анализ конструкции с цифрами представлены непосредственно в этом отчёте и коде. Подтверждённого решения общей гипотезы в результате этой попытки нет.


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: SHA256SUMS.txt
==============================================================================

f2947bf46ed4bfa116b14e4e621f9fdab9dd0bf2090847ff735925bf6c348d02  README.md
101c7dcacf87206b73d674f620630b4a6f0ddb75420c4d0e1c25ba47de8e2e05  REPORT_RU.md
05263041e3df150031ca29e951fb6dd8468c6af8166d738147bfe3b0dde7c755  compute/README.md
24642fdf0c921c9d6908f197baf90abef7f9cbd62964179851c2455901b7cf4c  compute/anneal.py
3101687e9f5532ea7a1e7192b2e8c4f3c1a29a631db048076e6e0988d0bb358d  compute/anneal_M128_N48.json
b0592a85cc9fc7907322fcc6198fa16ce2cbeb7f65e71d644b5520655e84f2a3  compute/anneal_M128_N48.log
3a18b83ae7cb45d88ced6a9885469117a234269bdbbf56bad132cdbd402574e3  compute/anneal_M48_N28.json
95ca1ebbeeb813a6ca0bcf01ecd198e946e325fccd56ea6f6c92172f2bdef3df  compute/anneal_M48_N28.log
9d42c2928cf84bb94cdbb76e59c8f472189eabd32dba283cab0df049ccf0207a  compute/anneal_M64_N24.json
5221eac2bb8b1683b1a99569fe370f76a093ce750c97cb2a2cc1715845f02fd9  compute/anneal_M64_N24.log
32e5243ab85dc47c31d82b4adc19f74d49237f2d8ec95940775d1f5bc8b101de  compute/anneal_M96_N36.json
0c0fb551322bf8bee75fcbc5ebff453964374228a853cbb57cc7529412ee60f8  compute/anneal_M96_N36.log
4ad82e8484c68b2cf90596980b1bf55f4d494e258e01c89e93f11a3e3235c0a7  compute/certificate_N11.json
fcc9bd052865949af1f2fc19f411a9e5c85cdd7d37386db1047de7e4d3d42242  compute/certificate_N16.json
3dc3ad607d7e5dcc2a12c1b4ae897331f89bdccdd3e13e59f409677326b5bdd6  compute/certificate_N6.json
48c9cac5b59b7658486b613eee91485765f35c4d135f075b6dc93cfd8310894a  compute/certify.py
8ff254339222e3033d7995ee93d9f0500ab3dddd018459a455202e61a7b61e22  compute/exact_finite_M22.log
c066f7f1c3911c0af3a3778544582e5bc3f4e10cf788c8aed4c6f58e96bded38  compute/exact_finite_M22_certificate.json
2eb94d7df8a6d60f1b0e5ada4faa1f85793944cab56215083b077e94fad8d2f5  compute/exact_grid.py
53ad4672da4c0c04950942b6e268dc904c77c88bd47a7e5e13d20fa1cd88e081  compute/exhaustive_M16.json
97fedbe637c9d882fbfc8c5a18a34b74f3760148d70f2240619b6ddc097d5d01  compute/exhaustive_M22.json
6a66b2817f0861dabe855a626e7a1237de5e1bcd05664b616d3d54fa9fa56e7e  compute/exhaustive_M22.log
8e1a8e43dfcfe24a3f8fff925d1d63a0d65cd2343dca74c794754ffa8fd7d8ba  compute/exhaustive_M24.json
78d99e08c6c002ba4eba2d9c4760f4cb1aa243a95dd1a6736f3294cf5e434307  compute/exhaustive_M24.log
2bda19b9c5e491474102275dd35266273f7a03fafca9da29b5d702b702a4d426  compute/search.py
a8b7df5862389eb7d3760e4b88500589c1ede0ec7d291eac281e6d5d63a2c481  counterexample/FINITE_AUDIT.md
5c2242c69d19779dc95b964a818881407d5aa242ec88e232f33d1c05e65937ca  counterexample/NOTES.md
923bdceaa0f74418dda73610a642989911f7e72a86c87be21aba29bcfe5d1a67  counterexample/hypercube_shell_results.json
3d909ea0ec0596385771459db7befc18871ea8f253cfe382941d06ae23a454f7  counterexample/hypercube_shells.py
462a0e65576d60e63c4c28392f15e1163d7e6e9f0bd3cba9c7c918fe154d57d7  counterexample/redteam_finite_check.json
567eed9ed3eee613eebdbb1c79c143d69044c8d7d7a86265e1639668d5a57fc1  counterexample/redteam_finite_check.py
2148d656628e3bd7d3859d0dfd40409681bc295181688bbe6a75d90e591a62ed  independent_bernstein_certificates.json
da4d72aef379a4fa69f8a8ae96f02d44596933d6ac27411076ad5ad160978a05  lower/lower_bound_audit.md
2f2acd7d3d8ee379e02d1267a28b85c0b49053bf61e0bae4112bbc235a8aeb85  lower/product_audit.md
c88c1c4008ef0970424c633c9f0474b9c88266309fa130fe36e7b5240d1416b0  requirements.txt
ccfc238e1bfb110a6d4bafa461eeb4cdb6e55c153d18ea5006500cf97d3e227e  run_verification.py
c3b7dfbe76c0055bfbefbe7aed49976aab4dc8868eada71ee66f10914ec8f49c  verification_receipt.json
536e37bee31097292bbea0bab3cf331e287f76da9084aa0df974d6d9a2e4d769  verify_bernstein.py


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: general_fejer_barrier.md
==============================================================================

# A counterexample to two proposed shortcuts, not to Chowla

Research checkpoint, 18 October 2026 UTC. The full conjecture remains unresolved.

Let A be a finite set of distinct positive integers, N=|A|,
f_A(x)=sum_{a in A} cos(ax), and K(A)=-min f_A.
Write T(A)=#{(a,b) in A^2:a+b in A}, counting ordered pairs.

Two tempting proposed universal estimates are

1. T(A) <= C K(A) N;
2. ||C_A||_F^2 <= C K(A) N, where
   (C_A)_{u,v}=1_{A union -A}(u-v)-1_{A union -A}(u+v), u,v in A.

Both are FALSE for any absolute C. The following argument constructs actual
unit-coefficient cosine sums on the continuous circle. It does not replace
the frequencies by a finite cyclic group.

## Construction and uniform bound

Take integers M divisible by 4 tending to infinity. For 1<=a<M include a
independently with probability p_a=1-a/M. Put X_a=1_{a in A}. Then

g_M(x)=E f_A(x)=sum_{a=1}^{M-1}(1-a/M)cos(ax)=(F_M(x)-1)/2,

where F_M(x)=(1/M)|sum_{j=0}^{M-1}exp(ijx)|^2>=0 is the Fejer kernel.
Consequently g_M>=-1/2.

Let Z=f_A-g_M. At any fixed x, Hoeffding's bound yields

P(|Z(x)|>=u)<=2 exp(-2u^2/M),

because each centered independent summand has a range of length at most 1.
Take u=sqrt(3M log M) and the uniform grid of Q=8M^2 points on [0,2pi).
The probability of failure at some grid point is at most 16/M^4.

For every realization, |Z'|<=sum_{a=1}^{M-1}a<=M^2/2. Every point on the
circle lies within pi/Q of a grid point. Thus on the preceding event,

||Z||_infty<=sqrt(3M log M)+pi/16,

and hence K(A)<=sqrt(3M log M)+1.

Also E N=(M-1)/2, and Hoeffding implies N in [M/3,2M/3] with probability
tending to 1. The exact constants of this cardinality concentration are
not needed below; N<=M holds deterministically.

## Many actual additive triples

Restrict to a,b in {1,...,M/4} with a!=b. Then a,b,a+b are distinct,
p_a,p_b>=3/4, and p_{a+b}>=1/2. For M>=8,

E T >= (M/4)(M/4-1) (9/32)
     >= 9M^2/1024 >= M^2/128.

Changing one X_c changes at most 3M ordered triple indicators: c may
appear as first summand, second summand, or sum. Thus the bounded-difference
inequality gives

P(T <= E T/2)
 <= exp(-2(E T/2)^2/(9M^3))
 <= exp(-M/294912).

With probability tending to 1 all preceding events hold simultaneously.
In particular, for every sufficiently large M divisible by 4 there is a
realized set A with

N>=M/3,  T>=M^2/256,  K<=sqrt(3M log M)+1.

Therefore

T/(KN) >= M/[256(sqrt(3M log M)+1)] -> infinity.

This disproves proposed estimate 1.

## The sine-Gram Frobenius bound also fails

Let S=A union -A. Put d_{u,v}=1_S(u-v), p_{u,v}=1_S(u+v), and
I=#{(u,v) in A^2: u-v in S and u+v in S}. Then

sum d_{u,v}=2T,  sum p_{u,v}=T,  I<=T.

Since these entries are zero or one,

||C_A||_F^2=sum(d-p)^2=3T-2I>=T.

Consequently ||C_A||_F^2/(KN) also tends to infinity along the sets above.
The identities are exact, including diagonal entries and repeated summands.

## Scope

These sets have the upper bound K=O(sqrt(N log N)); this is NOT a
counterexample K=o(sqrt N), and the argument claims no such conclusion.
The purpose is to reject two stronger intermediate estimates that would
have supplied an invalid shortcut to the square-root conjecture.

The Fejer identity and elementary probability inequalities are standard.
No novelty is claimed. No external publication or upload has been made.


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: independent_bernstein_certificates.json
==============================================================================

[
  {
    "input": "certificate_N6.json",
    "A": [
      1,
      2,
      4,
      6,
      7,
      8
    ],
    "N": 6,
    "lambda_lower": "15918323293/10000000000",
    "lambda_upper": "7959161647/5000000000",
    "witness": "2210948927/2500000000",
    "negative_witness": "-284313949810337296470172923134742205330305232309895293810529919/11920928955078125000000000000000000000000000000000000000000000000000000000",
    "strict_bounds_verified": true,
    "positivity": {
      "method": "Exact rational Bernstein coefficients and midpoint subdivision",
      "nodes_visited": 51,
      "leaf_count": 26,
      "max_depth": 20,
      "leaves": [
        {
          "lo_t": "0",
          "hi_t": "1/16",
          "min_bernstein_coefficient": "154312959757/1280000000000",
          "depth": 4
        },
        {
          "lo_t": "1/16",
          "hi_t": "1/8",
          "min_bernstein_coefficient": "203020163837/4480000000000",
          "depth": 4
        },
        {
          "lo_t": "1/8",
          "hi_t": "1/4",
          "min_bernstein_coefficient": "401631529/35000000000",
          "depth": 3
        },
        {
          "lo_t": "1/4",
          "hi_t": "1/2",
          "min_bernstein_coefficient": "459161647/5000000000",
          "depth": 2
        },
        {
          "lo_t": "1/2",
          "hi_t": "5/8",
          "min_bernstein_coefficient": "68448011/2500000000",
          "depth": 3
        },
        {
          "lo_t": "5/8",
          "hi_t": "11/16",
          "min_bernstein_coefficient": "265090051/40000000000",
          "depth": 4
        },
        {
          "lo_t": "11/16",
          "hi_t": "3/4",
          "min_bernstein_coefficient": "664078584757/1280000000000",
          "depth": 4
        },
        {
          "lo_t": "3/4",
          "hi_t": "7/8",
          "min_bernstein_coefficient": "10459161647/5000000000",
          "depth": 3
        },
        {
          "lo_t": "7/8",
          "hi_t": "15/16",
          "min_bernstein_coefficient": "32359834757/1280000000000",
          "depth": 4
        },
        {
          "lo_t": "15/16",
          "hi_t": "241/256",
          "min_bernstein_coefficient": "4059897874663872697/5497558138880000000000",
          "depth": 8
        },
        {
          "lo_t": "241/256",
          "hi_t": "1929/2048",
          "min_bernstein_coefficient": "9726674005325852768837177/92233720368547758080000000000",
          "depth": 11
        },
        {
          "lo_t": "1929/2048",
          "hi_t": "3859/4096",
          "min_bernstein_coefficient": "74837698753516344144582937/23611832414348226068480000000000",
          "depth": 12
        },
        {
          "lo_t": "3859/4096",
          "hi_t": "30873/32768",
          "min_bernstein_coefficient": "203957493284580021000772548729017/396140812571321687967719751680000000000",
          "depth": 15
        },
        {
          "lo_t": "30873/32768",
          "hi_t": "61747/65536",
          "min_bernstein_coefficient": "3514036600258085378545525296893977/101412048018258352119736256430080000000000",
          "depth": 16
        },
        {
          "lo_t": "61747/65536",
          "hi_t": "246989/262144",
          "min_bernstein_coefficient": "19205584092875725734293694852565942297/6646139978924579364519035301401722880000000000",
          "depth": 18
        },
        {
          "lo_t": "246989/262144",
          "hi_t": "987957/1048576",
          "min_bernstein_coefficient": "204223978771430691256124249307555041641817/435561429658801233233119497512663310663680000000000",
          "depth": 20
        },
        {
          "lo_t": "987957/1048576",
          "hi_t": "493979/524288",
          "min_bernstein_coefficient": "3819432497677840652883744975752936660417/95279062737862769769744890080895099207680000000000",
          "depth": 20
        },
        {
          "lo_t": "493979/524288",
          "hi_t": "123495/131072",
          "min_bernstein_coefficient": "435479075506894049556317246566578493657/1701411834604692317316873037158841057280000000000",
          "depth": 19
        },
        {
          "lo_t": "123495/131072",
          "hi_t": "15437/16384",
          "min_bernstein_coefficient": "167560739664688446267450702889623737/25961484292674138142652481646100480000000000",
          "depth": 17
        },
        {
          "lo_t": "15437/16384",
          "hi_t": "7719/8192",
          "min_bernstein_coefficient": "185039957922822663484709624857/1547425049106725343623905280000000000",
          "depth": 14
        },
        {
          "lo_t": "7719/8192",
          "hi_t": "965/1024",
          "min_bernstein_coefficient": "36972924834040588592897997497/6044629098073145873530880000000000",
          "depth": 13
        },
        {
          "lo_t": "965/1024",
          "hi_t": "483/512",
          "min_bernstein_coefficient": "16331296096753758336217/360287970189639680000000000",
          "depth": 10
        },
        {
          "lo_t": "483/512",
          "hi_t": "121/128",
          "min_bernstein_coefficient": "2368671455381773676057/1407374883553280000000000",
          "depth": 9
        },
        {
          "lo_t": "121/128",
          "hi_t": "61/64",
          "min_bernstein_coefficient": "263498032139762137/21474836480000000000",
          "depth": 7
        },
        {
          "lo_t": "61/64",
          "hi_t": "31/32",
          "min_bernstein_coefficient": "13794466484150377/83886080000000000",
          "depth": 6
        },
        {
          "lo_t": "31/32",
          "hi_t": "1",
          "min_bernstein_coefficient": "377919674338417/327680000000000",
          "depth": 5
        }
      ]
    }
  },
  {
    "input": "certificate_N11.json",
    "A": [
      1,
      2,
      3,
      4,
      5,
      6,
      8,
      9,
      10,
      11,
      14
    ],
    "N": 11,
    "lambda_lower": "2627976599/1250000000",
    "lambda_upper": "21023812793/10000000000",
    "witness": "-33384681/80000000",
    "negative_witness": "-2302307031563563425719986224777270466604956812800543259533221247435152251513686494950107158888079/53687091200000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000",
    "strict_bounds_verified": true,
    "positivity": {
      "method": "Exact rational Bernstein coefficients and midpoint subdivision",
      "nodes_visited": 51,
      "leaf_count": 26,
      "max_depth": 19,
      "leaves": [
        {
          "lo_t": "0",
          "hi_t": "1/16",
          "min_bernstein_coefficient": "87743160059/130000000000",
          "depth": 4
        },
        {
          "lo_t": "1/16",
          "hi_t": "1/8",
          "min_bernstein_coefficient": "14999812578265643/246005760000000000",
          "depth": 4
        },
        {
          "lo_t": "1/8",
          "hi_t": "1/4",
          "min_bernstein_coefficient": "11023812793/10000000000",
          "depth": 3
        },
        {
          "lo_t": "1/4",
          "hi_t": "9/32",
          "min_bernstein_coefficient": "5755943518363851081/85899345920000000000",
          "depth": 5
        },
        {
          "lo_t": "9/32",
          "hi_t": "37/128",
          "min_bernstein_coefficient": "77660626534085981744718561/23058430092136939520000000000",
          "depth": 7
        },
        {
          "lo_t": "37/128",
          "hi_t": "149/512",
          "min_bernstein_coefficient": "433314295893931871255313226589441/6189700196426901374495621120000000000",
          "depth": 9
        },
        {
          "lo_t": "149/512",
          "hi_t": "1193/4096",
          "min_bernstein_coefficient": "129179719957894528396282419947854419909168489/27222589353675077077069968594541456916480000000000",
          "depth": 12
        },
        {
          "lo_t": "1193/4096",
          "hi_t": "4773/16384",
          "min_bernstein_coefficient": "2918680185431386278695187386649543230182926075936609/7307508186654514591018424163581415098279662714880000000000",
          "depth": 14
        },
        {
          "lo_t": "4773/16384",
          "hi_t": "19093/65536",
          "min_bernstein_coefficient": "118225664500473225146591978812779494857745615866689976899329/1961594292308337738698684194752395755031986076395010785280000000000",
          "depth": 16
        },
        {
          "lo_t": "19093/65536",
          "hi_t": "38187/131072",
          "min_bernstein_coefficient": "89109909027334249594015887906848767383454934956263940981496961/32138760885179805510839241846823252050444059875655856706027520000000000",
          "depth": 17
        },
        {
          "lo_t": "38187/131072",
          "hi_t": "152749/524288",
          "min_bernstein_coefficient": "616872385655908796399223957859420330880099624550593357164883282789841/8627182933488204734293444827846281815563886215212983193953155279749120000000000",
          "depth": 19
        },
        {
          "lo_t": "152749/524288",
          "hi_t": "76375/262144",
          "min_bernstein_coefficient": "8790651858217204520744317919766903104900564333164599784176126580441539/196268411736856657705175869833502911304078411396095367662434282614292480000000000",
          "depth": 19
        },
        {
          "lo_t": "76375/262144",
          "hi_t": "9547/32768",
          "min_bernstein_coefficient": "1073905693079440272394099305943658172280598936181478141740699724649/526561458342785933489590138418352161594475477002745556271554887680000000000",
          "depth": 18
        },
        {
          "lo_t": "9547/32768",
          "hi_t": "2387/8192",
          "min_bernstein_coefficient": "2392421811740078807671451419134405486938258775733292481/119726214130147567059245861496117904970213993920593920000000000",
          "depth": 15
        },
        {
          "lo_t": "2387/8192",
          "hi_t": "597/2048",
          "min_bernstein_coefficient": "372774063090775386024424369534345299320810664401/446014903970612462830714365452967230119608320000000000",
          "depth": 13
        },
        {
          "lo_t": "597/2048",
          "hi_t": "299/1024",
          "min_bernstein_coefficient": "26658512471482531776447045584099882510721/1661534994731144841129758825350430720000000000",
          "depth": 11
        },
        {
          "lo_t": "299/1024",
          "hi_t": "75/256",
          "min_bernstein_coefficient": "27139886592285331932785480393904291969/101412048018258352119736256430080000000000",
          "depth": 10
        },
        {
          "lo_t": "75/256",
          "hi_t": "19/64",
          "min_bernstein_coefficient": "635278798823190836855556794049/377789318629571617095680000000000",
          "depth": 8
        },
        {
          "lo_t": "19/64",
          "hi_t": "5/16",
          "min_bernstein_coefficient": "27083349835472955251729/1407374883553280000000000",
          "depth": 6
        },
        {
          "lo_t": "5/16",
          "hi_t": "3/8",
          "min_bernstein_coefficient": "1366572380757009/5242880000000000",
          "depth": 4
        },
        {
          "lo_t": "3/8",
          "hi_t": "1/2",
          "min_bernstein_coefficient": "5916689551/70000000000",
          "depth": 3
        },
        {
          "lo_t": "1/2",
          "hi_t": "3/4",
          "min_bernstein_coefficient": "1023812793/10000000000",
          "depth": 2
        },
        {
          "lo_t": "3/4",
          "hi_t": "7/8",
          "min_bernstein_coefficient": "666964163/910000000000",
          "depth": 3
        },
        {
          "lo_t": "7/8",
          "hi_t": "15/16",
          "min_bernstein_coefficient": "563943650001/320000000000",
          "depth": 4
        },
        {
          "lo_t": "15/16",
          "hi_t": "31/32",
          "min_bernstein_coefficient": "31185578337895101081/85899345920000000000",
          "depth": 5
        },
        {
          "lo_t": "31/32",
          "hi_t": "1",
          "min_bernstein_coefficient": "17055164964524437707/61069066240000000000",
          "depth": 5
        }
      ]
    }
  },
  {
    "input": "certificate_N16.json",
    "A": [
      1,
      2,
      3,
      4,
      5,
      6,
      7,
      8,
      10,
      11,
      13,
      14,
      15,
      16,
      17,
      21
    ],
    "N": 16,
    "lambda_lower": "2454832753/1000000000",
    "lambda_upper": "24548327531/10000000000",
    "witness": "4001706657/5000000000",
    "negative_witness": "-12709546584094564326076556890191119362943106843383396935260907297551725221974533393020514348648594893596400978045582917992897371134464175575468927440566801813970384975076874373817920901343/454747350886464118957519531250000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000",
    "strict_bounds_verified": true,
    "positivity": {
      "method": "Exact rational Bernstein coefficients and midpoint subdivision",
      "nodes_visited": 57,
      "leaf_count": 29,
      "max_depth": 19,
      "leaves": [
        {
          "lo_t": "0",
          "hi_t": "1/32",
          "min_bernstein_coefficient": "17014468261727288986266211/46795214878146560000000000",
          "depth": 5
        },
        {
          "lo_t": "1/32",
          "hi_t": "1/16",
          "min_bernstein_coefficient": "90384510041369330979217129/180143985094819840000000000",
          "depth": 5
        },
        {
          "lo_t": "1/16",
          "hi_t": "1/8",
          "min_bernstein_coefficient": "35139587537294339609/34225520640000000000",
          "depth": 4
        },
        {
          "lo_t": "1/8",
          "hi_t": "1/4",
          "min_bernstein_coefficient": "4548327531/10000000000",
          "depth": 3
        },
        {
          "lo_t": "1/4",
          "hi_t": "3/8",
          "min_bernstein_coefficient": "1583688455273/67830000000000",
          "depth": 3
        },
        {
          "lo_t": "3/8",
          "hi_t": "1/2",
          "min_bernstein_coefficient": "26986325174023/67830000000000",
          "depth": 3
        },
        {
          "lo_t": "1/2",
          "hi_t": "9/16",
          "min_bernstein_coefficient": "14548327531/10000000000",
          "depth": 4
        },
        {
          "lo_t": "9/16",
          "hi_t": "5/8",
          "min_bernstein_coefficient": "29734700833329859/802160640000000000",
          "depth": 4
        },
        {
          "lo_t": "5/8",
          "hi_t": "3/4",
          "min_bernstein_coefficient": "4548327531/10000000000",
          "depth": 3
        },
        {
          "lo_t": "3/4",
          "hi_t": "7/8",
          "min_bernstein_coefficient": "10463292717/70000000000",
          "depth": 3
        },
        {
          "lo_t": "7/8",
          "hi_t": "57/64",
          "min_bernstein_coefficient": "53058804530038269191950842157233/377789318629571617095680000000000",
          "depth": 6
        },
        {
          "lo_t": "57/64",
          "hi_t": "115/128",
          "min_bernstein_coefficient": "3595557529107566962972772190817297291/792281625142643375935439503360000000000",
          "depth": 7
        },
        {
          "lo_t": "115/128",
          "hi_t": "921/1024",
          "min_bernstein_coefficient": "6298649628625894360947120074677125678004989803222376753/7307508186654514591018424163581415098279662714880000000000",
          "depth": 10
        },
        {
          "lo_t": "921/1024",
          "hi_t": "1843/2048",
          "min_bernstein_coefficient": "1658428989101232411110798307251079337498813983519100444104331/15324955408658888583583470271503091836187391221836021760000000000",
          "depth": 11
        },
        {
          "lo_t": "1843/2048",
          "hi_t": "3687/4096",
          "min_bernstein_coefficient": "28224442262444134745272167814917680902218275901713674239354324687/32138760885179805510839241846823252050444059875655856706027520000000000",
          "depth": 12
        },
        {
          "lo_t": "3687/4096",
          "hi_t": "58993/65536",
          "min_bernstein_coefficient": "74363964416689249437564840622592636793304454443956655261434057076292864135243793029186217/621654045512233302694227810183526050125570188496684646800579971116449371265666719416320000000000",
          "depth": 16
        },
        {
          "lo_t": "58993/65536",
          "hi_t": "117987/131072",
          "min_bernstein_coefficient": "3367541967320407124834253726004426565423652246248462050696240078819862824918040445101618900859/1303703024854071095211805240582002023072939771946199200407129887586804031848535491957374320640000000000",
          "depth": 17
        },
        {
          "lo_t": "117987/131072",
          "hi_t": "471949/524288",
          "min_bernstein_coefficient": "1362184420956544015230895734271419932580929542631046268928168239891652412882035526665057891491333656017/113037117456786056251570915097438672161451796188561218714483824939266370998623747712191160988551421624320000000000",
          "depth": 19
        },
        {
          "lo_t": "471949/524288",
          "hi_t": "235975/262144",
          "min_bernstein_coefficient": "3661365623869375713327504362647455087237358499954955610693989144917328010189355469888782682671406001841461/5733746539975178779027052238255217351991412472920702809343972098467307190221212020175046382775314216386560000000000",
          "depth": 19
        },
        {
          "lo_t": "235975/262144",
          "hi_t": "29497/32768",
          "min_bernstein_coefficient": "26301101269728997447454357647061095206863088523793354236763251479294125538590346271822580853430112943/2734063405978764905465627783897026706691461788616515545532213258012441248999219904029391471278817280000000000",
          "depth": 18
        },
        {
          "lo_t": "29497/32768",
          "hi_t": "14749/16384",
          "min_bernstein_coefficient": "17891922380568578791645769588144094300832608722984835853250235229974154964868912721/296427748447529460284341721622241044104371160744039843941011415060257611878236160000000000",
          "depth": 15
        },
        {
          "lo_t": "14749/16384",
          "hi_t": "7375/8192",
          "min_bernstein_coefficient": "288253209011541489338296791507949590214531209174212971547133301303957931277573/141347765182270746366663800059433481266198711750049516649728496103409582080000000000",
          "depth": 14
        },
        {
          "lo_t": "7375/8192",
          "hi_t": "461/512",
          "min_bernstein_coefficient": "969474583318853860991439575904842074237880433950303712000038588372475799/67399866667876599486667537717549076684092861056351431202759025623040000000000",
          "depth": 13
        },
        {
          "lo_t": "461/512",
          "hi_t": "231/256",
          "min_bernstein_coefficient": "252951699655147382609633898030864196060708822389/3484491437270409865864955980101306485309440000000000",
          "depth": 9
        },
        {
          "lo_t": "231/256",
          "hi_t": "29/32",
          "min_bernstein_coefficient": "11685641985084778750232934560871006716774607/1661534994731144841129758825350430720000000000",
          "depth": 8
        },
        {
          "lo_t": "29/32",
          "hi_t": "15/16",
          "min_bernstein_coefficient": "9758970087067290783904629/180143985094819840000000000",
          "depth": 5
        },
        {
          "lo_t": "15/16",
          "hi_t": "31/32",
          "min_bernstein_coefficient": "160292958104194961727/85899345920000000000",
          "depth": 5
        },
        {
          "lo_t": "31/32",
          "hi_t": "63/64",
          "min_bernstein_coefficient": "118281802040759074392726213250983/377789318629571617095680000000000",
          "depth": 6
        },
        {
          "lo_t": "63/64",
          "hi_t": "1",
          "min_bernstein_coefficient": "16728875682426801968100222387/383346400281776619520000000000",
          "depth": 6
        }
      ]
    }
  }
]

==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: lower/lower_bound_audit.md
==============================================================================

# Chowla cosine problem: independently checked lower-bound work

Date: 2026-10-18 UTC. Status: no proof of the full conjecture.

## Exact problem and normalization

Let A be a nonempty finite set of distinct positive integers, N = |A|, and

f(x) = sum_{a in A} cos(a x),   K(A) = -min_{x in [0,2pi]} f(x).

The open target is an absolute constant c > 0 for which K(A) >= c sqrt(N) for every A. Constants and quantifiers matter; the frequencies have equal positive coefficients and zero phases.

Write E[g] = (2pi)^(-1) integral_0^(2pi) g(x) dx. Define

T(A) = #{(a,b) in A x A : a+b in A},

where ordered pairs and repeated summands a=b are counted.

## A rigorous special-case bound, rediscovered but already known

Put v = N/2 and m = 3T(A)/4. Orthogonality gives

E[f] = 0,   E[f^2] = v,   E[f^3] = m.

The third identity follows by writing each cosine as (exp(i a x)+exp(-i a x))/2. A zero-sum signed ordered triple must have two positive terms and one negative term or vice versa. There are 6T(A) such signed triples, and each contributes 1/8, yielding 3T(A)/4. This also counts a=b correctly.

Since f+K >= 0, for every real t,

0 <= E[(f+K)(f-t)^2] = m + K v - 2t v + K t^2.

The positive number K exists because f has zero mean and f(0)=N>0. Substituting t=v/K gives

0 <= m + Kv - v^2/K,

and therefore

K^2 + (m/v)K - v >= 0.

Taking the positive root yields

K(A) >= sqrt(N/2 + 9 T(A)^2/(16 N^2)) - 3 T(A)/(4N)
     = [sqrt(9 T(A)^2+8 N^3)-3T(A)]/(4N).

For stable numerical evaluation one can use

K_bound = 2 N^2 / [sqrt(9 T(A)^2+8N^3)+3T(A)].

This is mathematically valid, but **not a new theorem**: after the normalization S=A union (-A), F=2f, n=2N, L=2K, it is precisely the full-set case of Roth's lemma, reproduced as Lemma 4.1 in Bedert's paper. The source states

#{(b1,b2) in B^2 : b1-b2 in S} >= |B|^2/L - L|B|.

Take B=S; the left side is 6T(A). This gives the same quadratic inequality.

Primary reference:
https://arxiv.org/html/2509.05260v3#S4

The identical Roth bound is also explicitly identified in the discussion following Lemma 9.9 of
https://arxiv.org/html/2610.17160v1#S9.SS3

### Strictness for any fixed A

In fact the derived inequality is strict for every nonempty finite A. Equality would force the continuous nonnegative function (f+K)(f-v/K)^2 to have integral zero, hence to vanish identically. Thus f would only take the two values -K and v/K. A nonconstant continuous function on the connected circle cannot have a two-point image. Here f is nonconstant because E[f]=0 and f(0)=N>0.

This strictness supplies no uniform improvement of the exponent or constant as N varies.

### Consequences

1. If A is sum-free, meaning (A+A) intersects A in the empty set, then T=0 and K(A)>sqrt(N/2).
2. More generally, if T(A)<=C N^(3/2), then

   K(A) >= [(sqrt(9C^2+8)-3C)/4] sqrt(N).

3. A hypothetical counterexample family with K(A_N)/sqrt(N)->0 would necessarily satisfy T(A_N)/N^(3/2)->infinity. Indeed, from the exact rearrangement,

   T(A) >= N^2/(3K) - (2/3)KN,

   so for epsilon=K/sqrt(N),

   T(A)/N^(3/2) >= 1/(3epsilon) - 2epsilon/3.

No proof is supplied that excludes this high-triple regime.

## An explicit integral certificate that avoids an unknown K

Let b be the positive root just displayed and t=v/b. The nonnegative weight

w(x) = (f(x)-t)^2 / (v+t^2)

satisfies E[w]=1 and E[w f]=-b. The identity follows directly from b^2+(m/v)b-v=0. Therefore some x has f(x)<=-b.

This is a finite algebraic certificate of existence, not a numerical experiment. If M=max A, sample the uniform grid x_j=2pi j/L with L>3M. Every integral above equals the corresponding discrete average exactly, because the highest frequency is at most 3M. Consequently at least one of these grid points also has f(x_j)<=-b. Certified evaluation of the grid points still requires controlled arithmetic; the equality of quadrature itself is exact.

## A complementary fourth-moment special case

Let S=A union (-A), and let

E4(S) = #{(s1,s2,s3,s4) in S^4 : s1+s2=s3+s4}.

Then E[f^4]=E4(S)/16. Hölder interpolation gives

||f||_1 >= ||f||_2^3 / ||f||_4^2.

Since E[f]=0, E[f_-]=||f||_1/2<=K. Hence

K(A) >= N^(3/2) / sqrt(2 E4(S)).

Thus E4(S)<=C N^2 implies K(A)>=sqrt(N/(2C)). This is another familiar moment argument, not a claimed new result. It covers bounded additive energy, while the third-moment criterion covers bounded additive triple count.

## Why the elementary moment attempt does not solve the problem

For A={1,...,N}, T=N(N-1)/2. The third-moment bound tends to 2/3 as N tends to infinity, even though this particular Dirichlet sum has a negative minimum of order N. Therefore the global data N and T in this inequality do not exploit enough of the arithmetic structure to prove a uniform square-root bound.

One cannot apply the sum-free conclusion to a subset B of A and transfer it to f_A: the omitted cosine terms may be positive at the phase witnessing a negative value of f_B. A transfer argument needs additional control.

## Higher odd-moment extension (an elementary sufficient condition)

This extension was derived during the attempt, with no claim of novelty. Suppose there is no signed relation

epsilon_1 a_1 + ... + epsilon_(2r+1) a_(2r+1) = 0,

with every a_i in A and every epsilon_i in {-1,1}, allowing repetition. Then the odd moments of f up to order 2r+1 all vanish. A lower odd relation could be padded with cancelling pairs to obtain one of length 2r+1, so the single stated assumption suffices.

Let mu_j=E[f^j]. For 1<=j<=r, integrate the nonnegative expression

(f+K) f^(2j-2) (f-t)^2.

Because mu_(2j-1)=mu_(2j+1)=0, this gives

0 <= (K-2t) mu_(2j) + K t^2 mu_(2j-2).

Choose t=mu_(2j)/(K mu_(2j-2)). It follows that

K^2 >= mu_(2j)/mu_(2j-2).

Multiplying these r inequalities, with mu_0=1, gives K^(2r)>=mu_(2r). If r<=N, the zero-sum terms in the exponential expansion of f^(2r) that use r distinct frequencies, once with each sign, already give

mu_(2r) >= (2r)! binomial(N,r) / 4^r.

Therefore

K(A) >= [(2r)! binomial(N,r) / 4^r]^(1/(2r)).

This strengthens the scale to order sqrt(rN) when r is small compared with N. For r=2 one can retain the exact moment ratio: if mu_3=mu_5=0, then K>=sqrt(mu_4/mu_2). Since the trivial paired contributions imply mu_4 >= 3N^2/4-3N/8, one obtains K>=sqrt(3N/2-3/4).

These sufficient conditions do not address the difficult high-triple regime: an additive relation a+b=c already violates the assumption at length three. Thus this extension does not advance the general Chowla exponent.

## Equivalent positivity and spectral formulation

The original condition f>=-K is equivalent to

h(x)=2K+sum_{s in S} exp(i s x)>=0.

It implies that every finite matrix indexed by distinct integers t_i,

M_ij = 2K if i=j; 1 if |t_i-t_j| is in A; 0 otherwise,

is positive semidefinite: its quadratic form is the integral of h times the modulus squared of the corresponding exponential polynomial. Conversely, positive semidefiniteness of all such matrices implies nonnegativity of the continuous h, by testing with trigonometric polynomials approximating a delta mass at a point where h would be negative.

By Fejer-Riesz factorization, nonnegative h can also be written as |Q(exp(ix))|^2. The nonzero aperiodic autocorrelations of Q must all equal 1, the other nonzero-shift autocorrelations equal 0, and the zero-shift energy equals 2K. A bound N<=C K^2 for all such polynomials would prove the target. These reformulations are equivalent to the original difficulty and do not close it.

## Literature update to check before reporting

1. Bedert, *Polynomial bounds for the Chowla Cosine Problem*, arXiv:2509.05260v3 (July 2026): exponent 1/5-o(1).
2. Abhishek Shankar, *A Log-Free n^(1/5) Bound for Chowla's Cosine Problem*, arXiv:2609.05338 (September 4, 2026): abstract and later paper report a uniform c N^(1/5) lower bound. Direct abstract/HTML retrieval of the Shankar page intermittently failed in this agent's search, so cite the successfully retrieved full text of item 3 as secondary confirmation within a primary research source if needed.
3. Bryan Bu et al., *A half-constant upper bound for Chowla's cosine problem*, arXiv:2610.17160v1 (October 12, 2026): complete HTML retrieved. It states the still open sqrt(N) conjecture, cites Shankar's log-free bound, and proves K^3 ||f||_1^2 >= cN. Its bound for dense A subset [1,CN] is K>=cN^(1/4). None of these is a proof of the full square-root conjecture.

Latest lower-bound route remains limited by the boundary bound |B_t|=O(K^4) and the guaranteed existence of a shift with |B_t| of order N/K, giving K^5 of order at least N. A proof that replaced the fourth-power loss by a sufficiently stronger estimate would be substantive new mathematics; it has not been obtained here.


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: lower/product_audit.md
==============================================================================

# Independent audit: digit-product obstruction

**Verdict:** Sections 1–2 of counterexample/NOTES.md are correct as stated. The bound is uniform in the integer base for a **fixed nonempty seed set**. No claim of novelty or of a solution of Chowla's conjecture follows.

Let \(A\subset\mathbb Z_{>0}\) be finite and nonempty, \(N=|A|\), \(D=\max A\), \(q=2N+1\), and \(K=-\min f_A\). Choose an integer \(B\ge2D+1\), put \(S=\{0\}\cup A\cup(-A)\), and form \(T_m=\{\sum_{j=0}^{m-1}s_jB^j:s_j\in S\}\), \(C_m=T_m\cap\mathbb Z_{>0}\).

## Checked details

1. **Digit uniqueness.** At the largest differing index \(h\), the leading difference has magnitude at least \(B^h\); all lower differences together have magnitude at most \(2D(B^h-1)/(B-1)\le B^h-1\). Cancellation is impossible, including at \(B=2D+1\). Only the zero string represents zero. Symmetry gives \(|C_m|=(q^m-1)/2\), and expansion gives the exact coefficient-one identity

   \[
   1+2f_{C_m}(x)=\prod_{j=0}^{m-1}(1+2f_A(B^jx)).
   \]

2. **Strict seed negativity.** The nonnegative continuous function \(Q=K+f_A\) has mean \(K\) and Fourier coefficient \(1/2\) at every \(a\in A\), so \(K\ge1/2\). Equality in the integral triangle inequality would make \(e^{iax}\) constant almost everywhere where \(Q>0\). But \(Q(0)=K+N>0\), so this set contains an open interval, impossible for \(a>0\). Hence \(2K-1>0\).

3. **Positivity of the first factor.** Evenness and periodicity permit a minimizer \(\theta_0\in[0,\pi]\). Put \(P(t)=1+2f_A(t)\). For every \(r\ge1\) and \(a\in A\),

   \[
   0\le a\theta_0/B^r\le D\pi/B\le D\pi/(2D+1)<\pi/2.
   \]

   Therefore every \(P(\theta_0/B^r)>1\), while \(P(\theta_0)=-(2K-1)<0\).

4. **Uniform product constant.** Put \(p_r=P(\theta_0/B^r)/q\in(0,1]\). Then \(p_1\ge1/q\); for \(r\ge2\), using \(1-\cos u\le u^2/2\), \(N/q<1/2\), and \(D/B<1/2\),

   \[
   0\le1-p_r\le\frac{\pi^2ND^2}{qB^{2r}}\le\frac{\pi^2}{8B^{2r-2}}.
   \]

   Since \(B\ge3\), the sum of these deficits for \(r\ge2\) is at most \(\pi^2/[8(B^2-1)]\le\pi^2/64\). The inequality \(\prod(1-\delta_r)\ge1-\sum\delta_r\) applies because all deficits belong to \([0,1]\). Thus, with \(c_0=1-\pi^2/64>0\),

   \[
   \prod_{r=1}^{m-1}P(\theta_0/B^r)\ge c_0q^{m-2}\qquad(m\ge2).
   \]

   For \(m=2\), the product over \(r\ge2\) is empty and equals 1, so the endpoint is covered.

5. **Conclusion and quantifiers.** Evaluate the identity at the single phase \(x=\theta_0/B^{m-1}\). It gives

   \[
   K(C_m)\ge\frac{(2K-1)c_0q^{m-2}+1}{2},\qquad
   \frac{K(C_m)}{\sqrt{|C_m|}}\ge\frac{(2K-1)c_0}{\sqrt2}\,q^{m/2-2}\longrightarrow\infty.
   \]

   The seed \(A\), hence \(q\) and \(K>1/2\), is fixed. The bound is independent of \(B\), so it holds for **any sequence \(B_m\ge2D+1\)**, using one such base throughout each \(m\)-factor construction. There is no assumption of independently assignable phases. Arbitrarily changing seeds are outside the asserted conclusion.

The weighted alternative is also correct: a nonzero frequency with \(r\) nonzero digits in \(\prod_j(K+f_A(B^jx))\) has cosine coefficient \(2^{1-r}K^{m-r}\). For \(m\ge2\), these coefficients can all be equal only when \(K=1/2\), already excluded. Replacing them by 1 invalidates the nonnegative product identity.


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: requirements.txt
==============================================================================

# Exact verification was run with this version. SciPy is not needed here.
numpy==2.3.5


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: run_verification.py
==============================================================================

"""Reproduce all certified finite conclusions, without floating-point search.

Usage: python run_verification.py
Tested with Python 3.12.14 and NumPy 2.3.5. SciPy is for optional searches.
"""
from pathlib import Path
from fractions import Fraction
import hashlib
import json
import platform
import runpy
import sys
import time

ROOT = Path(__file__).resolve().parent
sys.path.insert(0, str(ROOT/'compute'))
sys.path.insert(0, str(ROOT))
import certify
from verify_bernstein import verify_certificate


def verify_saved_sturm(path):
    data = json.loads(path.read_text())
    A = data['A']
    assert A and len(A) == len(set(A)) == data['N']
    assert all(type(a) is int and a > 0 for a in A)
    lo, hi = Fraction(data['lambda_lower']), Fraction(data['lambda_upper'])
    x = Fraction(data['rational_x_witness'])
    assert 0 < lo < hi and -1 <= x <= 1
    p = certify.chebyshev_sum(A)
    assert p == data['chebyshev_polynomial_ascending']
    assert certify.val(p, x) + lo < 0
    q = certify.primitive(certify.add(p, [hi]))
    assert q == data['positive_upper_polynomial_ascending']
    sequence = certify.sturm(q)
    assert sequence == data['sturm_sequence_ascending']
    left = certify.signs_at(sequence, Fraction(-1))
    right = certify.signs_at(sequence, Fraction(1))
    assert left == data['sturm_signs_at_minus_1']
    assert right == data['sturm_signs_at_plus_1']
    assert certify.val(q, Fraction(-1)) > 0 and certify.val(q, Fraction(1)) > 0
    assert certify.variations(left) - certify.variations(right) == 0
    return {'file': path.name, 'exact_sturm_verified': True,
            'lambda_lower': str(lo), 'lambda_upper': str(hi),
            'sha256_input': hashlib.sha256(path.read_bytes()).hexdigest()}


if __name__ == '__main__':
    import numpy
    started = time.time()
    names = ['certificate_N6.json', 'certificate_N11.json', 'certificate_N16.json']
    sturm = [verify_saved_sturm(ROOT/'compute'/name) for name in names]
    bernstein = [verify_certificate(ROOT/'compute'/name) for name in names]
    for item in sturm:
        print('Exact Sturm certificate passed:', item['file'], flush=True)
    for item in bernstein:
        print('Independent Bernstein certificate passed:', item['input'], flush=True)
    runpy.run_path(str(ROOT/'compute'/'exact_grid.py'), run_name='__main__')
    finite = json.loads((ROOT/'compute'/'exact_finite_M22_certificate.json').read_text())
    audit_path = ROOT/'counterexample'/'redteam_finite_check.py'
    runpy.run_path(str(audit_path), run_name='__main__')
    audit = json.loads(audit_path.with_suffix('.json').read_text())
    assert audit['nonempty_subsets_checked'] == finite['nonempty_subsets_checked']
    assert audit['winner'] == finite['winning_set']
    result = {'python': sys.version, 'platform': platform.platform(),
              'numpy': numpy.__version__, 'sturm': sturm,
              'bernstein': [{'input': x['input'], 'verified': x['strict_bounds_verified'],
                              'leaf_count': x['positivity']['leaf_count'],
                              'max_depth': x['positivity']['max_depth']} for x in bernstein],
              'finite_universe_M': finite['M'],
              'finite_subsets_checked': finite['nonempty_subsets_checked'],
              'winner': finite['winning_set'],
              'independent_finite_checker': {
                  'verified': True,
                  'nonempty_subsets_checked': audit['nonempty_subsets_checked'],
                  'coarse_survivors': audit['coarse_survivors'],
                  'method': audit['enumeration']},
              'elapsed_seconds': time.time()-started,
              'scope': 'Finite computer-assisted result only. The general conjecture remains unresolved.'}
    (ROOT/'verification_receipt.json').write_text(json.dumps(result, indent=2))
    print('All included exact checks passed.', flush=True)


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: verification_receipt.json
==============================================================================

{
  "python": "3.12.14 (main, Aug 25 2026, 14:00:49) [Clang 22.1.3 ]",
  "platform": "Linux-6.18.55-x86_64-with-glibc2.39",
  "numpy": "2.3.5",
  "sturm": [
    {
      "file": "certificate_N6.json",
      "exact_sturm_verified": true,
      "lambda_lower": "15918323293/10000000000",
      "lambda_upper": "7959161647/5000000000",
      "sha256_input": "3dc3ad607d7e5dcc2a12c1b4ae897331f89bdccdd3e13e59f409677326b5bdd6"
    },
    {
      "file": "certificate_N11.json",
      "exact_sturm_verified": true,
      "lambda_lower": "2627976599/1250000000",
      "lambda_upper": "21023812793/10000000000",
      "sha256_input": "4ad82e8484c68b2cf90596980b1bf55f4d494e258e01c89e93f11a3e3235c0a7"
    },
    {
      "file": "certificate_N16.json",
      "exact_sturm_verified": true,
      "lambda_lower": "2454832753/1000000000",
      "lambda_upper": "24548327531/10000000000",
      "sha256_input": "fcc9bd052865949af1f2fc19f411a9e5c85cdd7d37386db1047de7e4d3d42242"
    }
  ],
  "bernstein": [
    {
      "input": "certificate_N6.json",
      "verified": true,
      "leaf_count": 26,
      "max_depth": 20
    },
    {
      "input": "certificate_N11.json",
      "verified": true,
      "leaf_count": 26,
      "max_depth": 19
    },
    {
      "input": "certificate_N16.json",
      "verified": true,
      "leaf_count": 29,
      "max_depth": 19
    }
  ],
  "finite_universe_M": 22,
  "finite_subsets_checked": 4194303,
  "winner": [
    1,
    2,
    3,
    4,
    5,
    6,
    7,
    8,
    10,
    11,
    13,
    14,
    15,
    16,
    17,
    21
  ],
  "independent_finite_checker": {
    "verified": true,
    "nonempty_subsets_checked": 4194303,
    "coarse_survivors": 1,
    "method": "11+11 direct subset-sum table, no Gray-code"
  },
  "elapsed_seconds": 14.919793367385864,
  "scope": "Finite computer-assisted result only. The general conjecture remains unresolved."
}

==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: verify_bernstein.py
==============================================================================

"""Independent exact verification of finite cosine-sum certificates.

Uses the binomial identity for cos(n theta), rational Bernstein coefficients,
and de Casteljau subdivision.  Does not use the Sturm implementation or any
floating-point trigonometry to prove positivity.
"""
from fractions import Fraction
from math import comb
from pathlib import Path
import json

ROOT = Path(__file__).resolve().parent


def cosine_poly(frequencies):
    """Real part of (x + i sqrt(1-x*x))**n, expanded with exact integers."""
    degree = max(frequencies)
    result = [0] * (degree + 1)
    for n in frequencies:
        for j in range(n // 2 + 1):
            for ell in range(j + 1):
                power = n - 2 * j + 2 * ell
                result[power] += comb(n, 2 * j) * comb(j, ell) * (-1) ** (j - ell)
    return result


def evaluate(coefficients, x):
    total = Fraction(0)
    for coefficient in reversed(coefficients):
        total = total * x + coefficient
    return total


def bernstein_on_unit_interval(coefficients):
    """Convert P(2*t-1), for 0 <= t <= 1, to Bernstein basis of same degree."""
    n = len(coefficients) - 1
    power = [sum(Fraction(coefficients[i]) * comb(i, j) * 2 ** j * (-1) ** (i-j)
                 for i in range(j, n+1)) for j in range(n+1)]
    return [sum(power[j] * Fraction(comb(k, j), comb(n, j))
                for j in range(k+1)) for k in range(n+1)]


def bisect_coefficients(coefficients):
    levels = [list(coefficients)]
    while len(levels[-1]) > 1:
        prev = levels[-1]
        levels.append([(a+b)/2 for a, b in zip(prev, prev[1:])])
    left = [row[0] for row in levels]
    right = [row[-1] for row in reversed(levels)]
    return left, right


def prove_positive(coefficients, max_depth=80):
    initial = bernstein_on_unit_interval(coefficients)
    stack = [(initial, Fraction(0), Fraction(1), 0)]
    leaves = []
    visited = 0
    while stack:
        values, lo, hi, depth = stack.pop()
        visited += 1
        minimum = min(values)
        if minimum > 0:
            leaves.append({'lo_t': str(lo), 'hi_t': str(hi),
                           'min_bernstein_coefficient': str(minimum), 'depth': depth})
            continue
        if depth >= max_depth:
            raise AssertionError('Positivity was not certified at depth limit')
        left, right = bisect_coefficients(values)
        mid = (lo+hi)/2
        stack.append((right, mid, hi, depth+1))
        stack.append((left, lo, mid, depth+1))
    ordered = sorted(leaves, key=lambda row: Fraction(row['lo_t']))
    assert Fraction(ordered[0]['lo_t']) == 0
    assert Fraction(ordered[-1]['hi_t']) == 1
    assert all(Fraction(a['hi_t']) == Fraction(b['lo_t'])
               for a, b in zip(ordered, ordered[1:]))
    return {'method': 'Exact rational Bernstein coefficients and midpoint subdivision',
            'nodes_visited': visited, 'leaf_count': len(ordered),
            'max_depth': max(row['depth'] for row in ordered), 'leaves': ordered}


def verify_certificate(path):
    supplied = json.loads(path.read_text())
    frequencies = supplied['A']
    assert frequencies and len(set(frequencies)) == len(frequencies)
    assert all(isinstance(x, int) and x > 0 for x in frequencies)
    p = cosine_poly(frequencies)
    assert p == supplied['chebyshev_polynomial_ascending']
    lower, upper = map(Fraction, [supplied['lambda_lower'], supplied['lambda_upper']])
    witness = Fraction(supplied['rational_x_witness'])
    assert -1 <= witness <= 1 and 0 < lower < upper
    negative_witness = evaluate(p, witness) + lower
    assert negative_witness < 0
    q = list(map(Fraction, p))
    q[0] += upper
    positivity = prove_positive(q)
    return {'input': path.name, 'A': frequencies, 'N': len(frequencies),
            'lambda_lower': str(lower), 'lambda_upper': str(upper),
            'witness': str(witness), 'negative_witness': str(negative_witness),
            'strict_bounds_verified': True, 'positivity': positivity}


if __name__ == '__main__':
    results = [verify_certificate(ROOT/'compute'/name) for name in
               ['certificate_N6.json', 'certificate_N11.json', 'certificate_N16.json']]
    (ROOT/'independent_bernstein_certificates.json').write_text(json.dumps(results, indent=2))
    for item in results:
        print(json.dumps({key: item[key] for key in ['input','N','lambda_lower','lambda_upper',
                                                   'strict_bounds_verified']} |
                         {key: item['positivity'][key] for key in ['leaf_count','max_depth']}))


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: general_moments/moment_obstructions.md
==============================================================================

# General moment/SOS analysis of Chowla's cosine problem

Working mathematical notes, 18 October 2026 UTC. This is **not a proof or a counterexample to Chowla's conjecture**. The results below identify rigorous limitations of proposed general proof shortcuts. No novelty claim is made.

Let A be a nonempty finite subset of the positive integers, N=|A|,

    f_A(theta) = sum_{a in A} cos(a theta),
    K(A) = -min_theta f_A(theta),
    m_r = (1/(2pi)) integral_0^{2pi} f_A(theta)^r dtheta.

## 1. Exact identities and the quadratic moment bound

For S=A union (-A), Fourier orthogonality gives

    m_r = 2^{-r} #{(s_1,...,s_r) in S^r : s_1+...+s_r=0}.

In particular m_0=1, m_1=0, m_2=N/2, and all m_r>=0. With normalized convolution on the circle,

    f_A * f_A = f_A/2.

For every real polynomial p and every K>=K(A),

    E[(f_A+K) p(f_A)^2] >= 0.

Writing H_d=(m_{i+j}) and J_d=(m_{i+j+1}), 0<=i,j<=d, gives

    J_d + K H_d positive semidefinite.

For d=1, optimizing p(x)=x-c gives the exact lower bound

    K(A) >= [sqrt(m_3^2+4m_2^3)-m_3]/(2m_2).

It implies a square-root bound when m_3=O(N^{3/2}), but not uniformly when m_3 is of order N^2. This is closely related to Roth's weighted Cauchy-Schwarz argument, reproduced in Bedert, Lemma 4.1, rather than a new solution:

https://arxiv.org/html/2509.05260v3

## 2. Why nonnegative Fourier coefficients and convolution idempotence alone cannot work

On G=Z/(2N+1), use normalized counting measure and define

    F_N(j)=sum_{a=1}^N cos(2pi a j/(2N+1)).

The complete geometric sum gives exactly

    F_N(0)=N,
    F_N(j)=-1/2 for j!=0.

Nevertheless:

- E F_N=0 and E F_N^2=N/2;
- the nonzero Fourier coefficients equal 1/2;
- F_N*F_N=F_N/2;
- every moment is a nonnegative exact signed-relation count in G;
- F_N+1/2 is nonnegative;
- every positive-polynomial/SOS inequality and every Laplace-transform inequality implied by support in [-1/2,N] is satisfied, at every order.

Explicitly,

    E F_N^r = [N^r + 2N(-1/2)^r]/(2N+1).

Therefore the group-independent package of these identities cannot imply K>=c sqrt(N), even if all moments and all positivity constraints are used. A successful argument must use a property distinguishing the torsion-free integer frequency group from finite cyclic groups. This finite-group example is **not** a counterexample on the continuous circle: its zero-sum relations are modulo 2N+1, and negative excursions between the grid points have been discarded.

## 3. A stronger obstruction on actual integer-frequency cosine sums

### Claim: bounded-degree whole-sum moment tests are insufficient

For each fixed positive integer d there is a finite constant L_d and a sequence of genuine sets A_M subset {1,...,M-1}, with |A_M|~M/2, such that

    E[(f_{A_M}+L_d) p(f_{A_M})^2] >= 0

for every polynomial p of degree at most d, once M is sufficiently large. Coefficients of p may depend arbitrarily on A_M and M.

Thus no method consisting solely of these bounded-degree whole-sum polynomial tests can obtain a lower bound growing with N for all sets A. In particular it cannot prove the square-root conjecture. The degree must grow, or additional tests must use the frequencies/positions rather than just a fixed number of moments of the entire sum.

The argument was independently checked by the root/chowla_lower_bound agent, including the rescaling, the variance constant, strict positive definiteness, and the scope of the conclusion. This remains working research, without an external novelty or publication review.

### Step 1: a probabilistic existence construction

Independently choose X_a in {0,1}, 1<=a<M, with

    P(X_a=1)=1-a/M,

and put A_M={a:X_a=1}. Let

    F_M(theta) = (1/M) |sum_{j=0}^{M-1} exp(ijtheta)|^2

be the Fejer kernel. Its Fourier expansion gives

    g_M(theta)=E f_{A_M}(theta)=(F_M(theta)-1)/2.

A Hoeffding bound on a grid of O(M^3) points, together with the deterministic derivative bound

    |(f_{A_M}-g_M)'| <= sum_{a<M} a <= M^2/2,

shows that realizations exist satisfying

    ||f_{A_M}-g_M||_infinity = O(sqrt(M log M)).

For example, at each fixed grid point the summands have range length at most one, so

    P(|f-g|>t) <= 2 exp(-2t^2/(M-1)).

Taking t=2sqrt(M log M) makes the union-bound probability tend to zero. Grid interpolation contributes O(1/M). Evaluating at theta=0 also gives

    N_M/M -> 1/2.

These are actual sets with coefficients exactly zero or one. No repeated frequencies or weights occur in f_{A_M}.

### Step 2: moment asymptotics

Put e_M=f_{A_M}-g_M. Orthogonality gives the deterministic bound

    ||e_M||_2^2 = (1/2) sum_{a<M} (X_a-(1-a/M))^2 <= M/2.

For the selected realizations,

    m_1=0,
    m_2/M=N_M/(2M) -> 1/4.

For every fixed integer r>=3,

    m_r / M^{r-1} -> c_r,

where

    psi(u) = (1/2) [sin(u/2)/(u/2)]^2,
    c_r = (1/(2pi)) integral_R psi(u)^r du > 0.

To justify the perturbation step, use ||g_M||_1=O(1) and, for s>=1,

    integral |g_M|^s = O(M^{s-1}).

In the binomial expansion of (g_M+e_M)^r, every mixed term is o(M^{r-1}) by the uniform error bound. The pure error term satisfies

    integral |e_M|^r <= ||e_M||_infinity^{r-2} ||e_M||_2^2
                        = O(M^{r/2} (log M)^{(r-2)/2})
                        = o(M^{r-1})

for r>=3. The Fejer-kernel limit follows by changing variables u=Mtheta, since

    g_M(u/M)/M -> psi(u),

and F_M(u/M)/M is bounded by min(1,pi^2/u^2). The subtracted constant contributes negligibly to the moments of order at least two.

**The variance constant is 1/4 for the actual random set, not the Fejer-mean value c_2=1/6.** Ignoring this distinction would give a wrong matrix limit.

For reference,

    c_r = [sum_{k=0}^{r-1} (-1)^k binom(2r,k) (r-k)^{2r-1}]
          / [2^r (2r-1)!],

so c_2=1/6 and c_3=11/160. These evaluations are optional; the positive integral representation is sufficient for the proof.

### Step 3: the limiting moment matrix is positive for a constant shift

Set v(y)=(1,y,...,y^d)^T and consider

    Q_{M,d}(L) = E[(f_{A_M}+L) v(f_{A_M}/M) v(f_{A_M}/M)^T].

This is a congruence transformation of J_d+L H_d by diag(1,M^{-1},...,M^{-d}). Its entries are

    Q_{ij} = m_{i+j+1}/M^{i+j} + L m_{i+j}/M^{i+j}.

For fixed d and fixed L, the moment limits give

    Q_{M,d}(L) -> [ L   b^T ]
                 [ b    C  ],

where indices in b and C range from 1 to d and

    b_1=1/4,
    b_j=c_{j+1} for j>=2,
    C_{ij}=c_{i+j+1}.

For any nonzero real vector alpha,

    alpha^T C alpha
      = (1/(2pi)) integral_R psi(u) [sum_{i=1}^d alpha_i psi(u)^i]^2 du
      >0.

The strict inequality holds because psi takes a nontrivial interval of positive values, and a nonzero polynomial cannot vanish throughout that interval. Hence C is positive definite.

Choose, for example,

    L_d = b^T C^{-1} b + 1.

The limiting block matrix is strictly positive definite by its Schur complement. Entrywise convergence in this fixed dimension then makes Q_{M,d}(L_d) positive definite for all sufficiently large M. Congruence preserves positivity, proving the claim for every polynomial of degree at most d, including adaptively chosen coefficients.

For d=1, b^T C^{-1} b=(1/4)^2/(11/160)=10/11. This illustrates the bounded nature of the moment estimate; it is not a claimed value of the actual minimum.

### Step 4: a distribution indistinguishable by any fixed number of moments

The obstruction can be stated beyond a single SOS test. Let V_d be the polynomials in f of degree at most d with their actual L2 inner product, and let T be the orthogonal compression to V_d of multiplication by f. It is self-adjoint. Its Rayleigh quotients are

    <p,Tp>/<p,p> = E[f p(f)^2]/E[p(f)^2].

The proved positivity gives every eigenvalue of T at least -L_d. Since f<=N_M, every eigenvalue is also at most N_M.

Take the spectral measure of T at the constant vector 1. It is a positive probability measure nu_M supported in [-L_d,N_M]. It has exactly the same moments as f through order 2d+1. Indeed T^j1=f^j for j<=d. For i,j<=d,

    <T^i1,T T^j1> = E[f^{i+j+1}],

because orthogonal projection may be removed against f^i in V_d. This covers every order 1 through 2d+1; order zero is one.

Therefore the first 2d+1 exact moments of a genuine large cosine sum can also belong to a probability distribution whose negative support stays bounded. Merely knowing those finitely many moments, their positivity constraints, and the upper bound f<=N cannot force a growing negative minimum. This is the Gaussian-quadrature viewpoint, derived here directly by finite-dimensional spectral theory.

### What this result does not say

- It does not obstruct moment order growing with N.
- It does not obstruct tests involving several shifted sums, individual frequencies, Fourier coefficients of nonlinear expressions, or arithmetic order.
- It does not say the true minimum of the constructed f_A stays bounded. Indeed known general theorems imply it diverges; Hoeffding only gives the upper estimate K(A_M)=O(sqrt(M log M)).
- It does not refute Chowla's conjecture.

## 4. Context from current primary literature

Bedert's argument uses frequency-sensitive auxiliary functions and asymmetric additive boundaries, not only scalar moments of the whole sum. See especially Lemma 4.1, the auxiliary functions in Sections 5-6, and Proposition 7.3:

https://arxiv.org/html/2509.05260v3

Shankar's September 2026 preprint combines the Roth-type count with an exact boundary-averaging identity and the asymmetric-boundary estimate to obtain a uniform n^{1/5} lower bound:

https://arxiv.org/html/2609.05338v1

These papers supply relevant primary-source context, not a square-root proof. Their frequency-sensitive structure is precisely the information discarded by the scalar fixed-degree moment relaxation above.


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: general_moments/probability_convolution_audit.md
==============================================================================

# Probability convolution formulation: exact equivalence and its limitation

This note proves a reformulation of the full Chowla cosine conjecture. It does not prove the conjecture or improve its known universal exponent.

Let \(\mathbb T=\mathbb R/(2\pi\mathbb Z)\), with normalized Haar measure \(m\). Convolution and Fourier coefficients use this normalization. The constant function 1 is the density of \(m\).

## 1. From a nonnegative cosine polynomial to a probability density

Let \(A\subset\mathbb Z_{>0}\) be finite and nonempty, let \(N=|A|\), and write

\[
f_A(\theta)=\sum_{a\in A}\cos(a\theta).
\]

If \(f_A\ge-K\), where \(K>0\), put

\[
\rho=\frac1{2K},\qquad
u=\frac{K+f_A}{K}=1+2\rho f_A.
\]

Then \(u\) is a nonnegative probability density. Its Fourier coefficients are

\[
\widehat u(0)=1,\qquad
\widehat u(n)=\begin{cases}\rho,&n\in A\cup(-A),\\0,&\text{otherwise}.
\end{cases}
\]

It follows, exactly, that

\[
\tag{P}
u*u=\rho u+(1-\rho)1.
\]

## 2. Converse, requiring only an integrable density

Suppose \(u\in L^1(\mathbb T)\), \(u\ge0\), \(\int u\,dm=1\), and (P) holds for a fixed \(\rho>0\). Taking Fourier coefficients gives

\[
\widehat u(n)^2=\rho\widehat u(n),\qquad n\ne0.
\]

Thus \(\widehat u(n)\in\{0,\rho\}\) for every nonzero integer \(n\). Since \(u\) is real, these coefficients are symmetric under \(n\mapsto-n\). The Riemann–Lebesgue lemma gives \(\widehat u(n)\to0\) as \(|n|\to\infty\). Because \(\rho\) is fixed and positive, the nonzero support is therefore finite.

Consequently there is a finite \(A\subset\mathbb Z_{>0}\) such that, by uniqueness of Fourier coefficients in \(L^1\),

\[
u(\theta)=1+2\rho\sum_{a\in A}\cos(a\theta)
\quad\text{almost everywhere}.
\]

The right side is continuous. Since it is nonnegative almost everywhere, it is nonnegative everywhere. This is exactly the cosine condition

\[
f_A(\theta)\ge-\frac1{2\rho}.
\]

Thus the probability formulation introduces no additional solutions among integrable densities: it is precisely the original class of nonnegative cosine polynomials, including the empty set for the uniform density.

If \(A\ne\varnothing\), necessarily \(0<\rho<1\). Indeed, Fourier coefficients of a probability density have absolute value at most 1. Equality \(\widehat u(a)=1\) for \(a\ne0\) would force the density to be supported on the finite set \(e^{ia\theta}=1\), which is incompatible with an absolutely continuous probability measure.

## 3. The proposed dimension bound is equivalent to Chowla

Consider the assertion that an absolute constant \(C>0\) exists such that every nonuniform density in Section 2 has

\[
\tag{D}
|A|\le C\rho^{-2}.
\]

If Chowla's bound \(K_A=-\min f_A\ge c\sqrt{|A|}\) holds for every nonempty \(A\), then any density above satisfies \(K_A\le1/(2\rho)\), whence

\[
|A|\le\frac1{4c^2}\rho^{-2}.
\]

Conversely, choose \(K=K_A\) and \(\rho=1/(2K_A)\) in Section 1. Assertion (D) gives

\[
|A|\le4CK_A^2,\qquad
K_A\ge\frac1{2\sqrt C}\sqrt{|A|}.
\]

Therefore (D) is exactly equivalent to the full conjecture, with a change of constants. No proof of (D) is supplied by the convolution identity alone.

In operator language, convolution by \(u\) on \(L^2(\mathbb T)\) has eigenvalue 1 on constants, eigenvalue \(\rho\) on a space of dimension \(2|A|\), and eigenvalue 0 on its orthogonal complement. The multiplicity bound \(\dim E_\rho\le C'\rho^{-2}\) is the same open assertion.

Some exact bookkeeping identities are

\[
u^{*j}=1+\rho^{j-1}(u-1)\quad(j\ge1),\qquad
u(0)=1+2|A|\rho,\qquad
\|u\|_2^2=1+2|A|\rho^2.
\]

Thus the desired estimate also asks for an absolute bound on \(\|u\|_2\) for this special class. That bound is not a general property of probability densities.

## 4. Connectedness does not suffice for general probability measures

On the very same connected circle, let

\[
\mu=(1-\rho)m+\rho\delta_0,\qquad 0<\rho<1.
\]

Direct convolution gives

\[
\mu*\mu=(1-\rho^2)m+\rho^2\delta_0
=\rho\mu+(1-\rho)m.
\]

Here \(\widehat\mu(n)=\rho\) for every \(n\ne0\), so the nontrivial eigenspace has infinite dimension. This disproves any argument that tries to obtain the finite multiplicity bound solely from connectedness, positivity and the convolution equation for probability measures. The example is singular and is not a counterexample to the density version or to Chowla.

Absolute continuity removes this example through the Riemann–Lebesgue lemma, but that lemma gives only finiteness of the spectral support, not the quantitative bound (D).

## 5. Smoothing loses the exact spectral condition

Let \(F_M\) be the Fejér kernel normalized to have integral 1. The smooth positive densities

\[
u_M=1-\rho+\rho F_M
\]

have coefficients \(\widehat u_M(n)=\rho(1-|n|/M)\) for \(0<|n|<M\), and zero otherwise. They satisfy

\[
\|u_M\|_2^2
=1+2\rho^2\sum_{n=1}^{M-1}(1-n/M)^2
\longrightarrow\infty
\]

for fixed positive \(\rho\). Their error in the convolution equation is

\[
u_M*u_M-\rho u_M-(1-\rho)1
=\rho^2(F_M*F_M-F_M),
\]

whose \(L^1\)-norm is at most \(2\rho^2\). Positivity and an approximate convolution identity thus allow unbounded \(L^2\)-norm. The missing ingredient is the exact restriction of all nonzero Fourier coefficients to the single value \(\rho\).

## 6. Why the standard idempotent theorem does not close the gap

The affine transform

\[
\nu=1+\frac{u-1}{\rho}=1+2f_A
\]

is an idempotent signed density: \(\nu*\nu=\nu\). Its Fourier transform is the indicator of \(\{0\}\cup A\cup(-A)\). The qualitative idempotent theorem describes such spectral sets through the coset ring; every finite set already belongs to that ring. This classification therefore imposes no useful cardinality estimate here.

For context, Green and Sanders' quantitative idempotent theorem bounds coset complexity by a function of the total variation norm; it is not the root-scale cardinality bound (D). The sharper classical Littlewood L¹ lower bound implies an exponential-in-\(1/\rho\) cardinality bound from \(\|\nu\|_1\le2/\rho-1\), which is also much weaker than (D). These are existing results, not new improvements obtained in this work.

Primary references inspected:

- B. Green and T. Sanders, *A quantitative version of the idempotent theorem in harmonic analysis*, Annals of Mathematics 168 (2008), 1025–1054: <https://annals.math.princeton.edu/2008/168-3/p09> and <https://arxiv.org/abs/math/0611286>.
- O. C. McGehee, L. Pigno and B. Smith, *Hardy's inequality and the L¹-norm of exponential sums*, Annals of Mathematics 113 (1981), 613–618: <https://annals.math.princeton.edu/1981/113-3/p09>.

The exact unresolved step is (D). Restating it as a Markov-operator multiplicity bound or a uniform \(L^2\)-bound does not establish it.


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: general_moments/product_route_audit.md
==============================================================================

# Whole-sum analytic products: verified identities and an unclosed gap

This is an intermediate mathematical audit, not a proof or disproof of the Chowla cosine conjecture. Integrals below use normalized Haar measure on the circle. Let

\[
A\subset\mathbb Z_{>0},\qquad N=|A|,\qquad
P_A(z)=\sum_{a\in A}z^a,\qquad f_A(\theta)=\operatorname{Re}P_A(e^{i\theta}),\qquad
K=-\min_\theta f_A(\theta).
\]

## 1. The product route is a valid sufficient condition

For \(0<\delta<1\), put

\[
Q_\delta(z)=\prod_{a\in A}(1-\delta z^a).
\]

The absolutely convergent logarithmic series gives, everywhere on the circle,

\[
\log|Q_\delta(e^{i\theta})|
=-\sum_{r\ge1}\frac{\delta^r}{r}f_A(r\theta)
\le K\sum_{r\ge1}\frac{\delta^r}{r}
=-K\log(1-\delta).
\]

Consequently,

\[
1\le\|Q_\delta\|_2^2\le(1-\delta)^{-2K}.
\]

The first inequality follows from the constant coefficient \(Q_\delta(0)=1\). If absolute constants \(c,c_0>0\) satisfied

\[
\tag{G}
\|Q_\delta\|_2^2\ge1+c\delta^2N
\quad\text{for every finite }A\subset\mathbb Z_{>0},\quad
0<\delta\le c_0/\sqrt N,
\]

then taking \(\delta=c_0/\sqrt N\) would prove a positive absolute lower bound for \(K/\sqrt N\). The upper inequality is proved; (G) is not proved in this work.

For \(A=\{1,2,3\}\), the exact coefficient calculation is

\[
\|Q_\delta\|_2^2=1+3\delta^2-2\delta^3+3\delta^4+\delta^6.
\]

Thus a lower bound with the uncorrected leading constant \(c=1\) fails for small positive \(\delta\). This does not refute (G) for some smaller universal positive constant.

There is no general factorization of the squared norm into the product of the individual squared norms. The obstruction is cancellation between distinct subsets of \(A\) with the same sum.

## 2. An exponential version and its exact coefficient identity

For \(t>0\),

\[
Z_A(t)=\int e^{-t f_A(\theta)}\,d\theta
=\left\|\exp\left(-\frac t2P_A\right)\right\|_{H^2}^2
=1+\sum_{n\ge1}|q_n(t)|^2,
\]

where \(q_n(t)\) are the nonconstant Taylor coefficients of \(\exp(-tP_A/2)\). Also \(Z_A(t)\le e^{tK}\). A uniform gap \(Z_A(c_0/\sqrt N)\ge1+c_1\) would therefore imply Chowla's root bound. The coefficient identity alone does not supply the gap: the coefficients involve alternating sums over integer compositions with entries in \(A\).

## 3. What a sufficiently flat Sidon family would imply, conditionally

Suppose \(B_m\subset\mathbb Z\) has \(m\) elements and distinct positive pairwise differences. Put \(A_m=(B_m-B_m)\cap\mathbb Z_{>0}\); then

\[
N_m=\frac{m(m-1)}2,\qquad
f_{A_m}=\frac{|P_{B_m}|^2-m}{2},\qquad K_m\le\frac m2.
\]

If one additionally had \(|P_{B_m}|/\sqrt m\to1\) in probability on the continuous circle, then \(f_{A_m}/\sqrt{N_m}\to0\) in probability. Since the latter random variables are bounded below by a fixed constant, bounded convergence in probability would imply

\[
Z_{A_m}(c_0/\sqrt{N_m})\longrightarrow1
\]

for every fixed positive \(c_0\). This would refute the uniform exponential gap, though not Chowla's statement about the minimum.

The same conditional example would refute (G). In fact, for \(\delta_m=c_0/\sqrt{N_m}\),

\[
\log Q_{\delta_m}=-\delta_mP_{A_m}+R_m,\qquad
\|R_m\|_2\le\sqrt{N_m}\sum_{r\ge2}\frac{\delta_m^r}{r}=O(N_m^{-1/2}).
\]

Hence \(\log|Q_{\delta_m}|\to0\) in probability. The upper bound of Section 1 and \(K_m\le m/2\) give a uniform upper bound for \(|Q_{\delta_m}|^2\), so its integral would tend to 1.

**The needed continuous flatness premise is not established here.** Flatness only at roots of unity does not give that premise.

## 4. Explicit error in a proposed short Singer-flatness proof

Primary source inspected: E. H. el Abdalaoui, *L1-flat polynomials and simple Lebesgue spectrum for conservative maps exist: A simple proof*, arXiv:2210.15480v2, 9 June 2023, Section 2.

URL: <https://arxiv.org/html/2210.15480v2>

The paper defines integer difference correlations

\[
c_l=\#\{(s,t)\in S^2:s-t=l\},\qquad S\subset\{0,\ldots,q-1\}.
\]

These satisfy \(c_l=c_{-l}\). For a Singer perfect difference set they also satisfy

\[
c_l+c_{q-l}=1,\qquad 1\le l\le q-1.
\]

The statement immediately after its equation (2.5) identifies \(c_{q-l}\) with \(c_{-l}\) because the indices are congruent modulo \(q\). This identification is false for the integer correlations that were defined. It is subsequently used to conclude in equation (2.17) that an analytic polynomial

\[
Q_q(z)=\frac1{|S|}\sum_{l=1}^{q-1}(c_l+c_{-l})z^l
\]

equals \(-1/|S|\) at every nontrivial \(q\)-th root of unity.

The smallest example is decisive. Let \(q=7\), \(S=\{0,1,3\}\). This is a perfect difference set modulo 7. Its positive integer correlations are

\[
c_1=c_2=c_3=1,\qquad c_4=c_5=c_6=0.
\]

In particular, \(c_6=0\ne1=c_{-1}\). Here

\[
Q_7(z)=\frac23(z+z^2+z^3).
\]

At \(z=e^{2\pi i/7}\), its real part is \(-1/3\), while its imaginary part is

\[
\frac23\left(\sin\frac{2\pi}{7}+\sin\frac{4\pi}{7}+\sin\frac{6\pi}{7}\right)>0.
\]

Thus the asserted complex equality in (2.17) is false. This identifies a specific failed step in this proof; it is not a claim that every other proof or every flatness assertion in the literature has been settled.

## 5. Targeted continuous Singer experiment

The accompanying `singer_test.py` constructs a Singer set via the trace-zero elements of a multiplicative cycle in \(\operatorname{GF}(p^3)\). It checks the cardinality \(m=p+1\) and the uniqueness of every nonzero modular difference. The following values are ordinary floating point FFT quadratures, without certified error bounds. They are a check of this particular proposed flatness mechanism, not an exhaustive search or a proof of asymptotic behavior.

| p | m | q=p²+p+1 | grid points | normalized L1 norm | squared-modulus L1 deviation | mean exp(−f/m) |
|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|
| 31 | 32 | 993 | 262144 | 0.9473352064 | 0.4223778392 | 1.0476149768 |
| 61 | 62 | 3783 | 262144 | 0.9467302477 | 0.4396409605 | 1.0463170310 |
| 127 | 128 | 16257 | 262144 | 0.9512959309 | 0.4213990278 | 1.0411907150 |
| 251 | 252 | 63253 | 1048576 | 0.9532634510 | 0.4162008233 | 1.0392352936 |

Complete constructions, quantiles and parameters are in `singer_test_results.json`. The displayed values do not establish or rule out a limiting flatness claim. The algebraic error in Section 4 does not depend on these numerical values.

## 6. An exact obstruction to an averaged Möbius-transform shortcut

There is a separate exact warning about replacing a pointwise analytic bound by a single Hardy-space norm. Take \(A=\{1,\ldots,N\}\), \(P=z+\cdots+z^N\), and a real number \(a>1\). Set

\[
w(z)=\frac{P(z)}{a+P(z)}.
\]

The condition \(\operatorname{Re}P\ge-a/2\) is equivalent to the pointwise inequality \(|w|\le1\) on the circle. But the weaker averaged inequality can hold even when the pointwise premise fails badly: exactly,

\[
\tag{M}
\|w\|_{H^2}^2=\frac{N}{(a-1)(N+a)}.
\]

In particular, \(a=2\) gives \(\|w\|_{H^2}^2=N/(N+2)<1\) for every \(N\), whereas the negative minimum of \(\sum_{j=1}^N\cos(j\theta)\) grows linearly in \(N\).

Proof of (M): Let \(q=a+P\), \(s=1/q\). The identity

\[
(1-z)q(z)=a-(a-1)z-z^{N+1}
\]

shows \(q\) has no zero on or inside the unit circle: the triangle inequality is strict inside; equality on the circle would force \(z=1\), where \(q(1)=N+a\ne0\). Write the real symmetric Fourier coefficients of \(|s|^2\) as \(b_j=b_{-j}\). The identity \(q|s|^2=\overline s\) yields

\[
ab_0+\sum_{i=1}^Nb_i=1/a,
\]

and, for \(1\le j\le N\),

\[
ab_j+b_0+\sum_{l=1}^{j-1}b_l+\sum_{l=1}^{N-j}b_l=0.
\]

Comparing the equations for \(j\) and \(N+1-j\) gives \(b_j=b_{N+1-j}\); subtracting consecutive equations then gives \((a-1)(b_{j+1}-b_j)=0\). Thus

\[
b_1=\cdots=b_N=-\frac{b_0}{N+a-1},\qquad
b_0=\frac{N+a-1}{a(a-1)(N+a)}.
\]

Since \(w=1-as\) and \(s(0)=1/a\), Parseval gives \(\|w\|_2^2=a^2b_0-1\), which is (M). This disproves only the averaged relaxation as a sufficient method; it does not refute a pointwise Schur-function approach.

## 7. The newly catalogued real Littlewood result does not supply the Sidon premise

The OpenAI mathematics catalog, result 076, describes real sign polynomials on consecutive frequencies whose modulus is uniformly asymptotic to the square root of their length. The associated Lean scope document describes asymptotically minimal maxima and flatness for each finite exponent; these are existential statements. The comparator files linked by that document specify theorem statements and contain placeholders, so they are not by themselves proof artifacts. This note does not audit the separate formal proof modules or the full manuscript.

Sources inspected on 18 October 2026:

- <https://raw.githubusercontent.com/openai/math/main/CONTENTS.md>, result 076.
- <https://github.com/openai/math/blob/main/lean/docs/076.md>.
- <https://github.com/openai/math/blob/main/lean/ComparatorChallenges/AsymptoticallyMinimalLittlewood.lean>.

Even granting the full uniform-flatness assertion, the immediate conversion from signs to a subset does not give the conditional counterexample of Section 3. To see this algebraically, let

\[
L_N(z)=\sum_{k=0}^{N-1}\varepsilon_k z^k,\qquad
D_N(z)=\sum_{k=0}^{N-1}z^k,\qquad
R_N(z)=\frac{D_N(z)+L_N(z)}2.
\]

Then \(R_N\) has coefficients in \(\{0,1\}\). A bound \(|L_N(1)|=O(\sqrt N)\) gives the number \(m_N\) of its nonzero coefficients as \(m_N=N/2+O(\sqrt N)\). For every fixed \(z\ne1\) on the circle, \(D_N(z)/\sqrt N\to0\). Therefore, if \(|L_N|/\sqrt N\to1\) in probability, the triangle inequality gives

\[
\frac{|R_N|}{\sqrt{m_N}}\longrightarrow\frac1{\sqrt2}
\quad\text{in probability},
\]

rather than 1. Moreover, its positive pairwise differences generally have multiplicity; the difference polynomial has those multiplicities as coefficients, which is outside the distinct-frequency class. Thus the new real-sign statement, as stated, establishes neither the needed flat Sidon family nor a uniform estimate for every Chowla frequency set.


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: general_moments/singer_test.py
==============================================================================

"""Targeted tests of a proposed uniform product/Laplace gap on Singer sets.
Finite observations only; no asymptotic flatness conclusion.
"""
import numpy as np, json,math,time
from pathlib import Path

def factors(n):
 out=[];p=2
 while p*p<=n:
  if n%p==0:
   out.append(p)
   while n%p==0:n//=p
  p+=1
 if n>1:out.append(n)
 return out

def singer(p):
 # F_p[x]/(x^3+a*x+b). A rootless cubic is irreducible.
 found=False
 for a in range(p):
  for b in range(1,p):
   if all((x*x*x+a*x+b)%p for x in range(p)):
    found=True;break
  if found:break
 assert found
 def mul(u,v):
  c0=u[0]*v[0];c1=u[0]*v[1]+u[1]*v[0];c2=u[0]*v[2]+u[1]*v[1]+u[2]*v[0]
  c3=u[1]*v[2]+u[2]*v[1];c4=u[2]*v[2]
  return((c0-b*c3)%p,(c1-a*c3-b*c4)%p,(c2-a*c4)%p)
 def power(u,n):
  v=(1,0,0)
  while n:
   if n&1:v=mul(v,u)
   u=mul(u,u);n//=2
  return v
 order=p**3-1;divs=factors(order)
 for i in range(1,p):
  for j in range(p):
   g=(j,i,0)
   if all(power(g,order//d)!=(1,0,0) for d in divs):break
  else:continue
  break
 else:raise RuntimeError('generator not found')
 q=p*p+p+1;v=(1,0,0);B=[]
 for k in range(q):
  if (3*v[0]-2*a*v[2])%p==0:B.append(k)
  v=mul(v,g)
 assert len(B)==p+1
 residues={(u-v)%q for u in B for v in B if u!=v}
 assert len(residues)==q-1
 return B,{'p':p,'q':q,'irreducible_cubic':[b,a,0,1],'primitive_generator':g}

def evaluate(p):
 start=time.time();B,meta=singer(p);m=len(B)
 G=1<<(max(18,(16*meta['q']).bit_length()))
 coeff=np.zeros(G);coeff[B]=1
 z=np.fft.fft(coeff)/math.sqrt(m)
 v=abs(z)**2;scaled_f=(v-1)/2
 lap={str(c):float(np.mean(np.exp(-c*scaled_f))) for c in [.25,.5,1.,2.]}
 out={**meta,'m':m,'N':m*(m-1)//2,'grid_points':G,'B':B,'normalized_P_L1':float(abs(z).mean()),'normalized_P_squared_L1_deviation':float(abs(v-1).mean()),'f_over_m_quantiles':{str(q):float(np.quantile(scaled_f,q)) for q in [.01,.1,.25,.5,.75,.9,.99]},'Eexp_minus_c_f_over_m':lap,'seconds':time.time()-start}
 print(json.dumps({k:v for k,v in out.items() if k!='B'},indent=2),flush=True)
 return out
if __name__=='__main__':
 result=[evaluate(p) for p in [31,61,127,251]]
 Path(__file__).with_name('singer_test_results.json').write_text(json.dumps(result,indent=2))


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: general_moments/singer_test_results.json
==============================================================================

[
  {
    "p": 31,
    "q": 993,
    "irreducible_cubic": [
      3,
      0,
      0,
      1
    ],
    "primitive_generator": [
      3,
      1,
      0
    ],
    "m": 32,
    "N": 496,
    "grid_points": 262144,
    "B": [
      49,
      51,
      90,
      99,
      179,
      205,
      230,
      250,
      299,
      318,
      331,
      332,
      354,
      362,
      391,
      397,
      408,
      415,
      418,
      526,
      584,
      588,
      622,
      662,
      732,
      747,
      799,
      804,
      846,
      921,
      937,
      949
    ],
    "normalized_P_L1": 0.9473352064016447,
    "normalized_P_squared_L1_deviation": 0.4223778392022919,
    "f_over_m_quantiles": {
      "0.01": -0.4857001715747012,
      "0.1": -0.34813758898681363,
      "0.25": -0.1798015735951745,
      "0.5": -0.028567214683004882,
      "0.75": 0.10207742594063024,
      "0.9": 0.3375875943517819,
      "0.99": 0.8627762615824514
    },
    "Eexp_minus_c_f_over_m": {
      "0.25": 1.0045950370616994,
      "0.5": 1.0146349812333688,
      "1.0": 1.0476149767588774,
      "2.0": 1.1653334281813843
    },
    "seconds": 0.04975175857543945
  },
  {
    "p": 61,
    "q": 3783,
    "irreducible_cubic": [
      2,
      0,
      0,
      1
    ],
    "primitive_generator": [
      6,
      1,
      0
    ],
    "m": 62,
    "N": 1891,
    "grid_points": 262144,
    "B": [
      52,
      60,
      63,
      151,
      160,
      253,
      301,
      317,
      339,
      407,
      422,
      463,
      538,
      559,
      691,
      864,
      1235,
      1247,
      1261,
      1419,
      1429,
      1469,
      1558,
      1645,
      1680,
      1717,
      1762,
      1764,
      1962,
      1981,
      1987,
      2017,
      2096,
      2129,
      2194,
      2214,
      2409,
      2453,
      2460,
      2522,
      2523,
      2554,
      2583,
      2596,
      2600,
      2649,
      2703,
      2814,
      2873,
      3017,
      3044,
      3172,
      3177,
      3195,
      3229,
      3253,
      3333,
      3458,
      3497,
      3525,
      3568,
      3660
    ],
    "normalized_P_L1": 0.9467302476603647,
    "normalized_P_squared_L1_deviation": 0.43964096048251666,
    "f_over_m_quantiles": {
      "0.01": -0.4843302642463602,
      "0.1": -0.35665406694743024,
      "0.25": -0.19655688079383954,
      "0.5": -0.025781737298885582,
      "0.75": 0.11493428766535133,
      "0.9": 0.36373995526903136,
      "0.99": 0.9442359780054788
    },
    "Eexp_minus_c_f_over_m": {
      "0.25": 1.004003318797238,
      "0.5": 1.0133445913993313,
      "1.0": 1.0463170310051855,
      "2.0": 1.169089281191487
    },
    "seconds": 0.03108525276184082
  },
  {
    "p": 127,
    "q": 16257,
    "irreducible_cubic": [
      3,
      0,
      0,
      1
    ],
    "primitive_generator": [
      6,
      1,
      0
    ],
    "m": 128,
    "N": 8128,
    "grid_points": 262144,
    "B": [
      38,
      214,
      225,
      421,
      610,
      613,
      646,
      757,
      872,
      1096,
      1488,
      1692,
      2103,
      2183,
      2458,
      2490,
      2821,
      2864,
      3063,
      3205,
      3283,
      3438,
      3543,
      3714,
      3775,
      3896,
      4068,
      4510,
      4580,
      4582,
      4620,
      4696,
      4826,
      5099,
      5122,
      5219,
      5279,
      5419,
      5717,
      5748,
      5873,
      6011,
      6016,
      6025,
      6074,
      6420,
      6778,
      6969,
      7082,
      7134,
      7150,
      7185,
      7319,
      7347,
      7414,
      7661,
      7680,
      7972,
      8150,
      8162,
      8177,
      8420,
      8637,
      9136,
      9161,
      9200,
      10049,
      10149,
      10171,
      10195,
      10288,
      10294,
      10462,
      10516,
      10710,
      10751,
      10838,
      10839,
      10859,
      10921,
      10928,
      10965,
      11022,
      11069,
      11140,
      11393,
      11449,
      11459,
      11857,
      11883,
      11969,
      12078,
      12318,
      12335,
      12383,
      12442,
      12533,
      12635,
      12665,
      12669,
      12823,
      12919,
      13202,
      13497,
      13505,
      13550,
      13784,
      13865,
      13915,
      13944,
      14153,
      14288,
      14306,
      14361,
      14688,
      14762,
      14854,
      14929,
      15013,
      15090,
      15132,
      15269,
      15442,
      15575,
      15777,
      16046,
      16197,
      16210
    ],
    "normalized_P_L1": 0.9512959309061394,
    "normalized_P_squared_L1_deviation": 0.42139902776899785,
    "f_over_m_quantiles": {
      "0.01": -0.48424622156029967,
      "0.1": -0.3523945531819988,
      "0.25": -0.18579246339483485,
      "0.5": -0.01875607586730882,
      "0.75": 0.11947904919905339,
      "0.9": 0.3571060898057261,
      "0.99": 0.891257124523777
    },
    "Eexp_minus_c_f_over_m": {
      "0.25": 1.0032586468529145,
      "0.5": 1.0113640696624704,
      "1.0": 1.0411907150083968,
      "2.0": 1.155310670016723
    },
    "seconds": 0.0350801944732666
  },
  {
    "p": 251,
    "q": 63253,
    "irreducible_cubic": [
      4,
      1,
      0,
      1
    ],
    "primitive_generator": [
      2,
      1,
      0
    ],
    "m": 252,
    "N": 31626,
    "grid_points": 1048576,
    "B": [
      3,
      138,
      519,
      753,
      1174,
      1451,
      1570,
      1683,
      1720,
      1828,
      1953,
      2113,
      2167,
      2412,
      2667,
      2735,
      2890,
      3693,
      3763,
      3808,
      4148,
      4867,
      4901,
      5346,
      5394,
      5707,
      5726,
      5912,
      6407,
      6563,
      7013,
      7215,
      7362,
      7671,
      8314,
      8383,
      8497,
      9237,
      9311,
      9331,
      9358,
      10066,
      10658,
      10679,
      10931,
      11147,
      11404,
      11489,
      11641,
      11667,
      11810,
      11867,
      11907,
      12078,
      12253,
      12637,
      12739,
      13197,
      13238,
      13432,
      13525,
      13533,
      13866,
      13868,
      14410,
      14552,
      14765,
      14931,
      14942,
      15344,
      15587,
      15622,
      15675,
      15738,
      15754,
      15766,
      16019,
      16057,
      16157,
      16433,
      16655,
      16784,
      17224,
      18159,
      18515,
      18532,
      18655,
      18779,
      18963,
      19023,
      19810,
      20417,
      21360,
      21370,
      21658,
      21894,
      22020,
      22365,
      22420,
      23154,
      23193,
      23291,
      23699,
      23802,
      23803,
      24009,
      24191,
      24339,
      24706,
      25148,
      25581,
      26765,
      26832,
      27751,
      27831,
      28248,
      28344,
      28477,
      28520,
      28552,
      28771,
      29093,
      29100,
      29124,
      29458,
      29607,
      29796,
      29878,
      30005,
      30008,
      30014,
      30195,
      30474,
      30639,
      30756,
      30798,
      31909,
      31992,
      32202,
      32216,
      32220,
      32278,
      32568,
      32807,
      33170,
      33582,
      33689,
      34063,
      34400,
      34638,
      34727,
      34839,
      35458,
      35524,
      35580,
      35830,
      36029,
      36135,
      36717,
      36776,
      36801,
      36887,
      37341,
      37354,
      37418,
      37893,
      38086,
      38576,
      39281,
      39359,
      39409,
      39527,
      39881,
      40197,
      40438,
      40499,
      40891,
      40963,
      41205,
      41238,
      41379,
      41401,
      41662,
      42366,
      42915,
      42930,
      43290,
      44282,
      44374,
      44473,
      44538,
      44733,
      44769,
      45195,
      45368,
      45398,
      45507,
      45660,
      46510,
      47131,
      47351,
      47432,
      47721,
      47936,
      48108,
      48195,
      48976,
      49527,
      49571,
      50101,
      50618,
      50816,
      51257,
      51838,
      52202,
      52432,
      53085,
      53809,
      53904,
      53955,
      54089,
      54518,
      54672,
      54998,
      55316,
      55474,
      55631,
      55636,
      55741,
      56164,
      56610,
      56741,
      56790,
      57015,
      57038,
      57242,
      58614,
      58687,
      58971,
      59091,
      59653,
      59699,
      59953,
      60024,
      60114,
      61104,
      61156,
      61353,
      62497,
      62689,
      62718,
      62906
    ],
    "normalized_P_L1": 0.9532634509892862,
    "normalized_P_squared_L1_deviation": 0.4162008233040807,
    "f_over_m_quantiles": {
      "0.01": -0.4830000469137623,
      "0.1": -0.3486860512504981,
      "0.25": -0.18316577764564249,
      "0.5": -0.016773742189134022,
      "0.75": 0.1212320615699693,
      "0.9": 0.3546878817783343,
      "0.99": 0.901831957306241
    },
    "Eexp_minus_c_f_over_m": {
      "0.25": 1.0028778903393347,
      "0.5": 1.0105000920938394,
      "1.0": 1.039235293567298,
      "2.0": 1.1505174889931356
    },
    "seconds": 0.18216300010681152
  }
]

==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: general_spectral/SPECTRAL_ATTEMPT.md
==============================================================================

# General spectral attempt: rigorous results and failed strengthening

This pass addresses the universal Chowla conjecture for every finite nonempty \(A\subset\mathbb Z_{>0}\). It does not prove \(K(A)\ge c\sqrt{|A|}\).

Set \(N=|A|\), \(S=A\cup(-A)\), \(F=\sum_{s\in S}e^{isx}=2f_A(x)\), and \(L=2K(A)\). Then \(L+F\ge0\). Consequently every finite distance-graph adjacency matrix obtained from integer vertices by connecting \(u,v\) when \(u-v\in S\) has smallest eigenvalue at least \(-L\).

## 1. A universal improvement of the elementary constant

For every nonempty \(A\), \(K(A)\ge1\). Let \(D=\max A\). On the vertices \(0,D,\ldots,rD\), the distance graph is exactly a path: \(D\in A\), whereas no multiple \(jD\), \(j\ge2\), belongs to \(A\). Its smallest eigenvalue is \(-2\cos(\pi/(r+2))\). Positivity therefore implies \(K\ge\cos(\pi/(r+2))\), and letting \(r\to\infty\) proves the claim.

An equivalent direct certificate is

\[
\frac1D\sum_{j=0}^{D-1} f_A\!\left(\frac{\pi+2\pi j}{D}\right)=-1.
\]

All frequencies less than \(D\) average to zero; the frequency \(D\) contributes \(-1\). Thus one sampled value is at most \(-1\). This is a universal fact, but has no growing exponent in \(N\) and is not presented as a new theorem.

It strengthens the earlier digit-product obstruction: because \(2K-1\ge1\) and \(q=2N+1\ge3\), for every \(m\ge4\),

\[
\frac{K(C_m)}{\sqrt{|C_m|}}
\ge\frac{1-\pi^2/64}{\sqrt2}\,3^{m/2-2}.
\]

Therefore that obstruction is uniform even over an arbitrarily changing nonempty seed \(A_m\) and admissible base \(B_m\), provided the number of product factors tends to infinity. It still says nothing about arbitrary constructions outside that operation.

## 2. The complete first-neighborhood Gram matrix

Index positive frequencies by \(u,v\in A\), and write

\[
G_{uv}=\mathbf1_S(u-v),\qquad H_{uv}=\mathbf1_S(u+v).
\]

The adjacency matrix on \(\{0\}\cup S\) is

\[
\mathcal A=
\begin{pmatrix}
0&\mathbf1^T&\mathbf1^T\\
\mathbf1&G&H\\
\mathbf1&H&G
\end{pmatrix}.
\]

The odd and even subspaces under \(u\leftrightarrow-u\) give the exact orthogonal decomposition

\[
C=G-H,\qquad
\mathcal A_{\rm even}=
\begin{pmatrix}
0&\sqrt2\,\mathbf1^T\\
\sqrt2\,\mathbf1&G+H
\end{pmatrix}.
\]

Thus full positivity requires both

\[
C+LI\succeq0,\qquad
G+H+LI-\frac2L J\succeq0.
\]

The second condition is the Schur complement of the constant coordinate. Keeping only the first condition discards substantial information.

## 3. Exact parametric counterexample to a proposed spectral balance

The proposed estimate

\[
\lambda_{\max}(C)\le C_0|\lambda_{\min}(C)|
\]

is false, even for admissible Sidon-difference examples. The following is an exact family, not a finite search.

Fix \(k\ge3\), an integer \(b\ge4\), and

\[
B=\{1,b,\ldots,b^{k-1}\},\qquad
A=\{b^i-b^j:0\le j<i\le k-1\}.
\]

Then \(N=\binom k2\). Every relation among at most three members of \(S=A\cup(-A)\) agrees with the corresponding formal relation among the roots \(e_i-e_j\). Indeed, after collecting powers of \(b\), every coefficient has absolute value at most 3. At a largest nonzero coordinate \(h\), the leading term has magnitude at least \(b^h\), whereas the sum of lower terms has magnitude at most \(3(b^h-1)/(b-1)\le b^h-1\). Hence a nonzero coefficient vector cannot represent zero.

Let \(R\) be the oriented vertex-edge incidence matrix of the complete graph on \(k\) vertices, with column \(e_i-e_j\) for the frequency \(b^i-b^j\), \(i>j\). For distinct columns \(r_u,r_v\):

- \(u-v\in S\) exactly when \(r_u\cdot r_v=1\);
- \(u+v\in S\) exactly when \(r_u\cdot r_v=-1\).

Neither \(0\) nor \(2u\) belongs to \(S\), so the diagonal of \(C\) is zero. Therefore

\[
C=R^TR-2I.
\]

Since \(RR^T=kI-J\), its spectrum is exactly

\[
\operatorname{spec}(C)=
\begin{cases}
k-2,&\text{multiplicity }k-1,\\
-2,&\text{multiplicity }(k-1)(k-2)/2.
\end{cases}
\]

Thus \(\lambda_{\max}(C)/|\lambda_{\min}(C)|=(k-2)/2\to\infty\), and

\[
\|C\|_F^2=k(k-1)(k-2).
\]

In particular, the sine-block condition by itself allows the constant \(L=2\) with unbounded \(N\), so it cannot imply a bound \(\|C\|_F^2\le C_0LN\). The actual global \(L=2K(A)\) is not 2 for large \(k\); replacing it by 2 would confuse a necessary local condition with full positivity.

## 4. The omitted even block recovers the missing scale in this family

Let \(U\) be the unsigned incidence matrix of the same complete graph. In the above example,

\[
G+H=U^TU-2I,\qquad UU^T=(k-2)I+J.
\]

The all-ones vector has eigenvalue \(2(k-2)\) under \(G+H\). Its two-dimensional coupling to the constant coordinate in \(\mathcal A_{\rm even}\) has matrix

\[
\begin{pmatrix}0&\sqrt{2N}\\ \sqrt{2N}&2(k-2)\end{pmatrix}.
\]

Its negative eigenvalue is

\[
k-2-\sqrt{2k^2-5k+4}.
\]

Consequently the **full** neighborhood matrix forces

\[
L\ge\sqrt{2k^2-5k+4}-(k-2)
\sim(\sqrt2-1)k,
\]

which is of order \(\sqrt N\). This confirms exactly where the sine-only reduction lost the useful information.

## 5. Precise unresolved statement for this route

A universal theorem asserting

\[
\lambda_{\min}(\mathcal A)\le-c\sqrt N
\]

for these particular first-neighborhood matrices would prove Chowla's conjecture. No proof or counterexample to this **full-block** assertion has been obtained here. It is not established by the sine-block analysis above.

General cone graphs do not satisfy such an assertion: a universal vertex joined to \(r\) disjoint cliques of size \(s\), with \(s\) much larger than \(r\), has \(rs\) neighbors but negative eigenvalue only of order \(r\). Any successful proof must use the additive constraints linking \(G\) and \(H\), not merely the universal vertex, symmetry, matrix entry bounds, or positive semidefiniteness.

The additive constraint is strong but currently unquantified at the required scale: a relation \(a+b=c\) creates the positive edges \((a,c)\), \((b,c)\) in \(G\) and the edge \((a,b)\) in \(H\). Treating \(G,H\) as independent graphs is invalid. Scalar bounds using only the total number of such triples also fail: the separate Bernoulli-Fejer construction under audit by the root has \(T(A)\) of order \(N^2\) while \(K(A)=O(\sqrt{N\log N})\).

## 6. An exact obstruction to the maximum-frequency strip enhancement

A natural enlargement of the maximum-frequency path is the induced graph on

\[
V=\bigcup_{j\in\mathbb Z}(jD+A),\qquad D=\max A.
\]

It still does **not** force a square-root bound. For the explicit family

\[
A=\{1,\ldots,n\}\cup\{D\},\qquad D>2n,
\]

the vertex set is the disjoint union of the layers

\[
V_j=\{jD,jD+1,\ldots,jD+n\}.
\]

Each layer induces \(K_{n+1}\), because all nonzero differences within it belong to \(\{1,\ldots,n\}\). Between consecutive layers, precisely corresponding vertices are adjacent, at distance \(D\): every other difference has the form \(D+r-s\), with \(0<|r-s|\le n\), and lies in neither \(\{1,\ldots,n\}\) nor \(\{D\}\). Nonconsecutive layers have no edges. Therefore the induced graph is exactly

\[
K_{n+1}\,\square\,\mathbb Z.
\]

Its spectral infimum is \(-1-2=-3\), uniformly in \(n\), because the adjacency operator is the sum of the commuting clique and path operators. Thus this infinite, order-based family of test vectors only forces \(K(A)\ge3/2\), despite unbounded cardinality.

This does not refute the full first-neighborhood assertion in Section 5: the latter includes the additional vertices \(-1,\ldots,-n\), whose interaction with \(0,1,\ldots,n\) detects the much deeper Dirichlet trough. The strip calculation demonstrates precisely how an apparently substantial matrix enlargement can still discard the essential interaction.

## 7. What the constant-coordinate test already proves, and the exact missing step

Let \(T=\#\{(a,b)\in A^2:a+b\in A\}\), with ordered pairs, and set \(D_+=G+H\). For the unit vector \(w=N^{-1/2}\mathbf1\),

\[
w^TD_+w=\frac{3T}{N}.
\]

Compressing the even block to the constant coordinate and \(w\) therefore gives

\[
\begin{pmatrix}
0&\sqrt{2N}\\
\sqrt{2N}&3T/N
\end{pmatrix}.
\]

Its smaller eigenvalue recovers exactly the classical Roth moment estimate

\[
K\ge\sqrt{\frac N2+\frac{9T^2}{16N^2}}-\frac{3T}{4N}.
\]

Thus this particular use of both blocks does not provide a new general exponent. Replacing the uniform vector by an arbitrary nonzero real vector \(w\) gives the valid family of certificates

\[
L\ge
\frac12\left(\sqrt{d_w^2+8r_w}-d_w\right),
\qquad
d_w=\frac{w^TD_+w}{\|w\|_2^2},
\quad
r_w=\frac{(\mathbf1^Tw)^2}{\|w\|_2^2}.
\]

The unresolved task is to prove that the odd block, the even block, or an appropriate such coupled certificate always yields a negative eigenvalue of size \(c\sqrt N\). No choice of \(w\), no family of test vectors, and no arithmetic dichotomy with the required uniform guarantee has been proved here. The formulas above are exact reductions and necessary conditions; they are not that guarantee.

There is also no established implication from the Chowla conjecture back to this fixed first-neighborhood bound. It is a sufficient route to the conjecture, potentially a stronger statement: the full nonnegative trigonometric polynomial supplies infinitely many other principal matrices. A counterexample to this particular local bound, if found, would not by itself disprove Chowla.

## 8. Independent audit of the global Fejer obstruction

The separate file ../general_fejer_barrier.md was independently checked. Its Bernoulli-Fejer construction rigorously disproves both

\[
T(A)\le C K(A)N,\qquad
\|G-H\|_F^2\le C K(A)N
\]

for every proposed absolute \(C\).

The constants in its proof are valid: at \(M\ge8\) divisible by 4, the restricted triple count gives \(\mathbb ET\ge9M^2/1024\ge M^2/128\). Each variable changes at most \(3M\) triple indicators, so bounded differences give the displayed failure probability \(\exp(-M/294912)\). The grid of \(8M^2\) points, pointwise Hoeffding bound, and deterministic derivative bound give uniform deviation at most \(\sqrt{3M\log M}+\pi/16\), with failure probability at most \(16/M^4\).

The exact identities

\[
\sum_{u,v}G_{uv}=2T,\qquad
\sum_{u,v}H_{uv}=T,\qquad
\|G-H\|_F^2=3T-2\sum_{u,v}G_{uv}H_{uv}\ge T
\]

also hold with repeated summands and diagonal entries. Consequently the two ratios really diverge on actual sets of distinct positive integer frequencies, with actual continuous-circle minima.

This failure is stronger than the sine-only matrix obstruction of Section 3, because it uses the actual global \(K(A)\). It still does not refute Chowla: its established upper bound is \(K(A)=O(\sqrt{N\log N})\), not \(o(\sqrt N)\).

## Final status of this pass

The full first-neighborhood assertion in Section 5 is neither proved nor refuted in this pass. The universal Chowla conjecture is therefore not solved. The completed work consists of exact necessary conditions, independent audits, and rigorous counterfamilies to specific stronger intermediate claims. Finite exploratory computations were used only to screen candidate arithmetic families; they supply no asserted proof or asymptotic theorem.


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: general_spectral/singer_local.py
==============================================================================

"""Targeted probe of one arithmetic family; not a proof of Chowla.

Singer perfect difference sets via trace-zero classes in GF(p^3).
No numerical result in this file is used as a mathematical proof.
"""
import itertools
import math
import time

import numpy as np
from scipy.linalg import eigvalsh


def prime_factors(n):
    out = []
    d = 2
    while d * d <= n:
        if n % d == 0:
            out.append(d)
            while n % d == 0:
                n //= d
        d += 1
    if n > 1:
        out.append(n)
    return out


def singer(p):
    modulus = None
    for c0, c1, c2 in itertools.product(range(p), repeat=3):
        if c0 and all((x**3 + c2*x*x + c1*x + c0) % p for x in range(p)):
            modulus = (c0, c1, c2)
            break
    c0, c1, c2 = modulus

    def coeff(x):
        return (x % p, (x // p) % p, x // (p*p))

    def mul(x, y):
        xx, yy = coeff(x), coeff(y)
        z = [0] * 5
        for i in range(3):
            for j in range(3):
                z[i+j] += xx[i] * yy[j]
        for k in (4, 3):
            t = z[k] % p
            z[k-3] -= t * c0
            z[k-2] -= t * c1
            z[k-1] -= t * c2
        return sum((z[i] % p) * p**i for i in range(3))

    def power(x, n):
        y = 1
        while n:
            if n & 1:
                y = mul(y, x)
            x = mul(x, x)
            n //= 2
        return y

    order = p**3 - 1
    factors = prime_factors(order)
    alpha = next(x for x in range(2, p**3)
                 if all(power(x, order // r) != 1 for r in factors))
    q = p*p + p + 1
    b = []
    x = 1
    for j in range(q):
        xp = power(x, p)
        xpp = power(xp, p)
        trace = tuple((a + c + d) % p for a, c, d in zip(coeff(x), coeff(xp), coeff(xpp)))
        if trace == (0, 0, 0):
            b.append(j)
        x = mul(x, alpha)
    assert len(b) == p+1, (p, b)
    mods = {(u-v) % q for u in b for v in b if u != v}
    assert len(mods) == q-1
    return b, q


def min_local(b):
    a = sorted({u-v for u in b for v in b if u > v})
    assert len(a) == len(b)*(len(b)-1)//2
    ss = set(a) | {-u for u in a}
    vertices = np.array(sorted(ss | {0}), dtype=np.int64)
    mat = np.isin(vertices[:,None] - vertices[None,:], list(ss)).astype(float)
    lam = eigvalsh(mat, subset_by_index=[0,0], check_finite=False)[0]
    return -lam, len(a)


if __name__ == '__main__':
    import sys
    primes = list(map(int, sys.argv[1:])) or [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29]
    for p in primes:
        tic = time.monotonic()
        b, q = singer(p)
        ell, n = min_local(b)
        print(f'p={p:3d} q={q:5d} N={n:5d} local_L={ell:.9f} L/p={ell/p:.7f} L/sqrtN={ell/math.sqrt(n):.7f} seconds={time.monotonic()-tic:.2f}', flush=True)


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: general_factorization/DAMPED_PRODUCT_NOTES.md
==============================================================================

# Damped Euler-product route: proved facts and the missing general lemma

Status: **No general proof or counterexample to Chowla's cosine conjecture was obtained.**
The uniform product gap in section 2 is unproved. The exact counterexamples below
refute auxiliary monotonicity or weighted relaxations, not the gap for distinct
positive integer frequencies with one unit factor per frequency.

All integrals over the circle use normalized measure `dx/(2*pi)`.

## 1. Valid reduction

For a nonempty finite set `A` of distinct positive integers, put

\[
f_A(x)=\sum_{a\in A}\cos(ax),\qquad N=|A|,\qquad
K=-\min_x f_A(x).
\]

For `0 < delta < 1`, define the ordinary polynomial

\[
Q_{A,\delta}(z)=\prod_{a\in A}(1-\delta z^a),\qquad
F_A(\delta)=\|Q_{A,\delta}\|_{H^2}^{\,2}.
\]

The uniformly convergent logarithm expansion on the unit circle gives

\[
\log|Q_{A,\delta}(e^{ix})|
 =-\sum_{r=1}^{\infty}\frac{\delta^r}{r}f_A(rx)
 \le -K\log(1-\delta).
\]

Consequently

\[
1\le F_A(\delta)\le (1-\delta)^{-2K}.
\]

The lower bound here is only Parseval and the constant coefficient `Q(0)=1`.
It is not a reverse Szego or Mahler-measure estimate.

## 2. Missing universal product gap

A proof that there is an absolute `c>0` for which

\[
F_A(N^{-1/2})\ge 1+c\qquad (N\ge2)
\]

holds for every eligible `A` would imply

\[
K\ge\frac{\log(1+c)}{-2\log(1-N^{-1/2})}
  =\left(\frac{\log(1+c)}2+o(1)\right)\sqrt N.
\]

A lower bound `F_A(delta) >= 1+c*N*delta^2` throughout
`0<delta<=c0/sqrt(N)` would also suffice by taking the endpoint.

**Neither statement was proved or disproved.** These are stronger sufficient
conditions; the reduction alone does not establish their equivalence to Chowla.
In particular, a lower bound for a minimum need not give a lower bound for an
integral: an extremum could occupy very little measure.

The coefficient expansion contains genuine cancellations between distinct
subsets of equal sum. For example

\[
F_{\{1,2,3\}}(\delta)
=1+3\delta^2-2\delta^3+3\delta^4+\delta^6.
\]

Thus `F_A(delta) >= 1+N*delta^2` with constant exactly one is false for sufficiently
small positive `delta`. This does not rule out a smaller absolute constant.

## 3. Exact failure of monotonicity when a largest frequency is added

For any real-coefficient polynomial `Q=sum q_j z^j`, set

\[
F=\sum_jq_j^2,\qquad r_a=\sum_jq_jq_{j+a}.
\]

Direct multiplication and Parseval show

\[
\|(1-\delta z^a)Q\|_{H^2}^{\,2}
=(1+\delta^2)F-2\delta r_a.
\]

For `A={1,...,100}`, `delta=1/10`, and `a=140`, the norm decreases:

\[
\frac{F_{A\cup\{140\}}(1/10)}{F_A(1/10)}<\frac{49}{50}.
\]

This is checked with integers only by
`exact_product_monotonicity.py`; the exact integer receipt is
`exact_product_monotonicity.json` in this directory.

For clarity, the checker forms the coefficients `c_j` of

\[
R(z)=\prod_{a=1}^{100}(10-z^a),
\]

and the integers `U=sum c_j^2`, `V=sum c_j*c_{j+140}`. The claimed strict
inequality is exactly `20*V > 3*U`, which the checker verifies. The normalization
is `Q=R/10^100`, and the new-to-old ratio is `(101*U-20*V)/(100*U)`.

This is a counterexample to an inductive monotonicity strategy. Both norms
remain above one, so it is not a counterexample to section 2.

## 4. Fractional factor weights destroy the gap

Fix `0<r<1`, let `w_a=r^a`, and use analytic logarithms normalized to vanish
at zero to define

\[
G_{r,\delta}(z)
=\prod_{a=1}^{\infty}(1-\delta z^a)^{w_a}.
\]

The logarithm series converges absolutely and uniformly on the closed unit
disk. This function is zero-free in the disk and has constant coefficient one.
Every nonconstant Taylor coefficient of its logarithm is nonpositive.

The elementary Poisson-kernel identity yields

\[
g_r(x):=\sum_{a=1}^{\infty}r^a\cos(ax)
  =\frac12\left(\frac{1-r^2}{1-2r\cos x+r^2}-1\right)
  \ge-\frac{r}{1+r}.
\]

Applying this at every integer multiple of `x` gives

\[
\log|G_{r,\delta}(e^{ix})|
\le-\frac r{1+r}\log(1-\delta),\qquad
1\le\|G_{r,\delta}\|_{H^2}^{\,2}
\le(1-\delta)^{-2r/(1+r)}.
\]

Set `r=exp(-epsilon)` and `delta=sqrt(epsilon)`, with `epsilon -> 0+`.
Then

\[
\|G_{r,\delta}\|_{H^2}^{\,2}\longrightarrow1,
\qquad
\delta^2\sum_{a=1}^{\infty}w_a^2
=\frac{\epsilon e^{-2\epsilon}}{1-e^{-2\epsilon}}
\longrightarrow\frac12.
\]

The logarithm's squared Hardy norm is at least the latter expression, since
its coefficient at each frequency `a` includes `-delta*w_a` and all other
contributions have the same sign. Thus negative logarithmic coefficients and
an outer/zero-free factor structure do not by themselves yield the desired gap.

This obstruction also works with finitely many **fractionally weighted**
factors. Truncate at `M=M(epsilon)` such that

\[
T_M=\sum_{a>M}r^a=\frac{r^{M+1}}{1-r}\longrightarrow0;
\]

for example, `M=ceil(2*log(1/epsilon)/epsilon)` suffices. The truncated cosine
sum is bounded below by `-r/(1+r)-T_M`. The same argument gives

\[
1\le\|G^{(M)}_{r,\delta}\|_{H^2}^{\,2}
\le(1-\delta)^{-2r/(1+r)-2T_M}\longrightarrow1,
\]

while `delta^2*sum_{a<=M} w_a^2 -> 1/2`.

**These fractional powers are not admissible unit factors, and in general
their product is not a polynomial.** This is a precise obstruction to a
relaxed argument, not a Chowla counterexample.

## 5. Exact cost of directly rounding the taper to unit coefficients

For any finitely supported sequence `b_a in {0,1}` consider

\[
E(x)=\sum_{a=1}^{\infty}(b_a-r^a)\cos(ax).
\]

Parseval and the pointwise optimal rounding cost give

\[
\|E\|_2^2
=\frac12\sum_{a\ge1}(b_a-r^a)^2
\ge\frac12\sum_{a\ge1}\min\{r^{2a},(1-r^a)^2\}.
\]

Write `r=exp(-epsilon)` and `J=floor(log(2)/epsilon)`. The sum on the right,
without its factor one half, is exactly

\[
S(r)=J-\frac{2r(1-r^J)}{1-r}+\frac{r^2}{1-r^2}.
\]

Therefore

\[
\epsilon S(e^{-\epsilon})\longrightarrow\log2-\frac12,
\]

and with `delta=sqrt(epsilon)` every direct rounding obeys

\[
\liminf_{\epsilon\downarrow0}\|\delta E\|_2
\ge\sqrt{\frac{\log2-1/2}{2}}>0.3107.
\]

In particular, no direct deterministic rounding of this taper can preserve
the normalized signal up to an `o(1)` error in two-sided uniform norm or in
`L2`. This follows from exact coefficient quantization, without assumptions
about random fluctuation.

Exact integer digit substitutions preserve Fourier coefficients or combine
them into integer multiplicities. Averaging over auxiliary torus variables
retains a Fourier character precisely when its averaged coordinates vanish.
Neither operation turns unit coefficients into arbitrary fractional `r^a`
coefficients. Dividing by a multiplicity changes the normalization and must
be included in any new construction.

**Scope limitation:** the `L2` obstruction is two-sided. It does not prove a
negative excursion of order `sqrt(N)`. A large error could be concentrated
in positive spikes. Excluding such one-sided encodings would require a new
argument, so this calculation does not rule out every deterministic lift.

## 6. Source boundaries and further status

The literature on undamped Erdős–Szekeres products is relevant background:

- D. S. Lubinsky, *A Survey of Erdős–Szekeres Products* (2023),
  https://lubinsky.math.gatech.edu/SelectedPapers_files/ErdosSzekeresSurveyPaperMay2023.pdf
- Q. Tang, *An improved lower bound for Erdős–Szekeres products*,
  arXiv:2509.14182v1, https://arxiv.org/html/2509.14182v1

The arguments inspected for `delta=1` use integer polynomial coefficients,
high multiplicity at `z=1`, and/or zeros on the unit circle. The damped
products at `delta≈N^(-1/2)` lose these specific features. No valid small-delta
transfer was found. No new assertion about publication priority is made.

The proposed use of Singer-set `L1` flatness was not accepted as a theorem:
another agent found a specific cyclic/aperiodic-correlation error in the
inspected proof. Its numerical root-of-unity flatness is not a uniform-circle
or almost-everywhere flatness proof. No Singer counterfamily to section 2
is established here.

The full signed Fejér–Riesz autocorrelation formulation remains equivalent to
the original issue. The available difference-multiplicity estimate
`N <= 2*R*K^2` does not remove `R`. A possible stronger assertion for
nonnegative spectral factors alone was not proved, and nonnegative spectral
factors cannot be assumed in general.

These notes are internal mathematical derivations and a reproducible integer
check. They are not an external human review or a formal proof-assistant
verification of Chowla's conjecture.


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: general_factorization/FACTORIZATION_NOTES.md
==============================================================================

# General Chowla attempt: spectral factorization and Schur transforms

## Target and present status

For a nonempty finite set `A` of distinct positive integers, put

\[
P(z)=\sum_{a\in A}z^a,\quad f_A(x)=\Re P(e^{ix}),\quad
K=-\min_x f_A(x),\quad N=|A|.
\]

The general target is a constant `C` independent of all frequencies and
cardinalities such that `N<=C K^2`, or an admissible unbounded family with
`K/sqrt(N)->0`. No such general proof or counterexample has been obtained
in this pass. The statements below are exact reformulations, proved
conditional inequalities, and explicit counterexamples to tempting
weakened lemmas. They are not presented as solutions of Chowla's conjecture
or as claims of mathematical novelty.

## 1. Spectral factorization, including signs and endpoint constraints

Fejer--Riesz gives

\[
h(x)=K+f_A(x)=|Q(e^{ix})|^2,
\qquad Q(z)=\sum_{j=0}^{D}q_jz^j,\quad D=\max A.
\]

Write `r_d=sum_j q_(j+d) conjugate(q_j)`, with coefficients outside
`[0,D]` set to zero. Then

\[
r_0=\sum_j|q_j|^2=K,\qquad
r_d=\begin{cases}1/2&d\in A,\\0&d>0,\ d\notin A.\end{cases}
\]

In particular `q_D conjugate(q_0)=1/2`, so both endpoints are nonzero and

\[
K\ge|q_0|^2+|q_D|^2\ge2|q_0q_D|=1.
\]

The factor may be chosen **real**, but not necessarily nonnegative.
Choose the unique outer factor with `Q(0)>0`. Conjugating its coefficients
preserves its outer property and factors `h(-x)=h(x)`; uniqueness therefore
forces real coefficients. Existence and uniqueness are covered by the
classical scalar case of Dritschel--Rovnyak, *The Operator Fejer--Riesz
Theorem*: <https://uva.theopenscholar.com/files/james-rovnyak/files/p71.pdf>.
The real-coefficient conclusion is the argument just given.

It is invalid to additionally suppose `q_j>=0`: already `A={1,3}`, `K=2`
is a counterexample to that simplification. Nonnegative coefficients of a
degree-3 factor would satisfy `q0*q3=1/2` and
`q0*q2+q1*q3=r2=0`. Thus `q1=q2=0`, contradicting `r1=1/2`.

## 2. A proved bound for arbitrary complex factors with bounded multiplicity

Let `B={j:q_j != 0}` and

\[
R=\max_{d\in A}\#\{j:j,j+d\in B\}.
\]

For any complex coefficients, Cauchy--Schwarz gives, for each `d in A`,

\[
\frac14=|r_d|^2
\le R\sum_j|q_{j+d}|^2|q_j|^2.
\]

Summing and using that positive differences partition unordered pairs,

\[
\frac N4
\le\frac R2\left(K^2-\sum_j|q_j|^4\right),
\]

so

\[
\boxed{N\le2R\left(K^2-\sum_j|q_j|^4\right)\le2R K^2.}
\]

The endpoint condition additionally gives `sum |q_j|^4>=1/2`, hence
`N<=2R(K^2-1/2)`.

Thus a bounded-multiplicity spectral factor establishes the desired
square-root bound for that class, regardless of phases or signs. A general
counterexample would force `R>=N/(2K^2)->infinity` for **every** factor.
This is not a general proof: ordinary outer factors can have dense support
and large `R`, and no frequency-independent bound on `R` was obtained.

## 3. Ultraflat factors point in the wrong direction

Parseval gives the exact identity

\[
\int|Q|^4=\int h^2=K^2+\frac N2,
\qquad
N=2\int(|Q|^2-K)^2.
\]

All circle integrals here use probability Haar measure. If
`|| |Q|^2-K ||_infinity <= epsilon K`, then

\[
N\le2\epsilon^2K^2.
\]

More generally, any uniform bound on `||Q||_4/||Q||_2` proves the desired
bound in that class. A counterexample with `K=o(sqrt(N))` would instead
require that norm ratio to diverge. Constructing ultraflat factors cannot
provide such a counterexample. Removing signs from a Littlewood polynomial
or replacing nonuniform autocorrelation coefficients by ones does not
preserve the identity.

## 4. Positive idempotent reformulation

Since the nonzero nonconstant Fourier coefficients of `h` are exactly
`1/2`, normalized circle convolution satisfies

\[
h*h=\tfrac12h+(K^2-K/2).
\]

For the probability density `p=h/K` and `alpha=1/(2K)`, this becomes

\[
p*p=\alpha p+(1-\alpha),\qquad
\int p^2=1+2N\alpha^2.
\]

Consequently a universal bound on `int p^2` in this very particular class
would prove Chowla. This identity alone does not supply that bound. An
arbitrary nonnegative density, positive definite sequence, or finite cyclic
idempotent does not satisfy the required finite, unit-coefficient structure
on the integer group.

## 5. Finite, zero-free 0/1 polynomials do not suffice

Let

\[
P_N(z)=z+z^2+\cdots+z^N,\qquad W_N(z)=t+P_N(z),\quad t>1.
\]

Every `W_N` is zero-free even on the **closed** unit disk. Indeed,

\[
(1-z)W_N(z)=t-(t-1)z-z^{N+1}.
\]

At a root with `|z|<=1`, equality in
`t=|(t-1)z+z^(N+1)|<=t` forces `z=1`, where `W_N(1)=t+N>0`.
Thus a fixed positive constant term, finite termination, root-freeness,
and the 0/1 pattern do not bound the number of coefficients.

Yet the negative excursion of `Re P_N` is linear. With `q=2N+1`,

\[
f_N(3\pi/q)=-\frac1{2\sin(3\pi/(2q))}-\frac12
\le-\frac{q}{3\pi}-\frac12.
\]

The missing property is the full Schur condition
`|P/(2K+P)|<=1`, which is equivalent to `Re P>=-K`.

## 6. Even the full H2 bound on the Schur transform is insufficient

For the same finite `P_N`, put

\[
\phi_N(z)=\frac{P_N(z)}{t+P_N(z)}=1-\frac t{W_N(z)}.
\]

Although `phi_N` is generally not a Schur function, its exact Hardy norm is

\[
\boxed{\|\phi_N\|_{H^2}^2=\frac{N}{(t-1)(t+N)}.}
\]

In particular at `t=2`, corresponding formally to a proposed `K=1`, this
norm is `N/(N+2)<1` for every `N`. Therefore **finite termination + stable
denominator + the complete Parseval/H2 inequality** does not recover the
Chowla bound. An argument that replaces Schur `H-infinity` contractivity
by coefficient square summability has lost essential information.

### Exact derivation of the formula

Define the real symmetric covariance sequence

\[
\gamma_j=\int\frac{e^{ijx}}{|W_N(e^{ix})|^2}\,dx,
\qquad\gamma_{-j}=\gamma_j.
\]

Root-freeness makes `1/W_N` analytic in a neighborhood of the closed disk.
Fourier coefficients of `W_N/|W_N|^2=1/overline(W_N)` give

\[
t\gamma_0+\sum_{k=1}^N\gamma_k=1/t,
\]

and, for `1<=j<=N`,

\[
t\gamma_j+\gamma_0+
\sum_{r=1}^{j-1}\gamma_r+
\sum_{r=1}^{N-j}\gamma_r=0.\tag{*}
\]

The equations for `j` and `N+1-j` have the same two sums, so
`gamma_j=gamma_(N+1-j)`. Subtracting adjacent equations then gives
`(t-1)(gamma_(j+1)-gamma_j)=0`. Thus all `gamma_1,...,gamma_N` equal a
common `g`. Solving the two remaining equations yields

\[
g=-\frac{\gamma_0}{t+N-1},\qquad
\gamma_0=\frac{t+N-1}{t(t-1)(t+N)}.
\]

Finally `int(1/W_N)=1/t` and therefore

\[
\|1-t/W_N\|_2^2=t^2\gamma_0-1
=\frac{N}{(t-1)(t+N)}.
\]

## 7. A valid primitive-frequency consequence of the Schur transform

For an admissible `P`, `phi=P/(2K+P)` is Schur. Its formal Taylor series
is

\[
\phi=\sum_{m\ge1}(-1)^{m-1}\frac{P^m}{(2K)^m}.
\]

If `a in A` cannot be represented as a sum of two or more elements of
`A`, the coefficient of `z^a` is exactly `1/(2K)`. If there are `s` such
primitive frequencies, Parseval gives `s/(4K^2)<=1`, hence `s<=4K^2`.
The gap is explicit: most elements of a general finite `A` can be
decomposable, for example only `1` is primitive in `{1,...,N}`. Section 6
shows why replacing the missing information by an H2 argument alone
cannot finish the general proof.



==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: general_factorization/exact_product_monotonicity.json
==============================================================================

{
  "base_set": [
    1,
    2,
    3,
    4,
    5,
    6,
    7,
    8,
    9,
    10,
    11,
    12,
    13,
    14,
    15,
    16,
    17,
    18,
    19,
    20,
    21,
    22,
    23,
    24,
    25,
    26,
    27,
    28,
    29,
    30,
    31,
    32,
    33,
    34,
    35,
    36,
    37,
    38,
    39,
    40,
    41,
    42,
    43,
    44,
    45,
    46,
    47,
    48,
    49,
    50,
    51,
    52,
    53,
    54,
    55,
    56,
    57,
    58,
    59,
    60,
    61,
    62,
    63,
    64,
    65,
    66,
    67,
    68,
    69,
    70,
    71,
    72,
    73,
    74,
    75,
    76,
    77,
    78,
    79,
    80,
    81,
    82,
    83,
    84,
    85,
    86,
    87,
    88,
    89,
    90,
    91,
    92,
    93,
    94,
    95,
    96,
    97,
    98,
    99,
    100
  ],
  "delta": "1/10",
  "added_exponent": 140,
  "assertion": "new_H2_squared / old_H2_squared < 49/50",
  "check_20r_gt_3F": true,
  "F_integer": "146374822418101815585061783286005147344493183697048770579200414270162540021478923247351703621550661272332359695000009637763913256163811894589558214408881062770667893290533638672123573896683878237030001",
  "r_integer": "23818901984579365297781876136651271468579208826150306422839498676943338773639027292975125643954971682683242776992865871426460533972667239920577522699479138606575509762138634169563337985833333306190000",
  "positive_integer_gap_20r_minus_3F": "37253572437281859200452172875009987338104625431859816719188730728379155408343776117447402014447449836667776454857288515237470910961909114642875810762939583819506515371171767374896038026615031412709997",
  "old_H2_squared_denominator": "10^200",
  "new_to_old_ratio_numerator": "14307479024536696068135602589153494452422227376878919700042451867747549766696590702123019552897517354851903473655143655985626028193091656555133829201307404567705947027101124822493214203848405035816230101",
  "new_to_old_ratio_denominator": "14637482241810181558506178328600514734449318369704877057920041427016254002147892324735170362155066127233235969500000963776391325616381189458955821440888106277066789329053363867212357389668387823703000100"
}


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: general_factorization/exact_product_monotonicity.py
==============================================================================

"""Exact counterexample to increasing-exponent monotonicity of damped product H2 norm.
Uses Python integers only. No floating-point decisions and no external dependencies.
"""
import json
from pathlib import Path

q=[1]
for a in range(1,101):
    new=[0]*(len(q)+a)
    for j,c in enumerate(q):
        new[j]+=10*c
        new[j+a]-=c
    q=new
# q = coefficients of product_{a=1}^{100}(10-z^a).
F=sum(c*c for c in q)
r=sum(q[j]*q[j+140] for j in range(len(q)-140))
# Adding (1-z^140/10) changes normalized squared H2 norm by factor
# (101F-20r)/(100F). This is strictly less than 49/50 iff 3F<20r.
assert 20*r>3*F
out={"base_set":list(range(1,101)),"delta":"1/10","added_exponent":140,
     "assertion":"new_H2_squared / old_H2_squared < 49/50",
     "check_20r_gt_3F":True,
     "F_integer":str(F),"r_integer":str(r),"positive_integer_gap_20r_minus_3F":str(20*r-3*F),
     "old_H2_squared_denominator":"10^200",
     "new_to_old_ratio_numerator":str(101*F-20*r),
     "new_to_old_ratio_denominator":str(100*F)}
path=Path(__file__).with_suffix('.json')
path.write_text(json.dumps(out,indent=2)+'\n')
print(json.dumps({k:v for k,v in out.items() if not k.endswith('_integer') and not k.startswith('new_to_old') and not k.startswith('positive_integer') and k!='base_set'},indent=2))
print('Positive exact comparison verified. Receipt:',path)


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: counterexample/FINITE_AUDIT.md
==============================================================================

# Independent audit of the finite cosine-sum result

## Verdict

The finite claim was independently reproduced:

\[
A_* = \{1,2,3,4,5,6,7,8,10,11,13,14,15,16,17,21\}
\]

is the **unique** minimizer of

\[
\frac{-\min_{x\in\mathbb R}\sum_{a\in A}\cos(ax)}{\sqrt{|A|}}
\]

among all **4,194,303 nonempty subsets of `{1,...,22}`**.

The certified bounds are strict:

\[
2.454832753<K(A_*)<2.4548327531,
\]

so

\[
0.61370818825<\frac{K(A_*)}{4}<0.613708188275.
\]

Every other nonempty subset of `{1,...,22}` has ratio at least
`0.613708188275`. Hence equality with the winner is excluded, even though
the comparison certificates for other sets only give non-strict bounds.

This says nothing about sets containing a frequency greater than `22`,
and gives no universal asymptotic constant. Mathematical novelty was not
established. The independent verification here is another program and
algebraic audit within this work, not outside expert review or a Lean proof.

## Independence and method

`redteam_finite_check.py` does not import `compute/exact_grid.py` or
`compute/certify.py`.

1. It constructs rigorous cosine upper bounds using **Machin's identity
   for pi plus exact rational alternating Taylor bounds**, rather than
   repeated half-angle square roots and interval rotations.
2. It enumerates subsets using two **direct 11-element subset-sum tables**,
   rather than Gray-code updates.
3. It independently derives the winner's Chebyshev coefficients from the
   **closed factorial formula**, rather than a recurrence.
4. It verifies every supplied Sturm-chain identity using exact polynomial
   division and checks that all scaling factors are positive. It verifies
   the endpoint signs and counts variations itself: `10` at both ends.
5. It verifies the rational witness for the strict lower bound.

The exhaustive pass on a 513-point certified grid left exactly one
unexcluded set, the winner. Rechecking that exception on the full
4097-point grid agreed with the original result. The runtime was about
2.31 seconds in this environment. The transcript is in
`redteam_finite_check.json`.

### Why the interval construction is rigorous

For an even number of terms, the alternating arctangent sum is a lower
bound and the next positive term supplies an upper bound. Machin's
identity gives bounds on pi using exact rational arithmetic. The identity
can be checked directly: if `alpha=atan(1/5)`, `beta=atan(1/239)`, then
`tan(2alpha)=5/12`, `tan(4alpha)=120/119`, and
`tan(4alpha-beta)=1`; this angle lies in `(0,pi/2)`, hence is `pi/4`.

Angles are reflected into `[0,pi/2]`. Cosine is decreasing there, so
evaluating its upper Taylor bound at a lower angle bound is safe. For
negative cosine values the lower Taylor bound is negated. The omitted
alternating tails have decreasing magnitudes. Final conversion to units
of `2^-40` uses an exact integer ceiling.

### Why the finite exclusions are rigorous

At every tested angle, the sum of the certified cosine upper bounds is
an upper bound on the true sum. Therefore its negative is a lower bound
on `K(A)`. If any such bound is at least

\[
0.613708188275\sqrt{|A|},
\]

that set cannot tie or beat the winner. The square root comparison is
performed by exact integer squares and ceilings; no floating-point square
root enters a logical decision. Using finitely many angles is sufficient
for this direction of inequality. For the winner's opposite inequality,
the Sturm argument covers the entire continuous interval.

## Source-code audit observations

No invalid inequality, overflow, missing subset, or sign error was found
in the original implementation for the stated inputs.

* `22 * 2^40 < 2^63`, so all signed 64-bit subset sums are safe.
* Gray-code membership and cardinality updates are consistent.
* The threshold is the exact integer ceiling of the required scaled
  square-root expression; its inequality direction is correct.
* Sturm normalization divides by positive factors only, preserving signs.
* The sine interval is clipped into `[0,1]`, valid for all states used in
  the cosine table. The original version also performed an unused rotation
  beyond pi; this update has been removed. No certified value changed.
* `exact_grid.py` divides the winning upper bound by `4`, relying on this
  particular winner having `16` terms. This was independently checked and
  is now explicitly asserted; this is a checker for the stated finite claim.
* At the time of inspection, `certify.py`'s main entry point regenerated
  certificates for the 6- and 11-term candidates but not the 16-term
  winner. The package-level `run_verification.py` now recomputes and checks
  all three supplied certificates, including the winner, and runs both
  finite enumerations. This reproduces the proof from the supplied inputs;
  the supplied winner certificate was also verified independently.



==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: counterexample/NOTES.md
==============================================================================

# Counterexample search and a rigorous product obstruction

## Scope and result

Let `A` be a nonempty finite set of **distinct positive integers**, put

\[
f_A(x)=\sum_{a\in A}\cos(ax),\qquad N=|A|,\qquad K(A)=-\min_x f_A(x).
\]

To disprove Chowla's conjecture one needs an unbounded sequence of sets with
`K(A)/sqrt(|A|) -> 0`. One finite favorable ratio, or an upper bound with a
smaller positive constant, does not suffice.

**No counterexample was obtained.** The useful rigorous result of this
attempt is that the natural coefficient-preserving digit-product operation
cannot amplify a finite favorable ratio: its actual one-dimensional ratio
grows exponentially with the number of product factors. This is an
elementary obstruction for a restricted operation, not a solution to the
general conjecture and not a claim of mathematical novelty.

## 1. Exact digit-product construction

Fix `A`, let `D=max A`, and choose an integer `B>=2D+1`. Define

\[
S=\{0\}\cup A\cup(-A),\quad M=2N+1,\quad
T_m=\left\{\sum_{j=0}^{m-1}s_jB^j:s_j\in S\right\},\quad
C_m=T_m\cap\mathbb Z_{>0}.
\]

Every digit representation is unique. Indeed, if two differ, at their
largest differing position `h` the leading difference has absolute value
at least `B^h`, whereas the sum of lower differences has absolute value
at most

\[
2D\frac{B^h-1}{B-1}\le B^h-1.
\]

Consequently `|T_m|=M^m`, `0` occurs only from all-zero digits, `T_m` is
symmetric, and

\[
|C_m|=\frac{M^m-1}{2},\qquad
1+2f_{C_m}(x)=\prod_{j=0}^{m-1}\left(1+2f_A(B^jx)\right).
\]

This preserves distinct positive frequencies and coefficient `+1`
exactly. No multiset or arbitrary phases are introduced.

## 2. The actual one-dimensional minimum becomes too negative

First `K=K(A)>1/2`. To see this, the continuous nonnegative function
`Q=K+f_A` has mean `K` and its Fourier coefficient at any `a in A` is
`1/2`, so the triangle inequality gives `K>=1/2`. Equality would force
`exp(iax)` to have constant argument wherever `Q(x)>0`. But `Q` is
positive on an open interval (`Q(0)=K+N>0`), which is impossible for
`a>0`.

Choose `theta0 in [0,pi]` with `f_A(theta0)=-K`, and evaluate the product
at `x=theta0/B^(m-1)`. Writing `P(t)=1+2f_A(t)` gives

\[
1+2f_{C_m}(x)=-(2K-1)\prod_{r=1}^{m-1}P(\theta_0/B^r).
\]

All factors on the right after the minus sign are positive because
`a theta0/B^r < pi/2`. We can give a bound uniform in `B>=2D+1`.
Set `p_r=P(theta0/B^r)/M`. Then `p_1>=1/M`. For `r>=2`,

\[
0\le1-p_r
 =\frac{2}{M}\sum_{a\in A}(1-\cos(a\theta_0/B^r))
 \le\frac{\pi^2ND^2}{MB^{2r}}
 \le\frac{\pi^2}{8B^{2r-2}}.
\]

Since `B>=3`,

\[
\sum_{r=2}^{\infty}(1-p_r)
\le\frac{\pi^2}{8(B^2-1)}\le\frac{\pi^2}{64}<1.
\]

Using `prod(1-delta_r)>=1-sum(delta_r)` for `delta_r in [0,1]`, define
`c0=1-pi^2/64>0.845`. For every `m>=2`,

\[
\prod_{r=1}^{m-1}P(\theta_0/B^r)\ge c_0M^{m-2},
\]

and hence the **actual continuous minimum** satisfies

\[
K(C_m)\ge \frac{(2K-1)c_0M^{m-2}+1}{2}.
\]

Dividing by `sqrt((M^m-1)/2)` proves

\[
\frac{K(C_m)}{\sqrt{|C_m|}}\longrightarrow\infty\quad(m\to\infty).
\]

This remains true if the digit base is changed with `m`, provided each
base is at least `2D+1`, since the displayed bound is uniform in the base.
The seed `A` is fixed in this conclusion. It does not exclude constructions
with a changing seed that already has ratios tending to zero.

### Why the superficially positive alternative fails

The product `prod_j(K+f_A(theta_j))` is nonnegative. Its constant
coefficient is `K^m`, but after expansion a cosine frequency using exactly
`r` nonzero coordinate digits has coefficient

\[
2^{1-r}K^{m-r}.
\]

They differ across support sizes. Multiplying by `2^(m-1)` makes them
`(2K)^(m-r)`, not all `1`. They are uniform only when `K=1/2`, which was
just proved impossible. Replacing these weights by coefficient `1`
invalidates the nonnegativity identity. Splitting repeated frequencies is
also not an identity of trigonometric polynomials.

## 3. A higher-multiplicity shell experiment

Choose integers `b_i=B^(i-1)`, `B>=3`. For each selected support size
`r in R subset {1,...,d}`, take all signed sums of `r` distinct `b_i`,
identifying a sum with its negative and keeping the positive representative.
The resulting frequency set is distinct and

\[
N=\sum_{r\in R}2^{r-1}\binom dr,\qquad
f_A(x)=\sum_{r\in R}2^{r-1}e_r(\cos(b_1x),\ldots,\cos(b_dx)).
\]

The polynomial in independent variables `t_i in [-1,1]` is multilinear.
Its minimum over the cube occurs at vertices; at vertices with `j`
negative coordinates its value is exactly

\[
\sum_{r\in R}2^{r-1}\sum_k(-1)^k\binom jk\binom{d-j}{r-k}.
\]

`hypercube_shells.py` exhaustively evaluates all nonempty `R` for every
`d=1,...,20`, totaling **2,097,130 shell selections**. Cardinalities and
vertex values are calculated with integer arithmetic; floating point is
used only for ratios. The largest possible count at `d=20` is
`(3^20-1)/2=1,743,392,200`, safely within signed 64-bit arithmetic.

No sub-square-root certificate arose. For even `d`, a best certified ratio
is `1` (e.g. `R={1,2}`); for odd `d>=3`, it is `sqrt((d-1)/d)`
(attained by `R={2}`). These finite observations are not an all-`d`
theorem.

**Critical limitation:** the cube minimum is only a lower bound for the
one-dimensional function. Failure to find a favorable cube certificate
does not exclude a better actual minimum for a particular integer base,
and does not exclude a counterexample in this same family by another
analysis. For each fixed `d` and `R`, the actual minimum converges to the
cube minimum as `B -> infinity`. One proof chooses the base-`B` digits
of `x/(2pi)` successively to approximate any specified tuple of phases;
each phase error is at most `2pi/B`, then continuity finishes. This
convergence has no claim of uniformity in `d`.

## 4. Primary-source audit

* Bu et al., *A half-constant upper bound for Chowla's cosine problem*,
  arXiv:2610.17160v1 (12 October 2026):
  <https://arxiv.org/html/2610.17160v1>.
  The primary HTML correctly states the classical Sidon upper bound as
  `sqrt(n/2)` and the claimed new bound as `sqrt(n)/2+O(n^(1/4)sqrt(log n))`.
  Search/abstract snippets flattened the first expression incorrectly,
  creating the appearance of a redundant claim. The paper does not claim
  a counterexample or a solution to Chowla's lower-bound conjecture.
* The paper's two-sided square identity was checked algebraically:
  for a Sidon set `S={s_i}`, the two disjoint frequency families
  `3|s_i-s_j|` and `|3(s_i+s_j)+1|` (`i<j`) have total size `k(k-1)`;
  with `rho=sum cos((3s_i+1/2)x)` and `g=sum cos((6s_i+1)x)`,
  `f=rho^2-k/2-g/2`. The square creates a fixed leading constant,
  and does not directly give a route to a vanishing ratio. The full
  analytic construction in that new preprint was not independently
  formally verified in this attempt.
* Bedert, *Polynomial bounds for the Chowla Cosine Problem*, v3,
  24 July 2026: <https://arxiv.org/html/2509.05260v3>.
  Its abstract states the lower exponent `1/5-o(1)`, so a claim that
  `1/7` remains the current record based only on the older problem
  catalog is outdated. Root is separately auditing later lower bounds.

## 5. Why two other apparent shortcuts do not currently give a construction

### Flat signed polynomials and large Newman polynomials

Balister, Bollobas, Morris, Sahasrabudhe, and Tiba prove the existence of
Littlewood polynomials with coefficients in `{-1,+1}` and modulus between
two absolute positive multiples of the square root of the degree:
<https://arxiv.org/abs/1907.09464>.
This is not an all-positive-coefficient cosine polynomial and it is not a
statement that both constants converge to `1`. Squaring the modulus yields
autocorrelation coefficients `sum_j epsilon_j epsilon_(j+h)`, which may be
negative and vary with `h`. They cannot simply be relabeled as distinct
cosine terms with coefficient `+1`.

For Newman polynomials (coefficients `0/1`), Mercer's Fact 2.2 in
<https://arxiv.org/pdf/1709.06612> really does give a useful digit-product:
`min |P(z)Q(z^B)| >= (min|P|)(min|Q|)` on the unit circle. This is an
inequality about modulus, not real part. The analogous inequality for
`min Re` is false. Further, digit products of Sidon supports are normally
not Sidon: differences confined to one coordinate have many repeated
representations from the remaining coordinates. Thus squaring them does
not produce a permitted unit-coefficient sum either.

### A finite cyclic graph can hide large troughs between character samples

For `A={1,...,n}` and `q=2n+1`, every nontrivial `q`-th root satisfies

\[
f_A(2\pi j/q)=-1/2\quad(1\le j<q).
\]

So sampling only those characters falsely suggests a bounded negative
excursion despite growing cardinality. This corresponds to the complete
Cayley graph on the cyclic group, whose nontrivial adjacency eigenvalues
are `-1`. But the exact Dirichlet-kernel identity gives

\[
f_A(x)=\frac{\sin(qx/2)}{2\sin(x/2)}-\frac12,
\]

and at `x=3pi/q`,

\[
f_A(3\pi/q)=-\frac{1}{2\sin(3\pi/(2q))}-\frac12
\le-\frac{q}{3\pi}-\frac12.
\]

The true negative excursion therefore grows linearly. Good eigenvalues on
one finite quotient do not certify a bound on the continuous circle. This
is a concrete obstruction to directly lifting the apparently strongest
finite-graph counterexample, not an obstruction to all spectral methods.
For the legitimate spectral approach to the lower-bound problem, see
Jin, Milojevic, Tomon, Zhang:
<https://arxiv.org/html/2509.03490v2>.



==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: counterexample/hypercube_shell_results.json
==============================================================================

[
  {
    "d": 1,
    "R": [
      1
    ],
    "N": 1,
    "K": 1,
    "K_over_sqrtN": 1.0,
    "vertex_spectrum": [
      1,
      -1
    ]
  },
  {
    "d": 2,
    "R": [
      1,
      2
    ],
    "N": 4,
    "K": 2,
    "K_over_sqrtN": 1.0,
    "vertex_spectrum": [
      4,
      -2,
      0
    ]
  },
  {
    "d": 3,
    "R": [
      2
    ],
    "N": 6,
    "K": 2,
    "K_over_sqrtN": 0.8164965809277261,
    "vertex_spectrum": [
      6,
      -2,
      -2,
      6
    ]
  },
  {
    "d": 4,
    "R": [
      1,
      2
    ],
    "N": 16,
    "K": 4,
    "K_over_sqrtN": 1.0,
    "vertex_spectrum": [
      16,
      2,
      -4,
      -2,
      8
    ]
  },
  {
    "d": 5,
    "R": [
      2
    ],
    "N": 20,
    "K": 4,
    "K_over_sqrtN": 0.8944271909999159,
    "vertex_spectrum": [
      20,
      4,
      -4,
      -4,
      4,
      20
    ]
  },
  {
    "d": 6,
    "R": [
      1,
      2
    ],
    "N": 36,
    "K": 6,
    "K_over_sqrtN": 1.0,
    "vertex_spectrum": [
      36,
      14,
      0,
      -6,
      -4,
      6,
      24
    ]
  },
  {
    "d": 7,
    "R": [
      2
    ],
    "N": 42,
    "K": 6,
    "K_over_sqrtN": 0.9258200997725514,
    "vertex_spectrum": [
      42,
      18,
      2,
      -6,
      -6,
      2,
      18,
      42
    ]
  },
  {
    "d": 8,
    "R": [
      1,
      2
    ],
    "N": 64,
    "K": 8,
    "K_over_sqrtN": 1.0,
    "vertex_spectrum": [
      64,
      34,
      12,
      -2,
      -8,
      -6,
      4,
      22,
      48
    ]
  },
  {
    "d": 9,
    "R": [
      2
    ],
    "N": 72,
    "K": 8,
    "K_over_sqrtN": 0.9428090415820635,
    "vertex_spectrum": [
      72,
      40,
      16,
      0,
      -8,
      -8,
      0,
      16,
      40,
      72
    ]
  },
  {
    "d": 10,
    "R": [
      1,
      2
    ],
    "N": 100,
    "K": 10,
    "K_over_sqrtN": 1.0,
    "vertex_spectrum": [
      100,
      62,
      32,
      10,
      -4,
      -10,
      -8,
      2,
      20,
      46,
      80
    ]
  },
  {
    "d": 11,
    "R": [
      2
    ],
    "N": 110,
    "K": 10,
    "K_over_sqrtN": 0.9534625892455924,
    "vertex_spectrum": [
      110,
      70,
      38,
      14,
      -2,
      -10,
      -10,
      -2,
      14,
      38,
      70,
      110
    ]
  },
  {
    "d": 12,
    "R": [
      1,
      2
    ],
    "N": 144,
    "K": 12,
    "K_over_sqrtN": 1.0,
    "vertex_spectrum": [
      144,
      98,
      60,
      30,
      8,
      -6,
      -12,
      -10,
      0,
      18,
      44,
      78,
      120
    ]
  },
  {
    "d": 13,
    "R": [
      2
    ],
    "N": 156,
    "K": 12,
    "K_over_sqrtN": 0.9607689228305227,
    "vertex_spectrum": [
      156,
      108,
      68,
      36,
      12,
      -4,
      -12,
      -12,
      -4,
      12,
      36,
      68,
      108,
      156
    ]
  },
  {
    "d": 14,
    "R": [
      1,
      2
    ],
    "N": 196,
    "K": 14,
    "K_over_sqrtN": 1.0,
    "vertex_spectrum": [
      196,
      142,
      96,
      58,
      28,
      6,
      -8,
      -14,
      -12,
      -2,
      16,
      42,
      76,
      118,
      168
    ]
  },
  {
    "d": 15,
    "R": [
      2
    ],
    "N": 210,
    "K": 14,
    "K_over_sqrtN": 0.9660917830792959,
    "vertex_spectrum": [
      210,
      154,
      106,
      66,
      34,
      10,
      -6,
      -14,
      -14,
      -6,
      10,
      34,
      66,
      106,
      154,
      210
    ]
  },
  {
    "d": 16,
    "R": [
      1,
      2
    ],
    "N": 256,
    "K": 16,
    "K_over_sqrtN": 1.0,
    "vertex_spectrum": [
      256,
      194,
      140,
      94,
      56,
      26,
      4,
      -10,
      -16,
      -14,
      -4,
      14,
      40,
      74,
      116,
      166,
      224
    ]
  },
  {
    "d": 17,
    "R": [
      2
    ],
    "N": 272,
    "K": 16,
    "K_over_sqrtN": 0.9701425001453319,
    "vertex_spectrum": [
      272,
      208,
      152,
      104,
      64,
      32,
      8,
      -8,
      -16,
      -16,
      -8,
      8,
      32,
      64,
      104,
      152,
      208,
      272
    ]
  },
  {
    "d": 18,
    "R": [
      1,
      2
    ],
    "N": 324,
    "K": 18,
    "K_over_sqrtN": 1.0,
    "vertex_spectrum": [
      324,
      254,
      192,
      138,
      92,
      54,
      24,
      2,
      -12,
      -18,
      -16,
      -6,
      12,
      38,
      72,
      114,
      164,
      222,
      288
    ]
  },
  {
    "d": 19,
    "R": [
      2
    ],
    "N": 342,
    "K": 18,
    "K_over_sqrtN": 0.9733285267845753,
    "vertex_spectrum": [
      342,
      270,
      206,
      150,
      102,
      62,
      30,
      6,
      -10,
      -18,
      -18,
      -10,
      6,
      30,
      62,
      102,
      150,
      206,
      270,
      342
    ]
  },
  {
    "d": 20,
    "R": [
      1,
      2
    ],
    "N": 400,
    "K": 20,
    "K_over_sqrtN": 1.0,
    "vertex_spectrum": [
      400,
      322,
      252,
      190,
      136,
      90,
      52,
      22,
      0,
      -14,
      -20,
      -18,
      -8,
      10,
      36,
      70,
      112,
      162,
      220,
      286,
      360
    ]
  }
]


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: counterexample/hypercube_shells.py
==============================================================================

"""Restricted counterexample search, exact integer arithmetic on shell spectra.

For dissociated b_1,...,b_d, include all (signed) sums with support size r,
modulo overall sign, for each r in R. Then f_A(x) = sum_{r in R}
2^(r-1) e_r(cos(b_1 x),...,cos(b_d x)). It is multilinear on [-1,1]^d,
so its universal lower bound is its minimum at vertices. Vertices with j
negative coordinates give integer Krawtchouk polynomials. Search every
R subset {1,...,d} and report the smallest bound K/sqrt(|A|).

This is a finite family search, not a proof for arbitrary A.
"""
import math
import json
import numpy as np

def search(d):
    n_by_r = np.array([2**(r-1)*math.comb(d,r) for r in range(1,d+1)], dtype=np.int64)
    spectrum = np.array([[2**(r-1)*sum((-1)**k*math.comb(j,k)*math.comb(d-j,r-k)
                       for k in range(max(0,r-(d-j)),min(j,r)+1))
                       for j in range(d+1)] for r in range(1,d+1)], dtype=np.int64)
    best = (float('inf'),None)
    # Batch all shell selections. Every quantity before final ratio is integer.
    for offset in range(1,1<<d,16384):
        masks=np.arange(offset,min(1<<d,offset+16384),dtype=np.int64)
        bits=(masks[:,None]>>np.arange(d))&1
        ns=bits@n_by_r
        vals=bits@spectrum
        ks=-vals.min(axis=1)
        ratios=ks/np.sqrt(ns)
        ind=int(ratios.argmin())
        if ratios[ind]<best[0]:
            mask=int(masks[ind])
            best=(float(ratios[ind]),{'d':d,'R':[r+1 for r in range(d) if mask>>r&1],
                                    'N':int(ns[ind]),'K':int(ks[ind]),
                                    'K_over_sqrtN':float(ratios[ind]),
                                    'vertex_spectrum':[int(v) for v in vals[ind]]})
    return best[1]

if __name__=='__main__':
    results=[]
    for d in range(1,21):
        res=search(d)
        results.append(res)
        print(json.dumps(res),flush=True)
    from pathlib import Path
    Path(__file__).with_name('hypercube_shell_results.json').write_text(json.dumps(results,indent=2)+'\n')


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: counterexample/redteam_finite_check.json
==============================================================================

{
  "nonempty_subsets_checked": 4194303,
  "coarse_grid_points": 513,
  "full_grid_points": 4097,
  "coarse_survivors": 1,
  "exceptions": [
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        10,
        11,
        13,
        14,
        15,
        16,
        17,
        21
      ],
      "N": 16,
      "lambda_lower_grid": "1349555785747/549755813888"
    }
  ],
  "winner": [
    1,
    2,
    3,
    4,
    5,
    6,
    7,
    8,
    10,
    11,
    13,
    14,
    15,
    16,
    17,
    21
  ],
  "strict_winner_ratio_upper": "24548327531/40000000000",
  "winner_verification": {
    "lambda_lower": "2454832753/1000000000",
    "lambda_upper": "24548327531/10000000000",
    "sturm_variations_at_minus_one": 10,
    "sturm_variations_at_plus_one": 10,
    "checked_sturm_polynomials": 22,
    "independent_chebyshev_method": "closed factorial coefficient formula"
  },
  "cosine_bounds": {
    "pi_lower": "3141592653589793238462643383271/1000000000000000000000000000000",
    "pi_upper": "39269908169872415480783042291/12500000000000000000000000000",
    "cos_taylor_upper_last_index": 12,
    "cos_taylor_lower_last_index": 13,
    "output_scale": 1099511627776
  },
  "enumeration": "11+11 direct subset-sum table, no Gray-code",
  "conclusion": "Unique finite-universe minimizer certified independently; no claim about unbounded frequencies or the Chowla conjecture.",
  "seconds": 2.209167957305908
}


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: counterexample/redteam_finite_check.py
==============================================================================

"""Independent audit of the finite {1,...,22} cosine search.

Different cosine construction: Machin's formula + rational Taylor bounds.
Different enumeration: direct 11+11 meet-in-the-middle subset table.
Winner: verify the supplied exact Sturm certificate by checking identities.
Only integer/Fraction arithmetic is used in all logical comparisons.
"""
from pathlib import Path
from fractions import Fraction as F
from math import factorial, isqrt
import json
import time
import numpy as np

HERE=Path(__file__).parent
INPUT=HERE.parent/'compute'
M=22; H=11; K=4096; SCALE=1<<40

def ceiling(q):
    return -((-q.numerator)//q.denominator)

def atan_bounds(den, terms):
    # terms even: alternating series stops on a negative term, hence below.
    assert terms%2==0
    lo=sum((F((-1)**k, (2*k+1)*den**(2*k+1)) for k in range(terms)),F(0))
    return lo,lo+F(1,(2*terms+1)*den**(2*terms+1))

def pi_bounds():
    a,b=atan_bounds(5,20);c,d=atan_bounds(239,10)
    # Machin identity: pi=16 atan(1/5)-4 atan(1/239).
    lo=16*a-4*d;hi=16*b-4*c
    den=10**30
    return F((lo*den).numerator//(lo*den).denominator,den),F(ceiling(hi*den),den)

def cos_taylor(x,last_index):
    # x<=2, and the omitted alternating tail is decreasing in magnitude.
    # Even last index gives an upper bound; odd gives a lower bound.
    assert 0<=x<=2
    term=F(1);total=term
    for j in range(1,last_index+1):
        term *= -x*x/F((2*j-1)*(2*j))
        total += term
    return total

def certified_cosine_upper_table():
    lo,hi=pi_bounds()
    assert F(3)<lo<hi<F(4)
    table=[]
    for k in range(K+1):
        if k==0:q=F(1)
        elif k==K//2:q=F(0)
        elif k==K:q=F(-1)
        elif k<K//2:
            # cos is decreasing: replace angle by lower rational endpoint.
            q=cos_taylor(F(k,K)*lo,12)
        else:
            # cos(pi-t)=-cos(t); use a lower cosine bound before negating.
            q=-cos_taylor(F(K-k,K)*hi,13)
        table.append(ceiling(q*SCALE))
    assert all(-SCALE<=u<=SCALE for u in table)
    return np.array(table,dtype=np.int64),{'pi_lower':str(lo),'pi_upper':str(hi),'cos_taylor_upper_last_index':12,'cos_taylor_lower_last_index':13,'output_scale':SCALE}

def trim(p):
    p=list(p)
    while p and p[-1]==0:p.pop()
    return p

def poly_remainder(p,q):
    a=list(map(F,trim(p)));b=list(map(F,trim(q)))
    assert b
    while len(a)>=len(b):
        s=a[-1]/b[-1];offset=len(a)-len(b)
        for k in range(len(b)):
            a[offset+k]-=s*b[k]
        a=trim(a)
    return a

def positive_multiple(a,b):
    a=trim(a);b=trim(b)
    assert a and b and len(a)==len(b)
    factor=F(a[-1],b[-1])
    assert factor>0 and all(F(x)==factor*y for x,y in zip(a,b))

def eval_at(p,x):
    return sum((F(c)*x**i for i,c in enumerate(p)),F(0))

def variations_at(sequence,x):
    signs=[]
    for p in sequence:
        y=eval_at(p,x)
        if y:signs.append(1 if y>0 else -1)
    return sum(a!=b for a,b in zip(signs,signs[1:]))

def verify_winner():
    cert=json.loads((INPUT/'certificate_N16.json').read_text())
    A=cert['A'];assert len(A)==16 and len(A)==len(set(A)) and all(1<=a<=M for a in A)
    # Closed formula for Chebyshev coefficients, independent of recurrence.
    p=[F(0)]*(max(A)+1)
    for a in A:
        for j in range(a//2+1):
            power=a-2*j
            p[power]+=F(a,2)*(-1)**j*F(factorial(a-j-1),factorial(j)*factorial(power))*2**power
    assert p==cert['chebyshev_polynomial_ascending']
    lower=F(cert['lambda_lower']);upper=F(cert['lambda_upper'])
    q=p.copy();q[0]+=upper
    seq=cert['sturm_sequence_ascending']
    positive_multiple(seq[0],q)
    positive_multiple(seq[1],[i*seq[0][i] for i in range(1,len(seq[0]))])
    for j in range(1,len(seq)-1):
        rem=poly_remainder(seq[j-1],seq[j])
        positive_multiple(seq[j+1],[-r for r in rem])
    assert not poly_remainder(seq[-2],seq[-1])
    left=variations_at(seq,F(-1));right=variations_at(seq,F(1))
    assert left==right and eval_at(q,F(-1))>0 and eval_at(q,F(1))>0
    w=F(cert['rational_x_witness']);assert -1<=w<=1 and eval_at(p,w)+lower<0
    return A,upper/4,{'lambda_lower':str(lower),'lambda_upper':str(upper),'sturm_variations_at_minus_one':left,'sturm_variations_at_plus_one':right,'checked_sturm_polynomials':len(seq),'independent_chebyshev_method':'closed factorial coefficient formula'}

def subset_sums(rows):
    n=len(rows);out=np.zeros((1<<n,rows.shape[1]),dtype=np.int64)
    sizes=np.zeros(1<<n,dtype=np.int64)
    for mask in range(1,1<<n):
        bit=(mask&-mask).bit_length()-1
        prev=mask^(1<<bit)
        out[mask]=out[prev]+rows[bit]
        sizes[mask]=sizes[prev]+1
    return out,sizes

def main():
    started=time.time()
    winner,ratio,winner_report=verify_winner()
    print('Winner Sturm identities and strict bounds verified independently.',flush=True)
    table,cosmeta=certified_cosine_upper_table()
    print('Independent rational Taylor cosine upper bounds constructed.',flush=True)
    phases=(np.arange(1,M+1)[:,None]*np.arange(K+1)[None,:])%(2*K)
    phases=np.minimum(phases,2*K-phases)
    C=table[phases]
    assert M*SCALE < 2**63
    thresholds=[0]
    for n in range(1,M+1):
        a=SCALE*SCALE*ratio.numerator*ratio.numerator*n
        b=ratio.denominator*ratio.denominator
        t=isqrt(a//b)
        while t*t*b<a:t+=1
        thresholds.append(t)
    thresholds=np.array(thresholds,dtype=np.int64)
    coarse=C[:,::8]
    left,lsizes=subset_sums(coarse[:H]);right,rsizes=subset_sums(coarse[H:])
    survivors=[];checked=0
    for hi in range(1<<H):
        minima=np.min(left+right[hi],axis=1)
        ns=lsizes+rsizes[hi]
        bad=np.flatnonzero((-minima)<thresholds[ns])
        for lo in bad:
            mask=int(lo)+(hi<<H)
            if mask:survivors.append(mask)
        checked+=(1<<H)-(hi==0)
    assert checked==(1<<M)-1
    print('All',checked,'subsets checked; coarse-grid survivors:',len(survivors),flush=True)
    exceptions=[]
    for mask in survivors:
        bits=[j for j in range(M) if (mask>>j)&1]
        lower_int=-int(np.min(C[bits].sum(axis=0)))
        if lower_int<int(thresholds[len(bits)]):
            exceptions.append({'A':[j+1 for j in bits],'N':len(bits),'lambda_lower_grid':str(F(lower_int,SCALE))})
    assert [x['A'] for x in exceptions]==[winner],exceptions
    result={'nonempty_subsets_checked':checked,'coarse_grid_points':coarse.shape[1],'full_grid_points':K+1,'coarse_survivors':len(survivors),'exceptions':exceptions,'winner':winner,'strict_winner_ratio_upper':str(ratio),'winner_verification':winner_report,'cosine_bounds':cosmeta,'enumeration':'11+11 direct subset-sum table, no Gray-code','conclusion':'Unique finite-universe minimizer certified independently; no claim about unbounded frequencies or the Chowla conjecture.','seconds':time.time()-started}
    (HERE/'redteam_finite_check.json').write_text(json.dumps(result,indent=2)+'\n')
    print(json.dumps(result,indent=2),flush=True)

if __name__=='__main__':main()


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: compute/README.md
==============================================================================

# Chowla cosine problem: finite computation and exact certificates

Date: 2026-10-18 UTC / 2026-10-17 America/Chicago.

For a nonempty finite set A of distinct positive integers, define

    lambda(A) = -min_theta sum_{a in A} cos(a theta).

The open asymptotic problem asks for a positive absolute constant c such that
lambda(A) >= c sqrt(|A|) for all A. **Nothing in these computations solves that
open problem, disproves it, or establishes mathematical novelty.**

## Main rigorously certified finite result

For

    A* = {1,2,3,4,5,6,7,8,10,11,13,14,15,16,17,21},

exact rational Sturm arithmetic proves

    2.4548327530 < lambda(A*) < 2.4548327531,
    0.613708188250 < lambda(A*) / 4 < 0.613708188275.

In addition, a finite exhaustive calculation with **integer interval arithmetic**
proves A* is the unique minimizer of lambda(A)/sqrt(|A|) among all 4,194,303
nonempty subsets of {1,...,22}. Every other set in that universe has ratio at
least 0.613708188275, strictly above the certified ratio of A*.

This is a complete result only for the stated finite universe. Frequencies can
be arbitrarily large in the original problem. We did not perform a literature
novelty check for this finite optimum.

### How the finite proof works

1. `certify.py` constructs the integer Chebyshev polynomial P_A(x)=sum T_a(x).
   The identity cos(a theta)=T_a(cos theta) identifies the entire continuum
   theta with x in [-1,1].
2. For the claimed rational upper bound b, a Sturm sequence proves P_A+b has
   zero roots in [-1,1] and positive endpoint values. Thus lambda(A)<b.
3. An explicitly stored rational x has P_A(x)+a<0, proving lambda(A)>a.
   All arithmetic in these certificates uses exact Python integers/Fractions.
4. `exact_grid.py` bounds cos(k pi/4096), for 0<=k<=4096, without floating point.
   Starting from cos(pi)=-1, repeated half-angle square roots construct the
   angle step with 96-bit integer intervals. Exact outward-rounded interval
   angle addition gives every grid value, then outward conversion gives
   rational upper bounds with denominator 2^40. Each final interval has width
   at most one unit of 2^-40.
5. Integer-frequency grid values are obtained by exact modular indexing and
   reflection. For each A, the most negative *upper* bound for its sampled
   values is a rigorous lower bound on lambda(A).
6. All 2^22-1 nonempty subsets are visited in Gray-code order. The only set
   whose resulting lower bound falls below the rigorous ratio bound of A*
   is A* itself. Thresholds for sqrt(|A|) are compared using exact integer
   squares and `isqrt`; there is no floating-point square root in this step.
7. Grid sums use signed int64, which cannot overflow here: 22 terms each have
   magnitude <=2^40, well below the 2^63 limit.

See `certificate_N16.json` and `exact_finite_M22_certificate.json`. The JSON
certificate stores the Chebyshev polynomial, the complete Sturm sequence,
endpoint signs, rational witness, bound, and finite-search counts. The
finite-search JSON is a report of a reproducible computation, not a replacement
for running/auditing the script.

## Additional rigorously bounded examples

| A | N | Exact certified interval for lambda(A) |
|---|---:|---:|
| {1,2,4,6,7,8} | 6 | (1.5918323293, 1.5918323294) |
| {1,2,3,4,5,6,8,9,10,11,14} | 11 | (2.1023812792, 2.1023812793) |
| A* above | 16 | (2.4548327530, 2.4548327531) |

Their exact certificates are `certificate_N6.json`, `certificate_N11.json`,
and `certificate_N16.json`. The first two are certified extrema for those
specific sets; we did not prove they minimize the ratio for their cardinality
among arbitrarily large frequencies.

## Numerical search coverage and limitations

- Exhaustive sampled search over every nonempty subset of {1,...,16}, then
  {1,...,22}, then {1,...,24}. The largest universe contains 16,777,215 distinct
  sets. Earlier searches are contained in it; do not add their counts and
  present that total as distinct sets.
- Each sampled search uses 4,097 equally spaced points in [0,pi], retains eight
  candidates per cardinality, and refines local minima numerically. A* was
  the best observed ratio throughout the largest universe.
- The finite ranking is rigorously certified only through maximum frequency
  22, as described above. The M24 scan remains a floating-point experiment.
- Heuristic searches made 4,560,000 proposed swaps over 60 restarts: M48/N28
  (12 x 60,000 proposals), M64/N24, M96/N36 and M128/N48 (16 x 80,000 each).
  They found no ratio lower than A*. They make no claim of global optimality.
- Heuristic seed is reproducible: base 20261018 + 1000*M + N.
- Derivative-based grid-error estimates in `exhaustive_M*.json` describe
  discretization, not rigorous floating-point roundoff bounds. Do not call
  those sampled scans exact by themselves.

## Exact two-frequency subcase

An elementary proof, independently found by root and compute agents, gives
lambda({a,b}) >= 9/8 for **all** distinct positive integers a,b, with equality
precisely when {a,b}={d,2d}. This is not claimed to be new.

Divide frequencies by their gcd. If both are odd, theta=pi gives -2. Otherwise
let o be odd and e even. If o>=3, evaluate theta=(2j+1)pi/o. The even-frequency
cosines range through real parts of all o-th roots of unity, so some sum is
at most -1-cos(pi/o)<=-3/2. If o=1 and e>=4, theta=(e-1)pi/e gives
-1-cos(pi/e)<=-1-sqrt(2)/2. The remaining normalized pair is {1,2}, where

    cos(theta)+cos(2theta) = 2(x+1/4)^2 - 9/8, x=cos(theta),

so the minimum is exactly -9/8.

## Reproduction

Requirements: Python 3, NumPy and SciPy. The exact-extremum arithmetic uses only
standard-library `fractions`; the exhaustive integer grid uses NumPy for exact
int64 vector operations. SymPy and mpmath were unavailable and are not required.

Run from this directory:

    python certify.py
    python exact_grid.py
    python search.py --M 24
    python anneal.py --M 48 --N 28 --restarts 12 --steps 60000
    python anneal.py --M 64 --N 24 --restarts 16 --steps 80000
    python anneal.py --M 96 --N 36 --restarts 16 --steps 80000
    python anneal.py --M 128 --N 48 --restarts 16 --steps 80000

The main block of `certify.py` recreates N6/N11 certificates. To recreate N16,
call `certify` with the A* list, lower='2.4548327530', upper='2.4548327531',
witness='4001706657/5000000000', save_name='certificate_N16.json'. All are
exact rational inputs. The rational witness approximates cos(theta) near the
minimizer, but its sign check is exact and does not rely on that approximation.


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: compute/anneal.py
==============================================================================

"""Reproducible finite heuristic search; no claim of global optimality."""
from pathlib import Path
import numpy as np, math, json, time
from search import refine

def anneal(M,N,K=8193,restarts=12,steps=60000,seed=20261018):
 rng=np.random.default_rng(seed+1000*M+N)
 C=np.cos(np.outer(np.arange(1,M+1),np.linspace(0,np.pi,K)))
 best=[];start=time.time()
 weights=np.arange(M,0,-1,dtype=float);weights/=weights.sum()
 for restart in range(restarts):
  selected=set(rng.choice(M,N,replace=False,p=weights).tolist())
  inside=np.array(sorted(selected));outside=np.array(sorted(set(range(M))-selected))
  y=C[inside].sum(axis=0); score=-float(y.min())/math.sqrt(N)
  best_local=(score,inside.copy())
  for iteration in range(steps):
   i=int(rng.integers(N));j=int(rng.integers(M-N));a=int(inside[i]);b=int(outside[j])
   yy=y+C[b]-C[a];ss=-float(yy.min())/math.sqrt(N)
   frac=iteration/(steps-1);temp=.09*(.002/.09)**frac
   if ss<score or rng.random()<math.exp((score-ss)/temp):
    y=yy;score=ss;inside[i]=b;outside[j]=a
    if score<best_local[0]:best_local=(score,inside.copy())
  candidate=refine(sorted((best_local[1]+1).tolist()))
  candidate['grid_ratio']=best_local[0]
  best.append(candidate);best.sort(key=lambda r:r['ratio'])
  print('M',M,'N',N,'restart',restart,'best_ratio',best[0]['ratio'],'A',best[0]['A'],'secs',round(time.time()-start,1),flush=True)
 result={'M':M,'N':N,'K':K,'restarts':restarts,'steps_each':steps,'seed':seed+1000*M+N,'seconds':time.time()-start,'best_candidates':best}
 (Path(__file__).parent/f'anneal_M{M}_N{N}.json').write_text(json.dumps(result,indent=2))
 return result

if __name__=='__main__':
 import argparse
 p=argparse.ArgumentParser();p.add_argument('--M',type=int,default=48);p.add_argument('--N',type=int,default=28);p.add_argument('--restarts',type=int,default=12);p.add_argument('--steps',type=int,default=60000);args=p.parse_args()
 anneal(args.M,args.N,restarts=args.restarts,steps=args.steps)


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: compute/anneal_M128_N48.json
==============================================================================

{
  "M": 128,
  "N": 48,
  "K": 8193,
  "restarts": 16,
  "steps_each": 80000,
  "seed": 20389066,
  "seconds": 13.972410202026367,
  "best_candidates": [
    {
      "A": [
        2,
        3,
        5,
        6,
        7,
        9,
        11,
        13,
        16,
        19,
        20,
        22,
        25,
        27,
        29,
        30,
        32,
        34,
        36,
        38,
        39,
        41,
        43,
        45,
        46,
        47,
        48,
        49,
        51,
        52,
        54,
        55,
        61,
        63,
        66,
        68,
        71,
        74,
        81,
        84,
        87,
        90,
        93,
        100,
        101,
        106,
        112,
        117
      ],
      "N": 48,
      "lambda": 5.459455081503566,
      "ratio": 0.7880044652336885,
      "theta": 2.1350102747662745,
      "critical_minima": 45,
      "grid_ratio": 0.7879987067909505
    },
    {
      "A": [
        1,
        4,
        5,
        8,
        9,
        11,
        14,
        15,
        16,
        17,
        18,
        19,
        22,
        23,
        30,
        31,
        32,
        33,
        34,
        35,
        36,
        38,
        39,
        40,
        41,
        44,
        45,
        48,
        49,
        50,
        51,
        52,
        53,
        55,
        57,
        59,
        63,
        66,
        73,
        74,
        81,
        82,
        84,
        89,
        93,
        98,
        104,
        112
      ],
      "N": 48,
      "lambda": 5.471171170340552,
      "ratio": 0.7896955369946594,
      "theta": 2.43952876456128,
      "critical_minima": 43,
      "grid_ratio": 0.7896681990083539
    },
    {
      "A": [
        2,
        3,
        4,
        6,
        7,
        9,
        10,
        11,
        12,
        14,
        15,
        17,
        18,
        20,
        21,
        22,
        24,
        26,
        29,
        30,
        31,
        34,
        35,
        38,
        40,
        41,
        44,
        46,
        47,
        48,
        51,
        53,
        55,
        56,
        58,
        60,
        62,
        65,
        69,
        71,
        82,
        86,
        89,
        100,
        104,
        106,
        108,
        111
      ],
      "N": 48,
      "lambda": 5.552249772156086,
      "ratio": 0.8013982251405888,
      "theta": 0.7423572902750102,
      "critical_minima": 46,
      "grid_ratio": 0.801390159623599
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        10,
        12,
        15,
        16,
        17,
        19,
        20,
        21,
        22,
        23,
        25,
        26,
        34,
        35,
        36,
        37,
        38,
        41,
        44,
        45,
        46,
        47,
        53,
        57,
        59,
        60,
        67,
        69,
        70,
        72,
        75,
        79,
        80,
        81,
        87,
        88,
        89,
        90,
        91,
        100,
        104,
        105,
        106,
        116,
        126
      ],
      "N": 48,
      "lambda": 5.678560350573692,
      "ratio": 0.8196295867533142,
      "theta": 0.5968638940423204,
      "critical_minima": 47,
      "grid_ratio": 0.8196215956622281
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        5,
        6,
        7,
        15,
        16,
        17,
        18,
        21,
        22,
        23,
        26,
        27,
        28,
        32,
        33,
        34,
        38,
        39,
        40,
        44,
        45,
        47,
        48,
        50,
        53,
        55,
        56,
        57,
        58,
        65,
        71,
        72,
        73,
        74,
        78,
        79,
        80,
        85,
        90,
        95,
        97,
        105,
        111,
        112,
        113,
        118
      ],
      "N": 48,
      "lambda": 5.679804310073419,
      "ratio": 0.8198091368413214,
      "theta": 2.549759312371419,
      "critical_minima": 48,
      "grid_ratio": 0.8197884211586969
    },
    {
      "A": [
        3,
        4,
        6,
        9,
        10,
        12,
        13,
        14,
        15,
        16,
        18,
        19,
        21,
        23,
        25,
        27,
        28,
        29,
        31,
        33,
        34,
        35,
        37,
        39,
        40,
        42,
        43,
        44,
        45,
        48,
        49,
        51,
        54,
        55,
        57,
        60,
        61,
        63,
        70,
        74,
        78,
        82,
        83,
        84,
        88,
        94,
        97,
        105
      ],
      "N": 48,
      "lambda": 5.681496972694177,
      "ratio": 0.8200534516462568,
      "theta": 0.10027977229545927,
      "critical_minima": 42,
      "grid_ratio": 0.8199873971498517
    },
    {
      "A": [
        1,
        3,
        7,
        8,
        10,
        11,
        13,
        14,
        15,
        16,
        17,
        18,
        20,
        21,
        24,
        26,
        27,
        29,
        31,
        32,
        34,
        37,
        38,
        39,
        42,
        43,
        44,
        45,
        50,
        52,
        53,
        54,
        55,
        58,
        59,
        63,
        65,
        66,
        67,
        69,
        70,
        76,
        81,
        84,
        85,
        92,
        121,
        124
      ],
      "N": 48,
      "lambda": 5.765419654691836,
      "ratio": 0.8321666474068727,
      "theta": 1.2204156825338948,
      "critical_minima": 44,
      "grid_ratio": 0.8321399121023947
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        5,
        9,
        12,
        14,
        16,
        17,
        19,
        25,
        29,
        30,
        31,
        33,
        34,
        35,
        38,
        39,
        42,
        46,
        47,
        51,
        52,
        58,
        59,
        60,
        63,
        65,
        68,
        71,
        74,
        75,
        76,
        77,
        89,
        90,
        93,
        94,
        99,
        104,
        106,
        109,
        118,
        120,
        121,
        123,
        128
      ],
      "N": 48,
      "lambda": 5.77226335721462,
      "ratio": 0.8331544507803186,
      "theta": 0.44959671258796274,
      "critical_minima": 47,
      "grid_ratio": 0.8330638634939596
    },
    {
      "A": [
        1,
        4,
        5,
        6,
        8,
        9,
        12,
        15,
        16,
        21,
        23,
        24,
        28,
        29,
        30,
        32,
        35,
        36,
        37,
        38,
        39,
        40,
        41,
        42,
        44,
        46,
        47,
        50,
        59,
        64,
        65,
        66,
        69,
        70,
        71,
        74,
        78,
        81,
        82,
        89,
        90,
        94,
        102,
        105,
        106,
        110,
        118,
        128
      ],
      "N": 48,
      "lambda": 5.808321457214866,
      "ratio": 0.8383589892157206,
      "theta": 2.428033400316305,
      "critical_minima": 46,
      "grid_ratio": 0.8382883642403665
    },
    {
      "A": [
        1,
        3,
        4,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        12,
        17,
        18,
        19,
        20,
        21,
        22,
        23,
        29,
        31,
        36,
        39,
        40,
        41,
        48,
        50,
        51,
        58,
        59,
        60,
        62,
        63,
        67,
        70,
        78,
        81,
        82,
        85,
        90,
        91,
        94,
        98,
        99,
        101,
        103,
        111,
        114,
        115,
        120,
        121
      ],
      "N": 48,
      "lambda": 5.814798120135123,
      "ratio": 0.8392938149858358,
      "theta": 1.1739353664519365,
      "critical_minima": 50,
      "grid_ratio": 0.8392833899030331
    },
    {
      "A": [
        1,
        4,
        5,
        6,
        7,
        11,
        13,
        18,
        19,
        21,
        24,
        25,
        30,
        31,
        32,
        34,
        35,
        37,
        38,
        42,
        43,
        44,
        46,
        47,
        48,
        51,
        53,
        55,
        62,
        64,
        66,
        67,
        71,
        72,
        76,
        77,
        78,
        80,
        85,
        98,
        99,
        102,
        106,
        109,
        110,
        115,
        117,
        120
      ],
      "N": 48,
      "lambda": 5.9410632915455865,
      "ratio": 0.8575186226616122,
      "theta": 0.6131230861038255,
      "critical_minima": 49,
      "grid_ratio": 0.8574947487834892
    },
    {
      "A": [
        2,
        4,
        5,
        8,
        9,
        12,
        13,
        14,
        17,
        19,
        20,
        21,
        22,
        26,
        28,
        29,
        32,
        34,
        35,
        36,
        37,
        38,
        40,
        41,
        42,
        45,
        48,
        50,
        51,
        53,
        55,
        57,
        58,
        60,
        62,
        64,
        66,
        70,
        72,
        77,
        80,
        89,
        92,
        98,
        103,
        106,
        115,
        117
      ],
      "N": 48,
      "lambda": 5.955553709202014,
      "ratio": 0.8596101342952642,
      "theta": 0.7391090898712221,
      "critical_minima": 48,
      "grid_ratio": 0.8595789041312863
    },
    {
      "A": [
        2,
        5,
        7,
        9,
        10,
        12,
        13,
        15,
        17,
        18,
        20,
        22,
        26,
        29,
        30,
        31,
        35,
        36,
        37,
        38,
        43,
        46,
        48,
        49,
        50,
        52,
        55,
        56,
        58,
        59,
        62,
        63,
        64,
        65,
        72,
        74,
        80,
        84,
        85,
        89,
        93,
        95,
        98,
        100,
        102,
        111,
        115,
        120
      ],
      "N": 48,
      "lambda": 5.9820919288690595,
      "ratio": 0.8634405963624099,
      "theta": 1.229469963430504,
      "critical_minima": 45,
      "grid_ratio": 0.8634395760821012
    },
    {
      "A": [
        1,
        4,
        6,
        7,
        8,
        11,
        13,
        14,
        17,
        18,
        21,
        24,
        25,
        26,
        28,
        29,
        31,
        32,
        39,
        42,
        43,
        44,
        46,
        47,
        52,
        53,
        55,
        56,
        57,
        60,
        63,
        68,
        71,
        74,
        75,
        81,
        82,
        83,
        84,
        85,
        89,
        94,
        99,
        100,
        107,
        115,
        121,
        128
      ],
      "N": 48,
      "lambda": 6.03030642575357,
      "ratio": 0.8703997595511884,
      "theta": 0.49527094868858373,
      "critical_minima": 48,
      "grid_ratio": 0.870356835867899
    },
    {
      "A": [
        3,
        4,
        7,
        8,
        10,
        11,
        12,
        13,
        15,
        17,
        21,
        24,
        25,
        27,
        28,
        32,
        33,
        34,
        35,
        41,
        42,
        44,
        48,
        51,
        52,
        53,
        55,
        56,
        59,
        61,
        65,
        66,
        67,
        68,
        69,
        76,
        77,
        81,
        83,
        86,
        89,
        93,
        94,
        96,
        100,
        103,
        118,
        128
      ],
      "N": 48,
      "lambda": 6.111276243046749,
      "ratio": 0.8820867460038014,
      "theta": 0.04304387528007388,
      "critical_minima": 48,
      "grid_ratio": 0.8820376377656912
    },
    {
      "A": [
        2,
        6,
        8,
        9,
        10,
        11,
        16,
        17,
        20,
        22,
        23,
        25,
        26,
        27,
        28,
        29,
        30,
        31,
        36,
        37,
        38,
        46,
        49,
        51,
        53,
        56,
        59,
        60,
        62,
        64,
        65,
        68,
        77,
        79,
        81,
        87,
        88,
        89,
        90,
        91,
        97,
        102,
        106,
        108,
        113,
        114,
        118,
        124
      ],
      "N": 48,
      "lambda": 6.186547465339702,
      "ratio": 0.8929512111170685,
      "theta": 0.44929358362415495,
      "critical_minima": 47,
      "grid_ratio": 0.8928999794235536
    }
  ]
}

==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: compute/anneal_M128_N48.log
==============================================================================

M 128 N 48 restart 0 best_ratio 0.8703997595511884 A [1, 4, 6, 7, 8, 11, 13, 14, 17, 18, 21, 24, 25, 26, 28, 29, 31, 32, 39, 42, 43, 44, 46, 47, 52, 53, 55, 56, 57, 60, 63, 68, 71, 74, 75, 81, 82, 83, 84, 85, 89, 94, 99, 100, 107, 115, 121, 128] secs 0.9
M 128 N 48 restart 1 best_ratio 0.8321666474068727 A [1, 3, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 24, 26, 27, 29, 31, 32, 34, 37, 38, 39, 42, 43, 44, 45, 50, 52, 53, 54, 55, 58, 59, 63, 65, 66, 67, 69, 70, 76, 81, 84, 85, 92, 121, 124] secs 1.7
M 128 N 48 restart 2 best_ratio 0.8321666474068727 A [1, 3, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 24, 26, 27, 29, 31, 32, 34, 37, 38, 39, 42, 43, 44, 45, 50, 52, 53, 54, 55, 58, 59, 63, 65, 66, 67, 69, 70, 76, 81, 84, 85, 92, 121, 124] secs 2.6
M 128 N 48 restart 3 best_ratio 0.8013982251405888 A [2, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 17, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 29, 30, 31, 34, 35, 38, 40, 41, 44, 46, 47, 48, 51, 53, 55, 56, 58, 60, 62, 65, 69, 71, 82, 86, 89, 100, 104, 106, 108, 111] secs 3.5
M 128 N 48 restart 4 best_ratio 0.8013982251405888 A [2, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 17, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 29, 30, 31, 34, 35, 38, 40, 41, 44, 46, 47, 48, 51, 53, 55, 56, 58, 60, 62, 65, 69, 71, 82, 86, 89, 100, 104, 106, 108, 111] secs 4.3
M 128 N 48 restart 5 best_ratio 0.8013982251405888 A [2, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 17, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 29, 30, 31, 34, 35, 38, 40, 41, 44, 46, 47, 48, 51, 53, 55, 56, 58, 60, 62, 65, 69, 71, 82, 86, 89, 100, 104, 106, 108, 111] secs 5.2
M 128 N 48 restart 6 best_ratio 0.8013982251405888 A [2, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 17, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 29, 30, 31, 34, 35, 38, 40, 41, 44, 46, 47, 48, 51, 53, 55, 56, 58, 60, 62, 65, 69, 71, 82, 86, 89, 100, 104, 106, 108, 111] secs 6.1
M 128 N 48 restart 7 best_ratio 0.7896955369946594 A [1, 4, 5, 8, 9, 11, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22, 23, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 41, 44, 45, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 55, 57, 59, 63, 66, 73, 74, 81, 82, 84, 89, 93, 98, 104, 112] secs 7.0
M 128 N 48 restart 8 best_ratio 0.7896955369946594 A [1, 4, 5, 8, 9, 11, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22, 23, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 41, 44, 45, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 55, 57, 59, 63, 66, 73, 74, 81, 82, 84, 89, 93, 98, 104, 112] secs 7.8
M 128 N 48 restart 9 best_ratio 0.7896955369946594 A [1, 4, 5, 8, 9, 11, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22, 23, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 41, 44, 45, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 55, 57, 59, 63, 66, 73, 74, 81, 82, 84, 89, 93, 98, 104, 112] secs 8.7
M 128 N 48 restart 10 best_ratio 0.7896955369946594 A [1, 4, 5, 8, 9, 11, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22, 23, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 41, 44, 45, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 55, 57, 59, 63, 66, 73, 74, 81, 82, 84, 89, 93, 98, 104, 112] secs 9.6
M 128 N 48 restart 11 best_ratio 0.7896955369946594 A [1, 4, 5, 8, 9, 11, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22, 23, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 41, 44, 45, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 55, 57, 59, 63, 66, 73, 74, 81, 82, 84, 89, 93, 98, 104, 112] secs 10.5
M 128 N 48 restart 12 best_ratio 0.7896955369946594 A [1, 4, 5, 8, 9, 11, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22, 23, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 41, 44, 45, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 55, 57, 59, 63, 66, 73, 74, 81, 82, 84, 89, 93, 98, 104, 112] secs 11.3
M 128 N 48 restart 13 best_ratio 0.7896955369946594 A [1, 4, 5, 8, 9, 11, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22, 23, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 41, 44, 45, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 55, 57, 59, 63, 66, 73, 74, 81, 82, 84, 89, 93, 98, 104, 112] secs 12.2
M 128 N 48 restart 14 best_ratio 0.7880044652336885 A [2, 3, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 16, 19, 20, 22, 25, 27, 29, 30, 32, 34, 36, 38, 39, 41, 43, 45, 46, 47, 48, 49, 51, 52, 54, 55, 61, 63, 66, 68, 71, 74, 81, 84, 87, 90, 93, 100, 101, 106, 112, 117] secs 13.1
M 128 N 48 restart 15 best_ratio 0.7880044652336885 A [2, 3, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 16, 19, 20, 22, 25, 27, 29, 30, 32, 34, 36, 38, 39, 41, 43, 45, 46, 47, 48, 49, 51, 52, 54, 55, 61, 63, 66, 68, 71, 74, 81, 84, 87, 90, 93, 100, 101, 106, 112, 117] secs 14.0


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: compute/anneal_M48_N28.json
==============================================================================

{
  "M": 48,
  "N": 28,
  "K": 8193,
  "restarts": 12,
  "steps_each": 60000,
  "seed": 20309046,
  "seconds": 7.8632190227508545,
  "best_candidates": [
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        12,
        13,
        14,
        15,
        16,
        17,
        18,
        19,
        20,
        21,
        22,
        23,
        24,
        29,
        32,
        36,
        38
      ],
      "N": 28,
      "lambda": 3.269439935649684,
      "ratio": 0.6178660711565773,
      "theta": 2.046954146764664,
      "critical_minima": 17,
      "grid_ratio": 0.6178603168827587
    },
    {
      "A": [
        1,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        12,
        14,
        15,
        16,
        17,
        18,
        19,
        21,
        22,
        23,
        24,
        26,
        27,
        28,
        32,
        33,
        40,
        43
      ],
      "N": 28,
      "lambda": 3.3287371921267175,
      "ratio": 0.6290721993041948,
      "theta": 0.13393312127419693,
      "critical_minima": 17,
      "grid_ratio": 0.6290697830314925
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        4,
        5,
        6,
        7,
        9,
        10,
        11,
        12,
        13,
        14,
        15,
        16,
        17,
        19,
        20,
        21,
        22,
        23,
        24,
        26,
        30,
        31,
        32,
        36,
        43,
        45
      ],
      "N": 28,
      "lambda": 3.3518237255787566,
      "ratio": 0.6334351440290997,
      "theta": 3.020191062963706,
      "critical_minima": 20,
      "grid_ratio": 0.6334239074000553
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        12,
        13,
        16,
        17,
        18,
        19,
        20,
        21,
        22,
        23,
        26,
        28,
        29,
        30,
        35,
        36,
        38,
        39,
        42
      ],
      "N": 28,
      "lambda": 3.423834568288375,
      "ratio": 0.6470439141369453,
      "theta": 0.9714068997933496,
      "critical_minima": 17,
      "grid_ratio": 0.6470438613845123
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        12,
        13,
        14,
        15,
        17,
        18,
        20,
        21,
        22,
        23,
        24,
        26,
        27,
        29,
        34,
        35,
        37,
        44
      ],
      "N": 28,
      "lambda": 3.424617339227958,
      "ratio": 0.6471918439397786,
      "theta": 1.9435953326627136,
      "critical_minima": 17,
      "grid_ratio": 0.647191351327052
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        13,
        14,
        15,
        16,
        17,
        18,
        19,
        20,
        21,
        22,
        24,
        26,
        28,
        32,
        35,
        36,
        37,
        42
      ],
      "N": 28,
      "lambda": 3.4440929680469137,
      "ratio": 0.6508723918313185,
      "theta": 0.24036149501991705,
      "critical_minima": 18,
      "grid_ratio": 0.6508701177470259
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        11,
        12,
        14,
        15,
        16,
        17,
        18,
        19,
        20,
        21,
        23,
        24,
        25,
        26,
        28,
        29,
        32,
        40,
        47
      ],
      "N": 28,
      "lambda": 3.4545013057478746,
      "ratio": 0.6528393827683413,
      "theta": 1.4215761067342343,
      "critical_minima": 19,
      "grid_ratio": 0.6528391202766699
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        12,
        14,
        15,
        16,
        18,
        20,
        21,
        22,
        25,
        26,
        27,
        28,
        29,
        30,
        32,
        36,
        41
      ],
      "N": 28,
      "lambda": 3.463876271958063,
      "ratio": 0.6546110848498979,
      "theta": 3.0114464339143105,
      "critical_minima": 17,
      "grid_ratio": 0.6546067599943457
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        12,
        14,
        15,
        16,
        17,
        18,
        19,
        20,
        21,
        22,
        23,
        24,
        28,
        29,
        31,
        36,
        38,
        39
      ],
      "N": 28,
      "lambda": 3.4940912467923115,
      "ratio": 0.6603211783700048,
      "theta": 1.4946501576463633,
      "critical_minima": 16,
      "grid_ratio": 0.6603184505718078
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        13,
        15,
        16,
        17,
        18,
        20,
        21,
        22,
        23,
        24,
        26,
        28,
        29,
        31,
        37,
        38,
        39,
        44,
        46
      ],
      "N": 28,
      "lambda": 3.5174659629224765,
      "ratio": 0.6647385845019439,
      "theta": 2.0910240110546354,
      "critical_minima": 19,
      "grid_ratio": 0.6647297197168401
    },
    {
      "A": [
        1,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        12,
        13,
        14,
        15,
        16,
        18,
        19,
        20,
        21,
        23,
        24,
        25,
        28,
        29,
        31,
        32,
        39,
        44
      ],
      "N": 28,
      "lambda": 3.581626185670256,
      "ratio": 0.6768637268914535,
      "theta": 2.5088972176116715,
      "critical_minima": 18,
      "grid_ratio": 0.676861833535905
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        10,
        12,
        13,
        14,
        15,
        16,
        18,
        20,
        21,
        22,
        23,
        24,
        25,
        28,
        31,
        36,
        37,
        38,
        41,
        43
      ],
      "N": 28,
      "lambda": 3.6805321176430867,
      "ratio": 0.6955551911192521,
      "theta": 1.1127221840230235,
      "critical_minima": 17,
      "grid_ratio": 0.6955419055244952
    }
  ]
}

==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: compute/anneal_M48_N28.log
==============================================================================

M 48 N 28 restart 0 best_ratio 0.6768637268914535 A [1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 23, 24, 25, 28, 29, 31, 32, 39, 44] secs 0.6
M 48 N 28 restart 1 best_ratio 0.6508723918313185 A [1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 26, 28, 32, 35, 36, 37, 42] secs 1.3
M 48 N 28 restart 2 best_ratio 0.6508723918313185 A [1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 26, 28, 32, 35, 36, 37, 42] secs 2.0
M 48 N 28 restart 3 best_ratio 0.6508723918313185 A [1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 26, 28, 32, 35, 36, 37, 42] secs 2.7
M 48 N 28 restart 4 best_ratio 0.6290721993041948 A [1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 28, 32, 33, 40, 43] secs 3.3
M 48 N 28 restart 5 best_ratio 0.6178660711565773 A [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 29, 32, 36, 38] secs 4.0
M 48 N 28 restart 6 best_ratio 0.6178660711565773 A [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 29, 32, 36, 38] secs 4.6
M 48 N 28 restart 7 best_ratio 0.6178660711565773 A [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 29, 32, 36, 38] secs 5.3
M 48 N 28 restart 8 best_ratio 0.6178660711565773 A [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 29, 32, 36, 38] secs 5.9
M 48 N 28 restart 9 best_ratio 0.6178660711565773 A [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 29, 32, 36, 38] secs 6.6
M 48 N 28 restart 10 best_ratio 0.6178660711565773 A [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 29, 32, 36, 38] secs 7.2
M 48 N 28 restart 11 best_ratio 0.6178660711565773 A [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 29, 32, 36, 38] secs 7.9


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: compute/anneal_M64_N24.json
==============================================================================

{
  "M": 64,
  "N": 24,
  "K": 8193,
  "restarts": 16,
  "steps_each": 80000,
  "seed": 20325042,
  "seconds": 13.806435108184814,
  "best_candidates": [
    {
      "A": [
        1,
        2,
        5,
        6,
        7,
        8,
        10,
        11,
        12,
        13,
        15,
        17,
        18,
        19,
        21,
        23,
        24,
        29,
        30,
        31,
        34,
        36,
        41,
        42
      ],
      "N": 24,
      "lambda": 3.2135135206189247,
      "ratio": 0.655955700587593,
      "theta": 1.988957069740142,
      "critical_minima": 19,
      "grid_ratio": 0.6559541244174562
    },
    {
      "A": [
        2,
        3,
        5,
        6,
        7,
        8,
        10,
        12,
        13,
        14,
        15,
        16,
        17,
        18,
        20,
        23,
        25,
        26,
        28,
        30,
        32,
        33,
        40,
        46
      ],
      "N": 24,
      "lambda": 3.2417017495718046,
      "ratio": 0.6617095987282016,
      "theta": 0.8767914951705178,
      "critical_minima": 18,
      "grid_ratio": 0.6617019857355152
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        13,
        15,
        17,
        19,
        20,
        23,
        24,
        26,
        28,
        29,
        30,
        34,
        35,
        36,
        43
      ],
      "N": 24,
      "lambda": 3.391934674220755,
      "ratio": 0.6923757660578617,
      "theta": 3.0436299203052064,
      "critical_minima": 17,
      "grid_ratio": 0.69237026845263
    },
    {
      "A": [
        2,
        4,
        5,
        6,
        8,
        9,
        10,
        11,
        12,
        13,
        14,
        17,
        18,
        19,
        20,
        22,
        23,
        24,
        28,
        30,
        32,
        36,
        37,
        41
      ],
      "N": 24,
      "lambda": 3.4379792027327802,
      "ratio": 0.7017745660829862,
      "theta": 1.4695031104345357,
      "critical_minima": 16,
      "grid_ratio": 0.7017733285859918
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        13,
        14,
        16,
        17,
        19,
        20,
        21,
        23,
        25,
        26,
        30,
        33,
        39,
        40
      ],
      "N": 24,
      "lambda": 3.5542587932049985,
      "ratio": 0.7255100380960467,
      "theta": 1.053563712670387,
      "critical_minima": 16,
      "grid_ratio": 0.7255072761363935
    },
    {
      "A": [
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        9,
        10,
        14,
        16,
        18,
        20,
        21,
        24,
        27,
        30,
        34,
        36,
        40,
        41,
        43,
        45,
        48,
        50
      ],
      "N": 24,
      "lambda": 3.5924119488573543,
      "ratio": 0.7332980183814848,
      "theta": 0.8229363450520466,
      "critical_minima": 21,
      "grid_ratio": 0.7332970729074223
    },
    {
      "A": [
        2,
        3,
        4,
        7,
        8,
        9,
        10,
        12,
        14,
        16,
        17,
        18,
        20,
        24,
        26,
        27,
        28,
        30,
        35,
        38,
        40,
        42,
        44,
        47
      ],
      "N": 24,
      "lambda": 3.6089082633314367,
      "ratio": 0.736665314472984,
      "theta": 0.571994198913103,
      "critical_minima": 20,
      "grid_ratio": 0.7366593607311404
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        7,
        8,
        10,
        11,
        12,
        14,
        18,
        19,
        21,
        22,
        25,
        26,
        28,
        29,
        36,
        37,
        40,
        47,
        48,
        50
      ],
      "N": 24,
      "lambda": 3.6228959711300464,
      "ratio": 0.7395205433711292,
      "theta": 2.3129543170877844,
      "critical_minima": 23,
      "grid_ratio": 0.7395153161667517
    },
    {
      "A": [
        1,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        12,
        13,
        14,
        15,
        16,
        17,
        19,
        20,
        21,
        23,
        24,
        28,
        29,
        33,
        34,
        36,
        40
      ],
      "N": 24,
      "lambda": 3.665112515749568,
      "ratio": 0.7481379594562347,
      "theta": 2.535920291343171,
      "critical_minima": 16,
      "grid_ratio": 0.7481344404499275
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        6,
        7,
        10,
        11,
        13,
        17,
        20,
        21,
        22,
        24,
        27,
        28,
        30,
        34,
        35,
        40,
        41,
        42,
        51,
        52,
        62,
        64
      ],
      "N": 24,
      "lambda": 3.765273815594822,
      "ratio": 0.7685832991724664,
      "theta": 1.73873547735858,
      "critical_minima": 28,
      "grid_ratio": 0.7685830440977937
    },
    {
      "A": [
        1,
        5,
        6,
        7,
        8,
        10,
        12,
        13,
        17,
        18,
        20,
        22,
        23,
        25,
        27,
        28,
        30,
        33,
        34,
        35,
        40,
        52,
        53,
        60
      ],
      "N": 24,
      "lambda": 3.765750025274803,
      "ratio": 0.7686805050663437,
      "theta": 2.3615720177174073,
      "critical_minima": 24,
      "grid_ratio": 0.7686804757504635
    },
    {
      "A": [
        2,
        3,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        11,
        13,
        14,
        18,
        20,
        22,
        25,
        26,
        27,
        32,
        34,
        40,
        43,
        45,
        48,
        51,
        54
      ],
      "N": 24,
      "lambda": 3.7791797028435634,
      "ratio": 0.7714218265208074,
      "theta": 1.0808735197956525,
      "critical_minima": 21,
      "grid_ratio": 0.7714126979738245
    },
    {
      "A": [
        2,
        4,
        5,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        13,
        15,
        18,
        19,
        20,
        22,
        24,
        26,
        28,
        29,
        31,
        34,
        38,
        42,
        53,
        60
      ],
      "N": 24,
      "lambda": 3.805472189314558,
      "ratio": 0.7767887578477213,
      "theta": 2.31549290317773,
      "critical_minima": 24,
      "grid_ratio": 0.7767879356027614
    },
    {
      "A": [
        3,
        5,
        7,
        8,
        10,
        11,
        13,
        14,
        15,
        18,
        21,
        22,
        24,
        25,
        28,
        29,
        33,
        35,
        36,
        38,
        43,
        46,
        50,
        53
      ],
      "N": 24,
      "lambda": 3.859164751629659,
      "ratio": 0.7877487062356036,
      "theta": 2.2089854018764776,
      "critical_minima": 21,
      "grid_ratio": 0.7877473044175729
    },
    {
      "A": [
        3,
        4,
        7,
        9,
        12,
        13,
        16,
        19,
        20,
        21,
        23,
        25,
        28,
        29,
        32,
        36,
        39,
        41,
        44,
        48,
        53,
        56,
        57,
        60
      ],
      "N": 24,
      "lambda": 3.981863524689334,
      "ratio": 0.8127944884074163,
      "theta": 2.6654095621055354,
      "critical_minima": 23,
      "grid_ratio": 0.8127790779344104
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        6,
        8,
        9,
        11,
        12,
        14,
        17,
        20,
        21,
        22,
        23,
        25,
        26,
        28,
        29,
        34,
        35,
        37,
        46,
        47,
        63
      ],
      "N": 24,
      "lambda": 3.985238176017172,
      "ratio": 0.8134833362251671,
      "theta": 1.0187257812192707,
      "critical_minima": 26,
      "grid_ratio": 0.8134721144113537
    }
  ]
}

==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: compute/anneal_M64_N24.log
==============================================================================

M 64 N 24 restart 0 best_ratio 0.7332980183814848 A [2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 14, 16, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 34, 36, 40, 41, 43, 45, 48, 50] secs 0.9
M 64 N 24 restart 1 best_ratio 0.7255100380960467 A [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 21, 23, 25, 26, 30, 33, 39, 40] secs 1.7
M 64 N 24 restart 2 best_ratio 0.7255100380960467 A [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 21, 23, 25, 26, 30, 33, 39, 40] secs 2.6
M 64 N 24 restart 3 best_ratio 0.7255100380960467 A [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 21, 23, 25, 26, 30, 33, 39, 40] secs 3.4
M 64 N 24 restart 4 best_ratio 0.7255100380960467 A [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 21, 23, 25, 26, 30, 33, 39, 40] secs 4.3
M 64 N 24 restart 5 best_ratio 0.7255100380960467 A [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 21, 23, 25, 26, 30, 33, 39, 40] secs 5.2
M 64 N 24 restart 6 best_ratio 0.7255100380960467 A [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 21, 23, 25, 26, 30, 33, 39, 40] secs 6.0
M 64 N 24 restart 7 best_ratio 0.7255100380960467 A [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 21, 23, 25, 26, 30, 33, 39, 40] secs 6.9
M 64 N 24 restart 8 best_ratio 0.655955700587593 A [1, 2, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 21, 23, 24, 29, 30, 31, 34, 36, 41, 42] secs 7.8
M 64 N 24 restart 9 best_ratio 0.655955700587593 A [1, 2, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 21, 23, 24, 29, 30, 31, 34, 36, 41, 42] secs 8.6
M 64 N 24 restart 10 best_ratio 0.655955700587593 A [1, 2, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 21, 23, 24, 29, 30, 31, 34, 36, 41, 42] secs 9.5
M 64 N 24 restart 11 best_ratio 0.655955700587593 A [1, 2, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 21, 23, 24, 29, 30, 31, 34, 36, 41, 42] secs 10.4
M 64 N 24 restart 12 best_ratio 0.655955700587593 A [1, 2, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 21, 23, 24, 29, 30, 31, 34, 36, 41, 42] secs 11.3
M 64 N 24 restart 13 best_ratio 0.655955700587593 A [1, 2, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 21, 23, 24, 29, 30, 31, 34, 36, 41, 42] secs 12.1
M 64 N 24 restart 14 best_ratio 0.655955700587593 A [1, 2, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 21, 23, 24, 29, 30, 31, 34, 36, 41, 42] secs 13.0
M 64 N 24 restart 15 best_ratio 0.655955700587593 A [1, 2, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 21, 23, 24, 29, 30, 31, 34, 36, 41, 42] secs 13.8


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: compute/anneal_M96_N36.json
==============================================================================

{
  "M": 96,
  "N": 36,
  "K": 8193,
  "restarts": 16,
  "steps_each": 80000,
  "seed": 20357054,
  "seconds": 13.784602165222168,
  "best_candidates": [
    {
      "A": [
        1,
        4,
        5,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        13,
        14,
        15,
        18,
        20,
        21,
        22,
        24,
        25,
        28,
        29,
        31,
        33,
        35,
        36,
        38,
        40,
        42,
        43,
        46,
        49,
        50,
        51,
        56,
        60,
        61,
        64,
        71
      ],
      "N": 36,
      "lambda": 4.3516108902557,
      "ratio": 0.7252684817092834,
      "theta": 1.189509002227182,
      "critical_minima": 29,
      "grid_ratio": 0.7252584638031121
    },
    {
      "A": [
        1,
        3,
        4,
        5,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        13,
        14,
        15,
        16,
        17,
        18,
        19,
        22,
        23,
        24,
        25,
        26,
        27,
        31,
        32,
        35,
        38,
        41,
        42,
        45,
        46,
        48,
        49,
        59,
        64,
        73,
        84
      ],
      "N": 36,
      "lambda": 4.376083920799198,
      "ratio": 0.7293473201331997,
      "theta": 0.34477127781770256,
      "critical_minima": 32,
      "grid_ratio": 0.7293472507988352
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        6,
        7,
        8,
        10,
        11,
        13,
        16,
        27,
        28,
        29,
        31,
        32,
        34,
        35,
        37,
        38,
        39,
        40,
        41,
        42,
        44,
        45,
        47,
        48,
        60,
        69,
        71,
        73,
        76,
        77,
        79,
        87
      ],
      "N": 36,
      "lambda": 4.40655647910229,
      "ratio": 0.7344260798503818,
      "theta": 2.2666793585649976,
      "critical_minima": 36,
      "grid_ratio": 0.7343835721794608
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        4,
        5,
        8,
        9,
        11,
        13,
        14,
        16,
        17,
        18,
        19,
        20,
        21,
        22,
        24,
        25,
        26,
        28,
        30,
        31,
        33,
        35,
        37,
        39,
        41,
        42,
        44,
        50,
        55,
        58,
        59,
        63,
        72,
        83
      ],
      "N": 36,
      "lambda": 4.4748590566565145,
      "ratio": 0.7458098427760858,
      "theta": 1.335427280714772,
      "critical_minima": 32,
      "grid_ratio": 0.7457958047818188
    },
    {
      "A": [
        1,
        3,
        4,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        12,
        15,
        16,
        18,
        19,
        20,
        22,
        23,
        24,
        26,
        27,
        29,
        30,
        31,
        34,
        35,
        36,
        38,
        39,
        46,
        48,
        49,
        53,
        56,
        57,
        58,
        64,
        87
      ],
      "N": 36,
      "lambda": 4.495402009670623,
      "ratio": 0.7492336682784372,
      "theta": 2.6934490148882473,
      "critical_minima": 29,
      "grid_ratio": 0.7492187784631246
    },
    {
      "A": [
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        8,
        9,
        10,
        11,
        12,
        14,
        17,
        18,
        20,
        22,
        23,
        24,
        26,
        28,
        29,
        30,
        32,
        34,
        35,
        38,
        39,
        40,
        42,
        44,
        49,
        51,
        52,
        62,
        68,
        73,
        91
      ],
      "N": 36,
      "lambda": 4.497374085561029,
      "ratio": 0.7495623475935048,
      "theta": 1.8870696608780213,
      "critical_minima": 34,
      "grid_ratio": 0.7495506102460846
    },
    {
      "A": [
        1,
        6,
        7,
        8,
        10,
        11,
        13,
        14,
        18,
        19,
        24,
        26,
        27,
        28,
        29,
        32,
        34,
        35,
        39,
        40,
        41,
        42,
        45,
        47,
        53,
        54,
        55,
        63,
        64,
        71,
        73,
        74,
        77,
        81,
        82,
        88
      ],
      "N": 36,
      "lambda": 4.640830394616323,
      "ratio": 0.7734717324360538,
      "theta": 0.5408150645695319,
      "critical_minima": 37,
      "grid_ratio": 0.7734637784360859
    },
    {
      "A": [
        2,
        3,
        4,
        6,
        7,
        8,
        10,
        11,
        13,
        15,
        17,
        19,
        20,
        21,
        26,
        32,
        33,
        40,
        42,
        43,
        45,
        46,
        48,
        50,
        52,
        53,
        59,
        61,
        63,
        65,
        67,
        71,
        74,
        82,
        85,
        91
      ],
      "N": 36,
      "lambda": 4.791337031899494,
      "ratio": 0.798556171983249,
      "theta": 2.099360953151419,
      "critical_minima": 36,
      "grid_ratio": 0.79853223591183
    },
    {
      "A": [
        1,
        3,
        6,
        9,
        10,
        12,
        14,
        15,
        18,
        23,
        26,
        27,
        28,
        29,
        32,
        35,
        36,
        37,
        38,
        45,
        46,
        52,
        55,
        61,
        63,
        64,
        66,
        67,
        73,
        75,
        78,
        81,
        87,
        90,
        91,
        93
      ],
      "N": 36,
      "lambda": 4.8291482829729055,
      "ratio": 0.8048580471621509,
      "theta": 1.4923749585860238,
      "critical_minima": 38,
      "grid_ratio": 0.8048257772380795
    },
    {
      "A": [
        1,
        4,
        5,
        7,
        8,
        11,
        13,
        18,
        20,
        22,
        23,
        24,
        25,
        26,
        27,
        28,
        29,
        30,
        31,
        34,
        35,
        36,
        45,
        47,
        52,
        53,
        54,
        58,
        60,
        61,
        65,
        71,
        76,
        81,
        88,
        89
      ],
      "N": 36,
      "lambda": 4.859410617324198,
      "ratio": 0.809901769554033,
      "theta": 0.11998341682934366,
      "critical_minima": 37,
      "grid_ratio": 0.8098994121253721
    },
    {
      "A": [
        1,
        3,
        4,
        5,
        7,
        8,
        9,
        11,
        12,
        15,
        16,
        17,
        20,
        23,
        24,
        25,
        26,
        27,
        28,
        30,
        31,
        32,
        35,
        38,
        39,
        46,
        49,
        50,
        51,
        53,
        54,
        55,
        56,
        62,
        63,
        66
      ],
      "N": 36,
      "lambda": 4.887841084226226,
      "ratio": 0.8146401807043709,
      "theta": 0.3129340623982896,
      "critical_minima": 27,
      "grid_ratio": 0.8146401787797943
    },
    {
      "A": [
        1,
        6,
        8,
        9,
        12,
        16,
        19,
        20,
        21,
        22,
        24,
        25,
        26,
        28,
        30,
        31,
        36,
        38,
        39,
        42,
        44,
        45,
        50,
        51,
        54,
        60,
        61,
        62,
        66,
        69,
        70,
        75,
        81,
        82,
        90,
        96
      ],
      "N": 36,
      "lambda": 4.9035016777998806,
      "ratio": 0.8172502796333134,
      "theta": 2.193972201598639,
      "critical_minima": 36,
      "grid_ratio": 0.8172502530033157
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        15,
        17,
        19,
        22,
        23,
        24,
        26,
        31,
        33,
        36,
        39,
        41,
        46,
        48,
        52,
        54,
        55,
        63,
        69,
        70,
        71,
        72,
        74,
        75,
        77,
        78,
        80,
        85
      ],
      "N": 36,
      "lambda": 4.9052434275134615,
      "ratio": 0.8175405712522436,
      "theta": 2.5492508581477265,
      "critical_minima": 34,
      "grid_ratio": 0.8174997665946572
    },
    {
      "A": [
        1,
        6,
        7,
        8,
        11,
        12,
        13,
        14,
        18,
        20,
        23,
        24,
        27,
        29,
        30,
        34,
        35,
        36,
        38,
        40,
        41,
        42,
        43,
        46,
        47,
        48,
        52,
        54,
        56,
        63,
        70,
        71,
        81,
        83,
        86,
        94
      ],
      "N": 36,
      "lambda": 4.913247440685495,
      "ratio": 0.8188745734475825,
      "theta": 2.9697889101029964,
      "critical_minima": 37,
      "grid_ratio": 0.818874566182823
    },
    {
      "A": [
        2,
        3,
        5,
        7,
        8,
        9,
        11,
        12,
        13,
        14,
        19,
        20,
        28,
        31,
        32,
        33,
        39,
        41,
        44,
        46,
        48,
        50,
        51,
        52,
        55,
        57,
        59,
        60,
        61,
        64,
        69,
        72,
        80,
        83,
        90,
        92
      ],
      "N": 36,
      "lambda": 4.987423402642572,
      "ratio": 0.831237233773762,
      "theta": 1.205373311654714,
      "critical_minima": 35,
      "grid_ratio": 0.8312358810074859
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        9,
        10,
        11,
        14,
        15,
        17,
        18,
        19,
        20,
        24,
        25,
        28,
        30,
        34,
        39,
        42,
        45,
        48,
        49,
        51,
        53,
        57,
        64,
        66,
        67,
        68,
        76,
        77,
        78,
        79,
        81,
        96
      ],
      "N": 36,
      "lambda": 5.1211757549156385,
      "ratio": 0.8535292924859398,
      "theta": 0.20541603891426596,
      "critical_minima": 38,
      "grid_ratio": 0.8535005142933721
    }
  ]
}

==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: compute/anneal_M96_N36.log
==============================================================================

M 96 N 36 restart 0 best_ratio 0.8048580471621509 A [1, 3, 6, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 23, 26, 27, 28, 29, 32, 35, 36, 37, 38, 45, 46, 52, 55, 61, 63, 64, 66, 67, 73, 75, 78, 81, 87, 90, 91, 93] secs 0.9
M 96 N 36 restart 1 best_ratio 0.7734717324360538 A [1, 6, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 18, 19, 24, 26, 27, 28, 29, 32, 34, 35, 39, 40, 41, 42, 45, 47, 53, 54, 55, 63, 64, 71, 73, 74, 77, 81, 82, 88] secs 1.7
M 96 N 36 restart 2 best_ratio 0.7252684817092834 A [1, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 28, 29, 31, 33, 35, 36, 38, 40, 42, 43, 46, 49, 50, 51, 56, 60, 61, 64, 71] secs 2.6
M 96 N 36 restart 3 best_ratio 0.7252684817092834 A [1, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 28, 29, 31, 33, 35, 36, 38, 40, 42, 43, 46, 49, 50, 51, 56, 60, 61, 64, 71] secs 3.4
M 96 N 36 restart 4 best_ratio 0.7252684817092834 A [1, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 28, 29, 31, 33, 35, 36, 38, 40, 42, 43, 46, 49, 50, 51, 56, 60, 61, 64, 71] secs 4.3
M 96 N 36 restart 5 best_ratio 0.7252684817092834 A [1, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 28, 29, 31, 33, 35, 36, 38, 40, 42, 43, 46, 49, 50, 51, 56, 60, 61, 64, 71] secs 5.2
M 96 N 36 restart 6 best_ratio 0.7252684817092834 A [1, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 28, 29, 31, 33, 35, 36, 38, 40, 42, 43, 46, 49, 50, 51, 56, 60, 61, 64, 71] secs 6.0
M 96 N 36 restart 7 best_ratio 0.7252684817092834 A [1, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 28, 29, 31, 33, 35, 36, 38, 40, 42, 43, 46, 49, 50, 51, 56, 60, 61, 64, 71] secs 6.9
M 96 N 36 restart 8 best_ratio 0.7252684817092834 A [1, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 28, 29, 31, 33, 35, 36, 38, 40, 42, 43, 46, 49, 50, 51, 56, 60, 61, 64, 71] secs 7.8
M 96 N 36 restart 9 best_ratio 0.7252684817092834 A [1, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 28, 29, 31, 33, 35, 36, 38, 40, 42, 43, 46, 49, 50, 51, 56, 60, 61, 64, 71] secs 8.6
M 96 N 36 restart 10 best_ratio 0.7252684817092834 A [1, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 28, 29, 31, 33, 35, 36, 38, 40, 42, 43, 46, 49, 50, 51, 56, 60, 61, 64, 71] secs 9.5
M 96 N 36 restart 11 best_ratio 0.7252684817092834 A [1, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 28, 29, 31, 33, 35, 36, 38, 40, 42, 43, 46, 49, 50, 51, 56, 60, 61, 64, 71] secs 10.4
M 96 N 36 restart 12 best_ratio 0.7252684817092834 A [1, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 28, 29, 31, 33, 35, 36, 38, 40, 42, 43, 46, 49, 50, 51, 56, 60, 61, 64, 71] secs 11.2
M 96 N 36 restart 13 best_ratio 0.7252684817092834 A [1, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 28, 29, 31, 33, 35, 36, 38, 40, 42, 43, 46, 49, 50, 51, 56, 60, 61, 64, 71] secs 12.0
M 96 N 36 restart 14 best_ratio 0.7252684817092834 A [1, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 28, 29, 31, 33, 35, 36, 38, 40, 42, 43, 46, 49, 50, 51, 56, 60, 61, 64, 71] secs 12.9
M 96 N 36 restart 15 best_ratio 0.7252684817092834 A [1, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 28, 29, 31, 33, 35, 36, 38, 40, 42, 43, 46, 49, 50, 51, 56, 60, 61, 64, 71] secs 13.8


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: compute/certificate_N11.json
==============================================================================

{
  "A": [
    1,
    2,
    3,
    4,
    5,
    6,
    8,
    9,
    10,
    11,
    14
  ],
  "N": 11,
  "chebyshev_polynomial_ascending": [
    -2,
    1,
    128,
    84,
    -1848,
    -784,
    10304,
    2240,
    -28032,
    -2560,
    39936,
    1024,
    -28672,
    0,
    8192
  ],
  "lambda_lower": "2627976599/1250000000",
  "lambda_upper": "21023812793/10000000000",
  "rational_x_witness": "-33384681/80000000",
  "negative_witness_numerator": "-2302307031563563425719986224777270466604956812800543259533221247435152251513686494950107158888079",
  "negative_witness_denominator": "53687091200000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000",
  "positive_upper_polynomial_ascending": [
    1023812793,
    10000000000,
    1280000000000,
    840000000000,
    -18480000000000,
    -7840000000000,
    103040000000000,
    22400000000000,
    -280320000000000,
    -25600000000000,
    399360000000000,
    10240000000000,
    -286720000000000,
    0,
    81920000000000
  ],
  "sturm_sequence_ascending": [
    [
      1023812793,
      10000000000,
      1280000000000,
      840000000000,
      -18480000000000,
      -7840000000000,
      103040000000000,
      22400000000000,
      -280320000000000,
      -25600000000000,
      399360000000000,
      10240000000000,
      -286720000000000,
      0,
      81920000000000
    ],
    [
      1,
      256,
      252,
      -7392,
      -3920,
      61824,
      15680,
      -224256,
      -23040,
      399360,
      11264,
      -344064,
      0,
      114688
    ],
    [
      -7166689551,
      -65000000000,
      -7680000000000,
      -4620000000000,
      92400000000000,
      35280000000000,
      -412160000000000,
      -78400000000000,
      840960000000000,
      64000000000000,
      -798720000000000,
      -15360000000000,
      286720000000000
    ],
    [
      -161500068653,
      -36436334614856,
      -61960000000000,
      590940000000000,
      567280000000000,
      -3375120000000000,
      -1456000000000000,
      8079680000000000,
      1358080000000000,
      -8624640000000000,
      -389120000000000,
      3394560000000000
    ],
    [
      6214584606266,
      -133985178841132,
      4202273143793809,
      2388435000000000,
      -38816365000000000,
      -4681740000000000,
      117322660000000000,
      -2856080000000000,
      -148658080000000000,
      6112320000000000,
      66952640000000000
    ],
    [
      1374554812185859,
      542760522652738520,
      160663314993818416,
      -5730844079274993232,
      -582182320000000000,
      20714009280000000000,
      -89313280000000000,
      -29897765120000000000,
      699699200000000000,
      14564418560000000000
    ],
    [
      -17571601570067913,
      734119742780241093,
      -4954647201851210232,
      -8249510903295365440,
      36543145307780179792,
      18111855920000000000,
      -65415225600000000000,
      -10348385280000000000,
      33589267200000000000
    ],
    [
      -115962319584067593,
      -12396897129887302572,
      -17231087931828228732,
      65488577831053675280,
      75118465962401696512,
      -58775849451133117120,
      -61233748800000000000,
      -1828942080000000000
    ],
    [
      -365647366004694711,
      -39091813765175824236,
      -53163242913557983236,
      208196517994595837248,
      230619502417229136128,
      -192478581956957679680,
      -187307963540167994112
    ],
    [
      3686749942462896582155992569964836469179,
      226533307484733709794620914575059181533316,
      114262249840201609284728136919701728279796,
      -1317457622417026217499608071020411869569840,
      -255998313794157553296727227695816111227136,
      1345676201061355696664932974327936470327360
    ],
    [
      -2549346694385741749418632334793534879024573023304208913749513,
      1749651700670333219833775659793277157885084384614812057698693,
      22242355464871428080740636538700419590860362170969336853007368,
      -7597643877183959319878518611997765544045328553755759101573440,
      -37790675847409366875425741377343174685106944180097162658245808
    ],
    [
      -494733943453178888504261674943070544413961197629250596787666984464411936396089059,
      -1405404434462036469587961538228432281578201974746754489119194756816118046656034520,
      1682545051319601750857840311464886478747236792965621701574032110985397009999064784,
      5294451126205539557061443733811941886546374584932286334574694526020421685887946832
    ],
    [
      374518805176784565393223337221756587530858871976065870949880516266846631488098629263358369694816238,
      106988166234193114187920339385288730145066251533205964736688638767557958009171401053566981337682724,
      -1894220900264460377325654641082684201405015486378864380246182778950400913959635677358124455695815513
    ],
    [
      23612989619129372437589018540501948071170238997075903247605247991656115758151089706583399237314653850882654394149792653,
      56584012287188377270277827430969791866844823809182850666091824546741571067858556468913320577240152705430233321629462856
    ],
    [
      -1
    ]
  ],
  "sturm_signs_at_minus_1": [
    1,
    -1,
    1,
    -1,
    1,
    -1,
    -1,
    1,
    1,
    -1,
    -1,
    -1,
    -1,
    -1,
    -1
  ],
  "sturm_signs_at_plus_1": [
    1,
    1,
    1,
    1,
    1,
    1,
    -1,
    -1,
    -1,
    1,
    -1,
    1,
    -1,
    1,
    -1
  ],
  "sturm_variations_at_minus_1": 7,
  "sturm_variations_at_plus_1": 7,
  "root_count_in_minus_1_plus_1": 0,
  "all_arithmetic": "exact integers and fractions; no floating point in this certificate"
}

==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: compute/certificate_N16.json
==============================================================================

{
  "A": [
    1,
    2,
    3,
    4,
    5,
    6,
    7,
    8,
    10,
    11,
    13,
    14,
    15,
    16,
    17,
    21
  ],
  "N": 16,
  "chebyshev_polynomial_ascending": [
    -1,
    21,
    0,
    -1900,
    840,
    40224,
    -11200,
    -379584,
    56448,
    1976576,
    -140288,
    -6243328,
    184320,
    12472320,
    -122880,
    -15859712,
    32768,
    12451840,
    0,
    -5505024,
    0,
    1048576
  ],
  "lambda_lower": "2454832753/1000000000",
  "lambda_upper": "24548327531/10000000000",
  "rational_x_witness": "4001706657/5000000000",
  "negative_witness_numerator": "-12709546584094564326076556890191119362943106843383396935260907297551725221974533393020514348648594893596400978045582917992897371134464175575468927440566801813970384975076874373817920901343",
  "negative_witness_denominator": "454747350886464118957519531250000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000",
  "positive_upper_polynomial_ascending": [
    14548327531,
    210000000000,
    0,
    -19000000000000,
    8400000000000,
    402240000000000,
    -112000000000000,
    -3795840000000000,
    564480000000000,
    19765760000000000,
    -1402880000000000,
    -62433280000000000,
    1843200000000000,
    124723200000000000,
    -1228800000000000,
    -158597120000000000,
    327680000000000,
    124518400000000000,
    0,
    -55050240000000000,
    0,
    10485760000000000
  ],
  "sturm_sequence_ascending": [
    [
      14548327531,
      210000000000,
      0,
      -19000000000000,
      8400000000000,
      402240000000000,
      -112000000000000,
      -3795840000000000,
      564480000000000,
      19765760000000000,
      -1402880000000000,
      -62433280000000000,
      1843200000000000,
      124723200000000000,
      -1228800000000000,
      -158597120000000000,
      327680000000000,
      124518400000000000,
      0,
      -55050240000000000,
      0,
      10485760000000000
    ],
    [
      21,
      0,
      -5700,
      3360,
      201120,
      -67200,
      -2657088,
      451584,
      17789184,
      -1402880,
      -68676608,
      2211840,
      162140160,
      -1720320,
      -237895680,
      524288,
      211681280,
      0,
      -104595456,
      0,
      22020096
    ],
    [
      -305514878151,
      -4200000000000,
      0,
      342000000000000,
      -142800000000000,
      -6435840000000000,
      1680000000000000,
      53141760000000000,
      -7338240000000000,
      -237189120000000000,
      15431680000000000,
      624332800000000000,
      -16588800000000000,
      -997785600000000000,
      8601600000000000,
      951582720000000000,
      -1638400000000000,
      -498073600000000000,
      0,
      110100480000000000
    ],
    [
      -105000000000,
      -305514878151,
      24300000000000,
      -16800000000000,
      -663600000000000,
      193200000000000,
      6849600000000000,
      -577920000000000,
      -35804160000000000,
      -323840000000000,
      106193920000000000,
      4372480000000000,
      -186368000000000000,
      -7987200000000000,
      191692800000000000,
      5980160000000000,
      -106823680000000000,
      -1638400000000000,
      24903680000000000
    ],
    [
      99265871012511,
      1316540937794145,
      2063898254471004,
      -86443200000000000,
      -44940000000000000,
      1284518640000000000,
      421075200000000000,
      -8312895360000000000,
      -2032692480000000000,
      28447829760000000000,
      5062676480000000000,
      -55439534080000000000,
      -6601605120000000000,
      61918617600000000000,
      4274995200000000000,
      -36951736320000000000,
      -1080688640000000000,
      9141944320000000000
    ],
    [
      256955375251118103,
      1647124854360659100,
      -44025222310895711328,
      21728705179260324336,
      909232798800000000000,
      -285006348480000000000,
      -7094225658240000000000,
      1159664970240000000000,
      27746113409280000000000,
      -2481559014400000000000,
      -60318935971840000000000,
      3237966028800000000000,
      74173830635520000000000,
      -2488174510080000000000,
      -48316306636800000000000,
      837661818880000000000,
      12955359969280000000000
    ],
    [
      -6331970046510078731,
      -64444799135978799174,
      228535880602648916436,
      2513822015433019243928,
      -2728198741978538142168,
      -28983197264640000000000,
      14022621358880000000000,
      150965032844160000000000,
      -34877019375360000000000,
      -408757822942720000000000,
      46375847232000000000000,
      595674927144960000000000,
      -32756681564160000000000,
      -442622732820480000000000,
      9757021962240000000000,
      131458466938880000000000
    ],
    [
      -103368928385073322609,
      -910353851616004061122,
      15427343157766365239028,
      -648908822814769850984,
      -271376371348981251511424,
      17897702934176212386288,
      1739933541213760000000000,
      32944017887680000000000,
      -5286285376704000000000000,
      -234895225991680000000000,
      8233582379233280000000000,
      317528886635520000000000,
      -6358379068661760000000000,
      -132964544839680000000000,
      1930011071938560000000000
    ],
    [
      42505414528848622903,
      387426111074573067192,
      -1118913693888329321656,
      -11730144270515735370352,
      308490143908862179248,
      85208675981283285550384,
      33187802888127564909728,
      -256518333842880000000000,
      -115033598768000000000000,
      370456724277760000000000,
      142781311257600000000000,
      -253605629240320000000000,
      -60645097297920000000000,
      65778417745920000000000
    ],
    [
      390493207288306982037,
      3965814859130080454468,
      -10727210289771419068672,
      -108986344163540628424224,
      -21770598642048841176080,
      710522926935853909588624,
      532199815455220866514848,
      -1833181728414079088413952,
      -1712653924446080000000000,
      2051423301603840000000000,
      2077397213465600000000000,
      -828271620582400000000000,
      -869998570690560000000000
    ],
    [
      646025282898156436999717,
      7303129099475590241561730,
      -35309302807286922017206708,
      -146148435892776530724208984,
      244197204060148370349241920,
      862018481474122323084485968,
      -579485035376249315376115840,
      -2189559036694082891896542720,
      552816145873315899497786368,
      2503685601390338560000000000,
      -178415509968015360000000000,
      -1048801959471324160000000000
    ],
    [
      373174181140900012522192909,
      17095256887799385287852029786,
      -80007695780360985731758308420,
      -197474559396780491383166719960,
      770764496738903061837861334424,
      669206223300789455390421027552,
      -2524433313826592743382086017280,
      -885491911082248719219179565952,
      3334570907864607997092219721728,
      406579884130747521906760556032,
      -1520788145919824837120000000000
    ],
    [
      -415406568277386204292273242401048768741,
      -1470441451891642525194776718122187394314,
      17880564072561841064284423845801822668580,
      24448207842292382113782271233782260406040,
      -115135349567405504442916602129217378229976,
      -100121995649185779011082197144782506183648,
      217573667799196248792230904707619919550720,
      141302840615211551465532506617185651685248,
      -122629807805154940066041699049030952835072,
      -63355562782054761706496083177870511943168
    ],
    [
      124918637294215859249065279679239577584073956612330207394197,
      293240931789016951731303109905928752126747969668944785832930,
      -5211204636288762958725059113524512377010757417306163605114228,
      -3853572767449854602675905269082533798418308013542927699049944,
      34157250056180649917979080252768814429293259449722045509126720,
      10768663769624658203606086707368115593965971324397819380087888,
      -65857610651442345692846406071482218638202290234945507277965440,
      -7889945894452500388578749827212791255704549409043510974379520,
      37845106203418209447461493789637702430984501777183041748364288
    ],
    [
      -35289183657484208736884171643984241552212785197218283861070488445906419676350751,
      223494108528742103332133957096505038461671495694425684175980832639739231584387636,
      356684518011865156100127431245866161413511854448845167539933607989242731873977856,
      -2025907771508650238279894256662463306471627974618882995831503173202593198421510048,
      -1086259625024969596560459557572213820693631837258324027838694097061591690415774160,
      4590150054304134182738298110894511593675588606669422107183923703383654549854048848,
      837929405215450654357450711502763626059194406242833057550536942197932439020612896,
      -2925247521218192054386823133140472877672103459626881153738494233204796278594664704
    ],
    [
      -51231647737243205719949438730450867148704314083284816537149074041482317891607943388815424682474041931,
      -35634031827144712156261172378825687767786681324311762734539226615187379757715519038460183299175111384,
      1124164315624814626817903873101968542882450968150859779235407964599143515903112441579670912518282804312,
      735602393815888954047596244360296334941875503005004817945670995635288209962168376075701810699205302704,
      -3929763693442615028920501066399178248421604082338827730881781013225183183804218549475694772246984896496,
      -771635522996267592223266421539845087650733824539039103710051392877876222070971134578515949333350054768,
      3227852132251198855707966695915123225846918832274965776109937122351577544015101185772102186966607512544
    ],
    [
      143248785748055274831397315901662482582969772949354479323949679194596421044761730080686389806728752941313600433819645315747,
      -773180094157095054909535014528380687134159013523029329538959360783719974901664273142359855650403666752859210427134855413274,
      -1195337563186851916080901356372979893959967604008962097332458512504802721345358558783821583231320532450797521868567491645724,
      4496867363683790877215778050746484946959470908117282626354309555863836630412383625028251945929259917782117464937720124370872,
      1085936319249287681782027105668480323763048845175440887053313922192230845918327541501829652985460366688796046231495666859392,
      -4597347493085247137863023467847721734279606870285350235207620885217675977022163043820306028981098864791113900750647421956304
    ],
    [
      104507037742408441386482243512346276241106334273327822004894482408404711284312810789568571433037782135931672668210230625522830100286792039746709,
      -134874075188811468256901446619730132395256906866980691800321791216238155529254593577716095185356632007367002259802655255954075120084976265777414,
      -1184057108039717422813785079528017225563489698276529736496213230969063955455636782747993717738337449109599663680606734616337363677713904148108204,
      228505381717787148589152879488458631393858485843377493572928913883591954597680575545306789928249587604431775302421318359550246595541335010861208,
      1571381473759329740703794082343796994137792502659216045325049626003437780113626874488525328425076494422314324555494355026950797292715792713018152
    ],
    [
      -12414328118671823689213921145766841916512790195873871331565558765837797076140477956502678988667918746630411877810584614608715744578989706836007586673147743907521261,
      148062782397449218674950358021497058022156487982849462569452203341877927631039546901413006279561967844141802071139087573003032498195447383981347530345967530007548300,
      125202470018723207503974890240293672311142789072725304469855743894115704890257746399542651604393859494613400245651881854599304037782972399683518539787507173605154336,
      -363371424183985245530568749349014269907904100026437821739336391377480923885077872781270111968275703482028023827204697578981054544333040398793037833062604743787082832
    ],
    [
      -2090883877066840436905269667645745117873329903264438429134831636008909318787747473543993792384165703013918990270651270956848443177559328761387014105554151039035072687308390201839157901,
      -3346548870332342479025364095201032373035895031095658954260280752860434977332652343337242776685594095940284099377546014721532435941640472453361842390437327090336215819725007234392350195,
      7445622047686470997203907717686929174254571755467300043445281029098743794271122124401611020791326022769557152245230270044158449250925680829052393630804744393087208992011167585236277036
    ],
    [
      155308559673569910537759738199796205040449630133864388670973554207599832916240367533941045399904484678788211060873416010434037120675183801537840381614903258163219887768280819433526084874117816976250000000,
      -194052904661429040585845663446964098963180635530988566716536945398098549978981190667224088396497826006794887001318755150138742919391446675058563203150282278822291531335527374223138922011425788570325185587
    ],
    [
      1
    ]
  ],
  "sturm_signs_at_minus_1": [
    1,
    1,
    -1,
    1,
    -1,
    1,
    -1,
    1,
    -1,
    -1,
    1,
    -1,
    -1,
    1,
    1,
    1,
    1,
    1,
    1,
    1,
    1,
    1
  ],
  "sturm_signs_at_plus_1": [
    1,
    1,
    1,
    1,
    1,
    1,
    1,
    1,
    -1,
    -1,
    -1,
    -1,
    -1,
    1,
    -1,
    1,
    -1,
    1,
    -1,
    1,
    -1,
    1
  ],
  "sturm_variations_at_minus_1": 10,
  "sturm_variations_at_plus_1": 10,
  "root_count_in_minus_1_plus_1": 0,
  "all_arithmetic": "exact integers and fractions; no floating point in this certificate"
}

==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: compute/certificate_N6.json
==============================================================================

{
  "A": [
    1,
    2,
    4,
    6,
    7,
    8
  ],
  "N": 6,
  "chebyshev_polynomial_ascending": [
    0,
    -6,
    -20,
    56,
    120,
    -112,
    -224,
    64,
    128
  ],
  "lambda_lower": "15918323293/10000000000",
  "lambda_upper": "7959161647/5000000000",
  "rational_x_witness": "2210948927/2500000000",
  "negative_witness_numerator": "-284313949810337296470172923134742205330305232309895293810529919",
  "negative_witness_denominator": "11920928955078125000000000000000000000000000000000000000000000000000000000",
  "positive_upper_polynomial_ascending": [
    7959161647,
    -30000000000,
    -100000000000,
    280000000000,
    600000000000,
    -560000000000,
    -1120000000000,
    320000000000,
    640000000000
  ],
  "sturm_sequence_ascending": [
    [
      7959161647,
      -30000000000,
      -100000000000,
      280000000000,
      600000000000,
      -560000000000,
      -1120000000000,
      320000000000,
      640000000000
    ],
    [
      -3,
      -20,
      84,
      240,
      -280,
      -672,
      224,
      512
    ],
    [
      -8193536647,
      24687500000,
      81562500000,
      -156250000000,
      -321875000000,
      157500000000,
      297500000000
    ],
    [
      678979041175,
      315108032016,
      -8600000000000,
      -11840000000000,
      9800000000000,
      14720000000000
    ],
    [
      47402907457707,
      -88720207225024,
      -386084806442752,
      112960000000000,
      416680000000000
    ],
    [
      -8275525413007,
      56101609862028,
      37950606881820,
      -102677560115136
    ],
    [
      -204667447719446238214378615021,
      -186314361336517758940646054128,
      472352905539695937387272296656
    ],
    [
      5444977146351961308032725988207520936650708225,
      -6156833348566814786982888646183724628884705488
    ],
    [
      1
    ]
  ],
  "sturm_signs_at_minus_1": [
    1,
    -1,
    1,
    -1,
    1,
    1,
    1,
    1,
    1
  ],
  "sturm_signs_at_plus_1": [
    1,
    1,
    1,
    1,
    1,
    -1,
    1,
    -1,
    1
  ],
  "sturm_variations_at_minus_1": 4,
  "sturm_variations_at_plus_1": 4,
  "root_count_in_minus_1_plus_1": 0,
  "all_arithmetic": "exact integers and fractions; no floating point in this certificate"
}

==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: compute/certify.py
==============================================================================

"""Exact rational certification of extrema of sums of integer-frequency cosines.
No numerical assumption enters the final certificates. Implements Sturm's theorem
with exact fractions and positive primitive-integer normalizations.
"""
from fractions import Fraction as F
from functools import reduce
from math import gcd,lcm,cos,floor,ceil
from pathlib import Path
import json

def trim(p):
 p=list(p)
 while len(p)>1 and p[-1]==0:p.pop()
 return p

def add(p,q):
 r=[0]*max(len(p),len(q))
 for i,c in enumerate(p):r[i]+=c
 for i,c in enumerate(q):r[i]+=c
 return trim(r)

def scale(p,k): return trim([v*k for v in p])
def deriv(p):return trim([i*p[i] for i in range(1,len(p))] or [0])
def val(p,x):
 s=0
 for c in reversed(p):s=s*x+c
 return s

def remainder(p,q):
 p=[F(v) for v in trim(p)];q=trim(q)
 while p!=[0] and len(p)>=len(q):
  diff=len(p)-len(q);coeff=p[-1]/q[-1]
  for j,c in enumerate(q):p[j+diff]-=coeff*c
  p=trim(p)
 return p

def primitive(p):
 p=[F(x) for x in trim(p)]
 den=lcm(*(x.denominator for x in p))
 nums=[int(x*den) for x in p]
 common=reduce(gcd,(abs(x) for x in nums)) or 1
 return [x//common for x in nums]

def sturm(p):
 seq=[primitive(p),primitive(deriv(p))]
 if seq[-1]==[0]:return seq[:-1]
 while True:
  r=primitive(scale(remainder(seq[-2],seq[-1]),-1))
  if r==[0]:break
  seq.append(r)
 return seq

def signs_at(seq,x):return [int((v>0)-(v<0)) for v in (val(p,x) for p in seq)]
def variations(signs):
 ss=[s for s in signs if s]
 return sum(a!=b for a,b in zip(ss,ss[1:]))

def chebyshev_sum(A):
 ts=[[1],[0,1]]
 for a in range(2,max(A)+1):ts.append(add([0]+scale(ts[-1],2),scale(ts[-2],-1)))
 p=[0]
 for a in A:p=add(p,ts[a])
 return p

def certify(A,lower,upper,witness,save_name):
 """Prove lower < λ(A) < upper, with exact rational lower, upper, x witness.
 Upper bound: Sturm proves P+upper has no roots in [-1,1] and is positive
 at both endpoints, hence is strictly positive throughout.
 Lower bound: evaluate P(witness)+lower<0 exactly.
 """
 A=list(A);lower=F(lower);upper=F(upper);witness=F(witness)
 assert 0<lower<upper and -1<=witness<=1
 p=chebyshev_sum(A)
 q=primitive(add(p,[upper]))
 seq=sturm(q)
 left=signs_at(seq,F(-1));right=signs_at(seq,F(1))
 vl=variations(left);vr=variations(right)
 assert val(q,F(-1))>0 and val(q,F(1))>0
 assert vl-vr==0,('roots',vl-vr)
 actual=val(p,witness)
 assert actual+lower<0,('lower bound failed',float(actual),float(lower))
 result={
  'A':A,'N':len(A),'chebyshev_polynomial_ascending':p,
  'lambda_lower':str(lower),'lambda_upper':str(upper),
  'rational_x_witness':str(witness),
  'negative_witness_numerator':str((actual+lower).numerator),
  'negative_witness_denominator':str((actual+lower).denominator),
  'positive_upper_polynomial_ascending':q,
  'sturm_sequence_ascending':seq,
  'sturm_signs_at_minus_1':left,'sturm_signs_at_plus_1':right,
  'sturm_variations_at_minus_1':vl,'sturm_variations_at_plus_1':vr,
  'root_count_in_minus_1_plus_1':vl-vr,
  'all_arithmetic':'exact integers and fractions; no floating point in this certificate'
 }
 path=Path(__file__).parent/save_name
 path.write_text(json.dumps(result,indent=2))
 brief={k:v for k,v in result.items() if k not in {'negative_witness_numerator','negative_witness_denominator','positive_upper_polynomial_ascending','sturm_sequence_ascending'}}
 print(json.dumps(brief,indent=2))
 return result

if __name__=='__main__':
 from search import refine
 for A,name in [([1,2,4,6,7,8],'certificate_N6.json'),([1,2,3,4,5,6,8,9,10,11,14],'certificate_N11.json')]:
  r=refine(A)
  denom=10**10; lower=F(floor(r['lambda']*denom),denom);upper=F(ceil(r['lambda']*denom),denom)
  witness=F(round(cos(r['theta'])*10**10),10**10)
  certify(A,lower,upper,witness,name)


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: compute/exact_finite_M22.log
==============================================================================

exact scanned 1048576 exceptions 0 seconds 3.22
exact scanned 2097152 exceptions 1 seconds 6.47
exact scanned 3145728 exceptions 1 seconds 9.54
{
  "M": 22,
  "nonempty_subsets_checked": 4194303,
  "grid_intervals": 4096,
  "grid_points": 4097,
  "arithmetic": "int64 sums of certified rational cosine upper bounds; integer thresholds",
  "grid": {
    "internal_bits": 96,
    "output_bits": 40,
    "max_internal_width": 9621121,
    "max_output_width": 1
  },
  "ratio_upper_winner": "24548327531/40000000000",
  "exception_sets": [
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        10,
        11,
        13,
        14,
        15,
        16,
        17,
        21
      ],
      "N": 16,
      "lambda_lower_grid_exact": "1349555785747/549755813888"
    }
  ],
  "winning_set": [
    1,
    2,
    3,
    4,
    5,
    6,
    7,
    8,
    10,
    11,
    13,
    14,
    15,
    16,
    17,
    21
  ],
  "conclusion": "Every other nonempty A subset {1,...,22} has lambda(A)/sqrt(|A|) >= ratio_upper_winner, which strictly exceeds the independently certified ratio for the winning set. Thus the displayed winning set is the unique minimizer over this finite universe.",
  "seconds": 12.575994968414307
}


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: compute/exact_finite_M22_certificate.json
==============================================================================

{
  "M": 22,
  "nonempty_subsets_checked": 4194303,
  "grid_intervals": 4096,
  "grid_points": 4097,
  "arithmetic": "int64 sums of certified rational cosine upper bounds; integer thresholds",
  "grid": {
    "internal_bits": 96,
    "output_bits": 40,
    "max_internal_width": 9621121,
    "max_output_width": 1
  },
  "ratio_upper_winner": "24548327531/40000000000",
  "exception_sets": [
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        10,
        11,
        13,
        14,
        15,
        16,
        17,
        21
      ],
      "N": 16,
      "lambda_lower_grid_exact": "1349555785747/549755813888"
    }
  ],
  "winning_set": [
    1,
    2,
    3,
    4,
    5,
    6,
    7,
    8,
    10,
    11,
    13,
    14,
    15,
    16,
    17,
    21
  ],
  "conclusion": "Every other nonempty A subset {1,...,22} has lambda(A)/sqrt(|A|) >= ratio_upper_winner, which strictly exceeds the independently certified ratio for the winning set. Thus the displayed winning set is the unique minimizer over this finite universe.",
  "seconds": 12.658779859542847
}

==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: compute/exact_grid.py
==============================================================================

"""Certified finite search using only integer interval arithmetic.
All cos(a*k*pi/4096) bounds are built from exact half-angle square roots
and exact integer interval arithmetic, never libm cosine.
The supplied winning set's strict upper lambda certificate is independently
provided by certificate_N16.json (exact Sturm arithmetic).
"""
from pathlib import Path
from math import isqrt
from fractions import Fraction
import numpy as np, json,time
OUT=Path(__file__).parent
B=96;S=1<<B;SMALL_B=40;UNIT=1<<SMALL_B;K=4096

def cd(a,b): return -((-a)//b)
def add(x,y):return (x[0]+y[0],x[1]+y[1])
def sub(x,y):return (x[0]-y[1],x[1]-y[0])
def half(x):return (x[0]//2,cd(x[1],2))
def mul(x,y):
 terms=[x[0]*y[0],x[0]*y[1],x[1]*y[0],x[1]*y[1]]
 return(min(terms)//S,cd(max(terms),S))
def sqrtiv(x):
 assert x[1]>=0
 lo=isqrt(max(x[0],0)*S); hi=isqrt(x[1]*S)
 if hi*hi<x[1]*S:hi+=1
 return(lo,hi)
def clipcos(x):return(max(-S,x[0]),min(S,x[1]))
def clipsin(x):return(max(0,x[0]),min(S,x[1]))
def upper_cos_grid():
 # cos(pi/2048) using 11 half-angle steps starting with exact cos(pi)=-1.
 c=(-S,-S)
 for _ in range(11):c=sqrtiv(half(add((S,S),c)))
 cs=sqrtiv(half(add((S,S),c))) # cos(pi/4096)
 sn=sqrtiv(half(sub((S,S),c))) # sin(pi/4096)
 cp=(S,S);sp=(0,0);lower=[];upper=[]
 for k in range(K+1):
  lower.append(cp[0]);upper.append(cp[1])
  if k<K:
   cp,sp=clipcos(sub(mul(cp,cs),mul(sp,sn))),clipsin(add(mul(sp,cs),mul(cp,sn)))
 # At known cardinal angles overwrite with exact values.
 for k,v in ((0,S),(K//2,0),(K,-S)):lower[k]=upper[k]=v
 shift=1<<(B-SMALL_B)
 L=[lo//shift for lo in lower];U=[cd(up,shift) for up in upper]
 assert all(l<=u for l,u in zip(L,U))
 return L,U,{'internal_bits':B,'output_bits':SMALL_B,'max_internal_width':max(u-l for l,u in zip(lower,upper)), 'max_output_width':max(u-l for l,u in zip(L,U))}

def certify_global_M22():
 start=time.time();M=22
 cert=json.loads((OUT/'certificate_N16.json').read_text())
 winner=cert['A'];ratio_upper=Fraction(cert['lambda_upper'])/4
 assert len(winner)==len(set(winner))==16 and all(1<=a<=M for a in winner)
 assert M*UNIT < 2**63
 numerator=ratio_upper.numerator;denom=ratio_upper.denominator
 _,U,gridmeta=upper_cos_grid()
 C=np.empty((M,K+1),dtype=np.int64)
 for a in range(1,M+1):
  for k in range(K+1):
   phase=(a*k)%(2*K)
   if phase>K:phase=2*K-phase
   C[a-1,k]=U[phase]
 thresholds=[0]
 for n in range(1,M+1):
  goal=UNIT*UNIT*numerator*numerator*n
  t=isqrt(goal//(denom*denom))
  if t*t*denom*denom<goal:t+=1
  assert t*t*denom*denom>=goal
  thresholds.append(t)
 y=np.zeros(K+1,dtype=np.int64);previous=0;n=0;exceptions=[]
 for ix in range(1,1<<M):
  gray=ix^(ix>>1);changed=gray^previous;bit=changed.bit_length()-1
  if gray&changed:y+=C[bit];n+=1
  else:y-=C[bit];n-=1
  lower_lambda_int=-int(y.min())
  if lower_lambda_int<thresholds[n]:
   A=[i+1 for i in range(M) if gray>>i&1]
   exceptions.append({'A':A,'N':n,'lambda_lower_grid_exact':str(Fraction(lower_lambda_int,UNIT))})
  previous=gray
  if ix%(1<<20)==0:print('exact scanned',ix,'exceptions',len(exceptions),'seconds',round(time.time()-start,2),flush=True)
 assert [r['A'] for r in exceptions]==[winner], exceptions
 result={'M':M,'nonempty_subsets_checked':(1<<M)-1,'grid_intervals':K,'grid_points':K+1,'arithmetic':'int64 sums of certified rational cosine upper bounds; integer thresholds','grid':gridmeta,'ratio_upper_winner':str(ratio_upper),'exception_sets':exceptions,'winning_set':winner,'conclusion':'Every other nonempty A subset {1,...,22} has lambda(A)/sqrt(|A|) >= ratio_upper_winner, which strictly exceeds the independently certified ratio for the winning set. Thus the displayed winning set is the unique minimizer over this finite universe.','seconds':time.time()-start}
 (OUT/'exact_finite_M22_certificate.json').write_text(json.dumps(result,indent=2))
 print(json.dumps(result,indent=2),flush=True)

if __name__=='__main__':certify_global_M22()


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: compute/exhaustive_M16.json
==============================================================================

{
  "M": 16,
  "K": 4097,
  "subsets": 65535,
  "seconds": 0.2698945999145508,
  "best_by_N": [
    {
      "A": [
        12
      ],
      "N": 1,
      "lambda": 1.0,
      "ratio": 1.0,
      "theta": 0.2617993877991494,
      "critical_minima": 6,
      "grid_best": 0.9999999999999998,
      "grid_error_bound": 1.882477646081802e-05
    },
    {
      "A": [
        4,
        8
      ],
      "N": 2,
      "lambda": 1.125,
      "ratio": 0.795495128834866,
      "theta": 0.4558691454865011,
      "critical_minima": 4,
      "grid_best": 1.1249976999411275,
      "grid_error_bound": 3.536999014708386e-05
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3
      ],
      "N": 3,
      "lambda": 1.3155651547204492,
      "ratio": 0.7595418962143431,
      "theta": 1.2929430584522335,
      "critical_minima": 1,
      "grid_best": 1.31555647762751,
      "grid_error_bound": 4.9782709624897654e-05
    },
    {
      "A": [
        2,
        4,
        6,
        8
      ],
      "N": 4,
      "lambda": 1.5195578816428483,
      "ratio": 0.7597789408214242,
      "theta": 0.501375009623997,
      "critical_minima": 4,
      "grid_best": 1.5195555972400612,
      "grid_error_bound": 6.221000346035955e-05
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        4,
        5,
        6
      ],
      "N": 5,
      "lambda": 1.6274606644665797,
      "ratio": 0.7278225352908497,
      "theta": 1.7775847957597648,
      "critical_minima": 3,
      "grid_best": 1.6274594947965098,
      "grid_error_bound": 7.279894021956968e-05
    },
    {
      "A": [
        2,
        4,
        8,
        12,
        14,
        16
      ],
      "N": 6,
      "lambda": 1.5918323293238499,
      "ratio": 0.6498628271515707,
      "theta": 0.2428165976613964,
      "critical_minima": 8,
      "grid_best": 1.5918053706918305,
      "grid_error_bound": 8.169658846862821e-05
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        5,
        6,
        7,
        8
      ],
      "N": 7,
      "lambda": 1.8934554189924957,
      "ratio": 0.7156588796059641,
      "theta": 0.503480785281711,
      "critical_minima": 4,
      "grid_best": 1.8934476471034527,
      "grid_error_bound": 8.905001677363524e-05
    },
    {
      "A": [
        2,
        3,
        4,
        5,
        7,
        8,
        10,
        12
      ],
      "N": 8,
      "lambda": 1.9567876936328228,
      "ratio": 0.6918289237550767,
      "theta": 0.37486661835454904,
      "critical_minima": 5,
      "grid_best": 1.9567836877281704,
      "grid_error_bound": 9.500629370069094e-05
    },
    {
      "A": [
        2,
        3,
        4,
        5,
        7,
        9,
        10,
        12,
        14
      ],
      "N": 9,
      "lambda": 2.0692825870916445,
      "ratio": 0.6897608623638815,
      "theta": 1.0838453779418018,
      "critical_minima": 7,
      "grid_best": 2.069282128475366,
      "grid_error_bound": 9.971248781589545e-05
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        5,
        6,
        7,
        8,
        10,
        11,
        13
      ],
      "N": 10,
      "lambda": 2.0574472746083012,
      "ratio": 0.6506219553468148,
      "theta": 0.3439422604759581,
      "critical_minima": 5,
      "grid_best": 2.0574286535247777,
      "grid_error_bound": 0.0001033156676853489
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        8,
        9,
        10,
        11,
        14
      ],
      "N": 11,
      "lambda": 2.1023812792428815,
      "ratio": 0.6338918063196399,
      "theta": 2.0012779273944283,
      "critical_minima": 6,
      "grid_best": 2.102375981420752,
      "grid_error_bound": 0.00010596290187515144
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        15
      ],
      "N": 12,
      "lambda": 2.213895922405542,
      "ratio": 0.6390967033793273,
      "theta": 0.3572146794442393,
      "critical_minima": 6,
      "grid_best": 2.2138910592211793,
      "grid_error_bound": 0.00010780125895140319
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        9,
        10,
        11,
        12,
        13,
        16
      ],
      "N": 13,
      "lambda": 2.3182326501521295,
      "ratio": 0.6429620529675596,
      "theta": 0.2958164050919693,
      "critical_minima": 7,
      "grid_best": 2.3182163199929016,
      "grid_error_bound": 0.00010897780748020432
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        13,
        15,
        16
      ],
      "N": 14,
      "lambda": 2.4192391372797344,
      "ratio": 0.6465688563125239,
      "theta": 2.6356084584392714,
      "critical_minima": 7,
      "grid_best": 2.419230130685332,
      "grid_error_bound": 0.00010963961602765495
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        13,
        14,
        15,
        16
      ],
      "N": 15,
      "lambda": 3.1049532473491164,
      "ratio": 0.8016954811823844,
      "theta": 0.274250395311521,
      "critical_minima": 6,
      "grid_best": 3.104907934186521,
      "grid_error_bound": 0.00010993375315985524
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        12,
        13,
        14,
        15,
        16
      ],
      "N": 16,
      "lambda": 4.095458304872639,
      "ratio": 1.0238645762181597,
      "theta": 0.2724113575133139,
      "critical_minima": 8,
      "grid_best": 4.095450067986897,
      "grid_error_bound": 0.0001100072874429053
    }
  ]
}

==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: compute/exhaustive_M22.json
==============================================================================

{
  "M": 22,
  "K": 4097,
  "subsets": 4194303,
  "seconds": 13.032623291015625,
  "best_by_N": [
    {
      "A": [
        12
      ],
      "N": 1,
      "lambda": 1.0,
      "ratio": 1.0,
      "theta": 0.2617993877991494,
      "critical_minima": 6,
      "grid_best": 0.9999999999999998,
      "grid_error_bound": 3.559059299623407e-05
    },
    {
      "A": [
        4,
        8
      ],
      "N": 2,
      "lambda": 1.125,
      "ratio": 0.795495128834866,
      "theta": 0.4558691454865011,
      "critical_minima": 4,
      "grid_best": 1.1249976999411275,
      "grid_error_bound": 6.801921182131511e-05
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3
      ],
      "N": 3,
      "lambda": 1.3155651547204492,
      "ratio": 0.7595418962143431,
      "theta": 1.2929430584522335,
      "critical_minima": 1,
      "grid_best": 1.31555647762751,
      "grid_error_bound": 9.743292504134327e-05
    },
    {
      "A": [
        2,
        4,
        6,
        8
      ],
      "N": 4,
      "lambda": 1.5195578816428483,
      "ratio": 0.7597789408214242,
      "theta": 0.501375009623997,
      "critical_minima": 4,
      "grid_best": 1.5195555972400612,
      "grid_error_bound": 0.0001239788012224187
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        4,
        5,
        6
      ],
      "N": 5,
      "lambda": 1.6274606644665797,
      "ratio": 0.7278225352908497,
      "theta": 1.7775847957597648,
      "critical_minima": 3,
      "grid_best": 1.6274594947958,
      "grid_error_bound": 0.00014780390893064148
    },
    {
      "A": [
        2,
        4,
        8,
        12,
        14,
        16
      ],
      "N": 6,
      "lambda": 1.5918323293238499,
      "ratio": 0.6498628271515707,
      "theta": 0.2428165976613964,
      "critical_minima": 8,
      "grid_best": 1.5918053706918305,
      "grid_error_bound": 0.00016905531673211182
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        5,
        6,
        7,
        8
      ],
      "N": 7,
      "lambda": 1.8934554189924957,
      "ratio": 0.7156588796059641,
      "theta": 0.503480785281711,
      "critical_minima": 4,
      "grid_best": 1.8934476471034527,
      "grid_error_bound": 0.00018788009319292985
    },
    {
      "A": [
        2,
        3,
        4,
        5,
        7,
        8,
        10,
        12
      ],
      "N": 8,
      "lambda": 1.9567876936328228,
      "ratio": 0.6918289237550767,
      "theta": 0.37486661835454904,
      "critical_minima": 5,
      "grid_best": 1.9567836877281704,
      "grid_error_bound": 0.0002044253068791957
    },
    {
      "A": [
        2,
        3,
        4,
        5,
        7,
        9,
        10,
        12,
        14
      ],
      "N": 9,
      "lambda": 2.0692825870916445,
      "ratio": 0.6897608623638815,
      "theta": 1.0838453779418018,
      "critical_minima": 7,
      "grid_best": 2.069282128475366,
      "grid_error_bound": 0.0002188380263570095
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        5,
        6,
        7,
        8,
        10,
        11,
        13
      ],
      "N": 10,
      "lambda": 2.0574472746083012,
      "ratio": 0.6506219553468148,
      "theta": 0.3439422604759581,
      "critical_minima": 5,
      "grid_best": 2.0574286535247777,
      "grid_error_bound": 0.0002312653201924714
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        8,
        9,
        10,
        11,
        14
      ],
      "N": 11,
      "lambda": 2.1023812792428815,
      "ratio": 0.6338918063196399,
      "theta": 2.0012779273944283,
      "critical_minima": 6,
      "grid_best": 2.102375981420752,
      "grid_error_bound": 0.0002418542569516815
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        15
      ],
      "N": 12,
      "lambda": 2.213895922405542,
      "ratio": 0.6390967033793273,
      "theta": 0.3572146794442393,
      "critical_minima": 6,
      "grid_best": 2.2138910592211793,
      "grid_error_bound": 0.00025075190520074
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        9,
        10,
        11,
        12,
        13,
        16
      ],
      "N": 13,
      "lambda": 2.3182326501521295,
      "ratio": 0.6429620529675596,
      "theta": 0.2958164050919693,
      "critical_minima": 7,
      "grid_best": 2.3182163199929016,
      "grid_error_bound": 0.00025810533350574706
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        8,
        9,
        10,
        12,
        13,
        14,
        15,
        18
      ],
      "N": 14,
      "lambda": 2.3663504270565663,
      "ratio": 0.6324337539351337,
      "theta": 1.1539416377089855,
      "critical_minima": 8,
      "grid_best": 2.3663225692782275,
      "grid_error_bound": 0.0002640616104328028
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        12,
        14,
        18,
        20,
        21
      ],
      "N": 15,
      "lambda": 2.4189121268958123,
      "ratio": 0.6245604255604428,
      "theta": 2.927817012399807,
      "critical_minima": 10,
      "grid_best": 2.4188990017819627,
      "grid_error_bound": 0.00026876780454800726
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        10,
        11,
        13,
        14,
        15,
        16,
        17,
        21
      ],
      "N": 16,
      "lambda": 2.4548327530279495,
      "ratio": 0.6137081882569874,
      "theta": 0.642932007173643,
      "critical_minima": 8,
      "grid_best": 2.454827673766896,
      "grid_error_bound": 0.0002723709844174607
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        12,
        13,
        14,
        15,
        19,
        22
      ],
      "N": 17,
      "lambda": 2.5648971205451128,
      "ratio": 0.6220789262852996,
      "theta": 1.8515634777015928,
      "critical_minima": 9,
      "grid_best": 2.564896121650557,
      "grid_error_bound": 0.00027501821860726323
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        12,
        13,
        14,
        15,
        17,
        18,
        20,
        21,
        22
      ],
      "N": 18,
      "lambda": 2.7071131730922966,
      "ratio": 0.6380726940443316,
      "theta": 2.3563548878383016,
      "critical_minima": 10,
      "grid_best": 2.7071067811885525,
      "grid_error_bound": 0.00027685657568351504
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        12,
        13,
        15,
        16,
        18,
        20,
        21,
        22
      ],
      "N": 19,
      "lambda": 2.7775943490832957,
      "ratio": 0.6372238459896695,
      "theta": 2.654564278220856,
      "critical_minima": 10,
      "grid_best": 2.7775943126700327,
      "grid_error_bound": 0.0002780331242123161
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        12,
        13,
        14,
        16,
        18,
        19,
        20,
        21,
        22
      ],
      "N": 20,
      "lambda": 3.4396549463268022,
      "ratio": 0.769130227913012,
      "theta": 0.2008086830719299,
      "critical_minima": 10,
      "grid_best": 3.4396350865170406,
      "grid_error_bound": 0.0002786949327597668
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        12,
        13,
        14,
        15,
        17,
        18,
        19,
        20,
        21,
        22
      ],
      "N": 21,
      "lambda": 4.397530493878014,
      "ratio": 0.9596198266225018,
      "theta": 0.20013132173646922,
      "critical_minima": 9,
      "grid_best": 4.397527367553119,
      "grid_error_bound": 0.00027898906989196705
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        12,
        13,
        14,
        15,
        16,
        17,
        18,
        19,
        20,
        21,
        22
      ],
      "N": 22,
      "lambda": 5.395889851587047,
      "ratio": 1.1504075817343267,
      "theta": 0.19973999321595712,
      "critical_minima": 11,
      "grid_best": 5.395760892661549,
      "grid_error_bound": 0.00027906260417501715
    }
  ]
}

==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: compute/exhaustive_M22.log
==============================================================================

progress 22 65536 seconds 0.2
progress 22 131072 seconds 0.4
progress 22 196608 seconds 0.6
progress 22 262144 seconds 0.8
progress 22 327680 seconds 1.0
progress 22 393216 seconds 1.2
progress 22 458752 seconds 1.4
progress 22 524288 seconds 1.6
progress 22 589824 seconds 1.8
progress 22 655360 seconds 2.0
progress 22 720896 seconds 2.2
progress 22 786432 seconds 2.4
progress 22 851968 seconds 2.7
progress 22 917504 seconds 2.9
progress 22 983040 seconds 3.1
progress 22 1048576 seconds 3.3
progress 22 1114112 seconds 3.5
progress 22 1179648 seconds 3.7
progress 22 1245184 seconds 3.9
progress 22 1310720 seconds 4.1
progress 22 1376256 seconds 4.3
progress 22 1441792 seconds 4.5
progress 22 1507328 seconds 4.7
progress 22 1572864 seconds 4.9
progress 22 1638400 seconds 5.1
progress 22 1703936 seconds 5.3
progress 22 1769472 seconds 5.5
progress 22 1835008 seconds 5.7
progress 22 1900544 seconds 5.9
progress 22 1966080 seconds 6.1
progress 22 2031616 seconds 6.3
progress 22 2097152 seconds 6.5
progress 22 2162688 seconds 6.7
progress 22 2228224 seconds 6.9
progress 22 2293760 seconds 7.1
progress 22 2359296 seconds 7.3
progress 22 2424832 seconds 7.5
progress 22 2490368 seconds 7.7
progress 22 2555904 seconds 7.9
progress 22 2621440 seconds 8.1
progress 22 2686976 seconds 8.3
progress 22 2752512 seconds 8.5
progress 22 2818048 seconds 8.7
progress 22 2883584 seconds 8.9
progress 22 2949120 seconds 9.1
progress 22 3014656 seconds 9.3
progress 22 3080192 seconds 9.5
progress 22 3145728 seconds 9.7
progress 22 3211264 seconds 9.9
progress 22 3276800 seconds 10.1
progress 22 3342336 seconds 10.3
progress 22 3407872 seconds 10.5
progress 22 3473408 seconds 10.7
progress 22 3538944 seconds 10.9
progress 22 3604480 seconds 11.1
progress 22 3670016 seconds 11.3
progress 22 3735552 seconds 11.5
progress 22 3801088 seconds 11.7
progress 22 3866624 seconds 11.9
progress 22 3932160 seconds 12.1
progress 22 3997696 seconds 12.3
progress 22 4063232 seconds 12.5
progress 22 4128768 seconds 12.7
{
  "M": 22,
  "K": 4097,
  "subsets": 4194303,
  "seconds": 13.03219723701477,
  "best_by_N": [
    {
      "A": [
        12
      ],
      "N": 1,
      "lambda": 1.0,
      "ratio": 1.0,
      "theta": 0.2617993877991494,
      "critical_minima": 6,
      "grid_best": 0.9999999999999998,
      "grid_error_bound": 3.559059299623407e-05
    },
    {
      "A": [
        4,
        8
      ],
      "N": 2,
      "lambda": 1.125,
      "ratio": 0.795495128834866,
      "theta": 0.4558691454865011,
      "critical_minima": 4,
      "grid_best": 1.1249976999411275,
      "grid_error_bound": 6.801921182131511e-05
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3
      ],
      "N": 3,
      "lambda": 1.3155651547204492,
      "ratio": 0.7595418962143431,
      "theta": 1.2929430584522335,
      "critical_minima": 1,
      "grid_best": 1.31555647762751,
      "grid_error_bound": 9.743292504134327e-05
    },
    {
      "A": [
        2,
        4,
        6,
        8
      ],
      "N": 4,
      "lambda": 1.5195578816428483,
      "ratio": 0.7597789408214242,
      "theta": 0.501375009623997,
      "critical_minima": 4,
      "grid_best": 1.5195555972400612,
      "grid_error_bound": 0.0001239788012224187
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        4,
        5,
        6
      ],
      "N": 5,
      "lambda": 1.6274606644665797,
      "ratio": 0.7278225352908497,
      "theta": 1.7775847957597648,
      "critical_minima": 3,
      "grid_best": 1.6274594947958,
      "grid_error_bound": 0.00014780390893064148
    },
    {
      "A": [
        2,
        4,
        8,
        12,
        14,
        16
      ],
      "N": 6,
      "lambda": 1.5918323293238499,
      "ratio": 0.6498628271515707,
      "theta": 0.2428165976613964,
      "critical_minima": 8,
      "grid_best": 1.5918053706918305,
      "grid_error_bound": 0.00016905531673211182
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        5,
        6,
        7,
        8
      ],
      "N": 7,
      "lambda": 1.8934554189924957,
      "ratio": 0.7156588796059641,
      "theta": 0.503480785281711,
      "critical_minima": 4,
      "grid_best": 1.8934476471034527,
      "grid_error_bound": 0.00018788009319292985
    },
    {
      "A": [
        2,
        3,
        4,
        5,
        7,
        8,
        10,
        12
      ],
      "N": 8,
      "lambda": 1.9567876936328228,
      "ratio": 0.6918289237550767,
      "theta": 0.37486661835454904,
      "critical_minima": 5,
      "grid_best": 1.9567836877281704,
      "grid_error_bound": 0.0002044253068791957
    },
    {
      "A": [
        2,
        3,
        4,
        5,
        7,
        9,
        10,
        12,
        14
      ],
      "N": 9,
      "lambda": 2.0692825870916445,
      "ratio": 0.6897608623638815,
      "theta": 1.0838453779418018,
      "critical_minima": 7,
      "grid_best": 2.069282128475366,
      "grid_error_bound": 0.0002188380263570095
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        5,
        6,
        7,
        8,
        10,
        11,
        13
      ],
      "N": 10,
      "lambda": 2.0574472746083012,
      "ratio": 0.6506219553468148,
      "theta": 0.3439422604759581,
      "critical_minima": 5,
      "grid_best": 2.0574286535247777,
      "grid_error_bound": 0.0002312653201924714
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        8,
        9,
        10,
        11,
        14
      ],
      "N": 11,
      "lambda": 2.1023812792428815,
      "ratio": 0.6338918063196399,
      "theta": 2.0012779273944283,
      "critical_minima": 6,
      "grid_best": 2.102375981420752,
      "grid_error_bound": 0.0002418542569516815
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        15
      ],
      "N": 12,
      "lambda": 2.213895922405542,
      "ratio": 0.6390967033793273,
      "theta": 0.3572146794442393,
      "critical_minima": 6,
      "grid_best": 2.2138910592211793,
      "grid_error_bound": 0.00025075190520074
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        9,
        10,
        11,
        12,
        13,
        16
      ],
      "N": 13,
      "lambda": 2.3182326501521295,
      "ratio": 0.6429620529675596,
      "theta": 0.2958164050919693,
      "critical_minima": 7,
      "grid_best": 2.3182163199929016,
      "grid_error_bound": 0.00025810533350574706
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        8,
        9,
        10,
        12,
        13,
        14,
        15,
        18
      ],
      "N": 14,
      "lambda": 2.3663504270565663,
      "ratio": 0.6324337539351337,
      "theta": 1.1539416377089855,
      "critical_minima": 8,
      "grid_best": 2.3663225692782275,
      "grid_error_bound": 0.0002640616104328028
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        12,
        14,
        18,
        20,
        21
      ],
      "N": 15,
      "lambda": 2.4189121268958123,
      "ratio": 0.6245604255604428,
      "theta": 2.927817012399807,
      "critical_minima": 10,
      "grid_best": 2.4188990017819627,
      "grid_error_bound": 0.00026876780454800726
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        10,
        11,
        13,
        14,
        15,
        16,
        17,
        21
      ],
      "N": 16,
      "lambda": 2.4548327530279495,
      "ratio": 0.6137081882569874,
      "theta": 0.642932007173643,
      "critical_minima": 8,
      "grid_best": 2.454827673766896,
      "grid_error_bound": 0.0002723709844174607
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        12,
        13,
        14,
        15,
        19,
        22
      ],
      "N": 17,
      "lambda": 2.5648971205451128,
      "ratio": 0.6220789262852996,
      "theta": 1.8515634777015928,
      "critical_minima": 9,
      "grid_best": 2.564896121650557,
      "grid_error_bound": 0.00027501821860726323
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        12,
        13,
        14,
        15,
        17,
        18,
        20,
        21,
        22
      ],
      "N": 18,
      "lambda": 2.7071131730922966,
      "ratio": 0.6380726940443316,
      "theta": 2.3563548878383016,
      "critical_minima": 10,
      "grid_best": 2.7071067811885525,
      "grid_error_bound": 0.00027685657568351504
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        12,
        13,
        15,
        16,
        18,
        20,
        21,
        22
      ],
      "N": 19,
      "lambda": 2.7775943490832957,
      "ratio": 0.6372238459896695,
      "theta": 2.654564278220856,
      "critical_minima": 10,
      "grid_best": 2.7775943126700327,
      "grid_error_bound": 0.0002780331242123161
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        12,
        13,
        14,
        16,
        18,
        19,
        20,
        21,
        22
      ],
      "N": 20,
      "lambda": 3.4396549463268022,
      "ratio": 0.769130227913012,
      "theta": 0.2008086830719299,
      "critical_minima": 10,
      "grid_best": 3.4396350865170406,
      "grid_error_bound": 0.0002786949327597668
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        12,
        13,
        14,
        15,
        17,
        18,
        19,
        20,
        21,
        22
      ],
      "N": 21,
      "lambda": 4.397530493878014,
      "ratio": 0.9596198266225018,
      "theta": 0.20013132173646922,
      "critical_minima": 9,
      "grid_best": 4.397527367553119,
      "grid_error_bound": 0.00027898906989196705
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        12,
        13,
        14,
        15,
        16,
        17,
        18,
        19,
        20,
        21,
        22
      ],
      "N": 22,
      "lambda": 5.395889851587047,
      "ratio": 1.1504075817343267,
      "theta": 0.19973999321595712,
      "critical_minima": 11,
      "grid_best": 5.395760892661549,
      "grid_error_bound": 0.00027906260417501715
    }
  ]
}


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: compute/exhaustive_M24.json
==============================================================================

{
  "M": 24,
  "K": 4097,
  "subsets": 16777215,
  "seconds": 52.97348690032959,
  "best_by_N": [
    {
      "A": [
        12
      ],
      "N": 1,
      "lambda": 1.0,
      "ratio": 1.0,
      "theta": 0.2617993877991494,
      "critical_minima": 6,
      "grid_best": 0.9999999999999998,
      "grid_error_bound": 4.2355747036840546e-05
    },
    {
      "A": [
        4,
        8
      ],
      "N": 2,
      "lambda": 1.125,
      "ratio": 0.795495128834866,
      "theta": 0.4558691454865011,
      "critical_minima": 4,
      "grid_best": 1.1249976999411275,
      "grid_error_bound": 8.125538277032778e-05
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3
      ],
      "N": 3,
      "lambda": 1.3155651547204492,
      "ratio": 0.7595418962143431,
      "theta": 1.2929430584522335,
      "critical_minima": 1,
      "grid_best": 1.315550406573499,
      "grid_error_bound": 0.00011684597576656185
    },
    {
      "A": [
        2,
        4,
        6,
        8
      ],
      "N": 4,
      "lambda": 1.5195578816428483,
      "ratio": 0.7597789408214242,
      "theta": 0.501375009623997,
      "critical_minima": 4,
      "grid_best": 1.5195555972400612,
      "grid_error_bound": 0.0001492745945916429
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        4,
        5,
        6
      ],
      "N": 5,
      "lambda": 1.6274606644665797,
      "ratio": 0.7278225352908497,
      "theta": 1.7775847957597648,
      "critical_minima": 3,
      "grid_best": 1.6274406623552315,
      "grid_error_bound": 0.00017868830781167104
    },
    {
      "A": [
        2,
        4,
        8,
        12,
        14,
        16
      ],
      "N": 6,
      "lambda": 1.5918323293238499,
      "ratio": 0.6498628271515707,
      "theta": 0.2428165976613964,
      "critical_minima": 8,
      "grid_best": 1.5918053706918305,
      "grid_error_bound": 0.00020523418399274646
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        5,
        6,
        7,
        8
      ],
      "N": 7,
      "lambda": 1.8934554189924957,
      "ratio": 0.7156588796059641,
      "theta": 0.503480785281711,
      "critical_minima": 4,
      "grid_best": 1.8934476470306982,
      "grid_error_bound": 0.00022905929170096928
    },
    {
      "A": [
        4,
        6,
        8,
        10,
        14,
        16,
        20,
        24
      ],
      "N": 8,
      "lambda": 1.9567876936328228,
      "ratio": 0.6918289237550767,
      "theta": 0.18743330917727452,
      "critical_minima": 10,
      "grid_best": 1.956751532628679,
      "grid_error_bound": 0.0002503106995024396
    },
    {
      "A": [
        2,
        3,
        4,
        5,
        7,
        9,
        10,
        12,
        14
      ],
      "N": 9,
      "lambda": 2.0692825870916445,
      "ratio": 0.6897608623638815,
      "theta": 1.0838453779418018,
      "critical_minima": 7,
      "grid_best": 2.069282128475366,
      "grid_error_bound": 0.0002691354759632576
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        5,
        6,
        7,
        8,
        10,
        11,
        13
      ],
      "N": 10,
      "lambda": 2.0574472746083012,
      "ratio": 0.6506219553468148,
      "theta": 0.3439422604759581,
      "critical_minima": 5,
      "grid_best": 2.0574286535247777,
      "grid_error_bound": 0.0002856806896495235
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        8,
        9,
        10,
        11,
        14
      ],
      "N": 11,
      "lambda": 2.1023812792428815,
      "ratio": 0.6338918063196399,
      "theta": 2.0012779273944283,
      "critical_minima": 6,
      "grid_best": 2.102375981420752,
      "grid_error_bound": 0.00030009340912733723
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        15
      ],
      "N": 12,
      "lambda": 2.213895922405542,
      "ratio": 0.6390967033793273,
      "theta": 0.3572146794442393,
      "critical_minima": 6,
      "grid_best": 2.2138910592211793,
      "grid_error_bound": 0.00031252070296279913
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        9,
        10,
        11,
        12,
        13,
        16
      ],
      "N": 13,
      "lambda": 2.3182326501521295,
      "ratio": 0.6429620529675596,
      "theta": 0.2958164050919693,
      "critical_minima": 7,
      "grid_best": 2.3182163199929016,
      "grid_error_bound": 0.0003231096397220093
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        8,
        9,
        10,
        12,
        13,
        14,
        15,
        18
      ],
      "N": 14,
      "lambda": 2.3663504270565663,
      "ratio": 0.6324337539351337,
      "theta": 1.1539416377089855,
      "critical_minima": 8,
      "grid_best": 2.3663225692782275,
      "grid_error_bound": 0.00033200728797106783
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        12,
        14,
        18,
        20,
        21
      ],
      "N": 15,
      "lambda": 2.4189121268958123,
      "ratio": 0.6245604255604428,
      "theta": 2.927817012399807,
      "critical_minima": 10,
      "grid_best": 2.4188990017819627,
      "grid_error_bound": 0.00033936071627607483
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        10,
        11,
        13,
        14,
        15,
        16,
        17,
        21
      ],
      "N": 16,
      "lambda": 2.4548327530279495,
      "ratio": 0.6137081882569874,
      "theta": 0.642932007173643,
      "critical_minima": 8,
      "grid_best": 2.454827673766896,
      "grid_error_bound": 0.00034531699320313055
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        12,
        13,
        14,
        15,
        19,
        22
      ],
      "N": 17,
      "lambda": 2.5648971205451128,
      "ratio": 0.6220789262852996,
      "theta": 1.8515634777015928,
      "critical_minima": 9,
      "grid_best": 2.564896121650557,
      "grid_error_bound": 0.00035002318731833503
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        10,
        11,
        12,
        13,
        15,
        17,
        18,
        19,
        20,
        23
      ],
      "N": 18,
      "lambda": 2.6246769969933763,
      "ratio": 0.6186423009994534,
      "theta": 2.6899734342735773,
      "critical_minima": 9,
      "grid_best": 2.6246740861609346,
      "grid_error_bound": 0.0003536263671877885
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        12,
        13,
        14,
        16,
        19,
        20,
        21,
        23,
        24
      ],
      "N": 19,
      "lambda": 2.762449484380868,
      "ratio": 0.6337493757395918,
      "theta": 0.18764183370822335,
      "critical_minima": 11,
      "grid_best": 2.762377231094259,
      "grid_error_bound": 0.00035627360137759106
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        12,
        13,
        14,
        15,
        16,
        18,
        20,
        23,
        24
      ],
      "N": 20,
      "lambda": 2.885366835526102,
      "ratio": 0.6451876384259819,
      "theta": 0.20528409875030187,
      "critical_minima": 11,
      "grid_best": 2.885316106248493,
      "grid_error_bound": 0.0003581119584538428
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        12,
        13,
        14,
        15,
        17,
        18,
        21,
        22,
        23,
        24
      ],
      "N": 21,
      "lambda": 3.108179030811849,
      "ratio": 0.6782602705795132,
      "theta": 0.6889268301112975,
      "critical_minima": 11,
      "grid_best": 3.1081601873607054,
      "grid_error_bound": 0.00035928850698264394
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        12,
        13,
        14,
        15,
        16,
        19,
        20,
        21,
        22,
        23,
        24
      ],
      "N": 22,
      "lambda": 3.843946308860314,
      "ratio": 0.8195321066815235,
      "theta": 0.18439185187198542,
      "critical_minima": 10,
      "grid_best": 3.8438200001950817,
      "grid_error_bound": 0.00035995031553009456
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        12,
        13,
        14,
        15,
        16,
        18,
        19,
        20,
        21,
        22,
        23,
        24
      ],
      "N": 23,
      "lambda": 4.82998957552414,
      "ratio": 1.0071224462421953,
      "theta": 0.18329400320984185,
      "critical_minima": 10,
      "grid_best": 4.829989168783851,
      "grid_error_bound": 0.0003602444526622948
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        12,
        13,
        14,
        15,
        16,
        17,
        18,
        19,
        20,
        21,
        22,
        23,
        24
      ],
      "N": 24,
      "lambda": 5.829691617006674,
      "ratio": 1.189980818287244,
      "theta": 0.18342995129708511,
      "critical_minima": 12,
      "grid_best": 5.829668870548177,
      "grid_error_bound": 0.0003603179869453449
    }
  ]
}

==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: compute/exhaustive_M24.log
==============================================================================

progress 24 65536 seconds 0.2
progress 24 131072 seconds 0.4
progress 24 196608 seconds 0.6
progress 24 262144 seconds 0.8
progress 24 327680 seconds 1.0
progress 24 393216 seconds 1.2
progress 24 458752 seconds 1.4
progress 24 524288 seconds 1.6
progress 24 589824 seconds 1.8
progress 24 655360 seconds 2.0
progress 24 720896 seconds 2.2
progress 24 786432 seconds 2.4
progress 24 851968 seconds 2.6
progress 24 917504 seconds 2.8
progress 24 983040 seconds 3.1
progress 24 1048576 seconds 3.3
progress 24 1114112 seconds 3.5
progress 24 1179648 seconds 3.7
progress 24 1245184 seconds 3.9
progress 24 1310720 seconds 4.1
progress 24 1376256 seconds 4.3
progress 24 1441792 seconds 4.5
progress 24 1507328 seconds 4.7
progress 24 1572864 seconds 4.9
progress 24 1638400 seconds 5.1
progress 24 1703936 seconds 5.4
progress 24 1769472 seconds 5.6
progress 24 1835008 seconds 5.8
progress 24 1900544 seconds 6.0
progress 24 1966080 seconds 6.2
progress 24 2031616 seconds 6.4
progress 24 2097152 seconds 6.6
progress 24 2162688 seconds 6.8
progress 24 2228224 seconds 7.1
progress 24 2293760 seconds 7.3
progress 24 2359296 seconds 7.5
progress 24 2424832 seconds 7.7
progress 24 2490368 seconds 7.9
progress 24 2555904 seconds 8.1
progress 24 2621440 seconds 8.3
progress 24 2686976 seconds 8.5
progress 24 2752512 seconds 8.7
progress 24 2818048 seconds 8.9
progress 24 2883584 seconds 9.1
progress 24 2949120 seconds 9.3
progress 24 3014656 seconds 9.5
progress 24 3080192 seconds 9.7
progress 24 3145728 seconds 9.9
progress 24 3211264 seconds 10.2
progress 24 3276800 seconds 10.4
progress 24 3342336 seconds 10.6
progress 24 3407872 seconds 10.8
progress 24 3473408 seconds 11.0
progress 24 3538944 seconds 11.2
progress 24 3604480 seconds 11.4
progress 24 3670016 seconds 11.6
progress 24 3735552 seconds 11.8
progress 24 3801088 seconds 12.0
progress 24 3866624 seconds 12.2
progress 24 3932160 seconds 12.4
progress 24 3997696 seconds 12.6
progress 24 4063232 seconds 12.8
progress 24 4128768 seconds 13.0
progress 24 4194304 seconds 13.2
progress 24 4259840 seconds 13.4
progress 24 4325376 seconds 13.6
progress 24 4390912 seconds 13.8
progress 24 4456448 seconds 14.0
progress 24 4521984 seconds 14.2
progress 24 4587520 seconds 14.4
progress 24 4653056 seconds 14.6
progress 24 4718592 seconds 14.8
progress 24 4784128 seconds 15.0
progress 24 4849664 seconds 15.2
progress 24 4915200 seconds 15.4
progress 24 4980736 seconds 15.6
progress 24 5046272 seconds 15.8
progress 24 5111808 seconds 16.0
progress 24 5177344 seconds 16.2
progress 24 5242880 seconds 16.4
progress 24 5308416 seconds 16.6
progress 24 5373952 seconds 16.8
progress 24 5439488 seconds 17.0
progress 24 5505024 seconds 17.3
progress 24 5570560 seconds 17.5
progress 24 5636096 seconds 17.7
progress 24 5701632 seconds 17.9
progress 24 5767168 seconds 18.1
progress 24 5832704 seconds 18.3
progress 24 5898240 seconds 18.5
progress 24 5963776 seconds 18.7
progress 24 6029312 seconds 18.9
progress 24 6094848 seconds 19.1
progress 24 6160384 seconds 19.3
progress 24 6225920 seconds 19.5
progress 24 6291456 seconds 19.7
progress 24 6356992 seconds 19.9
progress 24 6422528 seconds 20.1
progress 24 6488064 seconds 20.4
progress 24 6553600 seconds 20.6
progress 24 6619136 seconds 20.8
progress 24 6684672 seconds 21.0
progress 24 6750208 seconds 21.2
progress 24 6815744 seconds 21.4
progress 24 6881280 seconds 21.6
progress 24 6946816 seconds 21.8
progress 24 7012352 seconds 22.0
progress 24 7077888 seconds 22.2
progress 24 7143424 seconds 22.4
progress 24 7208960 seconds 22.6
progress 24 7274496 seconds 22.8
progress 24 7340032 seconds 23.0
progress 24 7405568 seconds 23.2
progress 24 7471104 seconds 23.5
progress 24 7536640 seconds 23.7
progress 24 7602176 seconds 23.9
progress 24 7667712 seconds 24.2
progress 24 7733248 seconds 24.4
progress 24 7798784 seconds 24.6
progress 24 7864320 seconds 24.8
progress 24 7929856 seconds 25.0
progress 24 7995392 seconds 25.2
progress 24 8060928 seconds 25.4
progress 24 8126464 seconds 25.6
progress 24 8192000 seconds 25.9
progress 24 8257536 seconds 26.1
progress 24 8323072 seconds 26.3
progress 24 8388608 seconds 26.5
progress 24 8454144 seconds 26.7
progress 24 8519680 seconds 26.9
progress 24 8585216 seconds 27.1
progress 24 8650752 seconds 27.3
progress 24 8716288 seconds 27.5
progress 24 8781824 seconds 27.7
progress 24 8847360 seconds 27.9
progress 24 8912896 seconds 28.1
progress 24 8978432 seconds 28.3
progress 24 9043968 seconds 28.6
progress 24 9109504 seconds 28.8
progress 24 9175040 seconds 29.0
progress 24 9240576 seconds 29.2
progress 24 9306112 seconds 29.4
progress 24 9371648 seconds 29.6
progress 24 9437184 seconds 29.8
progress 24 9502720 seconds 30.0
progress 24 9568256 seconds 30.2
progress 24 9633792 seconds 30.4
progress 24 9699328 seconds 30.6
progress 24 9764864 seconds 30.8
progress 24 9830400 seconds 31.0
progress 24 9895936 seconds 31.2
progress 24 9961472 seconds 31.4
progress 24 10027008 seconds 31.6
progress 24 10092544 seconds 31.9
progress 24 10158080 seconds 32.1
progress 24 10223616 seconds 32.3
progress 24 10289152 seconds 32.5
progress 24 10354688 seconds 32.7
progress 24 10420224 seconds 32.9
progress 24 10485760 seconds 33.1
progress 24 10551296 seconds 33.3
progress 24 10616832 seconds 33.5
progress 24 10682368 seconds 33.7
progress 24 10747904 seconds 33.9
progress 24 10813440 seconds 34.1
progress 24 10878976 seconds 34.3
progress 24 10944512 seconds 34.5
progress 24 11010048 seconds 34.7
progress 24 11075584 seconds 34.9
progress 24 11141120 seconds 35.2
progress 24 11206656 seconds 35.4
progress 24 11272192 seconds 35.6
progress 24 11337728 seconds 35.8
progress 24 11403264 seconds 36.0
progress 24 11468800 seconds 36.2
progress 24 11534336 seconds 36.4
progress 24 11599872 seconds 36.6
progress 24 11665408 seconds 36.8
progress 24 11730944 seconds 37.0
progress 24 11796480 seconds 37.2
progress 24 11862016 seconds 37.4
progress 24 11927552 seconds 37.6
progress 24 11993088 seconds 37.8
progress 24 12058624 seconds 38.0
progress 24 12124160 seconds 38.3
progress 24 12189696 seconds 38.5
progress 24 12255232 seconds 38.7
progress 24 12320768 seconds 38.9
progress 24 12386304 seconds 39.1
progress 24 12451840 seconds 39.3
progress 24 12517376 seconds 39.5
progress 24 12582912 seconds 39.7
progress 24 12648448 seconds 39.9
progress 24 12713984 seconds 40.1
progress 24 12779520 seconds 40.3
progress 24 12845056 seconds 40.5
progress 24 12910592 seconds 40.7
progress 24 12976128 seconds 40.9
progress 24 13041664 seconds 41.1
progress 24 13107200 seconds 41.3
progress 24 13172736 seconds 41.5
progress 24 13238272 seconds 41.7
progress 24 13303808 seconds 41.9
progress 24 13369344 seconds 42.1
progress 24 13434880 seconds 42.3
progress 24 13500416 seconds 42.5
progress 24 13565952 seconds 42.7
progress 24 13631488 seconds 42.9
progress 24 13697024 seconds 43.1
progress 24 13762560 seconds 43.3
progress 24 13828096 seconds 43.6
progress 24 13893632 seconds 43.8
progress 24 13959168 seconds 44.0
progress 24 14024704 seconds 44.2
progress 24 14090240 seconds 44.4
progress 24 14155776 seconds 44.6
progress 24 14221312 seconds 44.8
progress 24 14286848 seconds 45.0
progress 24 14352384 seconds 45.2
progress 24 14417920 seconds 45.4
progress 24 14483456 seconds 45.6
progress 24 14548992 seconds 45.8
progress 24 14614528 seconds 46.0
progress 24 14680064 seconds 46.2
progress 24 14745600 seconds 46.4
progress 24 14811136 seconds 46.6
progress 24 14876672 seconds 46.8
progress 24 14942208 seconds 47.0
progress 24 15007744 seconds 47.2
progress 24 15073280 seconds 47.4
progress 24 15138816 seconds 47.6
progress 24 15204352 seconds 47.8
progress 24 15269888 seconds 48.0
progress 24 15335424 seconds 48.3
progress 24 15400960 seconds 48.5
progress 24 15466496 seconds 48.7
progress 24 15532032 seconds 48.9
progress 24 15597568 seconds 49.1
progress 24 15663104 seconds 49.3
progress 24 15728640 seconds 49.5
progress 24 15794176 seconds 49.7
progress 24 15859712 seconds 49.9
progress 24 15925248 seconds 50.1
progress 24 15990784 seconds 50.3
progress 24 16056320 seconds 50.5
progress 24 16121856 seconds 50.7
progress 24 16187392 seconds 50.9
progress 24 16252928 seconds 51.2
progress 24 16318464 seconds 51.4
progress 24 16384000 seconds 51.6
progress 24 16449536 seconds 51.8
progress 24 16515072 seconds 52.0
progress 24 16580608 seconds 52.2
progress 24 16646144 seconds 52.4
progress 24 16711680 seconds 52.6
{
  "M": 24,
  "K": 4097,
  "subsets": 16777215,
  "seconds": 52.97296953201294,
  "best_by_N": [
    {
      "A": [
        12
      ],
      "N": 1,
      "lambda": 1.0,
      "ratio": 1.0,
      "theta": 0.2617993877991494,
      "critical_minima": 6,
      "grid_best": 0.9999999999999998,
      "grid_error_bound": 4.2355747036840546e-05
    },
    {
      "A": [
        4,
        8
      ],
      "N": 2,
      "lambda": 1.125,
      "ratio": 0.795495128834866,
      "theta": 0.4558691454865011,
      "critical_minima": 4,
      "grid_best": 1.1249976999411275,
      "grid_error_bound": 8.125538277032778e-05
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3
      ],
      "N": 3,
      "lambda": 1.3155651547204492,
      "ratio": 0.7595418962143431,
      "theta": 1.2929430584522335,
      "critical_minima": 1,
      "grid_best": 1.315550406573499,
      "grid_error_bound": 0.00011684597576656185
    },
    {
      "A": [
        2,
        4,
        6,
        8
      ],
      "N": 4,
      "lambda": 1.5195578816428483,
      "ratio": 0.7597789408214242,
      "theta": 0.501375009623997,
      "critical_minima": 4,
      "grid_best": 1.5195555972400612,
      "grid_error_bound": 0.0001492745945916429
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        4,
        5,
        6
      ],
      "N": 5,
      "lambda": 1.6274606644665797,
      "ratio": 0.7278225352908497,
      "theta": 1.7775847957597648,
      "critical_minima": 3,
      "grid_best": 1.6274406623552315,
      "grid_error_bound": 0.00017868830781167104
    },
    {
      "A": [
        2,
        4,
        8,
        12,
        14,
        16
      ],
      "N": 6,
      "lambda": 1.5918323293238499,
      "ratio": 0.6498628271515707,
      "theta": 0.2428165976613964,
      "critical_minima": 8,
      "grid_best": 1.5918053706918305,
      "grid_error_bound": 0.00020523418399274646
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        5,
        6,
        7,
        8
      ],
      "N": 7,
      "lambda": 1.8934554189924957,
      "ratio": 0.7156588796059641,
      "theta": 0.503480785281711,
      "critical_minima": 4,
      "grid_best": 1.8934476470306982,
      "grid_error_bound": 0.00022905929170096928
    },
    {
      "A": [
        4,
        6,
        8,
        10,
        14,
        16,
        20,
        24
      ],
      "N": 8,
      "lambda": 1.9567876936328228,
      "ratio": 0.6918289237550767,
      "theta": 0.18743330917727452,
      "critical_minima": 10,
      "grid_best": 1.956751532628679,
      "grid_error_bound": 0.0002503106995024396
    },
    {
      "A": [
        2,
        3,
        4,
        5,
        7,
        9,
        10,
        12,
        14
      ],
      "N": 9,
      "lambda": 2.0692825870916445,
      "ratio": 0.6897608623638815,
      "theta": 1.0838453779418018,
      "critical_minima": 7,
      "grid_best": 2.069282128475366,
      "grid_error_bound": 0.0002691354759632576
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        5,
        6,
        7,
        8,
        10,
        11,
        13
      ],
      "N": 10,
      "lambda": 2.0574472746083012,
      "ratio": 0.6506219553468148,
      "theta": 0.3439422604759581,
      "critical_minima": 5,
      "grid_best": 2.0574286535247777,
      "grid_error_bound": 0.0002856806896495235
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        8,
        9,
        10,
        11,
        14
      ],
      "N": 11,
      "lambda": 2.1023812792428815,
      "ratio": 0.6338918063196399,
      "theta": 2.0012779273944283,
      "critical_minima": 6,
      "grid_best": 2.102375981420752,
      "grid_error_bound": 0.00030009340912733723
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        15
      ],
      "N": 12,
      "lambda": 2.213895922405542,
      "ratio": 0.6390967033793273,
      "theta": 0.3572146794442393,
      "critical_minima": 6,
      "grid_best": 2.2138910592211793,
      "grid_error_bound": 0.00031252070296279913
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        9,
        10,
        11,
        12,
        13,
        16
      ],
      "N": 13,
      "lambda": 2.3182326501521295,
      "ratio": 0.6429620529675596,
      "theta": 0.2958164050919693,
      "critical_minima": 7,
      "grid_best": 2.3182163199929016,
      "grid_error_bound": 0.0003231096397220093
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        8,
        9,
        10,
        12,
        13,
        14,
        15,
        18
      ],
      "N": 14,
      "lambda": 2.3663504270565663,
      "ratio": 0.6324337539351337,
      "theta": 1.1539416377089855,
      "critical_minima": 8,
      "grid_best": 2.3663225692782275,
      "grid_error_bound": 0.00033200728797106783
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        12,
        14,
        18,
        20,
        21
      ],
      "N": 15,
      "lambda": 2.4189121268958123,
      "ratio": 0.6245604255604428,
      "theta": 2.927817012399807,
      "critical_minima": 10,
      "grid_best": 2.4188990017819627,
      "grid_error_bound": 0.00033936071627607483
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        10,
        11,
        13,
        14,
        15,
        16,
        17,
        21
      ],
      "N": 16,
      "lambda": 2.4548327530279495,
      "ratio": 0.6137081882569874,
      "theta": 0.642932007173643,
      "critical_minima": 8,
      "grid_best": 2.454827673766896,
      "grid_error_bound": 0.00034531699320313055
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        12,
        13,
        14,
        15,
        19,
        22
      ],
      "N": 17,
      "lambda": 2.5648971205451128,
      "ratio": 0.6220789262852996,
      "theta": 1.8515634777015928,
      "critical_minima": 9,
      "grid_best": 2.564896121650557,
      "grid_error_bound": 0.00035002318731833503
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        10,
        11,
        12,
        13,
        15,
        17,
        18,
        19,
        20,
        23
      ],
      "N": 18,
      "lambda": 2.6246769969933763,
      "ratio": 0.6186423009994534,
      "theta": 2.6899734342735773,
      "critical_minima": 9,
      "grid_best": 2.6246740861609346,
      "grid_error_bound": 0.0003536263671877885
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        12,
        13,
        14,
        16,
        19,
        20,
        21,
        23,
        24
      ],
      "N": 19,
      "lambda": 2.762449484380868,
      "ratio": 0.6337493757395918,
      "theta": 0.18764183370822335,
      "critical_minima": 11,
      "grid_best": 2.762377231094259,
      "grid_error_bound": 0.00035627360137759106
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        12,
        13,
        14,
        15,
        16,
        18,
        20,
        23,
        24
      ],
      "N": 20,
      "lambda": 2.885366835526102,
      "ratio": 0.6451876384259819,
      "theta": 0.20528409875030187,
      "critical_minima": 11,
      "grid_best": 2.885316106248493,
      "grid_error_bound": 0.0003581119584538428
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        12,
        13,
        14,
        15,
        17,
        18,
        21,
        22,
        23,
        24
      ],
      "N": 21,
      "lambda": 3.108179030811849,
      "ratio": 0.6782602705795132,
      "theta": 0.6889268301112975,
      "critical_minima": 11,
      "grid_best": 3.1081601873607054,
      "grid_error_bound": 0.00035928850698264394
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        12,
        13,
        14,
        15,
        16,
        19,
        20,
        21,
        22,
        23,
        24
      ],
      "N": 22,
      "lambda": 3.843946308860314,
      "ratio": 0.8195321066815235,
      "theta": 0.18439185187198542,
      "critical_minima": 10,
      "grid_best": 3.8438200001950817,
      "grid_error_bound": 0.00035995031553009456
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        12,
        13,
        14,
        15,
        16,
        18,
        19,
        20,
        21,
        22,
        23,
        24
      ],
      "N": 23,
      "lambda": 4.82998957552414,
      "ratio": 1.0071224462421953,
      "theta": 0.18329400320984185,
      "critical_minima": 10,
      "grid_best": 4.829989168783851,
      "grid_error_bound": 0.0003602444526622948
    },
    {
      "A": [
        1,
        2,
        3,
        4,
        5,
        6,
        7,
        8,
        9,
        10,
        11,
        12,
        13,
        14,
        15,
        16,
        17,
        18,
        19,
        20,
        21,
        22,
        23,
        24
      ],
      "N": 24,
      "lambda": 5.829691617006674,
      "ratio": 1.189980818287244,
      "theta": 0.18342995129708511,
      "critical_minima": 12,
      "grid_best": 5.829668870548177,
      "grid_error_bound": 0.0003603179869453449
    }
  ]
}


==============================================================================
ПРИЛОЖЕНИЕ: compute/search.py
==============================================================================

"""Finite numerical searches for Chowla's cosine problem.
All reported grid searches are finite experiments, never asymptotic proofs.
"""
from pathlib import Path
import json, math, time
import numpy as np
from scipy.optimize import minimize_scalar
OUT=Path(__file__).parent

def refine(A, density=128):
 A=np.array(A,dtype=float)
 t=np.linspace(0,np.pi,max(1025,int(A.max())*density+1))
 y=np.cos(np.outer(t,A)).sum(axis=1)
 loc=np.flatnonzero((y[1:-1]<y[:-2])&(y[1:-1]<y[2:]))+1
 vals=[(float(y[0]),0.),(float(y[-1]),float(np.pi))]
 for k in loc:
  r=minimize_scalar(lambda z:float(np.cos(A*z).sum()),bounds=(t[k-1],t[k+1]),method='bounded',options={'xatol':1e-15})
  vals.append((r.fun,r.x))
 lo,theta=min(vals)
 return {'A':[int(a) for a in A], 'N':len(A),'lambda':-lo,'ratio':-lo/math.sqrt(len(A)),'theta':theta,'critical_minima':len(loc)}

def exhaustive(M=16,K=4097,keep=8):
 cos=np.cos(np.outer(np.arange(1,M+1),np.linspace(0,np.pi,K)))
 arr=np.zeros(K)
 candidates=[[] for _ in range(M+1)]
 previous=0;n=0;start=time.time()
 for ix in range(1,1<<M):
  gray=ix^(ix>>1); changed=gray^previous
  bit=changed.bit_length()-1
  if gray&changed: arr+=cos[bit]; n+=1
  else: arr-=cos[bit];n-=1
  lam=float(-arr.min())
  old=candidates[n]
  if len(old)<keep or lam<old[-1][0]:
   old.append((lam,gray));old.sort();del old[keep:]
  previous=gray
  if ix%65536==0: print('progress',M,ix,'seconds',round(time.time()-start,1),flush=True)
 results=[]
 for n,ls in enumerate(candidates):
  if not ls:continue
  refined=[refine([j+1 for j in range(M) if mask>>j&1]) for _,mask in ls]
  best=min(refined,key=lambda r:r['lambda'])
  best['grid_best'] = ls[0][0]
  # f'' <= sum a^2; grid min differs from true min by <= (step^2/8)*sum a^2.
  # Safe global per-cardinality bound uses largest n frequencies <=M.
  best['grid_error_bound']=(np.pi/(K-1))**2/8*sum(j*j for j in range(M-n+1,M+1))
  results.append(best)
 print(json.dumps({'M':M,'K':K,'subsets':(1<<M)-1,'seconds':time.time()-start,'best_by_N':results},indent=2),flush=True)
 (OUT/f'exhaustive_M{M}.json').write_text(json.dumps({'M':M,'K':K,'subsets':(1<<M)-1,'seconds':time.time()-start,'best_by_N':results},indent=2))
 return results
if __name__=='__main__':
 import argparse
 p=argparse.ArgumentParser();p.add_argument('--M',type=int,default=16);p.add_argument('--K',type=int,default=4097);args=p.parse_args()
 exhaustive(args.M,args.K)
